Wstęp

Wstęp
Jednym z głównych celów algebry jest klasyfikacja w obrębie badanej klasy
obiektów, tj. podanie jak najbardziej zwięzłego i wszechstronnego opisu ich struktury i własności. W przypadku teorii reprezentacji algebr obiektami tymi są algebry posiadające określoną własność ze względu na stopień komplikacji kategorii
modułów (reprezentacji), a przypadku ustalonej algebry obiektami tymi są moduły nierozkładalne.
W pracy tej będziemy zajmować się pewną klasyczną i historycznie ważną
klasą algebr, zwanych specjalnymi algebrami biseryjnymi (pewna dość szczególna
klasa ilorazów algebr dróg kołczanów). Podamy warunek konieczny i wystarczający na to, by taka algebra była algebrą skończonego typu reprezentacyjnego oraz
w tym przypadku podamy pełną klasyfikację jej nierozkładalnych reprezentacji.
Dzięki znajomości precyzyjnego opisu modułów nierozkładalnych teoretycznie
możliwe będzie poznanie struktury wszystkich skończenie wymiarowych reprezentacji specjalnych algebr biseryjnych skończonego typu, gdyż każda taka reprezentacja rozkłada się w jednoznaczny sposób na skończoną sumę prostą reprezentacji
nierozkładalnych, których jest skończenie wiele. W pracy podejmiemy również
próbę podania efektywnej metody rozkładu reprezentacji badanych algebr na
nierozkładalne, a dokładniej wyznaczania ich form normalnych (tj. kanonicznych
reprezentantów klas izomorfizmów).
Główna część pracy będzie polegała na dokładnym badaniu pewnych szczególnych specjalnych algebr biseryjnych, których kołczan jest drzewem. Pokażemy, że
takie algebry są algebrami skończonego typu reprezentacyjnego oraz na gruncie
kombinatorycznym podamy szczegółowy opis wszystkich reprezentacji nierozkładalnych oraz ciągów Auslandera-Reiten. Wyniki te przeniesiemy za pomocą
narzędzi teorii reprezentacji: techniki nakryć i redukcji cokołowej na przypadek
ogólny. W rezultacie podamy kryterium skończoności typu reprezentacyjnego dla
specjalnych algebr biseryjnych a także klasyfikację wszystkich nierozkładalnych
reprezentacji.
Praca została podzielona na IV rozdziały. Rozdziały I i II tej pracy to przypomnienie niezbędnych pojęć i faktów teorii reprezentacji oraz ustalenie terminologii i jednolitych oznaczeń potrzebnych w dalszej części. Klasyczne fakty w
Rozdziale I podane są w większości przypadków bez szczegółowego uzasadnienia,
z uwagi na to, że można je znaleźć w ogólnie dostępnej literaturze. Rozdział II
to naszkicowanie i przegląd głównych rezultatów teorii Auslandera-Reiten, której
silne narzędzia wykorzystamy do dowodzenia twierdzeń dotyczących klasyfikacji
reprezentacji nierozkładalnych.
Rozdział III to właściwa część pracy, tam udowodnimy lub naszkicujemy
fakty potrzebne do uzyskania wyżej opisanych rezultatów. Większą część tego
rozdziału zajmują rozważania natury kombinatorycznej związane z zagadnieniami
1
dróg w kołczanach oraz konstruowania ciągów Auslandera-Reiten w kategorii reprezentacji specjalnych drzew biseryjnych. Celem tych rozważań jest uzyskanie
klasyfikacji nierozkładalnych reprezentacji specjalnych drzew biseryjnych, którą
potem uogólnimy i wykorzystamy do udowodnienia głównego twierdzenia pracy,
którym zakończymy ten rozdział.
W rozdziale IV przedstawimy zarys ogólnej metody rozkładu reprezentacji algebr skończonego typu na nierozkładalne i pokażemy szczegółowo, jak wykorzystać ją w przypadku reprezentacji specjalnych drzew biseryjnych. Wskażemy także
kilka metod optymalizacji rachunków i rozdział ten zakończymy przedstawieniem
konkretnego algorytmu.
2
I. Algebry i reprezentacje - podstawowe pojęcia
i własności
1. Wprowadzenie
W pracy tej będziemy zakładali znajomość podstawowych pojęć z zakresu
kursowego wykładu algebry (pojęcia pierścienia, ideału, pierścienia ilorazowego, przestrzeni liniowej) oraz podstaw teorii kategorii. W niniejszym rozdziale
przypomnimy podstawowe pojęcia i fakty teorii reprezentacji algebr. Większość
dowodów będzie pomijana, w mniej oczywistych przypadkach będzie podany
odsyłacz do literatury lub najczęściej zwięzły dowód.
1.1. Definicja. Niech k będzie ciałem. Wówczas k-algebrą nazywamy pierścień z jedynką A, którego grupa addytywna wyposażona jest w strukturę przestrzeni liniowej zadaną przy pomocy działania · : k×A → A spełniającego warunek
λ · (a ∗ b) = a ∗ (λ · b) = (λ · a) ∗ b
dla wszystkich λ ∈ k oraz a, b ∈ A. Znak ∗ oznacza mnożenie w pierścieniu A.
Algebrę, w której wszystkie elementy są odwracalne, to znaczy dla każdego
a ∈ A istnieje element b ∈ A (oznaczany a−1 ) taki, że a∗b = b∗a = 1A , nazywamy
k-algebrą podzielną.
Mówimy, że B jest podalgebrą algebry A, jeśli B jest równocześnie podprzestrzenią liniową i podpierścieniem A.
Odwzorowanie f : A → B pomiędzy algebrami A i B nazywamy homomorfizmem algebr jeśli f jest k-liniowym homomorfizmem pierścieni. Jeśli dodatkowo
f jest różnowartościowy, jest nazywany monomorfizmem, natomiast jeśli f jest
funkcją ”na”, nazywamy go epimorfizmem. Bijektywny homomorfizm f : A → B
nazywamy izomorfizmem i mówimy, że algebry A i B są izomorficzne (oznaczenie:
A ' B).
W dalszym ciągu będziemy opuszczać znaki ·, ∗. Będziemy zakładać najczęściej, że rozważane algebry są skończenie wymiarowe (jako przestrzenie liniowe),
a ciało k algebraicznie domknięte.
Uwaga. (i) Z każdą algebrą A możemy stowarzyszyć algebrę dualną oznaczaną Aop , której nośnik pozostaje ten sam, a mnożenie ∗op : A × A → A jest
określone następująco
a ∗op b = b ∗ a
Mnożenie przez skalar · : k × A → A pozostaje bez zmian. Jeśli algebra jest
przemienna, to Aop = A.
(ii) Jeśli I jest ideałem lewostronnym w algebrze A (jako pierścieniu), to
jest również k-podprzestrzenią A. Jeśli I jest ideałem dwustronnym (nazywanym
3
dalej ideałem) algebry, to pierścień ilorazowy A/I z mnożeniem przez elementy
ciała
λ(a + I) = λa + I
dla wszystkich λ ∈ k oraz a ∈ A jest algebrą zwaną algebrą ilorazową.
(iii) Łatwo sprawdzić, że obraz homomorfizmu algebr f : A → B oznaczany
Im f jest podalgebrą algebry B, a jądro f (przeciwobraz 0 algebry B) oznaczany
Ker f jest ideałem algebry A.
(iv) Jeśli A1 , A2 , . . . , An dla n > 0 są algebrami, to zbiór A1 × A2 × · · · × An
jest algebrą z dodawaniem i mnożeniem po współrzędnych.
Przypomnimy teraz dobrze znaną własność dotyczącą zadawania homomorfizmów algebrowych, której konsekwencją jest twierdzenie o izomorfiźmie dla algebr.
Lemat. Niech A, B1 , B2 będą k-algebrami, ϕ1 : A → B1 , ϕ2 : A → B2
będą homomorfizmami algebr. Załóżmy, że Ker ϕ1 zawiera się w Ker ϕ2 oraz ϕ1
jest ”na”. Wówczas istnieje dokładnie jeden homomorfizm ϕ : B1 → B2 taki, że
Im ϕ = Im ϕ2 , Ker ϕ = ϕ1 (Ker ϕ2 ) oraz ϕ2 = ϕ ◦ ϕ1 .
Dowód. Lemat ten dowodzi się stosując podobne argumenty jak przy dowodzeniu analogicznej własności dla pierścieni.
Wniosek (twierdzenie o izomorfiźmie). Niech ψ : A → B będzie homomorfizmem algebr. Wówczas Im ψ ' A/Ker ψ.
1.2. Definicja. Radykałem Jacobsona algebry A nazywamy przekrój wszystkich maksymalnych ideałów prawostronnych algebry A (oznaczenie J(A) lub
rad A).
