• W niniejszej pracy rozpatrzono dynamikę lotu zasobnika lotniczego

M E C H AN I K A
TEORETYCZNA
I STOSOWANA
2, 17 (1979)
DYNAMIKA LOTU ZASOBN IKA LOTN ICZEG O Z POŁĄ CZON YM PRZEG U BOWO H AMULCEM
AEROD YN AMICZN YM, ZRZU CON EG O Z SAMOLOTU
KAZIMIERZ M I C H A L E W I C Z
1. Wstę p
• W niniejszej pracy rozpatrzono dynamikę lotu zasobnika lotniczego hamowanego
„wolno puszczonym" hamulcem aerodynamicznym. Obiekt traktowano jako ukł ad mechaniczny sztywny [1, 3, 10, 23, 25] z ruchomym (wychylanym) hamulcem aero.
Równania ruchu w ukł adzie współ rzę dnych zwią zanych z zasobnikiem wyprowadzono
w quasi- współ rzę dnych stosują c równania Boltzmanna- H amela [8, 13, 14, 15] dla ukł adów mechanicznych o wię zach holonomicznych.
U wzglę dniono siedem stopni swobody, w tym pię ć stopni swobody zasobnika: prę dkoś ci przemieszczeń U, V, W, pochylania 6 i odchylania W oraz dwóch stopni swobody
hamulca aero as i ys [4, 5, 6, 11, 13, 16,18, 22, 23, 24].
Zastosowanie równań Boltzmanna- H amela [8, 13, 14, 15] do wyprowadzenia równań
ruchu obiektów ruchomych w ukł adzie współ rzę dnych zwią zanych z obiektem umoż liwiają w stosunkowo prosty sposób uwzglę dnienie dodatkowych stopni swobody wynikają cych z wzglę dnych ruchów elementów rozpatrywanego obiektu [7, 9, 13, 14, 15].
Przykł adowe obliczenia numeryczne wykonano wg wł asnych programów [12]. Wyprowadzone w pracy równania ruchu są uniwersalne i moż na je zastosować do opisu ruchu
obiektów swobodnych w przyję tych ukł adach odniesienia.
Charakterystyki aerodynamiczne uzyskano w wyniku badań modelowych w tunelu
aerodynamicznym w Instytucie Techniki Lotniczej i M echaniki Stosowanej Politechniki
Warszawskiej. G eometrię i rozkł ady mas wyznaczono na drodze obliczeń teoretycznych.
2. Dynamiczne równania ruchu obiektu
D o opisu dynamiki obiektu swobodnego niezbę dne są cztery ukł ady odniesienia [2,
5, 6, 13, 16]
— ukł ad O x y z sztywno zwią zany z poruszają cym się zasobnikiem,
— ukł ad prę dkoś ciowy O xayaztt zwią zany z kierunkiem przepł ywu oś rodka,
— ukł ad grawitacyjny O xgygzg zwią zany z poruszają cym się obiektem, równoległ y do
ukł adu O Xi yL z1,
— nieruchomy ukł ad grawitacyjny O x1yiZ i zwią zany z Ziemią (rys. 1).
Ruch obiektu został opisany w centralnym ukł adzie współ rzę dnych O x y z sztywno
zwią zanym z, obiektem. Chwilowe poł oż enie zasobnika lotniczego okreś lone przez poł o10 Mech. Teoret. i Stos. 2/ 79
K . M lCH ALEWICZ
306
Rys. 1. Przyję te ukł ady odniesienia
ż enię ś rodka masy obiektu i^ ( x x , y- i, Zi) mierzone wzglę dem nieruchomego ukł adu
współ rzę dnych O x 1 y 1 z 1 oraz ką tów obrotu 0, &, ip[5, 13, 23].
