TDF

Małgorzata Konefał
Zjawisko nieodwracalności
Jeżeli makroskopowy układ odizolowany znajduje się
w sytuacji nierównowagi, to z upływem czasu jego stan
będzie się tak zmieniał, aby powrócić do stanu
równowagi.
Zmiany te mają skłonność do przebiegania w taki sposób,
aby jego stan układu był coraz bardziej
nieuporządkowany.
Istotą nieodwracalności jest istnienie procesów, które przy
odwróceniu biegu czasu przebiegałyby w sposób nigdy nie
obserwowany w rzeczywistości.
Zjawisko nieodwracalności
Wszystkie układy makroskopowe dążą do uzyskania
stanu równowagi, dlatego też każdy z nich wykazuje
zachowanie nieodwracalne.
Z drugiej strony w prawach ruchu rządzących zachowaniem
się cząstek układu nie jest wyróżniony kierunek zmiany
czasu.
Nieodwracalność silnie zależy od liczby elementów badanego
układu. Im jest ich więcej, tym nieodwracalność przejawia
się silniej, ponieważ, np. w przypadku układów będących
w stanie równowagi, zmniejsza się prawdopodobieństwo
przejścia w stan nieuporządkowany.
Mark Kac – model „mazaki i kule na okręgu”
Układ składa się z n kul rozmieszczonych w n równo oddalonych
punktach, umieszczonych na okręgu. Na okręgu zaznaczono m
wierzchołków, zwanych mazakami, które tworzą zbiór M. Mazaki
nie zmieniają swych położeń. Zakładamy,
że zarówno m jak i n są bardzo dużymi
liczbami, przy czym m jest o wiele
mniejsze od n. W każdym z n punktów
znajduje się kula, w kolorze białym lub
czarnym. W równych odstępach czasu t
co interwał τ kule przechodzą do
sąsiednich punktów, a ruch ten odbywa
się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
Po opuszczeniu wierzchołka należącego
do zbioru M kule zmieniają kolor na
przeciwny, w innym przypadku kolory
N=16, m=6,
pozostają bez zmian.
gwiazdkami zostały oznaczone mazaki.
Spełnione są makroskopowe prawa zachowania
N b (t ) + N c (t ) = n ,
N b ( M ,t ) + N c ( M ,t ) = m .
Liczby kul w poszczególnych kolorach w momencie czasu (t+1)
N b (t + 1) = N b (t ) + N c (M ,t ) − N b (M ,t ),
N c (t + 1) = N c (t ) + N b (M ,t ) − N c (M ,t ).
Najprostsze założenie dotyczące liczb Nb(M,t) i Nc(M,t)
N b (M ,t )
N (t )
= µ b , oraz
n
n
N c (M ,t )
N (t )
=µ c .
n
n
µ – koncentracja mazaków, µ=m/n, 0 < µ < ½.
Nadwyżkę kolorów Γ(t) definiujemy następująco
1
Γ (t ) = [N b (t ) − N c (t )].
n
Można pokazać, że
Γ (t + 1) = (1 − 2 µ )t Γ (0 ).
Należy oczekiwać, że po dostatecznie długiej ewolucji liczba kul
białych będzie równa liczbie kul czarnych
1
N b (t ) = N c (t ) = n.
2
Oczekiwanie to można uzasadnić wprowadzając wartości średnie
i licząc granicę termodynamiczną
1
1
lim
N b (t ) M = ,
n →∞ , m →∞ ,
2
n
µ =const .
1
1
(
)
lim
Nc t M = .
n →∞ , m →∞ ,
n
2
µ =const .
Entropię termodynamiczną możemy zapisać w postaci sumy
c
S (t ) = − k B ∑ Nσ (t )ln Nσ (t ).
Produkcja entropii
σ =b

 N c (t ) 
dS (t )
= k B µ [N c (t ) − N b (t )]ln 
,

dt
 N b (t ) 

dS (t )
≥ 0.
dt
Entropia nie rośnie jedynie wtedy, gdy Nb(t) = Nc(t), a to oznacza, że
1
N b (t ) = N c (t ) = n.
2
Konfiguracji spełniających ten warunek jest najwięcej i odpowiadają
one stanowi równowagi.
Paul i Tatiana Ehrenfestowie – model „wiatr i drzewa”
Niech w płaszczyźnie tablicy znajduje się
kartezjański układ współrzędnych osiami
x i y. Równolegle do osi współrzędnych
w kierunkach dodatnich i ujemnych
poruszają się lekkie cząstki, kierunki te
oznaczymy odpowiednio 1, 2, 3, 4.
Cząstki nie oddziałują wzajemnie, ich
gęstość n nie zależy od wektora wodzącego
punktu na płaszczyźnie.
Przyjmijmy, że prędkości wszystkich
cząstek są jednakowe.
Kierunki poruszania się lekkich
cząstek w układzie kartezjańskim.
Na płaszczyźnie w sposób przypadkowy
rozmieszczono Z centrów rozpraszania,
które będziemy nazywali drzewami.
Są nimi nieskończenie ciężkie jednakowo
zorientowane romby o jednakowych
bokach. Niech rozkład tych centrów będzie
jednorodny z gęstością nd. Oznaczymy
długość przekątnej rombu przez 2a.
Przyjmijmy także, że średnia odległość
między drzewami jest znacznie większa od
2a. Niech Ω będzie powierzchnią nie zajętą
przez drzewa. Załóżmy, że zderzenia
cząstek gazu z drzewami są sprężyste.
Zmiany kierunków poruszania
się cząstek w wyniku zderzenia
z drzewem.
Przyjmijmy, że prędkości wszystkich cząstek są jednakowe
r
r
r
r
v1 = v2 = v3 = v4 = c.
Stan gazu lekkich cząstek zadaje funkcja rozkładu
r
 f (v1 ,t ) =
 f (vr ,t ) =
r
 2
f (v , r ,t ) =  r
 f (v3 ,t ) =
 f (vr4 ,t ) =
f1 (t ),
f 2 (t ),
f 3 (t ),
f 4 (t ).
Niech Nij będzie liczbą cząstek, które początkowo poruszały się
w kierunku i, a po zderzeniu będą poruszały się w kierunku j
(i, j = 1,2,3,4).
Wszystkie cząstki o prędkości 1, które znajdują się wewnątrz
równoległoboku o powierzchni ∆S = c ∆t ⋅ a 2 ulegną zderzeniu
podczas interwału czasu ∆t . W wyniku zderzenia zmienią one
prędkość z v1 na v2. Liczba cząstek, które w ciągu interwału czasu ∆t
r
2
(
)
[
(
)
]
N
r
,
t
=
f
t
a
c
∆
t
n
d
r.
zmienią prędkość z v1 na v2 wynosi 12
1
d
Cylinder zderzeń.
Dla każdego z boków każdego drzewa
można utworzyć cylinder zderzeń.
Dlatego możemy zapisać ogólną relację
r
dla N ij (r ,t )
r
N ij (r ,t ) = [ f i (t ) a c ∆t ]nd d 2 r .
Zmiana liczby cząstek o prędkości v1 znajdujących się w obszarze
r
w d2r otoczeniu punktu r w ciągu interwału (t+∆t, t) wynosi
r
r
2
d r [ f1 (t + ∆t ) − f1 (t )] = − N 12 (r ,t ) − N 14 (r ,t ) + N 21 + N 41 .
r
(
N
r
Wykorzystując relację 12 ,t ) = [ f1 (t ) a c ∆t ]nd d 2 r mamy
df1 (t )
1
1
1