Ideał I algebry A nazywamy nilpotentnym jeśli istnieje liczba dodatnia m
taka, że I m = 0, gdzie
I
m
={
n
X
xi1 xi2 · · · xim : n ∈ N, xi1 , xi2 , . . . , xim ∈ I}
i=1
Lemat. Niech A bedzie dowolną k-algebrą. Wówczas
(i) rad A jest przekrojem wszystkich maksymalnych ideałów lewostronnych algebry A, zatem jest ideałem dwustronnym.
(ii) Jeśli I jest ideałem algebry A zawartym w rad A, to rad (A/I) = (rad A)/I.
(iii) rad A jest ideałem nilpotentnym i każdy nilpotentny ideał jest zawarty w
rad A.
(iv) Dla nilpotentnego ideału I, A/I ' Mm1 (F1 ) × Mm2 (F2 ) × · · · × Mmn (Fn ),
gdzie n, m1 , m2 , . . . , mn ∈ N, zaś Mmi (Fi ) jest algebrą mi × mi -macierzy o współczynnikach w pewnej k-algebrze podzielnej Fi (np., jeśli A/I ' k × k × · · · × k),
wtedy i tylko wtedy, gdy I = rad A.
Dowód. Patrz [4].
4
Przykład. Rozważmy algebrę Tn (k) macierzy dolnotrójkątnych wymiaru
n × n nad k. Wówczas zbiór J := {[aij ] ∈ Tn (k) : aij = 0, j ≥ i} jest radykałem
algebry Tn (k). Istotnie, łatwo widać, że J jest nilpotentnym ideałem algebry
Tn (k), a algebra ilorazowa Q
Tn (k)/J ' Dn (k) := {[aij ] ∈ Tn (k) : aij = 0, j 6= i}
jest izomorficzna z algebrą ni=1 k, co na mocy powyższego lematu implikuje, że
rad Tn (k) = J.
1.3. Definicja. Niech A będzie dowolną k-algebrą. Wówczas lewostronnym
A-modułem nazywamy parę M = (M, ·), gdzie M jest k-liniową przestrzenią, a
· : A × M → M dwuliniowym działaniem spełniającym warunki
(ab) · m = a(b · m)
1A · m = m
dla dowolnych a, b ∈ A oraz m ∈ M .
Jeśli · : M × A → M jest dwuliniowym działaniem spełniającym warunki
m · (ab) = (m · a)b
m · 1A = m
dla dowolnych a, b ∈ A oraz m ∈ M , to parę M = (M, ·) nazywamy A-modułem
prawostronnym.
Jeśli M = (M, ·) jest lewostronnym A-modułem, a N jest podprzestrzenią
przestrzeni M zamkniętą ze względu na mnożenie przez elementy algebry, to
N = (N, ·|A×N ) nazywamy lewostronnym podmodułem modułu M . Analogicznie
definiujemy podmoduły prawostronne.
Odwzorowanie k-liniowe f : M → N pomiędzy lewostronnymi (odpowiednio prawostronnymi) A-modułami nazywamy A-liniowym lub homomorfizmem
lewostronnych (odpowiednio prawostronnych) A-modułów, o ile dla dowolnych
elementów a ∈ A i m ∈ M zachodzi f (am) = af (m) (odpowiednio f (ma) =
f (m)a). Homomorfizm f : M → M nazywamy endomorfizmem. Homomorfizm różnowartościowy jest nazywany monomorfizmem, homomorfizm ”na” jest
nazywany epimorfizmem. Jeśli homomorfizm f : M → N jest bijekcją, to jest
nazywany izomorfizmem, a o modułach M, N mówimy, że są izomorficzne i oznaczamy M ' N . Bijektywny endomorfizm nazywamy automorfizmem.
Oznaczenia. Zbiór wszystkich homomorfizmów lewostronnych (odpowiednio
prawostronnych) A-modułów M, N oznaczamy HomA (M, N ), natomiast zbiór endomorfizmów modułu M oznaczamy EndA (M ), zaś zbiór automorfizmów oznaczamy AutA (M ).
Umowa. W dalszym ciągu, o ile to nie będzie prowadziło do nieporozumień, będziemy używać nazwy A-moduł. Użycie nazwy A-moduły w definicji
5
lub stwierdzeniu będzie oznaczać, że dana definicja bądź stwierdzenie odnosi się
do modułów tej samej stronności, tzn. A-modułów lewostronnych i odpowiednio
prawostronnych. (Podobnie będziemy używać nazwy podmoduły).
Mówimy, że A-moduł lewostronny M jest generowany przezPelementy zbioru
{ms ∈ M }s∈S dla pewnego zbioru indeksów S, o ile M '
s∈S Ams , gdzie
Ams := {ams : a ∈ A}. Zbiór {ms ∈ M }s∈S nazywamy zbiorem generatorów Amodułu M . Analogicznie definiujemy zbiór generatorów modułu prawostronnego.
Mówimy, że A-moduł M jest sumą prostą wewnętrzną swoich podmodułów
M1 , M2 , . . . , Mn , jeśli jest ich sumą prostą wewnętrzną jako swoich podprzestrzeni
liniowych. Sumę prostą zapisujemy w postaci M = M1 ⊕ M2 ⊕ · · · ⊕ Mn . Mówimy,
że podmoduł N A-modułu M jest składnikiem prostym modułu M , o ile istnieje
podmoduł N 0 modułu M taki, że M = N ⊕ N 0 .
A-moduł M nazywamy nierozkładalnym jeśli dla każdych swoich podmodułów
M1 , M2 z tego, że M jest ich sumą prostą wynika, że albo M1 albo M2 jest
podmodułem zerowym. Natomiast moduł M nazywamy prostym, o ile M jest
niezerowy oraz jego jedyne podmoduły to 0 i M .
W dalszym ciągu najczęściej bedziemy opuszczać znak działania ·.
Uwaga. (i) Jeśli A jest algebrą, to para (A, ∗) jest lewostronnym i prawostronnym A-modułem (∗ oznacza mnożenie algebry A) nazywanym modułem
regularnym.
(ii) Podmoduł N A-modułu M jest A-modułem.
(iii) Łatwo sprawdzić wprost z definicji, że dla dowolnych A-modułów M, N
zbiór HomA (M, N ) jest k-przestrzenią z punktowym dodawaniem i mnożeniem
funkcji przez skalar. Natomiast zbiór EndA (M ) jest k-algebrą (ze składaniem
funkcji). Dla dowolnego homomorfizmu A-modułów f : A → M przyporządkowanie f 7→ f (1) wyznacza izomorfizm przestrzeni k-liniowych HomA (A, M ) i
M . Jeśli M = A, to powyższe przyporządkowanie wyznacza izomorfizm algebr
EndA (A) i A.
(iv) Niech N bedzie lewostronnym (odpowiednio prawostronnym) podmodułem modułu M . Wówczas k-przestrzeń ilorazowa M/N = {m + N : m ∈ M } z
mnożeniem przez elementy algebry określonym przez położenie
a(m + N ) = am + N,
odpowiednio (m + N )a = ma + N
dla dowolnego a ∈ A oraz m ∈ M jest lewostronnym (odpowiednio prawostronnym) A-modułem nazywanym modułem ilorazowym.
(v) Niech M = (M, ·) będzie lewostronnym A-modułem. Wówczas możemy
zdefiniować działanie ·op : M × Aop → M kładąc m ·op a = a · m. Proste
sprawdzenie warunków definicji dowodzi, że M op = (M, ·op ) jest Aop -modułem
prawostronnym.
(vi) Rozważa się także sumę prostą zewnętrzną A-modułów M1 , . . . , Mn , którą
zapisujemy również jako M := M1 ⊕ M2 ⊕ · · · ⊕ Mn . Wtedy element takiej sumy
6
to ciąg (m1 , m2 , . . . , mn ), dla mi ∈ Mi dla każdego i = 1, . . . , n. Oczywiście M
jest A-modułem z dodawaniem i mnożeniem przez elementy algebry zadanym po
współrzędnych.
(vii) Zauważmy, że każdy łańcuch podmodułów ustalonego skończenie wymiarowego A-modułu M jest skończony, co implikuje, że każdy niezerowy moduł
skończenie wymiarowy posiada podmoduł prosty.
W monografii [4] czytelnik może znaleźć uzasadnienie następującej własności
modułów nierozkładalnych:
Lemat (Fitting). A-moduł M jest nierozkładalny wtedy i tylko wtedy, gdy
jego algebra endomorfizmów EndA (M ) jest pierścieniem lokalnym.
Podobnie jak dla algebr prawdziwe jest następujące twierdzenie:
Twierdzenie (o izomorfiźmie). Niech ψ : M → N będzie homomorfizmem
A-modułów. Wówczas Im ψ ' M/Ker ψ.
1.4. A-moduł lewostronny M = (M, ·) możemy traktować jako reprezentację
algebry A, to jest jako parę (M, ϕ), gdzie ϕ : A → Endk (M ) jest homomorfizmem
algebr.
