Modele konstytutywne materiałów stosowanych w temperaturach

I Kongres Mechaniki Polskiej, Warszawa, 28–31 sierpnia 2007 r.
J. Kubik, W. Kurnik, W.K. Nowacki (Red.)
na prawach rękopisu
—————————————————————————————————————————————
Modele konstytutywne materiałów stosowanych w temperaturach
kriogenicznych
Błażej Skoczeń
Politechnika Krakowska, Instytut Mechaniki Stosowanej
1. WSTĘP
Materiały konstrukcyjne (metale lub ich stopy) o sieci krystalicznej regularnej ściennie
centrowanej, takie jak stale austenityczne, miedź lub niektóre nadprzewodniki, są stosowane w
temperaturach kriogenicznych (także w temperaturach bliskich absolutnego zera) z uwagi na bardzo
dobre własności fizyczne i mechaniczne a w szczególności wysoką plastyczność. Materiały te,
charakteryzujące się z reguły niską energią błędu ułożenia, podlegają trzem procesom
uwarunkowanym stanem sieci krystalicznej w niskich temperaturach: nieciągłemu płynięciu
plastycznemu, przemianie fazowej typu γ→α’ oraz ewolucji mikro-uszkodzeń. Pierwszy proces
przejawia się jako niestateczność płynięcia plastycznego wywołana efektem dynamicznego starzenia
odkształceniowego i występuje powyżej charakterystycznej dla danego materiału prędkości
odkształcenia i poniżej pewnej temperatury krytycznej (T0 lub T1). Zjawisko to jest silnie związane z
niestabilnością termodynamiczną sieci krystalicznej w temperaturach zbliżonych do absolutnego zera.
Bezdyfuzyjna przemiana fazowa typu γ→α’ od sieci regularnej ściennie centrowanej do sieci
regularnej przestrzennie centrowanej zachodzi pod wpływem odkształcenia plastycznego w niskich
temperaturach i prowadzi do utworzenia dwu-fazowego kontinuum o strukturze ewolucyjnej i
zmieniających się własnościach fizycznych i mechanicznych. Kontinuum to składa się ze sprężystoplastycznej matrycy o sieci regularnej ściennie centrowanej zawierającej równomiernie rozłożone
sprężyste, elipsoidalne inkluzje (typu Eshelby’ego) o sieci regularnej przestrzennie centrowanej. W
obszarze kontinuum zachodzi również proces tworzenia się i ewolucji pól mikro-uszkodzeń
wywołanych odkształceniem plastycznym, których końcowym efektem jest propagacja makroszczeliny i zniszczenie materiału. Wszystkie trzy zjawiska zostaną opisane przy pomocy modeli
konstytutywnych zbudowanych na poziomie mezoskopowym (elementu reprezentatywnego) z
uwzględnieniem mechanizmów zachodzących na poziomie mikroskopowym oraz termodynamiki sieci
krystalicznej w temperaturach kriogenicznych. Niestateczność płynięcia plastycznego jest opisana
nowym modelem cztero-etapowym opartym na wynikach eksperymentów przeprowadzonych w
niskich temperaturach [1]. Kinetyka procesu przemiany fazowej (modyfikacja modelu OlsonaCohena, [2]) uzależnia prędkość przemiany od prędkości kumulacji odkształceń plastycznych i ma
istotny wpływ na proces umacniania się materiału (model nieliniowego wzmocnienia plastycznego
[3]). Ewolucja pól mikro-uszkodzeń opisana jest modelem anizotropowym [4], będącym uogólnieniem
izotropowego modelu Chaboche’a-Lemaitre’a [5, 6]. Wszystkie trzy modele stanowią kompleksowy
opis konstytutywny stosowany do analizy zachowania się struktur metalowych w temperaturach
kriogenicznych. Istotnym polem zastosowań są magnesy nadprzewodnikowe stosowane w budowie
akceleratorów cząstek elementarnych lub nadprzewodzące linie przesyłu energii bez strat.