Skł adowe wektorów chwilowych prę dkoś ci liniowej i ką towej oraz wektory sił zewnę trznych i momentów sił zewnę trznych w przyję tym ukł adzie podan o w [5, 13, 15,
18, 23],
Równania ruchu obiektu otrzymano z równań Boltzmanna- H amela [8, 13, 14, 15]:
k k
d ldT*\ dT*_ yi \ p r dT* _
dt \ 3a),, / dn^ J~- J J—J "'' dwr
gdzie: fi — 1,2, ... k — ilość stopni swobody,
co/ t — ą uasi- prę dkoś ci,
Tu — quasi- współ rzę dne,
T* — energia kinetycznych w ą uasi- prę dkoś ciach,
Qft — siły uogólnione,
y'iM — trójwskaź nikowe mnoż niki Boltzmanna, w postaci:
k k ,
dara dan
Obliczone na podstawie definicji niezerowe symbole Boltzmanna wynoszą ."
..1 . . 1 2 2 3 - .3 4 .5 .,6 l1
^35 — 762 — 7l6 — 743 = 724 = 751 = 765 = 746 — 754 —
'** 1 1 2 2 3 3 4 5
_
6 I
726 — 753 — 734= 761 = 751. — 742 — 756 — 7«4 ~ 745 — —
Równania ruchu dla przyję tego modelu mają nastę pują cą postać:
dldT*\ dT*
~dT\ ~Wl+
(3)
±ldT \*
dtYW r
dT* „ d
dt
dT*
\ dw)
UW Q -
M
1
D YN AM I KA LOTU ZASOBN IKA (3) 307
J
[cd.] dt\ 8Q r dU " dW
dldT *\ dt\ dR I dT * „ dT *
dU
dt \ da. j dT*
da,'
d ldT *\ dt \ dys ! dT *
dys *ys-
Prawe strony równań ruchu obiektu stanowią sił y uogólnione Qf. Siły uogólnione pochodzą od sił aerodynamicznych i masowych (grawitacyjnych) [5, 6, 10, 13, 16, 17, 18,
19, 23].
Siły i momenty aerodynamiczne pomierzone w ukł adzie prę dkoś ciowym O xayaza
transformowane są do ukł adu zwią zanego O xy z i mają nastę pują cą postać:
sił y od zasobnika
- ^B = - ~QSVl[—CxB(a; y)cosacosy+ C j, a (y)sin ycosa- |- C Z B (a)sin a],
1
Y B = - ^- QSVC[—CX (a>y)s'my—Cy (4) ^ ^ t C C )
(y)cosy],
i C , B ( y) sin ysin a- C Z ji ( a) co sa],
sił y od hamulca aerodynamicznego
(5) Y H z
=
Y
i
i
y
H
n = y g ^ f l —C » H ( « F > yv)cosysmu + momenty od zasobnika
M B- = T e S L H V I Cm (et)cosy,
2
(6)
momeiity od hamulca aero
(7) 10*
MH = - ~- QSL H VI Cm[i{ar) cosy,
j
Cyn(yv)sinysmu- CZH(uy)cosa],
308 K . MlCHALEWICZ
Momenty powstał e na skutek oddział ywania hamulca aero n a zasobnik:
M m =
(8)
N, IB= Momenty powstał e na skutek oddział ywania zasobnika na hamulce aero:
= - (Zu + Z a) I u + (X,i - XB) !H sin a s ,
przy czym
<xv =
Yv =
Pochodne aerodynamiczne zasobnika lotniczego wyznaczono z nastę pują cych zależ noś :ci
«1
1 S VI
2* S„ U dy
j CB{x)xdX>
Xl
Xl
Y m zQ- l- ę
M Q
~ l
U v% dC
S J[
dy
° *°
r c
*v> xdx>
J
1 1 r YL^l
e
2 S„ " U da
A- 2
Pochodne aerodynamiczne (XQH , XRji, Y RH , Z Qjl, M QfI , N R H ) hamulca aerodynamicznego wyznaczono z podobnych zależ nośi c [5, 6, 16, 18, 23].
Po wyznaczeniu pochodnych energii kinetycznej cał ego obiektu, tj. zasobnika lotniczego i hamulca aero i sił uogólnionych, stanowią cych prawe strony równań, równania
ruchu dla przyję tego modelu przedstawiają się nastę pują co:
— równanie sił na kierunek O x
(11) ^
m - WQme + VRmc + yc RS, H cos ys - &, QS hj cos a s +
2
+ 2<is.ys S, Hsin as sin y s - ( a ? + y ) SiHcos a s c o sy s +
2
+ R S X
D YN AM I K A LOTU ZASOBN IKA 309
równanie sił na kierunek O y
(12) V
równanie sił na kierunek O z
(13) Wmc- QS Xi + 'dS hlcosas = UQmc - QRS yi + a.sQSiH sin a, cos ys
równanie momentów pochylają cych zasobnika
(14) US^_ - WS St + Q{I fi + I y) - R 7yh + UM BM sin a s cos ys + I, H cos a s ) +
+ y'sT, I]^cosass'mys = - C«a+ yl)Iijj oosocsoosys+ 2xsyJiB sin a, siny, -
- al IiHx sin av - Q WS^ + R WS^ + Q USX} + UĘ SlfI cos as - Was SlfI sin as cos ys +
- Wys Sig cos <x5 sin ys + QM a + M B+ M HB + gSiH cos a,cos©,
równanie momentów odchylają cych zasobnika
(15) - US^+ VS^- QI^+ RQ^+ I^- aJix sina,cosys +
+y's(hlIxCosys- IiH - 2asyJhl eos«s sinys )"= (a%+yt)I lH cosa s cosy s +
z
%moL simys + y sIiaxS\ nys - UysS lncosys+VasSiHń n.a.acosys+ + QVS z~RVSy%- RUS Xi +
VysS lHcosa.s$\ r\ ys- \ - RN r+N B+N HB,
równanie momentów pochylają cych hamulca aero
(16) 1
i75 ; / / sin a scosys+ fi'S'i^cosys + g ^ sin a s c o sy s - / J f l c o sa s ) +
2
2
2
Rh„ sin a s c o sy s + a s/ , ( sin a s co s y s + c o s yj + y
y s —rs i sin 2a s sin 2y s =
„
"y " y
4
2
2
= hys hH sin a s sin 2y s - Ę IiH I sin 2a s cos ys - sin2a s +
2
2
- — sin 2a s co s y s ) - ylhH\ i?sin2ascos2ys- ysin2assin ysl +
+ (Q + «s) M m + M H + M B[I - gSiH(9ń a. ascos& + a scos ascos6>),
równanie momentów odchylają cych hamulca aero
(17) ró, H cosassmys+ KS', H cosy.v + 2/ i w cosa s sin y s +
oosys—IiH ) + / i
x
2
2
2
2
2
+ y s - '/ H ( co s a s sin y s + co s y. s ) = a s y s / !H sin 2a s sin y. s - ya ( c o s2a s sin 2y s ) +
310 K. MlCHALEWICZ
Celem uzyskania peł nego ukł adu równań uzupeł niono powyż szy ukł ad nastę pują cymi
równaniami.
Zwią zki mię dzy prę dkoś ciami uogólnionymi 0, W a prę dkoś ciami ką towymi Q, R;
COS© '
Zwią zki kinematyczne
at
(19) 4r
— = - f/ sin 0+ W cosO.
dt
Ką t natarcia i ś lizgu
W
a, => arc si n —r= .
i/ lP+W 2 '
(20) v
y = Prę dkość cał kowita
(21) i
Vc m
3. Przykł ad liczbowy i wnioski
Rozwią zanie równań (11- =- 21) wykonano na maszynie cyfrowej OD R A, wykorzystują c zmodyfikowaną metodę M ersona [12]. Rozpatrzono przypadek zrzutu ukł adu z wysokoś ci zj = 150 m z począ tkową prę dkoś cią Vc = 125; 175; 225 i 275 m/ s. Wymienione
wartoś ci począ tkowe pozwalają na przeprowadzenie analizy parametrów torów lotu dla
najważ niejszych przypadków.
Charakterystyczne wyniki analizy numerycznej badanego modelu przedstawiono na
rysunkach 2 - 16 w formie wykresów.
Z analizy uzyskanych rezultatów obliczeń numerycznych wynika, że profil toru lotu
zasobnika (rys. 2) w istotny sposób zależy od parametrów lotu nosiciela oraz efektywnoś ci
hamowania hamulca aerodynamicznego.
Zwię kszenie prę dkoś ci zrzutu obiektu Vco powoduje:
— zwię kszenie zasię gu (xt ), ale jego przyrost jest coraz mniejszy (rys. 2),
— zmniejszenie ką ta upadku (pochylenia toru) 0 fc (rys. 3) r
— wię ksze wyhamowanie prę dkoś ci cał kowitej (rys. 4).
Obiekty zrzucane z róż ną prę dkoś cią Vc0 w innych odstę pach czasu osią gają podł oże
(rys. 2).
311
DYNAMIKA LOTU ZASOBNIKA
O 500 1000 [mf
Rys. 2. Tory lotu zasobnika z hamulcem aero dla róż nych prę dkoś ci zrzutu
Rys. 3. Zmiany ką ta pochylenia obiektu <9 dla róż nych prę dkoś ci zrzutu.
Zasobnik i hamulce aero w czasie lotu wykonują ruch obrotowy (rys. 15 i 16), którego
charakter w duż ym stopniu uzależ niony jest od prę dkoś ci zrzutu.
W czasie lotu zasobnika z „ wolno puszczonym" hamulcem aero zauważa się silne
tł umienie wahań ką tów natarcia a i ś lizgu y (rys. 5 i 10) oraz ką tów as i ys (rys. 6 i 11).
Charakter zmian prę dkoś ci poprzecznej W (rys. 8) i bocznej V (rys. 13) jest bardzo
podobny do zmian ką ta natarcia a (rys. 5) i ś lizgu y (rys. 10), ponieważ te wielkoś ci są
ś ciśe zależ
l
ne od siebie.
N a rys. 9 i 14 przedstawiono zmianę prę dkoś ci ką towej pochylania Q i odchylania R
w czasie lotu zasobnika. Oscylacja R = R(t) zanikają po czasie okoł o 1,5^- 2 s5 natomiast
Rys. 4. Zmiany prę dkoś ci cał kowitej Vc zasobnika dla róż nych prę dkoś ci zrzutu V„
[rad]' o
/ \ / Vc B- 175m/ s
0,006 -
111 AA
I 0,004
0,002 r
y—Vc'215m/ s
I mv
U 0
| / |
2
i 3 i 4 Rys. 5. Zmiany ką ta natarcia a zasobnika
[312]
i 5 [ s]
«•
0,007 -
- 0,001
- 0,002
- 0,003 -
Rys. 6. Zmiany ką ta pochylenia hamulca aero a„ wzglę dem zasobnika
- 0,02
- w
Rys. 7. Oscylacje prę dkoś ci ką towej pochylenia hamulca aero ócs.
[313]
0,2
5 O
[S]
Rys. 8. Oscylacja prę dkoś ci poprzecznej W zasobnika
1 2 3 4 S [s]
- 0,10 -
Rys. 9. Oscylacja prę dkoś ci ką towej pochylenia Q zasobnika
0 J 2 1
[s]
~ r*~
Rys. 10. Zmiany ką ta ś lizgu y zasobnika
[314]
3 [
Vc- 175m/ s
40 1
Rys. 11. Zmiany ką ta odchylenia hamulca aero ys wzglę dem zasobnika
[rad/ s] is
0,03
-
0,02
Uo" 275 m/ s
0,01
A
t
0
j \ l VCo'175rn/ s
- 0,01
Rys. 12. Oscylacja prę dkoś ci ką towej odchylenia hamulca aero ys.
. 0
( 2
1 I
? 4 5 - 0,1
I A I
- 0,2
|
- 0,3
i
Rys. 13. Oscylacje prę dkoś ci bocznej V zasobnika
[315]
M
316
K. MICH ALEwicz
[rad/ s^R
- 0,01
Rys. 14. Oscylacja prę dkoś ci ką towej odchylania R zasobnika
4,
yc~175m/ s ~—0,001
Rys. 15. Przebieg zmian ką ta natarcia a w funkcji ką ta ś lizgu y zasobnika
Rys. 16. Przebieg zmian ką ta pochylenia a s w
funkcji ką ta odchylenia ys hamulca aero
Q = 6 ( 0 trwają o wiele dł uż ej i ich s'rednia wartość stale roś nie. Spowodowane to jest
dział aniem w pł aszczyź nie rzutu sił y cię ż koś .ci
Prę dkoś ci ką towe pochylania a4. i odchylania ys hamulca aero wzglę dem zasobnika
pokazano n a ryś. 7 i 12. Ś redni
e ich wartoś ci oscylują w pobliżu zera. Prę dkość ką towa ys
po czasie okoł o 2 s zostaje cał kowicie wytł umiona.
H amulec aerodynamiczny wykorzystywany do wyhamowania prę dkoś ci ruchu obiektu
charakteryzuje się cechami, które szczególnie predystynują go do zastosowania w proponowanym ukł adzie, a mianowicie:
prę dkość koń cow
a w mał ym stopniu zależy od prę dkoś ci zrzutu (rys. 4),
mimo gwał townego spadku prę dkoś ci Vc zasobnik wraz z hamulcem dobrze stabilizują się .
D YN AM IKA LOTU ZASOBN IKA 317
4. U wagi koń cow
e
Rezultaty analizy dynamiki lotu zasobnika lotniczego z poł ą czonym przegubowo hamulcem aerodynamicznym, przedstawione w niniejszej pracy wskazują , że istnieją ce sprzę ż eni
e mię dzy parametrymi ruchów symetrycznych i antysymetrycznych ma istotny wpł yw
na dynamikę ukł adu.
Powyż sz
a analiza pozwolił a ustalić podstawowe charakterystyki i zależ nośi cw przypadku zrzutu takich ukł adów z samolotu.
Waż niejsze oznaczenia
h't> I*i> ht>I*i — osiowe momenty bezwł adnoś ci zasobnika i hamulca aero,
hH, hH , It„ , Ji„ , Ixy^, I yz2, I Zx2 — momenty dewiacyjne hamulca aero,
mc — masa cał kowita zasobnika i hamulca,
Ms, MU, NB,NH- ~aerodynamiczne momenty pochylają ce i odchylają ce zasobnika
i hamulca,
M g, MQH , N R, NR H — pochodne aerodynamiczne momentu pochylają cego i odchylają cego
wzglę dem zmian prę dkoś ci ką towych zasobnika i hamulca,
Q — prę dkość ką towa pochylania zasobnika,
JR — prę dkość ką towa odchylania zasobnika,
SiH, S Xz, S yi, S Zl — momenty statyczne hamulca,
U,V,W—prę dkoś ć ś rodka masy zasobnika w ukł adzie sztywno zwią zanym
z zasobnikiem,
X'B,XH — opór zasobnika i hamulca,
XQ , XQH , XR, XRu — pochodne aerodynamiczne oporu wzglę dem prę dkoś ci ką towych zasobnika i hamulca,
Yi,, Y H, Z B, Z H — aerodynamiczne siły boczne i noś ne zasobnika i hamulca,
Yg, Y RH, Z Q, Z Qf{ — pochodne aerodynamiczne sił y bocznej i noś nej zasobnika i hamulca
wzglę dem zmian prę dkoś ci ką towych QlRr
a. — ką t natarcia zasobnika,
a, — ką t wychylenia hamulca wzglę dem zasobnika,
y — ką t ś lizgu zasobnika,
ys — ką t odchylenia hamulca wzglę dem zasobnika.
Literatura cytowana w tekś cie
1. W. ALBRING, Angewandte Stromangslehere, Dresden und Leipzig 1961.
2. Z. DŻ YGADŁO, A. KRZYŻ ANOWSKI, E. PIOTROWSKI, Dynamika lotu osiowosymetrycznego ciał a ze sztywnym urzą dzeniem hamują cym, Biuletyn WAT, 257, Warszawa 1974.
3. R. H . CANON jr. Dynamika ukł adów fizycznych, WN T, Warszawa 1973.
4. S. DUBIEL, Wię zy uogólnione i ich zastosowanie do badania sterowalnoś ci obiektów latają cych, Dodatek
do Biuletynu WAT, 256, Warszawa 1973.
5. B. ETKIN , Dynamics of Atmospheric Flight, John Wiley, New York 1972.
6. W. FISZDON, Mechanika lotu, cz. I i I I , PWN , Łódź —Warszaw
a 1961.