Mając dany lewostronny moduł M = (M, ·) konstruujemy odwzorowanie ϕ :
A → Endk (M ) kładąc
ϕ(a)(m) = a · m
dla dowolnego a ∈ A oraz m ∈ M . Łatwo sprawdzić, że przestrzeń liniowa M
wraz z tak zdefiniowanym odwzorowaniem ϕ jest reprezentacją algebry.
Z drugiej strony dla danej reprezentacji (M, ϕ) możemy skonstruować odwzorowanie · : A × M → M kładąc
a · m = ϕ(a)(m)
dla dowolnych a ∈ A oraz m ∈ M . Proste sprawdzenie warunków definicji
pokazuje, że M = (M, ·) jest lewostronnym A-modułem.
Mówimy, że algebra A jest skończonego typu reprezentacyjnego o ile istnieje
jedynie skończona ilość nierozkładalnych nieizomorficznych A-modułów (reprezentacji algebry A).
1.5. Proste sprawdzenie warunków definicji dowodzi, że A-moduły lewostronne wraz z odwzorowaniami A-liniowymi i ich składaniem tworzą kategorię addytywną, a nawet k-kategorię (z modułem 0 stanowiącym obiekt zerowy) oznaczaną A-Mod. Analogicznie A-moduły prawostronne tworzą kategorię oznaczaną
Mod-A. Lewostronne A-moduły skończenie wymiarowe tworzą pełną podkategorię kategorii A-Mod oznaczaną A-mod (analogicznie podkategorię prawostronnych
A-modułów oznaczamy mod-A). W dalszej części pracy będziemy zajmować się
głównie modułami skończenie wymiarowymi.
7
Umowa. W dalszym ciągu zamiast M ∈ ob mod-A pisać będziemy po prostu
M ∈ mod-A. Analogicznie dla modułów lewostronnych.
Niech I będzie ideałem algebry A. Wówczas przez (A, I)-mod oznaczamy pełną
podkategorię kategorii A-mod złożoną ze wszystkich lewych A-modułów, które
są anihilowane przez ideał I, to jest tych modułów M , dla których podmoduł
IM = {im : i ∈ I, m ∈ M } jest zerowy. Analogicznie definiujemy podkategorię
mod-(A, I).
Stwierdzenie. Niech I będzie ideałem algebry A. Wówczas zachodzi równoważność kategorii A/I-mod i (A, I)-mod.
Dowód. Zauważmy, że lewostronny A/I-moduł M jest także lewostronnym
A-modułem z mnożeniem am := (a + I)m dla dowolnych elementów a ∈ A oraz
m ∈ M . Ponadto dla każdego i ∈ I, m ∈ M zachodzi im = (i+I)m = (0+I)m =
0M , czyli IM = 0.
Podobnie, jeśli odwzorowanie f : M → N jest homomorfizmem lewych A/I
modułów M i N , to funkcja ta jest też homomorfizmem lewych A-modułów M
i N (ze strukturą A-modułu jak wyżej), ponieważ dla dowolnych a ∈ A, m ∈ M
zachodzi f (am) = f ((a + I)m) = (a + I)f (m) = af (m).
Łatwo zauważyć, że odwzorowanie
F(M, N ) : HomA/I (M, N ) → HomA (M, N )
okreslone F(M, N )(f ) := f dla dowolnych lewych A/I-modułów M i N jest
bijekcją.
Niech M będzie lewym A modułem anihilowanym przez ideał I. Wówczas
jądro stowarzyszonego z nim homomorfizmu algebr ϕ : A → Endk (M ) (patrz
1.4) zawiera ideał I. Na mocy Lematu 1.1 otrzymujemy homomorfizm algebr
ψ : A/I → Endk (M ) taki, że ψ(π(a)) = ϕ(a) dla każdego a ∈ A, gdzie π : A →
A/I jest naturalnym rzutowaniem. Homomorfizm ψ zadaje więc na M strukturę
lewego A/I modułu taką, że (a + I)m = am dla każdych a ∈ A oraz m ∈ M .
Na mocy powyższych rozważań otrzymujemy, że funktor F z kategorii A/Imod do kategorii (A, I)-mod, określony przez położenie F(M ) = M dla dowolnego
A/I-modułu M oraz F(f ) = f dla dowolnego homomorfizmu A/I-modułów f :
M → N , jest funktorem pełnym, wiernym i gęstym.
2
Uwaga. Podobnie kategorie mod-(A, I) i mod-A/I są równoważne.
1.6. Definicja. Radykałem Jacobsona lewostronnego (odpowiednio prawostronnego) A-modułu M nazywamy przekrój wszystkich maksymalnych lewostronnych (odpowiednio prawostronnych) podmodułów modułu M . Radykał oznaczamy jako rad M .
Cokołem lewostronnego (odpowiednio prawostronnego) A-modułu M nazywamy sumę wszystkich lewostronnych (odpowiednio prawostronnych) prostych
podmodułów M i oznaczamy soc M .
8
Topem modułu M nazywamy moduł ilorazowy M/rad M i oznaczamy top M .
Uwaga. (i) Radykał lewostronnego lub prawostronnego A-modułu regularnego A jest równy radykałowi algebry A.
(ii) Jeśli M jest A-modułem lewostronnym (odpowiednio prawostronnym), to
rad M = (rad A)M (odpowiednio rad M = M (rad A)).
(iii) Dla dowolnych modułów M1 , . . . , Mn mamy równość rad (⊕ni=1 Mi ) =
⊕ni=1 rad Mi .
(iv) Jeśli M jest A-modułem lewostronnym (odpowiednio prawostronnym), to
soc M = {m ∈ M : (rad A)m = 0} (odpowiednio soc M = {m ∈ M : m(rad A) =
0}). Ponadto cokół jest podmodułem półprostym, to znaczy jest sumą prostą
swoich prostych podmodułów.
(v) Dla każdego A-homomorfizmu f : M → N modułów M i N zachodzą
inkluzje: f (rad M ) ⊂ rad N i f (soc M ) ⊂ soc N .
Uzasadnienie powyższych uwag czytelnik może znaleźć w monografii [4].
1.7. Definicja. Niech A będzie ustaloną k-algebrą. Wówczas mówimy, że
element e ∈ A jest idempotentny, jeśli e2 = e. Dwa różne elementy e, f ∈ A
nazywamy ortogonalnymi, o ile ef = f e = 0. Ortogonalny idempotent e ∈ A
nazywamy prymitywnym, o ile nie jest on sumą dwóch niezerowych ortogonalnych
idempotentów.
Mówimy, że ortogonalne idempotenty e1 , e2 , . . . , en algebry A tworzą układ
zupełny, o ile 1 = e1 + · · · + en .
W monografii [4] zostały szczegółowo pokazane własności rozkładu jedynki algebry na sumę ortogonalnych idempotentów i jego związku z rozkładem modułów
na sumę prostą podmodułów. Zostały one sformułowane poniżej.
Lemat. Niech A będzie ustaloną k-algebrą. Wówczas
(i) Jeśli M = M1 ⊕ · · · ⊕ Mn jest rozkładem A-modułu na sumę prostą podmodułów, to odwzorowania ei : M → M dla 1 ≤ i ≤ n, zdefiniowane dla dowolnego
m ∈ M przez położenie ei (m) = mi , gdzie m = m1 + · · · + mn jest jednoznacznym
rozkładem m na sumę elementów mi ∈ Mi , tworzą zupełny układ ortogonalnych
idempotentów algebry EndA (M ). Przy czym, jeśli moduły M1 , . . . , Mn są nierozkładalne, to elementy e1 , . . . , en ∈ EndA (M ) są prymitywne.
(ii) Jeśli e1 , . . . , en tworzą zupełny układ ortogonalnych idempotentów algebry
EndA (M ) dla pewnego A-modułu M , to M jest sumą prostą swoich podmodułów
Im ei dla wszystkich 1 ≤ i ≤ n. Przy czym jeśli elementy e1 , . . . , en ∈ EndA (M )
są prymitywne, to moduły Im e1 , . . . , Im en są nierozkładalne.
(iii) Jeśli e1 , . . . , en ∈ A i f1 , . . . , fm ∈ A tworzą dwa zupelne układy prymitywnych ortogonalnych idempotentów algebry A, to n = m oraz istnieje odwracalny
element a ∈ A t.ż. (z dokładnością do odpowiedniego przenumerowania) ei =
afi a−1 dla wszystkich 1 ≤ i ≤ n.
9
Wniosek (Krull-Schmidt). Jeśli M = M1 ⊕ · · · ⊕ Mn = N1 ⊕ · · · ⊕ Nm
są dwoma rozkładami A-modułu M na podmoduły nierozkładalne, to n = m i (z
dokładnością do odpowiedniego przenumerowania) Mi ' Ni dla wszystkich 1 ≤
i ≤ n.