2. OBSZARY NIESTABILNOŚCI MATERIAŁÓW W NISKICH TEMPERATURACH
Do typowych materiałów wykazujących wszystkie trzy wyżej wymienione cechy należą stale
austenityczne typu 304L, 316L, 316LN, szeroko stosowane w konstrukcjach pracujących w bardzo
niskich temperaturach. Obszary niestabilności materiałowej zostaną pokazane na przykładzie
materiału o niskiej energii błędu ułożenia – stali austenitycznej 316LN. Obszar I (Rys.1) występuje
poniżej temperatury T1 i odpowiada procesowi nieciągłego płynięcia plastycznego. Proces ten
reprezentuje tzw. oscylacyjny mechanizm płynięcia plastycznego, któremu towarzyszą nieciągłości w
sensie dσ dε . Temperatura T1 jest stałą materiałową, która określa przejście od stanu równowagi sieci
krystalicznej z dominacją dyslokacji typu śrubowego (powyżej T1) do stanu równowagi z dominacją
dyslokacji typu krawędziowego (poniżej T1). W przypadku materiałów konstrukcyjnych temperatura
T1 może sięgać wartości 35K. Obszar II rozciąga się pomiędzy temperaturą T1 i temperaturą Md, która
jest temperaturą graniczną dla procesu przemiany fazowej typu γ→α’ wymuszonej odkształceniem
plastycznym. W tym obszarze proces płynięcia plastycznego ma charakter klasyczny (ciągły) a w sieci
krystalicznej dominują dyslokacje o charakterze śrubowym. Odkształceniom plastycznym towarzyszy
przemiana fazowa od struktury austenitycznej typu γ do struktury martenzytycznej typu α’. Przemiana
fazowa wywołuje bardzo silne umocnienie materiału i wzrost granicy plastyczności. Wreszcie obszar
III, powyżej temperatury Md stanowi obszar klasycznego stabilnego zachowania się materiału
zarówno w sensie płynięcia plastycznego jak i przemiany fazowej. Należy podkreślić, iż ewolucja
uszkodzeń pod wpływem odkształceń plastycznych występuje we wszystkich trzech obszarach,
niezależnie od stabilnego czy meta-stabilnego zachowania się materiału.
Rp0,2
σ
1100
Rozproszone
defekty punktowe
1000
900
800
700
600
500
Dyslokacje Przemiana fazowa
krawędziowe typu γ→α’
Nieciągłe
płynięcie
plastyczne
T
σ
Dyslokacje śrubowe
Ciągłe płynięcie plastyczne
400
II
III
300
200
100
Obszar II
Obszar I
Obszar III
Md
T
T1
0
0
50
100
Temperatura [K]
150
I
IV t
ε
200
Rys. 1 Obszary niestabilności materiałów o sieci RSC i niskiej energii błędu ułożenia (316LN)
3. NIESTABILNOŚĆ TERMODYNAMICZNA W NISKICH TEMPERATURACH
Procesy występujące w materiałach w bardzo niskich temperaturach zależą ściśle od własności
fizycznych i mechanicznych materiału, rodzaju sieci krystalicznej oraz jej defektów a także od
mechanizmów transportu ciepła. Wraz z obniżaniem temperatury w pobliże zera bezwzględnego
niektóre parametry takie jak współczynnik przewodzenia ciepła czy współczynnik rozszerzalności
termicznej oraz funkcje stanu takie jak ciepło właściwe czy entropia również zmierzają do zera. Ten
fakt pociąga za sobą tzw. niestabilność temodynamiczną sieci krystalicznej [7], która ma istotny
wpływ na procesy płynięcia plastycznego w bardzo niskich temperaturach. Jeśli wziąć pod uwagę
fononowy mechanizm transportu ciepła (oparty na kwantach drgań sieci krystalicznej) to energia sieci
krystalicznej (suma energii wszystkich „oscylatorów harmonicznych”) wyraża się wzorem:
E=
1
∑  2 + N hω (k )
k
(1)
k
gdzie N k wyraża sekwencję liczb obsadzeń stanów zdefiniowanych poprzez wektor falowy k .
