zadania 12 - E-SGH

Ćwiczenia XII - 12.12.2007
1. (Dieta) W zakładzie doświadczalnym wyhodowano nową odmianę wysokoplennej
pszenicy. Do jej uprawy konieczne jest stosowanie trzech rodzajów nawozów: fosforowego, potasowego i naturalnego. Przydatność tych nawozów ocenia się ze względu
na zawartość czterech składników A, B, C i D. Zawartość składników w 1 kg poszczególnych nawozów oraz minimalne ilości składników odżywczych, jakie powinny
być dostarczone pszenicy w ciągu okresu wegetatywnego (na 1 ha uprawy) podaje
tablica. Ceny 1 kg rozpatrywanych nawozów wynoszą 5 zł, 6 zł i 3 zł odpowiednio.
Sformułować model optymalizacyjny pozwalający ustalić optymalną dawkę nawozów
ze względu na wielkość kosztów nawożenia.
2. (Transport) Trzy zakłady tego samego przedsiębiorstwa przygotowują miesięcznie
odpowiednio 50, 40 i 70 ton makaronu „świderki”. Wyprodukowany makaron jest
rozsyłany do czterech hurtowni. Zapotrzebowanie zgłaszane przez hurtownie wynosi
miesięcznie: 50, 30, 20 i 60 ton makaronu. Dana jest macierz C, której elementy
cij są jednostkowymi kosztami transportu 1 tony makaronu pomiędzy zakładami a
hurtowniami.


