Zamiana zmiennych w całce podwójnej. Współrzędne biegunowe.

Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr¦cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia,
wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa.
Wykªad 8. Zamiana zmiennych w caªkach podwójnych. Wspóªrz¦dne biegunowe.
Jakobian. Zamiana zmiennych
Je±li obszar nie jest normalny, to cz¦sto mo»na sprowadzi¢ go do normalnego odpowiednim pod-
x = x(u, v), y = y(u, v) i zachodzi
ZZ
f (x(u, v), y(u, v)) |J(u, v)| dudv,
f (x, y) dxdy =
stawieniem. Podstawienie jest postaci
ZZ
D0
D
gdzie
D0
jest obszarem w nowych zmiennych
u, v ,
za±
|J(u, v)|
jest moduªem
jakobianu,
czyli
wyznacznika macierzy pochodnych cz¡stkowych:
∂x
(u, v)
∂u
J(u, v) = ∂y
(u, v)
∂u
∂x
(u, v) ∂v
∂y
(u, v) ∂v
Twierdzenie Je±li
•
odwzorowanie
(x, y) 7→ (x(u, v), y(u, v))
szaru regularnego
•
pochodne cz¡stkowe
obszar
• f
•
D
D
0
na wn¦trze obszaru regularnego
∂x ∂x ∂y ∂y
,
,
,
∂u ∂v ∂u ∂v
D
s¡ ci¡gªe na pewnym zbiorze otwartym zawieraj¡cym
D,
J(u, v)
to
jest ró»ny od zera wewn¡trz obszaru
ZZ
D0 ,
ZZ
f (x(u, v), y(u, v)) · |J(u, v)|du dv.
f (x, y) dxdy =
D0
D
Przykªad
przeksztaªca wzajemnie jednoznacznie wn¦trze ob-
,
jest ci¡gªa na
jakobian
0
ZZ
(x + y) dxdy
Obliczy¢ caªk¦
po obszarze
D
D : 2 ≤ 2x + y ≤ 3, −1 ≤ x − y ≤ 1.
Narzucaj¡cym si¦ podstawieniem jest
uiv
2x+y = u, x−y = v . Wówczas bowiem w nowych zmiennych
obszar b¦dzie normalny, a nawet b¦dzie prostok¡tem
D0 : 2 ≤ u ≤ 3, −1 ≤ v ≤ 1.
1
Musimy jeszcze obliczy¢ jakobian. W tym celu ªatwo wyznaczamy, »e
x=
u+v
3
oraz
y=
u − 2v
,
3
a st¡d
1 ∂x
1 ∂y
1 ∂y
−2
∂x
= ,
= ,
= ,
=
,
∂u
3 ∂v
3 ∂u
3 ∂v
3
zatem jakobian wynosi
1
3
J(u, v) = 1
3
1
3
1
=−
3
−2 3
Nasza caªka jest wi¦c równa
ZZ ZZ
(x+y) dxdy =
u + v u − 2v
+
3
3
ZZ
|J(u, v)| dudv =
D0
D
2u − v 1
1
· dudv =
3
3
9
D0
Z3


2

Z1
(2u − v) dv  du.
−1
Wspóªrz¦dne biegunowe w caªkach podwójnych.
Jedn¡ z najbardziej typowych zmian zmiennych jest przej±cie do wspóªrz¦dnych biegunowych.
Denicja
Poªo»enie punktu
• ϕ
P
na pªaszczy¹nie mo»na opisa¢ par¡ liczb
oznacza miar¦ k¡ta mi¦dzy dodatni¡ cz¦±ci¡ osi
(mo»na przyj¡¢
• %
0 ≤ ϕ < 2π
oznacza odlegªo±¢ punktu
Par¦ liczb
(ϕ, %)
nazywamy
lub
P
0x
(ϕ, %),
gdzie:
a promieniem wodz¡cym punktu
P
−π ≤ ϕ < π ),
od pocz¡tku ukªadu wspóªrz¦dnych (0
wspóªrz¦dnymi biegunowymi
≤ % < ∞).
punktu pªaszczyzny.
Fakt
Wspóªrz¦dne kartezja«skie
(x, y) punktu pªaszczyzny danego we wspóªrz¦dnych biegunowych (ϕ, %)
okre±lone s¡ wzorami
(
B:
Przeksztaªcenie
x = % cos ϕ,
y = % sin ϕ.
B , które ka»demu punktowi (ϕ, %) przyporz¡dkowuje punkt (x, y) okre±lony powy»-
szymi wzorami, nazywamy
przeksztaªceniem biegunowym
JB (ϕ, %) = %.
2
a jakobian przeksztaªcenia biegunowego
Uwaga
Wspóªrz¦dne biegunowe stosujemy wtedy, gdy obszar po którym caªkujemy jest w jaki±
sposób okr¡gªy (koªo, pier±cie«, wycinek koªa itp.)
Twierdzenie (wspóªrz¦dne biegunowe w caªce podwójnej).
Niech obszar
D0
we wspóªrz¦dnych biegunowych b¦dzie obszarem regularnym i niech funkcja
b¦dzie ci¡gªa na obszarze
tzn.
0
D = B(D ).
D,
który jest obrazem obszaru
D
0
przy przeksztaªceniu biegunowym,
Wtedy
ZZ
ZZ
f (x, y) dxdy =
f (% cos ϕ, % sin ϕ)% d%dϕ.
D0
D
Przykªady Obliczy¢ caªki, wprowadzaj¡c wspóªrz¦dne biegunowe:
ZZ
2
e−(x
+y 2 )
dx dy,
D : x2 + y 2 = 2,
D
ZZ
y dx dy,
D : x2 + y 2 = 4, x2 + y 2 = 1, y = x, y = 0
D
ZZ
x dx dy,
D : x2 + (y − 1)2 = 1, x ≥ y.
D
3
f