Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych

Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych
Z. Šagodowski
Politechnika Lubelska
5 czerwca 2016
Z. Šagodowski
Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych
Caªka iterowana podwójna
Denicja
Je»eli funkcja f jest ci¡gªa na prostok¡cie
P = {(x, y ) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}
to
ZZ
Z
b
d
Z
f (x, y )dy dx
f (x, y )dxdy =
a
P
oraz
ZZ
Z
c
d
Z
f (x, y )dxdy =
b
f (x, y )dx dy
c
P
a
Caªki wyst¦puj¡ce po prawych stronach powy»szych równo±ci
nazywamy caªkami iterowanymi
Z. Šagodowski
Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych
Caªka iterowana z funkcji jednorodnej
Twierdzenie
f (x, y ) = g (x)h(y ) gdzie funkcje g i h
odpowiednio na przedziaªach < a, b > i < c, d > to
Z b
Z d
f (x, y )dxdy =
g (x)dx
f (y )dy .
Je»eli f jest funkcj¡ postaci
s¡ caªkowalne
ZZ
a
<a,b>×<c,d>
Z. Šagodowski
c
Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych
Denicja caªki podwójnej po dowolnym obszarze
ograniczonym.
Denicja
Niech f b¦dzie okre±lona i ograniczona na obszarze ograniczonym
D ⊂ R2 oraz niech P b¦dzie dowolnym prostok¡tem,
D ⊂ P . Okre±lmy funkcj¦
f (x, y ), (x, y ) ∈ D
∗
f (x, y ) =
0,
(x, y ) ∈ P\D
Niech funkcja
f∗
b¦dzie caªkowalna na prostok¡cie P.
funkcji f po obszrze D
takim »e
Caªk¦ z
okreslamy nast¦puj¡cym wzorem:
ZZ
ZZ
f (x, y )dxdy =
D
f ∗ (x, y )dxdy
P
Z. Šagodowski
Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych
Denicja obszaru normalnego
Denicja
Obszar domkni¦ty
D = {(x, y ) : a ≤ x ≤ b, ϕ(x) ≤ y ≤ ψ(x)}
gdzie funkcje
ϕ(x) i ψ(x)
s¡ ci¡gªe na przedziale
< a, b >
nazywamy obszarem normalnym wzgl¦dem OX.
Obszar domkni¦ty
D = {(x, y ) : c ≤ y ≤ d, α(y ) ≤ x ≤ β(y )}
gdzie funkcje
α(y ) i β(y )
s¡ ci¡gªe na przedziale
< c, d >
nazywamy obszarem normalnym wzgl¦dem OY.
Z. Šagodowski
Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych
Caªka podwójna po obszarze normalnym
Twierdzenie
Je»eli funkcja f jest ci¡gªa w obszarze domkni¦tym
D = {(x, y ) : a ≤ x ≤ b, ϕ(x) ≤ y ≤ ψ(x)}
normalnym wzgl¦dem Ox, to
ZZ
b
Z
"Z
ψ(x)
#
f (x, y )dy dx
f (x, y )dxdy =
ϕ(x)
a
D
Je»eli funkcja f jest ci¡gªa w obszarze domkni¦tym
D = {(x, y ) : c ≤ y ≤ d, α(y ) ≤ x ≤ β(y )}
normalnym wzgl¦dem Oy, to
ZZ
Z
f (x, y )dxdy =
Z. Šagodowski
d
"Z
β(y )
#
f (x, y )dx dy
funkcji wielu zmiennych
c Rachunek
α(ycaªkowy
)
Denicja obszaru regularnego, caªka po obszarze regularnym
Denicja
Je»eli obszar D jest sum¡ sko«czonej ilo±ci obszarów normalnych
wzgl¦dem OX lub OY o rozª¡cznych wn¦trzach to obszar D
nazywamy obszarem regularnym.
Twierdzenie
Je»eli D jest obszarem regularnym
D1 , D2 , .., Dn
D = D1 ∪ D2 ∪ ... ∪ Dn ,
a
s¡ obszarami normalnymi wzgl¦dem OX lub OY o
rozª¡cznych wn¦trzach to dowolna funkcja f ci¡gªa w obszarze D
jest caªkowalna oraz
ZZ
ZZ
f (x, y )dxdy =
D
ZZ
f (x, y )dxdy + ... +
D1
Z. Šagodowski
f (x, y )dxdy .