Uwaga. (i) Ponieważ EndA (A) ' A (patrz Uwaga 1.3 punkt (iii)), więc jeśli
e1 , . . . , en ∈ A dla pewnego n ≥ 1 tworzy zupełny układ prymitywnych ortogonalnych idempotentów, to każdy nierozkładalny składnik prosty lewostronnego
(odpowiednio prawostronnego) modułu regularnego A jest postaci Aei (odpowiednio ei A) dla pewnego 1 ≤ i ≤ n. Moduły takie nazywamy głównymi.
(ii) Ustalmy idempotent e algebry A. Wówczas przyporządkowanie homomorfizmowi prawostronnych A-modułów f : eA → M elementu f (e) ∈ M e indukuje
izomorfizm k-przestrzeni HomA (eA, M ) i M e. Analogicznie dla lewostronnych Amodułów zachodzi HomA (Ae, M ) ' eM .
1.8. Definicja. Niech A będzie ustaloną k-algebrą. Wówczas ciąg (skończony
lub nieskończony) A-modułów i A-homomorfizmów
fn+1
fn
X: · · · - Mn+1 - Mn - Mn−1 - · · ·
nazywamy dokładnym w Mi , o ile Im fi+1 = Ker fi . Mówimy, że ciąg X jest
dokładny, jeśli jest dokładny w każdym Mi występującym w X.
Uwaga. Zauważmy, że ciąg
f
g
0 - N - M -L - 0
jest dokładny wtedy i tylko wtedy, gdy f jest monomorfizmem, g jest epimorfizmem i Im f = Ker g.
Mówimy, że ciąg dokładny
f
g
0 - N - M -L - 0
jest rozszczepialny (rozszczepia się), o ile istnieją homomorfizmy f 0 : M → N i
g 0 : L → M takie, że f 0 f = idN oraz gg 0 = idL . W monografii [4] czytelnik może
znaleźć uzasadnienie faktu, że wystarczy istnienie jednego z odwzorowań f 0 lub
g 0 oraz tego, że powyższy ciąg jest rozszczepialny dokładnie wtedy, gdy Im f jest
składnikiem prostym M . Wtedy M = Im f ⊕ Im g 0 ' N ⊕ L. Odwzorowanie f
może być traktowane jako kanoniczne włożenie N → N ⊕ L, a odwzorowanie g
jako kanoniczny rzut N ⊕ L na drugą współrzędną.
Monomorfizm f : M → N taki, że istnieje homomorfizm p : N → M o
własności p ◦ f = idM , nazywamy sekcją.
Epimorfizm g : M → N taki, że istnieje homomorfizm s : N → M o własności
g ◦ s = idN , nazywamy retrakcją.
10
1.9. Ustalmy dowolny prawostronny A-moduł M . Wówczas zbiór M ∗ :=
Homk (M, k) homomorfizmów k-liniowych jest przestrzenią k-liniową. Na M ∗ można zadać strukturę lewostronnego A-modułu kładąc (af )(m) := f (ma) dla dowolnych a ∈ A, f : M → k i m ∈ M . Łatwo sprawdzić, że M ∗ jest lewostronnym A-modułem z tak określonym działaniem. Każde k-liniowe odwzorowanie ϕ : M → N , gdzie M, N są prawostronnymi A-modułami indukuje odwzorowanie ϕ∗ : N ∗ → M ∗ definiowane wzorem ϕ∗ f (m) = f (ϕ(m)) dla dowolnych f ∈ N ∗ i m ∈ M . Łatwo sprawdzić, że jeśli ϕ jest homomorfizmem
prawostronnych A-modułów M i N , to ϕ jest homomorfizmem lewostronnych
A-modułów N ∗ i M ∗ i ponadto (ϕψ)∗ = ψ ∗ ϕ∗ dla dowolnych A-homomorfizmów
ϕ : M → N i ψ : K → M oraz idM ∗ = idM ∗ . Pokazaliśmy więc, że przyporządkowanie D zdefiniowane przez D(M ) = M ∗ i D(ϕ) = ϕ∗ dla dowolnego Amodułu M i A-homomorfizmu ϕ jest funktorem kontrawariantnym (k-liniowym)
b : Apomiędzy kategoriami mod-A i A-mod. Analogicznie definiujemy funktor D
mod → mod-A. Zdefiniowane powyżej funktory nazywamy funktorami dualności
i dalej będziemy tradycyjnie stosować oznaczenie D dla obu funktorów.
Wiadomo, że dla każdego A-modułu M istnieje naturalne odwzorowanie δM :
M → DD(M ) przyporządkowujące wektorowi m ∈ M k-homomorfizm δM (m) :
D(M ) → k działający w następujący sposób: δM (m)(f ) = f (m), gdzie f ∈
D(M ). W szczególności rodzina odwzorowań (δM ) dla wszystkich A-modułów M
stanowi morfizm funktora DD i funktora identycznościowego kategorii lewostronnych (i odpowiednio prawostronnych) A-modułów. Z dobrze znanego faktu (patrz
[4]) wiemy, że δM jest izomorfizmem dla dowolnego skończenie wymiarowego Amodułu M . Tak więc funktory dualności definiują równoważność kategorii mod-A
i (A-mod)op (odpowiednio, A-mod i (mod-A)op ). Dlatego mówimy, że kategorie
A-mod i mod-A są dualne.
Podobnie wygląda konstrukcja k-liniowego kontrawariantnego funktora (−)t
= HomA (−, A) : mod-A → A-mod. Dla dowolnego prawostronnego A-modułu
M kładziemy (M )t = HomA (M, A), przy czym k-przestrzeń HomA (M, A) ma
strukturę lewostronnego A-modułu z działaniem definiowanym wzorem (af )(m) :=
a(f (m)) dla dowolnych a ∈ A, f : M → A i m ∈ M . Działanie funktora (−)t na
A-homomorfizmach definiowane jest analogicznie jak dla funktora D=Homk (−, k).
Podobnie definiujemy (tradycyjnie oznaczany tym samym symbolem) funktor
(−)t : A-mod→ mod-A. Łatwo sprawdzić, stosując analogiczne jak dla funktora
D argumenty, że odwzorowania eM : M → (M )tt zafiniowane dla A-modułu M
formułą eM (m)(ϕ) = ϕ(m), gdzie m ∈ M oraz ϕ ∈ (M )t , stanowią morfizm
między funktorem identycznościowym kategorii A-modułów i funktorem (−)tt .
Stwierdzenie. Niech A będzie ustaloną k-algebrą. Wówczas każdy ciąg dokładny A-modułów i A-homomorfizmów
f
g
0 -M -N -K -0
11
indukuje następujące ciągi dokładne:
D(g)
D(f )
0 - D(K) - D(N ) - D(M ) - 0
(g)t
(f )t
0 - (K)t - (N )t - (M )t
a zatem funktor D jest funktorem dokładnym, a funktor (−)t lewostronnie dokładnym.
Dowód. Patrz [4].
W dalszych rozważaniach istotną rolę będzie odgrywał funktor ν := D◦(−)t =
Homk (HomA (−, A), k) : mod-A → mod-A nazywany funktorem Nakayamy.
Funktor ν −1 := (−)t ◦ D = HomA (Homk (−, k), A) : mod-A → mod-A nazywamy odwrotnym funktorem Nakayamy.
1.10. Definicja. Niech A = P1 ⊕ · · · ⊕ Pn , n ≥ 0, będzie rozkładem Amodułu regularnego A na sumę prostą modułów głównych, gdzie A jest dowolną
k-algebrą. Wówczas algebrę A nazywamy bazową, o ile dla każdych 1 ≤ i, j ≤ n,
i 6= j moduły Pi i Pj są nieizomorficzne.
W monografii [4] można znaleźć dowód następującego twierdzenia charakteryzującego algebry bazowe:
Twierdzenie. Niech A będzie dowolną k-algebrą. Wówczas A jest bazowa
dokładnie wtedy, gdy algebra ilorazowa A/(rad A) jest izomorficzna z algebrą F1 ×
· · · × Fn dla pewnego n ≥ 1, gdzie F1 , . . . , Fn są k-algebrami podzielnymi.
2. Reprezentacje kołczanu
W niniejszym paragrafie wprowadzimy pojęcia algebry dróg kołczanu, reprezentacji kołczanu oraz pokażemy równoważność kategorii modułów nad algebrą
ilorazową algebry dróg kołczanu i kategorii reprezentacji kołczanu spełniejących
pewne warunki.
2.1. Definicja. Kołczanem nazywamy dowolny układ Q = (Q0 , Q1 , s, t) zadający graf zorientowany, czyli Q0 , Q1 są zbiorami, przy czym mówimy, że Q0 jest
zbiorem wierzchołków, a Q1 zbiorem strzałek kołczanu. Elementy s, t są funkcjami
ze zbioru Q1 do Q0 nazywanymi odpowiednio funkcjami początku i końca strzałki.