(
)
(
)
= −  f1 t − f 2 t − f 4 (t ) ,
dt
τ
2
2

df 2 (t )
1
1
1

= −  f 2 (t ) − f1 (t ) − f 3 (t ) ,
dt
τ
2
2

df 3 (t )
1
1
1

= −  f 3 (t ) − f 2 (t ) − f 4 (t ) ,
τ
dt
2
2

df 4 (t )
1
1
1

= −  f 4 (t ) − f1 (t ) − f 3 (t ) .
τ
dt
2
2

Równania kinetyczne są zgodne z prawem zachowania liczby cząstek
d
f i (t ) =0.
∑
dt i
Zgodnie z zasadami fizyki statystycznej entropia termodynamiczna jest
proporcjonalna do średniej wartości funkcji rozkładu
4
S (t ) = − k B ∑ f i (t )ln f i (t ).
i =1
Produkcja entropii
 f i (t ) 
dS (t ) 1 4
,
= ∑ [ f i (t ) − f i −1 (t )]ln 

dt
2τ i =1
 f i −1 (t )
dS (t )
≥ 0.
dt
Gdy fi(t) = fi-1(t) = ρ/4 entropia nie rośnie i stan taki odpowiada
stanowi równowagi .
Model Ehrenfestów z dwoma rodzajami drzew
Jeżeli któraś z lekkich cząstek uderzy
w któreś z drzew obecnych w rozpatrzonym
już modelu Ehrenfestów, (drzew I-rodzaju),
to zmieni ona kierunek ruchu zgodnie
wprowadzonymi już regułami. Natomiast
uderzone drzewo ulegnie obrotowi o kąt 45o
dookoła osi przechodzącej przez jego
środek i zmieni się w drzewo II-rodzaju.
Podobnie, w wyniku zderzenia z lekką
cząstką drzewo II-rodzaju przekształca się
w drzewo I-rodzaju, a cząstka odpowiednio
zmienia kierunek ruchu.
Całkowita liczba drzew Z nie ulega zmianie.
Zmienia się liczba drzew każdego rodzaju.
Zmiany kierunków poruszania się cząstek
po zderzeniu z drzewem II-rodzaju.
Całkowita liczba drzew spełnia prawo zachowania
Zσ nσ
(σ = I , II ).
Fσ (t ) =
= ,
Z nd
Wprowadzimy oznaczenie dla funkcji rozkładu drzew
Z = Z I (t ) + Z II (t ) = const.
Równanie różniczkowe dla funkcji rozkładu
df 1 (t )
1
1
1


= − FI (t ) f1 (t ) − f 2 (t ) − f 4 (t ) −
dt
τ
2
2


df 2 (t )
1
1
1


= − FI (t ) f 2 (t ) − f 1 (t ) − f 3 (t ) −
dt
2
2
τ


df 3 (t )
1
1
1


= − FI (t ) f 3 (t ) − f 2 (t ) − f 4 (t ) −
dt
τ
2
2


df 4 (t )
1
1
1


= − FI (t ) f 4 (t ) − f 1 (t ) − f 3 (t ) −
dt
τ
2
2


1
FII (t )[ f 1 (t ) − f 3 (t )],
2τ
1
FII (t )[ f 2 (t ) − f 4 (t )],
2τ
1
FII (t )[ f 3 (t ) − f 1 (t )],
2τ
1
FII (t )[ f 4 (t ) − f 2 (t )].
2τ
Podsumowanie
Model Kaca jest modelem bardzo prostym, trochę sztucznym, ale
dobrze obrazuje problem nieodwracalności. Model Ehrenfestów
jest modelem znacznie bardziej skomplikowanym i zbliżonym do
rzeczywistości.
Omówione wyjaśnienia źródeł nieodwracalności nie są jedyne.
Nieodwracalność może być wynikiem założeń statystycznych oraz
nieuniknionego kontaktu z otoczeniem, czy też rozszerzania się
Wszechświata.
Dziękuję za uwagę.