Dn
Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych
Przeksztaªcenie obszaru
Denicja
Niech
∆
i D b¦d¡ obszarami odpowiednio na pªaszczyznach
Oxy . Przeksztaªceniem obszaru ∆
T : ∆ → D okre±lon¡ wzorem
w obszra D nazywamy funkcj¦
(x, y ) = T (u, v ) = (φ(u, v ), ψ(u, v )) ,
Obrazem zbioru
∆
Ouv
gdzie
(u, v ) ∈ ∆.
przy przeksztaªceniu T nazywamy zbiór
T (∆) = {(x, y ) : x = φ(u, v ), y = ψ(u, v ), (u, v ) ∈ ∆}.
Z. Šagodowski
Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych
i
Wªasno±ci przeksztaªce«
Przeksztaªcenie T nazywamy:
ci¡gªym - je»eli funkcje φ i ψ sa ci¡gªe na obszarze ∆
Ró»nowarto±ciowym - je»eli ró»nym punktom obszaru ∆
odpowiadaj¡ ró»ne punkty jego obrazu D.
Z. Šagodowski
Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych
Twierdzenie
Niech
przeksztaªcenie
x = φ(u, v )
y = ψ(u, v )
T :
odwzorowuje
ró»nowarto±ciowo wn¦trze obszaru regularnego
obszaru regularnego
funkcje
φiψ
∆
na wn¦trze
D
maj¡ ci¡gªe pochodne cz¡stkowe rz¦du
pierwszego na pewnym zbiorze otwartym zawieraj¡cym obszar
∆
funkcja f jest ci¡gªa na obszarze D
jakobian przeksztaªcenia tj.
JT = det jest ró»ny od zera wewn¡trz obszaru
∂φ
∂u (u, v )
∂ψ
∂u (u, v )
∂φ
∂v (u, v )
∂ψ
∂v (u, v )
∆.
Wtedy
ZZ
ZZ
f (φ(u, v ), ψ(u, v )) |JT |dudv .
f (x, y )dxdy =
D
∆
Z. Šagodowski
Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych
Ukªad biegunowy
Poªo»enie punktu P na pªaszczy¹nie mo»na opisa¢ par¡ liczb (ϕ, %),
gdzie:
ϕ oznacza miar¦ kata mi¦dzy dodatni¡ cz¦±ci¡ osi Ox a
promieniem wodz¡cym punktu P, 0 ≤ ϕ ≤ 2π
% oznacza odlegªo±¢ punktu P od pocz¡tku ukªadu
wspóªrz¦dnych, 0 ≤ % < ∞
Par¦ liczb (ϕ, %), nazywamy wspóªrz¦dnymi biegunowymi punktu
pªaszczyzny.
Wspóªrz¦dne kartezja«skie (x, y ) punktu pªaszczyzny dane we
wspóªrz¦dnych
biegunowych (ϕ, %) okre±lone s¡ wzorami:
x = % cos ϕ
B:
y = % sin ϕ
Jest to tzw przeksztaªcenie biegunowe.
Z. Šagodowski
Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych
Zamiana zmiennych na wspóªrz¦dne biegunowe
Twierdzenie
Niech
∆
obszar
we wspóªrz¦dnych biegunowych b¦dzie regularny
funkcja f b¦dzie ci¡gªa na obszarze D, który jest obrazem
zbioru
∆
przy przeksztaªceniu biegunowym:
D = B(∆)
Wtedy
ZZ
ZZ
f (x, y )dxdy =
D
f (% cos ϕ, % sin ϕ) %d%dϕ.
∆
Uwaga
Wspóªrz¦dne biegunowe stosujemy wtedy gdy obszar caªkowania
jest ograniczony ªukami okr¦gu o ±rodku w pocz¡tku ukªadu oraz
odcinkami prostych przechodz¡cymi przez pocz¡tek ukªadu
Z. Šagodowski
Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych
Zastosowanie caªki podwójnej w geometrii
Pole obszaru regularnego D ⊂ R 2 wyra»a si¦ wzorem
ZZ
|D| =
dxdy
D
Obj¦to±¢ bryªy poªo»onej nad obszarem regularnym D ⊂ R 2 i
ograniczonej z doªu i z góry odpowiednio wykresami
(powierzchniami) funkcji ci¡gªych z = f (x, y ) i z = g (x, y )
wyra»a si¦ wzorem
ZZ
|V | =
[g (x, y ) − f (x, y )]dxdy
D
Z. Šagodowski
Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych
Zastosowanie caªki podwójnej w geometrii
Pole pªata Σ, który jest wykresem funkcji z = f (x, y ) gdzie
(x, y ) ∈ D wyra»a si¦ wzorem:
s
2 2
ZZ
∂f
∂f
+
dxdy
1+
|Σ| =
∂x
∂y
D
Funkcja f ma ci¡gªe pochodne cz¡stkowe pierwszego rz¦du na
obszarze regularnym D.