(Jeśli α ∈ Q1 jest strzałką kołczanu Q oraz s(α) = a, t(α) = b dla wierzchołków
a, b ∈ Q0 , to mówimy, że wierzcholek a jest początkiem, a b końcem strzałki α i
oznaczamy α : a → b).
Podkołczanem Q0 kołczanu Q nazywamy układ Q0 = (Q00 , Q01 , s0 , t0 ) taki, że
0
Q0 ⊂ Q0 , Q01 ⊂ Q1 oraz s0 = s|Q01 i t0 = t|Q01 . Podkołczan Q0 jest pełnym
podkołczanem kołczanu Q o ile dla każdych wierzchołków a, b ∈ Q00 zachodzi
Q01 (a, b) = Q1 (a, b), gdzie Q1 (a, b) = {α ∈ Q1 : s(α) = a, t(α) = b}.
12
Mówimy, że kołczan Q = (Q0 , Q1 , s, t) jest skończony, jeśli zbiory Q0 , Q1 są
skończone.
Drogą zorientowaną, (ścieżką) długości n ≥ 1 w kołczanie Q nazywamy ciąg
strzałek δ := (a|α1 . . . αn |b) = (α1 . . . αn ), gdzie a, b ∈ Q0 , α1 , . . . , αn ∈ Q1 są
takie, że s(α1 ) = a, t(αn ) = b oraz t(αi ) = s(αi+1 ) dla i = 1, . . . , n − 1.
Umowa. Każdemu wierzchołkowi a ∈ Q0 możemy przyporządkować drogę
długości 0 oznaczaną a = (a||a) nazywaną drogą trywialną lub stałą. Rozpatruje
się także zorientowane drogi nieskończone ”w prawo” postaci w = (a|α1 · · · αi · · · ),
gdzie a ∈ Q0 , αi ∈ Q1 dla każdego i ≥ 1 oraz s(α1 ) = a i t(αi ) = s(αi+1 ) dla
każdego i ≥ 1. Analogicznie definiuje się nieskończoną drogę zorientowaną ”w
lewo”.
Oznaczenie. Dla ścieżki δ = (a|α1 . . . αn |b), |δ| := n oznacza długość, a
s(δ) := a, t(δ) := b początek i koniec ścieżki. Dla n ≥ 0, Qn oznacza zbiór
wszystkich dróg zorientowanych długości n, zaś Q≥n , zbiór skończonych dróg
długości nie mniejszej niż n. Symbol ∆ oznacza zbiór wszystkich skończonych
dróg zorientowanych.
Przypomnimy teraz kilka innych klasycznych pojęć z teorii grafów.
Drogą niezorientowaną nazywamy ciąg strzałek w :=< a|α1 . . . αn |b > =<
α1 . . . αn>, gdzie a, b ∈ Q0 , α1 , . . . , αn ∈ Q1 są takie, że s(α1 ) = a lub t(α1 ) = a,
s(αn ) = b lub t(αn ) = b oraz dla i = 1, . . . , n − 1, s(αi ) lub t(αi ) jest równe
s(αi+1 ) lub t(αi+1 ). Analogicznie jak dla ścieżki określamy niezorientowaną drogę
trywialną i nieskończoną (”w prawo” i ”w lewo”) i oznaczamy długość, początek i
koniec skończonej drogi niezorientowanej. Zauważmy, że droga zorientowana jest
także drogą niezorientowaną.
Cyklem zorientowanym (odpowiednio niezorientowanym) nazywamy drogę zorientowaną (odpowiednio niezorientowaną) δ dodatniej długości taką, że s(δ) =
t(δ). Cykl długości 1 nazywamy pętlą.
Kołczan Q = (Q0 , Q1 , s, t) nazywamy spójnym, o ile dla dowolnych wierzchołków a, b ∈ Q0 istnieje droga niezorientowana < a|α1 . . . αn |b > w kołczanie
Q. Kołczan Q nazywamy acyklicznym (odpowiednio drzewem), jeśli nie zawiera
zorientowanych (odpowiednio niezorientowanych) cykli, ponadto zakłada się, że
drzewo jest spójnym kołczanem.
Zauważmy, że każde drzewo jest kołczanem acyklicznym.
2.2. Definicja. Niech Q = (Q0 , Q1 , s, t) będzie ustalonym kołczanem. Wówczas algebrą dróg kołczanu Q nad ciałem k, nazywamy parę kQ = (kQ, ·), określoną
następująco
kQ := ⊕δ∈∆ kδ
(przestrzeń liniowa nad k generowana przez wszystkie drogi zorientowane kołczanu Q), natomiast · : kQ × kQ → kQ jest działaniem określonym na wektorach
13
bazowych przez położenie
(a|α1 . . . αn |b) · (c|β1 . . . βm |d) =
(a|α1 . . . αn β1 . . . βm |d), b = c
0kQ ,
b=
6 c
dla dowolnych ścieżek (a|α1 . . . αn |b), (c|β1 . . . βm |d) kołczanu Q (również trywialnych).
Oznaczenia. Dla dowolnego n ≥ 0 wprowadzamy oznaczenia
kQn := ⊕δ∈Qn kδ, kQ≥n := ⊕i≥n ⊕δ∈Qi kδ, RQ := kQ≥1
Od tego momentu będziemy opuszczać znak mnożenia ·.
Lemat. Niech Q = (Q0 , Q1 , s, t) będzie dowolnym kołczanem. Wówczas
(i) Algebra dróg kołczanu kQ jest k-algebrą łączną.
(ii) Algebra kQ zawiera jedynkę P
wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór wierzchołków
Q0 jest skończony i wówczas 1kQ = a∈Q0 a .
(iii) Algebra kQ jest skończenie wymiarowa wtedy i tylko wtedy, gdy kołczan
Q jest skończony i nie zawiera zorientowanych cykli.
Dowód. (i) Mnożenie jest zadane na bazie przez składanie dróg, które jest w
oczywisty sposób łączne.
P
(ii) Pokażemy, że jeśli zbiór Q0 jest skończony, to element 1kQ = a∈Q0 a
jest jedynką algebry kQ. Wystarczy pokazać ten fakt dla elementów bazowych.
Dla dowolnego wierzchołka b ∈ Q0 i ścieżki δ = (c|α1 . . . αn |d) kołczanu Q, gdzie
n ≥ 1, zachodzi
X
X
a b = b = b
a
a∈Q0
X
a∈Q0
a δ = c δ = δ = δd = δ
a∈Q0
X
a
a∈Q0
P
co dowodzi, że a∈Q0 a jest jedynką algebry.
Natomiast jeśli zbiór Q0 jest nieskończony,
Pn to algebra kQ nie może posiadać
jedynki. Istotnie, przypuśćmy, że 1kQ =
i=1 λi δi , gdzie n > 0, λi ∈ k, δi są
drogami zorientowanymi kołczanu Q dla i = 1, . . . , n. Niech Q00 ⊂ Q0 będzie
zbiorem początków dróg δ1 , . . . , δn . Wówczas dla dowolnego j ∈ Q0 \ Q00 zachodzi
sprzeczność j = j 1kQ = 0.
(iii) Jeśli Q jest skończony i acykliczny, to posiada jedynie skończenie wiele
dróg zorientowanych, więc algebra kQ jest skończenie wymiarowa. Natomiast
jeśli δ jest cyklem zorientowanym w Q, to dla każdego n ∈ N, δ n jest drogą
zorientowaną w Q, więc kQ jest nieskończonego wymiaru, podobnie, gdy Q nie
jest kołczanem skończonym.
2
14
Wniosek. Jeśli zbiór wierzchołków Q0 kołczanu Q jest skończony, to zbiór
{a : a ∈ Q0 } tworzy zupełny układ prymitywnych ortogonalnych idempotentów
w algebrze kQ.
Uwaga. (i) Zbiór kQ≥n dla każdego n ∈ N jest ideałem w algebrze kQ.
n
(ii) Dla dowolnego n ∈ N zachodzą równości RQ
= (Qn ) = kQ≥n .
n+1
n
(iii) Zbiory kQn i RQ /RQ są izomorficzne jako przestrzenie liniowe dla dowolnego n ∈ N.
(iv) Gdy kołczan
Q jest skończony i acykliczny, to zbiory kQ/RQ , kQ0 =
Q
⊕a∈Q0 ka oraz a∈Q0 k są izomorficzne jako algebry (ponieważ drogi trywialne są ortogonalnymi idempotentami w algebrze kQ), więc na mocy Lematu 1.2
rad kQ = RQ (ideał RQ jest nilpotentny w skończonym acyklicznym kołczanie).
Z Twierdzenia 1.10 wynika również, że algebra kQ jest bazowa.
(v) Niech I będzie ideałem algebry dróg skończonego kołczanu Q takim, że istn
nieje n ∈ N, że RQ
⊂ I. Wówczas algebra kQ/I jest skończenie wymiarowa (jako
n
epimorficzny obraz naturalnego rzutowania π : kQ/RQ
' ⊕i<n kQi → kQ/I). Zachodzi
także równość rad (kQ/I) = RQ /I, ponieważ (kQ/I)/(RQ /I) ' kQ/RQ '
Q
k
i (RQ /I)n = 0, co na mocy Lematu 1.2 daje tezę. Z Twierdzenia 1.10
a∈Q0
wynika również, że algebra kQ/I jest bazowa.
2.3. Definicja. Niech Q = (Q0 , Q1 , s, t) będzie skończonym kołczanem, a k
ustalonym ciałem. Reprezentacją kołczanu Q nad ciałem k nazywamy dowolny
układ V = ((Va )a∈Q0 , (Vα )α∈Q1 ), gdzie dla dowolnych a ∈ Q0 , Va jest przestrzenią
k-liniową, a Vα : Va → Vb jest odwzorowaniem k-liniowym dla dowolnej strzałki
α : a → b ∈ Q1 .
Niech V = ((Va )a∈Q0 , (Vα )α∈Q1 ) i W = ((Wa )a∈Q0 , (Wα )α∈Q1 ) będą dwiema
dowolnymi reprezentacjami kołczanu Q = (Q0 , Q1 , s, t). Wówczas układ odwzorowań liniowych f := (fa : Va → Wa )a∈Q0 nazywamy homomorfizmem reprezentacji
V i W i oznaczamy f : V → W , o ile diagram
Va
fa ?
Wa
Vα-
Vb
f
?b
- Wb
Wα
jest przemieny dla każdej strzałki α : a → b ∈ Q1 , to jest fb Vα = Wα fa . Zbiór
wszystkich homomorfizmów między reprezentacjami V i W oznaczamy przez
HomQ (V, W ). Mówimy, że homorfizm f := (fa : Va → Wa )a∈Q0 jest izomorfizmem reprezentacji V i W , jeśli wszystkie odwzorowania fa są izomorfizmami
k-liniowymi.
P
Wymiarem reprezentacji V nazywamy liczbę dimk V := a∈Q0 dimk Va , o ile
przestrzenie Va dla każdego a są skończenie wymiarowe. W przeciwnym przypadku
przyjmujemy dimk V := ∞.
15
Wektorem wymiaru reprezentacji V nazywamy układ
dimk V := (dimk Va )a∈Q0 ∈ (N ∪ {∞})|Q0 |
W tej pracy rozważamy reprezentacje skończenie wymiarowe, to jest takie, dla
których dimk V jest skończony.
2.4. Z własności odwzorowań k-liniowych wynika, że reprezentacje kołczanu
Q wraz z homomorfizmami reprezentacji tworzą k-kategorię (z obiektem zerowym
0 := ({0a }a∈Q0 , {0α }α∈Q1 ), gdzie 0a jest przestrzenią zerową dla każdego a ∈ Q0 ,
a 0α : 0 → 0 jest odwzorowaniem zerowym dla każdej α ∈ Q1 ) oznaczaną repk Q,
przy czym składanie, dodawanie i mnożenie homomorfizmów reprezentacji przez
skalar zadane jest na odpowiadających sobie k-homomorfizmach składających się
na dane reprezentacje.
2.5. Niech Q = (Q0 , Q1 , s, t) będzie skończonym kołczanem. Pokażemy, że reprezentacje kołczanu Q można traktować jako prawostronne kQ moduły i odwrotnie. Skonstruujemy funktory F : repk Q →mod-kQ oraz G : mod-kQ → repk Q
zadające równoważność powyższych kategorii.
Niech V = ((Va )a∈Q0 , (Vα )α∈Q1 ) będzie reprezentacją kołczanu Q. Dla dowolnej
drogi zorientowanej δ = (a|α1 . . . αn |b) dodatniej długości w kołczanie Q połóżmy
Vδ := Vαn ◦ · · · ◦ Vα2 ◦ Vα1 : Va → Vb . Dla wierzchołka a ∈ Q0 i drogi trywialnej
a = (a||a) połóżmy Va := idVa .
Na przestrzeni liniowej Vb := ⊕a∈Q0 Va zdefiniujemy strukturę prawostronnego
kQ-modułu. Działanie · : Vb × kQ → Vb określimy dla elementów bazowych kQ.
Niech δ = (a|α1 . . . αn |b) będzie ścieżką kołczanu Q. Dla elementu v = (vi )i∈Q0 ∈
Vb , gdzie vi ∈ Vi dla każdego i ∈ Q0 kładziemy v·δ := (vi 0 )i∈Q0 , gdzie elementy vi 0 ∈
Vi są dla i 6= b równe 0Vi , a vb 0 = Vδ (va ). Działanie to w naturalny sposób rozszerza
się na wszystkie elementy algebry kQ. Z własności odwzorowań liniowych Vi dla
i ∈ Q0 widać, że działanie · jest dwuliniowe. Z definicji mnożenia łatwo wynika,
że dla dowolnych dróg zorientowanych δ, δ 0 kołczanu Q oraz v ∈ Vb zachodzi
v · (δδ 0 ) = (v · δ) · δ 0 . Vb = (Vb , ·) jest więc prawym kQ-modułem.
Niech f = (fa : Va → Wa )a∈Q0 będzie homomorfizmem reprezentacji V =
((Va )a∈Q0 , (Vα )α∈Q1 ) i W = ((Wa )a∈Q0 , (Wα )α∈Q1 ). Wówczas odwzorowanie liniowe
fb := ⊕a∈Q0 fa : ⊕a∈Q0 Va → ⊕a∈Q0 Wa jest homomorfizmem prawostronnych kQc . Istotnie, dla elementu v = (vi )i∈Q0 ∈ Vb , gdzie vi ∈ Vi dla
modułów Vb i W
każdego i ∈ Q0 i ścieżki δ = (a|α1 . . . αn |b) kołczanu Q mamy
fb(v · δ) = ⊕i∈Q0 fi ((0, . . . , 0, Vδ (va ), 0, . . . , 0) = (0, . . . , 0, fb (Vδ (va )), 0, . . . , 0)
= (0, . . . , 0, Wδ (fa (va )), 0, . . . , 0) = (fi (vi ))i∈Q0 · δ = fb(v) · δ
gdzie elementy Vδ (va ), fb (Vδ (va )), Wδ (fa (va )) stoją na miejscach odpowiadających
wierzchołkowi b.
16
Ponieważ złożenie sum prostych odwzorowań jest równe sumie prostej złożeń
i odwzorowania ⊕i∈Q0 idVi : Vb → Vb oraz idVb : Vb → Vb są równe, odwzorowanie F między kategoriami repk Q oraz mod-kQ zadane wzorami F(V ) = Vb dla
reprezentacji V i F(f ) = fb dla homomorfizmu reprezentacji f jest funktorem
(kowariantnym). Ponadto łatwo sprawdzić, że funktor F jest k-liniowy, to znaczy
odwzorowania indukowane F(V, W ) : HomQ (V, W ) → HomkQ (F (V ), F (W )) są
k-liniowe.
W celu zdefiniowania funktora G : mod-kQ → repk Q zauważmy, że dowolny prawostronny kQ moduł M jest izomorficzny jako k-przestrzeń z przestrzenią
⊕a∈Q0 M a , gdyż zbiór {a }a∈Q0 jest zupełnym układem prymitywnych ortogonalnych idempotentów algebry kQ (patrz Wniosek 2.2 i Lemat 1.7).
Połóżmy Ma := M a dla a ∈ Q0 i rozważmy dla strzałki α : a → b ∈ Q1
odwzorowanie k-liniowe (−·α) : M → M . Poza przestrzenią Ma odwzorowanie to
jest zerowe, gdyż dla każdego c ∈ Q0 różnego od a mamy Mc α = M c α = M 0 = 0.
Natomiast obraz odwzorowania (−·α) jest zawarty w Mb , gdyż Im (−·α) = M α =
(M α)b ⊂ Mb . W konsekwencji odwzorowanie k liniowe Mα := (− · α)|Ma : Ma →
f := ((Ma )a∈Q0 , (Mα )α∈Q1 ) jest reprezentacją
Mb jest dobrze określone, a układ M
kołczanu Q.
Niech ϕ : M → N będzie homomorfizmem prawostronnych kQ-modułów.
Wówczas dla każdego a ∈ Q0 zachodzi ϕ(Ma ) = ϕ(M a ) = ϕ(M )a ⊂ N a = Na .
Możemy więc dla każdego a ∈ Q0 zdefiniować k-liniowe odwzorowanie ϕa :=
f, N
e,
ϕ|Ma : Ma → Na . Układ ϕ
e := (ϕa )a∈Q0 jest homomorfizmem reprezentacji M
ponieważ dla strzałki α : a → b ∈ Q1 i elementu ma ∈ Ma mamy ϕb Mα (ma ) =
ϕb (ma α) = ϕ(ma α) = ϕ(ma )α = ϕ|Ma (ma )α = ϕa (ma )α = Nα ϕa (ma ).
Wprost z definicji otrzymujemy, że odwzorowanie G między kategoriami modf dla dowolnego prawostronnego kQkQ i repk Q zadane wzorami G(M ) := M
modułu M i G(ϕ) := ϕ
e dla prawostronnego kQ-homomorfizmu ϕ jest k-liniowym
funktorem kowariantnym.
Stwierdzenie. Dla ustalonego kołczanu Q = (Q0 , Q1 , s, t) zdefiniowane powyżej funktory F : repk Q →mod-kQ oraz G : mod-kQ → repk Q zadają równoważność kategorii mod-kQ i repk Q.
Dowód. W celu udowodnienia stwierdzenia należy najpierw pokazać, że funktor
G◦F jest równoważny funktorowi identycznościowemu na kategorii repk Q, czyli
istnieją izomorfizmy ηV : GF(V ) → V dla reprezentacji V takie, że dla każdych
reprezentacji V, W i homomomorfizmu f : V → W diagramy postaci
η
GF(V ) V - V
GF(f )?
f
?
GF(W ) η
W
W
17
są przemienne. W tym celu zauważmy, że jeśli V = ((Va )a∈Q0 , (Vα )α∈Q1 ) to GF(V )=
G(⊕a∈O0 Va ) = ((Vba = 0×· · ·×0×Va ×0×· · ·×0)a∈Q0 , ((−·α)|Vba : Vba → Vbb )α∈Q1 ).
Podobnie dla homomorfizmu reprezentacji f : V → W GF(f )= G(⊕i∈O0 fi ) =
ca )a∈Q0 . Wówczas rodzina odwzorowań ηV = ((ηV )a : Vba →
((⊕i∈O0 fi )|Vba : Vba → W
Va )a∈Q0 określonych przez położenie (ηV )a ((0, . . . , 0, va , 0, . . . , 0)) = va dla każdego a ∈ Q0 i va ∈ Va jest w oczywisty sposób izomorfizmem reprezentacji kołczanu,
który czyni powyższy diagram przemiennym.
Podobnie pokazuje się, że dla każdego prawostronnego kQ-modułu M istnieje
0
izomorfizm ηM
: FG(M ) → M taki, że dla każdych kQ-modułów M, N i homomorfizmu ϕ : M → N poniższy diagram jest przemienny.
η0
FG(M ) M- M
FG(ϕ)?
ϕ
?
FG(N ) η 0 N
N
2
Przykład. Niech Q będzie skończonym acyklicznym kołczanem. Podamy
przykłady pewnych modułów interpretowanych w terminach reprezentacji kołczanu.
(i) Ustalmy M ∈ mod-kQ. Łatwo sprawdzić, że wówczas zachodzą poniższe
równości:
rad M = M (rad kQ) = (⊕i∈Q0 M i )(⊕l,j∈Q0 l (rad kQ)j ) =
X
X
= ⊕j∈Q0
M i i (rad kQ)j = ⊕j∈Q0
M (⊕δ∈kQ≥1 ,s(δ)=i,t(δ)=j kδ) =
i∈Q0
i∈Q0
X
= ⊕j∈Q0 (
M i δj ) =
i∈Q0 ,δ∈kQ≥1 ,s(δ)=i,t(δ)=j
= ⊕j∈Q0 (
X
Im (α| : M s(α) −→ M t(α)=j ))
α∈Q1 ,t(α)=j
stąd jeśli V = G(M ), to G(rad M ) jest postaci:
X
((rad Va :=
Im (Vα : Vs(α) −→ Vt(α)=a )a∈Q0 ,
α∈Q1 ,t(α)=a
(Vα|rad Va : rad Va −→ rad Vb )α:a→b∈Q1 )
(ii) Dla ustalonego modułu M ∈ mod-kQ mamy:
X
soc M = ⊕i∈Q0 (soc M )i = {m =
mi : mi ∈ (soc M )i = soc M ∩ M i }
i∈Q0
18
oraz na mocy Uwagi 1.6 dla każdego mi ∈ M i , gdzie i ∈ Q0 zachodzą następujące
równoważności:
mi ∈ soc M ⇔ mi (rad kQ) = 0 ⇔ ∀δ∈kQ≥1 mi δ = 0 ⇔ ∀α∈Q1 ,s(α)=i mi α = 0
stąd jeśli V = G(M ), to reprezentacja G(soc M ) jest postaci:
\
((soc Va :=
Ker Vα : Vs(α) −→ Vt(α) )a∈Q0 ,
α∈Q1 ,s(α)=a
(Vα|soc Va : soc Va −→ soc Vb )α:a→b∈Q1 )
przy czym dla każdego α : a → b ∈ Q0 odwzorowanie Vα|soc Va jest odwzorowaniem
zerowym, gdyż soc Va ⊂ Ker Vα .
(iii) na mocy Uwagi 1.5 wiemy, że prawostronne proste kQ-moduły są we
wzajemnej odpowiedniości z prostymi kQ/(rad kQ)-modułami, gdyż dla każdego prostego kQ-modułu M zachodzi 0 =Qrad M = M (rad kQ) (patrz Uwaga
1.6). Natomiast,
ponieważ kQ/(rad kQ) ' i∈Q0 k (patrz Uwaga 2.2) i wszystkie
Q
proste i∈Q0 k-moduły są postaci Mi := 0×· · ·×0×k ×0×· · ·×0, dla wszystkich
i ∈ Q0 (k stoi na i-tym miejscu), otrzymujemy, że wszystkie proste kQ-moduły
w terminach reprezentacji mają postać:
S(i) = ((S(i)a )a∈Q0 , (0 : S(i)a −→ S(i)b )α:a→b∈Q1 )
dla wszystkich i ∈ Q0 , przy czym S(i)a = 0 dla i 6= a oraz S(i)i = k.
(iv) Jeśli M ∈ mod-kQ, gdzie Q = (Q0 , Q1 , s, t) oraz G(M ) = ((Va )a∈Q0 ,
(Vα )α∈Q1 ), to przestrzenie Va są skończenie wymiarowe (bo M jest skończenie
wymiarowy) i dla każdego a ∈ Q0 istnieje na ∈ N, że Va ' k na oraz dla każdego α : a → b ∈ Q1 istnieje macierz Mα ∈ Mnb ×na (k), że odwzorowaniu Vα
odpowiada mnożenie wektorów przestrzeni k na przez macierz Mα . Teraz, działając
na moduł M funktorem dualności (patrz punkt 1.9), otrzymujemy lewostronny
kQ-moduł D(M ). Na mocy Uwagi 1.3 (punkt (v)) wiemy, że moduł D(M ) jest
prawostronnym (kQ)op -modułem. Zauważmy, że (kQ)op ' kQop , gdzie kołczan
Qop jest postaci Qop = (Q0 , Q1 , s0 , t0 ), a s0 (α) = t(α) i t0 (α) = s(α) dla dowolnej
strzałki α ∈ Q1 (kołczan Qop powstaje przez ”odwrócenie” strzałek kołczanu Q).
Wówczas reprezentacja G(D(M )) kołczanu Qop jest izomorficzna z reprezentacją ((Va0 )a∈Q0 , (Vα0 )α∈Q1 ), gdzie Va0 = k na dla wszystkich a ∈ Q0 , a odwzorowania
Vα0 : s0 (α) → t0 (α) to mnożenia przez transpozycję macierzy Mα .
2.6. Definicja. Niech k będzie ciałem, a Q = (Q0 , Q1 , s, t) skończonym
kołczanem. Wówczas relacją
Q o współczynnikach w ciele k nazywamy dowolną
Pw
n
kombinację liniową ρ =
i=1 λi δi , dla pewnych λ1 , . . . , λn ∈ k oraz ścieżek
δ1 , . . . , δn o wspólnym początku i końcu i długości ≥ 2.
19
Relację ρ będącą ścieżką w Q (ewentualnie pomnożoną przez niezerowy skalar)
nazywamy zero-relacją,
Pn pozostałe relacje nazywamy relacjami przemienności.
Dla relacji ρ = i=1 λi δi i reprezentacji V = ((Va )a∈Q0 , (Vα )α∈Q1 ) kołczanu Q
definiujemy odwzorowanie
Vρ : Va → Vb , gdzie a = s(δi ), b = t(δi ) dla i = 1, . . . , n
Pn
kładąc Vρ := i=1 λi Vδi .
Niech Φ = {ρ1 , . . . , ρn } będzie zbiorem pewnych relacji w Q. Wówczas pełną
podkategorię kategorii repk Q rozpiętą na zbiorze wszystkich reprezentacji V =
((Va )a∈Q0 , (Vα )α∈Q1 ) o własności Vρi = 0 dla wszystkich i = 1, . . . , n, nazywamy
kategorią reprezentacji kołczanu Q z relacjami Φ = {ρ1 , . . . , ρn } i oznaczamy
rep-(Q, Φ).
n
2
Ideał I algebry kQ nazywamy dopuszczalnym, o ile RQ
⊂ I ⊂ RQ
dla pewnego
n ≥ 2.