7. R. GUTOWSKI, Równania róż niczkowe zwyczajne, WN T, Warszawa 1971.
8. R. GUTOWSKI, Mechanika analityczna, PWN , Warszawa 1971.
9. R. GUTOWSKI, Podstawy mechaniki analitycznej, Materiał y pomocnicze do wykł adów, Politechnika
Warszawska, Warszawa 1976.
318 K. MICHALEWICZ
10. S. F . HOERNER, Aerodynamics Drag, Ohio 1951.
11. J. KLIMKOWSKI, W. ŁUCJANEK, Teoretyczna analizo bocznej statecznoś ci dynamicznej mię kkoplata,
Archiwum Budowy Maszyn, Zeszyt 1, Warszawa 19,77.
12. A. KRUTKOW, A. KRUTKOW, Dynamika lotu zasobnika lotniczego zrzuconego z samolotu, Program
KAMI, ITWL, Warszawa 1978.
13. J. MARYNIAK, Dynamiczna teoria obiektów ruchomych, Prace naukowe — Mechanika N r 32, Politechnika Warszawska, Warszawa 1975.
1 i. J. MARYNIAK, Z. GORAJ, Wpł yw sztywnoś ci i tł umienia w ukł adzie sterowania sterem wysokoś ci na sta*
tecznoś ć podł uż ną samolotu i oscylacje steru, Mechanika Teoretyczna i Stosowana, Zeszyt 2, PWN,
Warszawa 1975.
15. J. MARYNIAK, M. ZŁOCKA, Statecznoś ć boczna samolotu i drgania lotek z uwzglę dnieniem odkształ cał noś ci gię tnej skrzydeł i sprę ż ystoś ukł
ci adu sterowania, Mechanika Teoretyczna i Stosowana, Zeszyt 1,
PWN, Warszawa 1975. .
16. J. MARYNIAK, K. MICHALEWICZ, F . MISTAK, Z. WINCZURA, Obliczenia teoretyczne wł asnoś ci dynamicznych bomb lotniczych, Informator ITWL, N r 49, Warszawa 1975.
17. J. MARYNIAK, K. MICHALEWICZ, J. OSTROWSKI, Z. WINCZURA, Zagadnienia aerodynamiki bomb lotniczych w zakresie prę dkoś ci poddź wię kowych, Informator ITWL, N r 52, Warszawa 1977.
18. J. MARYNIAK, K. MICHALEWICZ, Z. WINCZURA, Wpł yw spadochronu na ruch zasobnika osiowosymetrycznego zrzuconego z samolotu, Mechanika Teoretyczna i Stosowana, Zeszyt 1, Warszawa 1978.
19. J. N . NIELSEN, Missile Aerodynamics, New York, Toronto, London 1960.
20. T. ZAWADZKI, Balistyka zewnę trzna rakiet, cz. II, WAT, Warszawa 1976.
21. S. ZIEMBA, Analiza drgań tom I i I
,
I , PWN, Warszawa 1957.
P e 3 io M e
flH H AMH KA IIOJlETA JIETATEJIBH OrO AIH IAPATA „ C O CBOBOflHO
O T n yiU E H H Ł I M " ASPOflM H AM IM ECKKM T O P M O 3O M EPOU IEH H OrO
H 3 CAMOJlfiTA
o6'Beicr HHJineTCH MexanmrecKOH Heno#BH>KHOH CHCTCMOH C noflBHH- CHMM ( B H a3poTopMO3OM. ypaBHeiiHH flBM>i<eH«H BMnefleiłM B KBasn- KoopfltfiraTax, HcnoJib3yji ypaBEojiLmwaHa- raiviejia fljra MexanmiecKiix cucTeM c ranoHoMHtiMH CBH3;IMH B cUcTeMe
c
S u m m a r y
DYNAMICS OF F LIG H T OF AN EXTERN AL PACK WITH AN AIRBRAKE
„SET F R E E " TH ROWN OUT OF AN AIRPLAN E
The object has baen treated as an invariable material system with a movable (deflected) airbrake.
The equations of motion have been derived in terms of quasi co- ordinates, using the Boltzmann- Hamel
equations for the material systems with holonomic constraints in the system of co- ordinates related to the
pack.
INSTYTUT TECHNICZNY WOJSK LOTNICZYCH
Praca został a zł oż ona w Redakcji dnia 21 sierpnia 1978 r.