Z. Šagodowski
Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych
Caªka iterowana potrójna
Denicja
Je»eli funkcja f jest ci¡gªa na prostopadªo±cianie
P = {(x, y , z) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, e ≤ z ≤ f }
to
ZZZ
Z
b
d
Z
Z
f
f (x, y , z)dz dy dx,
f (x, y , z)dxdydz =
a
P
c
e
kolejno±¢ caªkowania po prostopadªo±cianie mo»e by¢ dowolna, np.
ZZZ
Z
f
d
Z
Z
f (x, y , z)dxdydz =
P
b
f (x, y , z)dx dy dz,
e
c
a
Caªki wyst¦puj¡ce po prawych stronach powy»szych równo±ci
nazywamy caªkami iterowanymi
Z. Šagodowski
Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych
Caªka potrójna na dowolnym obszarze ograniczonym.
Denicja
Niech f b¦dzie okre±lona i ograniczona na obszarze ograniczonym
G ⊂ R3 oraz niech P b¦dzie dowolnym prostopadªo±cianem,
»e G ⊂ P . Okre±lmy funkcj¦
f (x, y , z), (x, y , z) ∈ G
∗
f (x, y , z) =
0,
(x, y , z) ∈ P\G
Niech funkcja
f∗
b¦dzie caªkowalna na prostopadªo±cianie P.
z funkcji f po obszrze G
takim
Caªk¦
okre±lamy nast¦puj¡cym wzorem:
ZZZ
ZZ
f (x, y , z)dxdydz =
G
f ∗ (x, y , z)dxdydz
P
Z. Šagodowski
Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych
Caªka potrójna po obszarze normalnym
Twierdzenie
Je»eli funkcja f jest ci¡gªa w obszarze domkni¦tym
G = {(x, y , z) : (x, y ) ∈ D, h(x, y ) ≤ z ≤ g (x, y )},
gdzie obszar
D ⊂ R2
jest normalnym wzgl¦dem Ox lub Oy, to
Z Z "Z
ZZZ
g (x,y )
f (x, y , z)dxdydz =
G
#
f (x, y , z)dz dxdy .
D
Z. Šagodowski
h(x,y )
Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych
Wspóªrz¦dne sferyczne
Poªo»enie punktu P w R3 mo»na jednoznacznie okre±li¢ trójk¡ liczb
(%, ϕ, θ) gdzie:
% oznacza odlegªo±¢ punktu P od pocz¡tku ukªadu
wspóªrz¦dnych, 0 ≤ % < ∞
ϕ oznacza miar¦ k¡ta mi¦dzy rzutem prostok¡tnym wektora
wodz¡cego na pªaszczyzn¦ XOY a dodatni¡ cz¦±ci¡ osi OX,
0 ≤ ϕ ≤ 2π
θ oznacza miar¦ kata mi¦dzy rzutem promienia wodz¡cego na
pªaszczyzn¦ XOY a promieniem wodz¡cym, − π2 ≤ θ ≤ π2
Trójk¦ liczb (%, ϕ, θ) nazywamy wspóªrz¦dnymi sferycznymi w R3 .
Wspóªrz¦dne kartezja«skie (x, y , z) punktu w R3 dane we
wspóªrz¦dnych
sferycznych (%, ϕ, θ) okre±lone s¡ wzorami:

 x = % cos θ cos ϕ
y = % cos θ sin ϕ
B:

z = % sin θ
Jest to tzw przeksztaªcenie biegunowe.
Z. Šagodowski
Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych
Zamiana zmiennych na wspóªrz¦dne sferyczne
Twierdzenie
Niech
obszar
∆
we wspóªrz¦dnych sferycznych b¦dzie regularny
funkcja f b¦dzie ci¡gªa na obszarze G, który jest obrazem
zbioru
∆
przy przeksztaªceniu biegunowym:
G = B(∆)
Wtedy
ZZZ
ZZZ
f (x, y , z)dxdydz =
G
f (% cos θ cos ϕ, % cos θ sin ϕ, % sin θ) %2 cos θ
∆
Gdzie %2 cos θ jest moduªem jakobianu przeksztaªcenia B.
Z. Šagodowski
Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych