Przykład analizy czasowo-częstotliwościowej

Przykład analizy czasowo-częstotliwościowej
Amplituda
c ze rwie ñs zy_01_35_m.wav
1.0
0.0
-1 . 0
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
2.0
D1
1.8
D2
1.6
 D WT 
1.4
D3
1.2
1.0
D4
0.8
0.6
D5
0.4
0.2
D6
0
100
200
300
400
500
600
Cz as [m s ]
700
800
900
1000
0.0
1
2
Haar
Funkcja Haara
 1 dla 0  t < 0,5

 H (t )  1 dla 0,5 < t  1
 0 dla pozostalych

3
Falka Meyera
4
Funkcja skalująca Meyera
5
Dekompozycja sygnałów
S m 1  S m  W m
sm1  Sm1
sm  Sm
wm Wm
s m 1 ( t )  s m ( t )  wm ( t )
sm1 (t )   cm1,n m1,n (t )
n
gdzie  m1,n  nZ generuje zbiór Sm+1
s m ( t )   cm,n  m, n ( t )
n
wm ( t )   d m,n m,n ( t )
n
Gdzie cm,n i dm,n są odpowiednio dobranymi współczynnikami,
 m,n nZ generuje zbiór Sm natomiast  m,n nZ generuje zbiór Wm
6
Kwadraturowe filtry zwierciadlane
cm,n   hk  2 n cm1,k dla każdego m, n  Z
k
d m,n   g k  2 n cm1,k dla każdego m, n  Z
k
k nowe  2n  k stare
H ( f )  G( f )  1
2
2
7
Porównanie filtrów zwierciadlanych
Dla falek: Meyera, Daubechies rzędu 2, Daubechies rzędu 12
a)
b)
-1 0
-2 0
-3 0
-5 0
0 .0
-2 0
-3 0
-4 0
H
G
0 .2 5
-1 0
-5 0
0 .0
0 .5 0
Cz ę s to tliw o ś ć [f/fs ]
Fa z a [ra d ia n /  ]
Fa z a [ra d ia n /  ]
-5
-1 0
-1 5
-2 0
-1 .0
-1 .5
-2 .0
-2 .5
-3 .0
0 .0
0 .5 0
0 .2 5
0 .5 0
H
G
5
-0 .5
-3 0
0 .0
H
G
Cz ę s to tliw o ś ć [f/fs ]
0 .0
-2 5
0 .2 5
-3 0
-5 0
0 .0
0 .5 0
H
G
0 .5
0
Cz ę s to tliw o ś ć [f/fs ]
-2 0
Cz ę s to tliw o ś ć [f/fs ]
H
G
5
0 .2 5
-1 0
-4 0
H
G
Fa z a [ra d ia n /  ]
-4 0
0
Am p litu d a [d B ]
0
Am p litu d a [d B ]
Am p litu d a [d B ]
0
c)
0
-5
-1 0
-1 5
-2 0
-2 5
0 .2 5
Cz ę s to tliw o ś ć [f/fs ]
0 .5 0
-3 0
0 .0
0 .2 5
0 .5 0
Cz ę s to tliw o ś ć [f/fs ]
8
Schemat dekompozycji sygnału
d M g 1
cMg
dM g 2
cM g  2
c M g 1
c
dM d

m 1, n nZ
c M d 1
cM d
 d m,n nZ  cm,n nZ
dla M d  m  M g otrzymujemy
oraz jeden sygnał podstawowy
d  
M g 1
m,n nZ
m M d
c 
M d ,n nZ
9
Schemat 3-poziomowej dekompozycji
falkowej
10
Rekonstrukcja zdekomponowanego sygnału
~
cm1,n   hn2 k cm,k   g~n2 k d m,k
k
dM d
cM d
k
d M g 1
d M d 1
cM d 1
c M d 2
cM g 1
cM g
11
Spektakularna prezentacja
analizy i syntezy sygnału
H
2
cm
2
~
H
c m1

G
2
dm
2
cm1
~
G
12
Schemat rekonstrukcji falkowej
(3 poziomy)
13
Charakterystyki filtrów generujących
funkcje skalujące i falki
|H_d2(w)|
|H_d12(w)|
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3
-2
|G_d2(w)|
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
-2
-1
0
1
0
1
2
3
2
3
|G_d12(w)|
1
-3
-1
2
3
-3
-2
-1
0
1
14
Dyskretna transformacja falkowa
DWT od. ang. Discrete Wavelet Transform
cm1,n  s(n)
sm1 (t )   cm1,n m1,n (t )
n
cm,n   hk  2 n cm1,k
k
d m,n   g k  2 n cm1,k
k

DWT  d m ,n n , d m 1,n n ,..., d m  M ,n n , cm  M ,n n

15
Przykład DWT i CWT
Ka n a ł p ra w y
S yg n a ł
a m p litu d a
1
0
-1
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Cz a s [s ]
1.2
1.4
1.6
1.8
DW T
p o z io m
5
4
3
2
1
0.0
32
CW T
s ka la a
24
16
8
1
0.0
16
Dekompozycja obrazu wykorzystująca
filtrację jednowymiarową
sLL ( x , y )
sL ( x , y )
~
H ( x)
~
H ( y)
x2
y2
sLH ( x , y )
s ( x, y)
~
G ( x)
x2
sHL ( x , y )
sH ( x , y )
~
H ( x)
~
G ( y)
x2
y2
sHH ( x , y )
~
G ( x)
x2
17
Rekonstrukcja
obrazu
sLL ( x, y)
x 2
sL ( x , y)
H ( x)
+
y 2
sLH ( x , y)
x 2
H( y)
s ( x, y)
G( x )
+
sHL( x, y)
x 2
sH ( x, y)
H( x)
G( y)
+
y 2
sHH ( x, y)
x 2
G( x)
18