1 3 2 1


C= 2 5 1 3 
3 2 6 4
Każda wytwórnia makaronu może zaopatrywać każdą hurtownię. Sformułować model
optymalizacyjny pozwalający na wyznaczenie miesięcznego planu dostaw makaronu
z zakładów do hurtowni, którego realizacja zapewni minimalizację łącznych kosztów
transportu.
1
3. (Przydział) W zakładzie jubilerskim „Viola” zatrudniającym trzech pracowników
prowadzone są standardowe prace wykończeniowe przy produkcji czterech rodzajów
pierścionków. Tygodniowy przerób (liczba pierścionków na pracownika) podaje macierz C z poprzedniego problemu optymalizacyjnego. Pierścionki są sprzedawane po
cenach 3, 6, 4 i 7 tys. zł odpowiednio. Właściciel zakładu, który jest w stanie wykończyć 1 pierścionek dowolnego rodzaju tygodniowo, chciałby tak przydzielić zadania
swoim pracownikom, aby każdy z nich wytwarzał jeden rodzaj pierścionka oraz by
tygodniowa wartość utargu była maksymalna. Sformułować model optymalizacyjny
problemu.
4. (Portfel inwestycyjny) Fundusz inwestycyjny przeznacza kapitał wartości 2 mln zł
na portfel zrównoważonego wzrostu. Dział analiz inwestycji i ryzyka wyselekcjonował najlepsze inwestycje w czterech grupach inwestycyjnych: obligacji skarbowych
(OS), obligacji emitowanych przez jednostki samorządu terytorialnego (OST), akcji
(A) oraz depozytów bankowych (B). Portfel zrównoważonego wzrostu powinien charakteryzować się dość umiarkowanym ryzykiem. Z tego względu dział analiz zaleca
dywersyfikację ryzyka poprzez nałożenie ograniczeń na udziały poszczególnych rodzajów inwestycji w łącznej wartości portfela inwestycyjnego. Dla inwestycji w grupach
OST i A ustalony jest maksymalny ich udział w wartości portfela; wynosi on 30%
dla grupy OST oraz 40% dla grupy A. Natomiast obligacje skarbowe powinny stanowić co najmniej 20% wartości portfela. Dane o wyselekcjonowanych inwestycjach
w każdej z wymienionych grup inwestycji zawarte są w tabeli. Jaki portfel inwestycyjny powinien dobrać fundusz, aby zmaksymalizować przewidywaną stopę zwrotu z
inwestycji w najbliższym roku?
2
5. (Harmonogram) Firma kurierska zajmuje się organizacją dostaw i dostarczaniem pilnych przesyłek na terenie Warszawy przez 7 dni w tygodni. Zapotrzebowanie na
usługi kurierskie jest zróżnicowane w zależności od dnia tygodnia. Na podstawie dotychczasowych doświadczeń działu zamówień dla każdego dnia tygodnia określono
minimalną liczbę kurierów niezbędną do sprawnej realizacji dostaw. Minima te podane są w tabeli:
dzień tygodnia
pon. wt. śr.
min. liczba kurierów 32
28 26
czw. pt. sob. niedz.
26
30 22
12
Kurier pracuje 8 godzin dziennie i pracodawca ma obowiązek zapewnienia mu 2
dni wolnych po przepracowaniu 5 dni pod rząd. Ułożyć zadanie optymalizacyjne
pozwalające firmie ustalić minimalną liczbę kurierów.
6. (Mieszanka) Firma IBS (Idealna Benzyna Silnikowa) wytwarza trzy typy benzyny
IBS98, IBS95 i IBS94. Są produkowane w wyniku mieszania benzyn podstawowych
dostępnych na rynku producenta. W bieżącym tygodniu IBS może zakupić cztery
rodzaje benzyny: BP1, BP2, BP3 i BP4, w ilościach do 300 tys. litrów każdej z nich.
Ceny sprzedaży i ceny zakupu poszczególnych benzyn podane są w tabelach.
BP1 BP2 BP2 BP3
300 250 200 175
102
94
92
96
0
0,04
0
0,1
cena zakupu 100 l (w zł)
liczba oktanowa
zawartość siarki (w %)
cena sprzedaży 100 l (w zł)
liczba oktanowa
zawartość siarki (w %)
IBS98 IBS95 IBS94
400
350
300
98
95
94
0
0,05
0,08
Wymienione typy benzyny IBS oraz BP różnią się liczbą oktanową i zawartością
siarki. W procesie mieszania różnych typów benzyn nie ma strat, a liczba oktanowa
mieszanki jest przeciętną (średnią ważoną, z odpowiednimi wagami) liczb oktanowych
jej składowych. Podobnie jest w przypadku zawartości siarki. Na przykład w wyniku
zmieszania 3 litrów benzyny BP1 i 2 litrów benzyny BP2 powstaje benzyna o liczbie
oktanowej 98,8 (=0,6·102+0,4·94) i zawartości siarki 0,016% (=0,6·0%+0,4·0,04%).
Koszt wytworzenia mieszanki benzynowej jest stały i wynosi 30 zł na 100 litrów
mieszanki. IBS może wyprodukować co najwyżej jeden milion litrów benzyny tygodniowo. Umowy ze stałymi odbiorcami produktów IBS opiewają na dostawy 200 tys.
litrów mieszanki każdego typu w najbliższym tygodniu. Odbiorcy ci są jednak chętni
zakupić dodatkowo co najwyżej 50 tys. litrów mieszanki każdego typu. Ile benzyny
każdego typu powinna wytworzyć firma IBS w najbliższym tygodniu, aby zmaksymalizować zysk?
3
7. (Rozkrój) W warsztacie zbrojeniowym „Waleczny Hyksos” wytwarzane są trzy rodzaje włóczni o długościach trzonu: 0,8m, 1,3m i 2,5m, w które wyposaża się rydwany
bojowe w ten sposób, iż w każdym rydwanie znajdują się 2, 3 i 1 włócznia o podanych
długościach. Warsztat ma wyposażyć co najmniej 100 rydwanów i ma do dyspozycji
drewniane pręty o długości 3m każdy. Zbudować model optymalizacyjny pozwalający
ustalić taki sposób cięcia prętów, przy którym odpad produkcyjny będzie najmniejszy.
8. Hurtownia ”Dom bez kantów”posiada w kraju trzy oddziały terenowe, w których
znajduje się 72, 46 oraz 60 ton mąki. Mąkę tę należy rozwieźć do trzech odbiorców zgłaszających zapotrzebowanie w wysokości 27, 50 i 47 ton. Jednostkowe koszty
transportu (tys zł/t) mąki pomiędzy hurtowniami a odbiorcami podano w poniższej
tablicy:
Hurtownia Odbiorca 1 Odbiorca 2 Odbiorca 3
1
33
20
21
2
45
15
35
3
26
25
22
(a) Zbudować model matematyczny pozwalający ustalić plan dostaw mąki z hurtowni do odbiorców, z którym związany byłby minimalny koszt transportu;
(b) Jak uwzględnić żądania, aby:
i.
ii.
iii.
iv.
odbiorca drugi nie otrzymał mąki z drugiej hurtowni;
z pierwszej hurtowni wywieźć cały zapas mąki;
z pierwszej hurtowni wywieźć co najmniej 60 ton mąki;
odbiorca pierwszy dostał mąkę tylko z pierwszej hurtowni.
4