Dla N k = 0 otrzymujemy stan tzw. drgań zerowych sieci krystalicznej, reprezentowany przez
energię stanu podstawowego E0 . Zatem stan energetyczny sieci krystalicznej wyraża formuła:
E = E0 +
∑ N hω (k )
k
k
(2)
Stan nisko-wzbudzonej sieci krystalicznej (amplitudy drgań małe w porównaniu ze stałą sieci)
występuje w bardzo niskich temperaturach, w których dominują fonony akustyczne i spełniony jest
warunek:
T << Θ ; Θ = hω max
(3)
gdzie Θ jest tzw. temperaturą Debye’a a ω max jest maksymalną częstością fononów
akustycznych. W tych warunkach energia sieci krystalicznej może być wyrażona całką:
ω max
E=
∫ψ (ω )ν (ω )hωdω
(4)
0
gdzie ψ (ω ) jest funkcją statystyczną będącą funkcją rozkładu fononów. Jest to szczególna
postać funkcji Bosego-Einsteina:

 hω  
 − 1
 T  
−1
(5)
ψ (ω ) = exp

Funkcja gęstości rozkładu częstości fononowych wyraża się wzorem:
ν (ω ) =
Vω 2
3
2π 2ω s
(6)
Ostatecznie, po wykonaniu całkowania energia stanów fononowych daje się wyrazić poprzez:
3
T 
E ph ~ N   T
Θ
(7)
gdzie N oznacza liczbę atomów w sieci krystalicznej. Ciepło właściwe przy stałej objętości można
zatem obliczyć jako:
 ∂E ph
CV = 
 ∂T

T 
 ~ N  
Θ
V
3
(8)
Jest zatem oczywiste, iż wraz z temperaturą zmierzającą do 0 ciepło właściwe również zmierza do 0.
Jeśli zatem wyrazić kwant ciepła rozproszony w sieci krystalicznej w następujący sposób:
(9)
dQ = mCV dT
gdzie m oznacza masę materiału, a następnie przekształcić powyższe równanie do postaci:
dT
1
=
dQ mCV
(10)
To wobec faktu, iż CV → 0 jeśli T → 0 otrzymujemy:
dT
→∞
dQ
(11)
Powyższy wniosek stanowi podstawę niestabilności termodynamicznej materiałów metalowych w
bardzo niskich temperaturach. Rozproszenie niewielkiej ilości energii w sieci krystalicznej znajdującej
się w temperaturze bliskiej absolutnego zera (np. na skutek procesu plastycznie czynnego) powoduje
silny lokalny przyrost temperatury. Warto zauważyć, iż współczynnik przewodzenia ciepła w pobliżu
absolutnego zera również zmierza do zera, zatem stan sieci krystalicznej odpowiada warunkom quasiadiabatycznym.
4. KINETYKA PROCESÓW WYWOŁANYCH ODKSZTAŁCENIAMI PLASTYCZNYMI W
NISKICH TEMPERATURACH
4.1.
Kinetyka nieciągłego płynięcia plastycznego (obszar I)
Podstawowa cecha nieciągłego płynięcia plastycznego polega na powtarzającym się z dużą
częstotliwością procesie drastycznego spadku naprężenia w funkcji odkształcenia w czasie obciążania
próbki w niskich temperaturach. Mechanizm procesu dynamicznego starzenia odkształceniowego
polega tutaj na tworzeniu się w sieci krystalicznej materiału barier Lomera-Cottrella (L-C)
wywołujących spiętrzenia dyslokacji krawędziowych (poniżej temperatury T1). W nisko-wzbudzonej
sieci krystalicznej dyslokacje krawędziowe wykazują niewielką mobilność. Lokalne pola naprężeń
tworzące się wokół spiętrzeń hamują ruch nowo tworzących się dyslokacji. Naprężenie styczne
stowarzyszone z czołem spiętrzenia i proporcjonalne do liczby dyslokacji w spiętrzeniu osiąga poziom
naprężenia kohezji powodując zniesienie bariery Lomera-Cottrella. W sprzyjających warunkach
proces może nabrać charakteru kaskadowego, angażując dostatecznie dużą liczbę spiętrzeń w
jednostce objętości materiału. Każdy kolektywny ruch dyslokacji w systemach poślizgu prowadzi do
rozproszenia energii w sieci krystalicznej w postaci ciepła. Następstwem niestabilności
termodynamicznej wyrażonej równaniem (11) jest silny wzrost temperatury w obszarze, gdzie
wystąpił proces kaskadowy. Przebieg zjawiska nieciągłego płynięcia plastycznego przedstawia Rys. 1.
1400
1200
Stress
1000
800
600
400
Grupy dyslokacji
krawędziowych
wokół barier L-C
200
0
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
RVE
Strain
Rys. 2 Zjawisko nieciągłego płynięcia plastycznego w metalach o sieci RSC (316L w 4.2 K)
W celu opisania procesu dynamicznego starzenia odkształceniowego w niskich temperaturach
postulowane jest wprowadzenie parametru określającego zawartość objętościową barier L-C i
stowarzyszonych z nimi grup dyslokacji w postaci:
B=
dVB
dV
(12)
; 0 ≤ B ≤1
gdzie dVB oznacza objętość zajmowaną przez wszystkie grupy dyslokacji skupione wokół
barier L-C, zaś dV określa całkowitą objętość elementu reprezentatywnego (Rys. 2).
Zakładamy, iż parametr B jest funkcją odkształcenia plastycznego a kinetyczne prawo
ewolucji zawartości objętościowej barier przedstawia się następująco:
p
)
B& = FLC (T , σ )ε& p H (ε p − ε LC
(13)
p
gdzie FLC jest pewną funkcją temperatury i naprężenia zaś ε LC określa próg, powyżej którego
następuje intensywny przyrost liczby barier w RVE. W przypadku procesu izotermicznego i
małej zmienności naprężenia otrzymuje się prawo ewolucji w liniowej postaci:
p
dB = FLC dε p ; ε p ≥ ε LC
(14)
4.2.
Kinetyka przemiany fazowej typu γ→α’ (obszar II)
Przemiana fazowa typu γ→α’ zachodzi w materiałach meta-stabilnych o strukturze regularnej
ściennie centrowanej przy udziale odkształceń plastycznych w szerokim zakresie temperatur. Krzywa
przemiany fazowej, opisana przez Olsona, Cohena [2], ma charakter sigmoidalny (Rys. 3). W bardzo
niskich temperaturach (np. ciekłego helu) krzywa ta charakteryzuje się trzema wyraźnymi etapami:
niska szybkość transformacji poniżej progu pξ (etap 1), szybka przemiana fazowa przy stałej
prędkości przemiany (etap 2), asymptotycznie zanikająca przemiana przy zawartości objętościowej
nowej fazy zmierzającej do poziomu wysycenia ξ L (etap 3). W bardzo niskich temperaturach stroma
część krzywej przemiany (etap 2) pozostaje w obszarze relatywnie małych odkształceń plastycznych
(poniżej 0.2) i może być opisana następującym kinetycznym prawem:
ξ& = A T , ε& p , σ p& H p − pξ (ξ L − ξ )
(15)
(
) ((
)
)
gdzie p& jest szybkością kumulacji odkształceń plastycznych zdefiniowaną jako:
p& =
2 p p
ε& : ε&
3
(16)
ponadto ξ oznacza zawartość objętościową fazy α’ zaś A(..) jest funkcją temperatury, naprężenia i
w pewnych warunkach także szybkości odkształceń plastycznych. Przemiana fazowa od struktury
RSC do struktury RPC przebiega w niskich temperaturach pod wpływem odkształceń plastycznych
przy obciążeniach zarówno monotonicznych jak i cyklicznych. W przypadku procesu izotermicznego i
niewielkich zmian naprężenia kinetyka procesu przebiega według prostego liniowego schematu:
dξ = Adp ; p ≥ pξ , ξ ≤ ξ L
(17)
1.0
Mikro-szczeliny i
mikro-pustki
(parametr D)
Inkluzje fazy α'
(parametr ξ )
Volume fraction of martensite
0.9
I
II
III
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
RVE
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
Total strain
0.5
0.6
Rys. 3 Kinetyka procesu przemiany fazowej typu γ→α’ w niskich temperaturach
4.3.
Kinetyka ewolucji mikro-uszkodzeń (obszary I+II+III)
Klasyczne prawo ewolucji uszkodzeń [5, 6] uzależnia parametr zniszczenia D od kumulowanego
odkształcenia plastycznego p w postaci:
s
Y 
D& =   p& H ( p − pD )
S
(18)
gdzie Y jest prędkością uwalniania energii w procesie zniszczenia, S stanowi parametr materiałowy zaś
pD oznacza wartość progową. Ewolucja uszkodzeń może mieć charakter silnie anizotropowy (np. w
cienkościennych powłokach), należy zatem wprowadzić kinetyczne prawo odzwierciedlające
anizotropię uszkodzenia przy zachowaniu dotychczasowej „siły napędowej”, którą jest odkształcenie
plastyczne [4]:
T
D& = C Y C p& H ( p − pD )
(19)
Parametr D został zastąpiony symetrycznym tensorem uszkodzenia drugiego rzędu D (Murakami
[8]), siłę termodynamiczną Y zastąpiono tensorem Y natomiast parametr materiałowy S został
zastąpiony tensorem własności materiałowych C , który określa kierunki główne
uszkodzenia. W notacji wskaźnikowej postulowane prawo ewolucji przedstawia się
następująco:
D& ij = Cik Ykl C jl p& H ( p − p D )
(20)
natomiast symetryczny tensor własności materiałowych został zbudowany według zasady:
r r
C = ∑ Ci ni ⊗ni
i =1, 3
(21)
Warto zauważyć, że kontrakcja prawa (19) prowadzi wprost do izotropowego prawa ewolucji (18) i w
tym sensie można model anizotropowy traktować jako uogólnienie modelu izotropowego. W
najprostszym izotropowym przypadku (przy założeniu wykładnika s=1) otrzymujemy:
Y
dD = dp ; p ≥ p D
(22)
S
5. MEZOSKOPOWY OPIS NIECIĄGŁEGO PŁYNIĘCIA PLASTYCZNEGO, PRZEMIANY
FAZOWEJ TYPU γ→α’ ORAZ EWOLUCJI USZKODZEŃ W NISKICH TEMPERATURACH
5.1.
Opis konstytutywny nieciągłego płynięcia plastycznego (obszar I)
Opis konstytutywny nieciągłego płynięcia plastycznego nawiązuje do mechanizmu tworzenia się
barier Lomera-Cottrella a następnie spiętrzeń słabo mobilnych dyslokacji krawędziowych, które
przełamując bariery uczestniczą w zjawisku kolektywnym o charakterze kaskadowym. Lokalnemu
naprężeniu stycznemu τ towarzyszy odkształcenie γ będące miarą rekonfiguracji sieci
krystalicznej wzdłuż płaszczyzn poślizgu. Wyrażenie opisujące ewolucję gęstości dyslokacji:
dρ dρ
dρ
; dρ = 1 ; dρ = −k ρ
=
+
(23)
dγ
dγ
+
dγ
dγ
−
+
λb
dγ
a
−
zawiera składowe kreacji (+) i anihilacji (-) dyslokacji. Średnia swobodna droga dyslokacji wynosi:
1
1
= + k1 ρ + k2 B
(24)
λ d
gdzie d jest średnim rozmiarem ziarna, k1, k2 są stałymi materiałowymi, zaś b oznacza długość
wektora Burgersa. Zakładając następujące relacje między mikroskopowymi i mezoskopowymi
wielkościami:
σ = Mτ ; γ = Mε
(25)
gdzie M jest współczynnikiem Taylora oraz przyjmując, iż ε ≈ ε p a także przywołując (14):
p
B = FLC (ε p − ε LC
)
(26)
otrzymujemy następujące wyrażenie na ewolucję gęstości dyslokacji:
dρ
k
1 k
p
= M  + 1 ρ + 2 FLC (ε p − ε LC
) − ka ρ 
(27)
dε p
b
 db b

Średnie naprężenie styczne w sieci krystalicznej można wyrazić za pomocą:
τ = τ 0 + µαb ρ
(28)
gdzie τ 0 odpowiada za tarcie wewnętrzne zaś µ
jest modułem ścinania a α jest
współczynnikiem interakcji między dyslokacjami. Naprężenie styczne w czole spiętrzenia
dyslokacji jest funkcją kwadratową średniej wartości naprężenia stycznego w sieci:
τe =
π (1 −ν ) 2
λτ
µb
(29)
Średnia droga swobodna dyslokacji może być tu interpretowana jako odległość od źródła do bariery.
Dla kolektywnego procesu kaskadowego postulujemy:
; τ e ≥ τ cr ; B ≥ Bcr
F (B,τ e ) = Fcr
(30)
gdzie F jest pewną funkcją objętościowej zawartości barier oraz naprężenia stycznego w spiętrzeniu.
Najprostsza forma krzywej granicznej określającej stan krytyczny dla procesu kolektywnego:
a
τe
B
+b
= 1 ; a = a(T ) ; b = b(T )
τ cr
Bcr
(31)
ma charakter liniowy i pozwala efektywnie określić obciążenie przy którym następuje utrata
stateczności materiału w sensie Drucker’a.
5.2.
Opis konstytutywny przemiany fazowej typu γ→α’ (obszar II)
Model konstytutywny opisujący przemianę fazową typu γ→α’ jest oparty na klasycznej teorii
ciągłego płynięcia plastycznego (obszar II) przy założeniu małych odkształceń. Podstawowe równanie
konstytutywne w postaci:
(
σ = E : ε − ε p − ε th − ξ ε bs
)
(32)
zawiera składową ε , która odpowiada za wtórne odkształcenie generowane przez nową fazę
(materiały typu TRIP). Powierzchnia plastyczności ma postać:
f y (σ , X , R ) = J 2 (σ − X ) − σ y − R ; J 2 (σ − X ) = 3 (s − X ): (s − X )
(33)
bs
2
gdzie
tensory s, X
oznaczają odpowiednio dewiator naprężeń oraz środek powierzchni
plastyczności zaś σ y , R oznaczają granicę plastyczności i parametr wzmocnienia
izotropowego. Dla kontinuum dwu-fazowego założono stowarzyszone prawo płynięcia:
p
dε =
∂f y
∂σ
dλ
oraz model wzmocnienia mieszanego w postaci:
(34)
2
2
p
p
C (ξ )d ε + G (ξ )d ε = g (ξ )dε p ; dR = f (ξ )dp
(35)
3
3
Ewolucja środka powierzchni plastyczności wynika z oddziaływania poruszających się w sieci
krystalicznej dyslokacji z inkluzjami nowej sprężystej fazy α’:
2
2
2
p
p
p
d X a = d X a 0 + d X aξ = C0 d ε + C0 hξd ε = C (ξ ) d ε
(36)
3
3
3
Drugim elementem wpływającym na umocnienie materiału jest wypadkowa sztywność kontinuum
dwu-fazowego wyrażona aktualnym zlinearyzowanym modułem stycznym [3], który otrzymuje się
poprzez zastosowanie schematu homogenizacji typu Mori-Tanaka:
E H = E MT = 3k MT J + 2µ MT K
(37)
d X = d X a + d X a+m =
przy czym moduły sztywności fazy austenitycznej i martenzytycznej mają postać:
Eta = 3k ta J + 2 µ ta K ; E m = 3k m J + 2 µ m K
(38)
Przyrost naprężenia wynikający z nadwyżkowej zmiany sztywności kontinuum wynosi:
p
∆σ = 2(µ MT − µta )∆ε
(39)
a stosowny ruch środka powierzchni plastyczności jest opisany przez:
p
d X a + m = 2(µ MT − µ ta )d ε
(40)
Ewolucja parametru wzmocnienia izotropowego wyraża się następującym prawem asymptotycznym:
dR = (R∞ (ξ ) − R )dp ; R∞ (ξ ) = 2(µ MT − µta )
(41)
Po wprowadzeniu parametru Bauschingera β oraz funkcji korekcyjnej b(ξ ) = 1 − ξ ostateczna
postać równań opisujących wzmocnienie mieszane przedstawia się następująco:
2
2
p
p
C X d ε = [C (ξ ) + 3βb(ξ )(µ MT − µta )]d ε
3
3
dR = C R dp = b (ξ )(1 − β )(R ∞ (ξ ) − R )dp
dX =
(42)
(43)
Pomimo założenia małych odkształceń model może być stosowany nawet w zakresie odkształceń 0.2
– 0.3.
5.3.
Opis konstytutywny ewolucji mikro-uszkodzeń (obszary I, II, III)
Założenie modelu anizotropowego ewolucji uszkodzeń wymaga przyjęcia stosownej zasady
równoważności odkształceń wyrażonej związkiem:
σ~ = E : ε e
(44)
przy czym tensor efektywnych naprężeń ma postać:
σ~ = M −1 : σ ; σ = M : σ~
(45)
a symetryczny tensor wpływu uszkodzenia przedstawia się następująco:
M ijkl =
1
(δ ik δ jl + δ ilδ jk ) − 1 (Dikδ jl + Dilδ jk + δ ik D jl + δ il D jk )
2
4
(46)
Funkcjonał energii swobodnej Helmholtza ma zatem postać:
Ψ=
1 1 e
e
 ε : M : E : ε  + Ψp

ρ 2
a siła termodynamiczna jest związana z tensorem uszkodzenia prawem:
∂Ψ ; Y = 1 ε e E : ε e + E : ε e ε e
Y = −ρ
∂D
4
[( )( )]
(47)
(48)
Postulując potencjał dyssypacji w postaci:
1
T
ΦD = C Y C : Y
2
(
)
(~s − X~ ): L : (~s − X~ )
(~s − X~ ): (~s − X~ )
; L(D ) = M −1 (D )M −1 (D )
i wyznaczając na tej podstawie szybkość ewolucji uszkodzeń, otrzymujemy:
∂Φ D
T
D& = λ&
= C Y C p& p > pD
∂Y
(49)
(50)
Podstawowe równanie konstytutywne z uwzględnieniem tensora naprężeń efektywnych ma postać:
σ~ = E : ε − ε p − ε th − ξ ε bs
(51)
(
)
zaś równanie powierzchni plastyczności i stowarzyszone prawo płynięcia dają się zapisać jako:
~ ~
~
~
f y σ~ , X , R = J 2 σ~ − X − σ y − R
(
)
(
)
;
p
dε =
~ ~
∂f y σ~ , X , R
dλ
∂σ~
(
)
(52)
Zmienne efektywne wzmocnienia plastycznego wyrażają się związkami:
~
~
−1
X = M : X ; R = R/ (1 − D:D )
(53)
a modele wzmocnienia uwzględniające przemianę fazową mają postać:
~
2
~ 2
p
p
; dR = C R dp = f (ξ )dp
d X = C X d ε = g (ξ )d ε
(54)
3
3
6. WNIOSKI
Przedstawione powyżej modele odzwierciedlają trzy podstawowe mechanizmy fizyczne
zachodzące w bardzo niskich temperaturach, których efektem może być uszkodzenie lub zniszczenie
konstrukcji kriogenicznych. Model nieciągłego płynięcia plastycznego opisuje zjawiska kolektywnego
ruchu dyslokacji w sieci krystalicznej nisko-wzbudzonej i jest oparty na koncepcji stanu granicznego,
którego osiągniecie uruchamia mechanizmy kaskadowe. Pozostałe dwa modele opisują zmianę
struktury materiału poprzez wywołane odkształceniem plastycznym zjawiska przemiany fazowej i
ewolucji mikro-uszkodzeń. Modele te znalazły zastosowanie w projektowaniu konstrukcji pracujących
w ekstremalnie niskich temperaturach (magnesy nadprzewodzące, linie kriogeniczne).
Podziękowania
Przedstawione wyżej badania zostały wykonane w ramach projektu badawczego PB 4 T07A 027 30.
Bibliografia
[1] Obst, B., Nyilas, A.: Experimental evidence on the dislocation mechanism of serrated yielding in
f.c.c. metals and alloys at low temperatures. Mat. Science and Engrg., A137: 141-150, 1991.
[2] Olson, G.B., Cohen, M.: Kinetics of strain-induced martensitic nucleation, Metallurgical
transactions, 6A: 791-795, 1975.
[3] Garion, C., Skoczeń B.: Modeling of plastic strain induced martensitic transformation for
cryogenic applications. Journ. of Applied Mechanics, 69, 6: 755-762, 2002.
[4] Garion, C., Skoczeń, B.: Combined model of strain-induced phase transformation and orthotropic
damage in ductile materials at cryogenic temperatures. Int. Journ. of Damage Mechanics, 12, 4:
331-356, 2003.
[5] Chaboche, J. L.: Continuum damage mechanics: Part I - General concepts. Journal of Applied
Mechanics, 55: 59-64, 1988.
[6] Lemaitre, J.: A course on damage mechanics. Springer-Verlag, Berlin and New York, 1992.
[7] Skoczeń, B.: Compensation systems for low temperature applications. Springer-Verlag, Berlin,
Heidelberg, New York, 2004.
[8] Murakami, S.: A continuum mechanics theory of anisotropic damage. In : Yielding, damage, and
failure of anisotropic solids, Proceedings of the IUTAM/ICM symposium, EGF 5: 465-482,
1990.
Summary in English FCC metals and alloys undergo at very low temperatures three phenomena:
dynamic strain ageing (DSA), plastic strain induced transformation from the parent phase ( γ ) to the
secondary phase ( α ' ) and evolution of micro-damage. The constitutive model presented in the paper is
the first to take into account all three phenomena as well as the relevant thermodynamic background.