Lemat. Niech Q = (Q0 , Q1 , s, t) będzie skończonym kołczanem, zaś I ideałem
dopuszczalnym algebry kQ. Wówczas
(i) I jest skończenie generowany.
(ii) Istnieją relacje ρ1 , . . . , ρt w Q dla pewnego t ∈ N generujące ideał I.
(iii) Zbiór {i +I}i∈Q0 tworzy zupełny układ prymitywnych ortogonalnych idempotentów algebry kQ/I.
n
n
Dowód. (i) Zauważmy, że jeśli RQ
⊂ I dla pewnego n ∈ N, to dim I/RQ
n
jest skończony oraz RQ jest skończenie generowany (przez zbiór Qn ). Wówczas,
n
n
, gdzie π jest naturalnym rzutowaniem, ideał
) = RQ
ponieważ Ker(π : I → I/RQ
s
I jest generowany przez zbiór {xi }i=1 ∪ Qn , gdzie elementy x1 , . . . , xs są takie, że
n
π(x1 ), . . . , π(xs ) tworzą bazę I/RQ
nad k.
(ii) Niech I będzie generowany przez elementy µ1 , . . . , µm ∈ kQ dla pewnego m ∈ N. Wtedy ideał I jest również generowany przez zbiór {a µi b : i =
1, . . . , m; a, b ∈ Q0 }, składający się z relacji w Q.
(iii) Jest to prosta konsekwencja Wniosku 2.2.
2
Uwaga. (i) Dalej będziemy rozważać jedynie ideały dopuszczalne, gdyż każda
algebra (bazowa) jest izomorficzna z pewną algebrą kQ/I, gdzie I jest ideałem
dopuszczalnym (patrz [5]).
(ii) Zauważmy, że jeśli Q jest drzewem, to każdy ideał dopuszczalny I algebry
kQ jest generowany przez zero-relacje w Q, gdyż wszystkie relacje w drzewie są
ścieżkami.
Twierdzenie. Niech Q = (Q0 , Q1 , s, t) będzie skończonym kołczanem, a I
ideałem dopuszczalnym algebry kQ generowanym przez relacje Φ = {ρ1 , . . . , ρn }.
Wówczas kategorie mod-kQ/I i repk (Q, Φ) są równoważne.
Dowód. Zauważmy, że funktory zdefiniowane w punkcie 2.5 indukują równoważność kategorii repk (Q, Φ) i mod-(kQ, I), a na mocy Uwagi 1.5 mamy równoważność kategorii mod-kQ/I i mod-(kQ, I).
2
20
W dalszej części niniejszej pracy będziemy zajmować się modułami nad algebrami kQ/I dla pewnych ideałów dopuszczalnych I i dzięki powyższemu Twierdzeniu będziemy mogli mówić o nich w języku reprezentacji.
3. Moduły projektywne i injektywne
3.1. Definicja. Niech A będzie algebrą nad ustalonym ciałem k. Wówczas
modułem wolnym nazywamy taki A-moduł M , który jest izomorficzny z modułem będącym sumą prostą pewnej ilości modułów regularnych, tzn. istnieje zbiór
indeksów I (może być nieskończony) taki, że M ' ⊕i∈I A.
A-moduł P ∈ Mod-A (odpowiednio P ∈ A-Mod) nazywamy projektywnym,
gdy dla każdych M, N ∈ Mod-A (odpowiednio M, N ∈ A-Mod) i A-homomorfizmów h : M → N i f : P → N , przy czym h jest epimorfizmem, istnieje
homomorfizm f 0 : P → M taki, że hf 0 = f , innymi słowy, że każdy diagram o
dokładnym wierszu
P
f
?
h- N
M
- 0
można uzupełnić do diagramu przemiennego
P
f
M
0
f
?
h- N
- 0
A-moduł I ∈ Mod-A (odpowiednio I ∈ A-Mod) nazywamy injektywnym, o ile
każdy diagram o dokładnym wierszu
- L u- M
0
g
?
I
można uzupełnić do diagramu przemiennego
- L u- M
0
g
g0
?
I
Niech M będzie dowolnym A-modułem. Wówczas mały epimorfizm h : P →
M (to jest taki, że dla każdego podmodułu X modułu P z tego, że Ker h +
X ' P wynika, że X = P ), gdzie P jest pewnym modułem projektywnym
21
(oznaczanym P (M )), nazywamy nakryciem projektywnym modułu M . Natomiast
mały monomorfizm u : M → I (to jest taki, że dla każdego podmodułu X
modułu I zachodzi Im u ∩ X 6= 0), gdzie I jest pewnym modułem injektywnym
(oznaczanym I(M )), nazywamy powłoką injektywną modułu M .
Uwaga. (i) Lewostronny A-moduł wolny F := ⊕i∈I A jest generowany przez
elementy ai := (0, . . . , 0, 1, 0, . . .) (1 stoi na i-tym miejscu). Dla dowolnego lewostronnego A-modułu M przyporządkowanie ai 7→ mi ∈ M , dla każdego i ∈ I i
dowolnych ustalonych elementów {mi ∈ M }i∈I można
Pjednoznacznie
P przedłużyć
do A-homomorfizmu f : F → M przez położenie f ( i∈I ci ai ) := i∈I ci mi dla
dowolnych ci ∈ A (odwzorowanie jest dobrze określone,
gdyż dowolny element
P
a ∈ F ma jednoznaczne przedstawienie postaci i∈I ci ai ). Analogiczna własność
jest prawdziwa dla A-modułów prawostronnych.
(ii) Zauważmy, że dla dowolnego A-modułu M generowanego przez zbiór
{ms ∈ M }s∈S istnieje moduł wolny F := ⊕s∈S A i epimorfizm f : F → M
(na mocy poprzedniej uwagi możemy przedłużyć do homomorfizmu przyporządkowanie as 7→ ms dla dowolnego s ∈ S).
(iii) Każdy moduł wolny F = ⊕i∈I A jest projektywny, gdyż występujące w
definicji odwzorowanie f 0 możemy uzyskać przedłużając do homomorfizmu przyporządkowanie ai 7→ mi ∈ M , gdzie mi jest takie, że h(mi ) = f (ai ).
(iv) Prawostronne (odpowiednio lewostronne) skończenie wymiarowe A-moduły projektywne tworzą pełną podkategorię kategorii mod-A (odpowiednio Amod), oznaczaną proj-A (odpowiednio A-proj). Analogicznie mamy kategorie injA i A-inj prawostronnych i lewostronnych skończenie wymiarowych A-modułów
injektywnych.
Dowodzi się (uzasadnienie czytelnik może znaleźć np. w monografii [4]), że
moduły projektywne i injektywne mają własności sformułowane poniżej.
Lemat. Niech A będzie dowolną ustaloną k-algebrą. Wówczas:
(i) A-moduł M jest projektywny (odpowiednio injektywny) dokładnie wtedy,
gdy każdy jego składnik prosty jest projektywny (odpowiednio injektywny).
(ii) Dla dowolnego A-modułu P następujące warunki są równoważne:
- P jest projektywny
- P jest izomorficzny z sumą prostą modułów głównych
- P jest izomorficzny ze składnikiem prostym modułu wolnego
- jądro każdego epimorfizmu f : M → P jest składnikiem prostym M (i
M ' Ker f ⊕ P ).
(iii) A-moduł M jest projektywny (odpowiednio injektywny) wtedy i tylko wtedy, gdy każdy ciąg dokładny A-modułów i A-homomorfizmów
f
g
0 -K -N -M -0
odpowiednio
22
f0
g0
0 -M -N -K -0
rozszczepia się.
(iv) Moduł I ∈ mod-A (odpowiednio A-mod) jest injektywny wtedy i tylko
wtedy, gdy D(I) ∈ A-mod (odpowiednio mod-A) jest projektywny.
(v) Moduł P ∈ mod-A (odpowiednio A-mod) jest projektywny wtedy i tylko
wtedy, gdy D(P ) ∈ A-mod (odpowiednio mod-A) jest injektywny.
(vi) Dla dowolnego A-modułu M istnieje jego nakrycie projektywne i powłoka
injektywna. Ponadto u : M → I jest powłoką injektywną M w mod-A (odpowiednio w A-mod) dokładnie wtedy, gdy D(u) : D(I) → D(M ) jest nakryciem
projektywnym D(M ) w A-mod (odpowiednio w mod-A).
(vii) Dla dowolnego A-modułu M moduły soc D(M ) i D(top M ) są izomorficzne. Dla dowolnego nierozkładalnego modułu projektywnego P i nierozkładalnego
modułu injektywnego I moduły top P i soc I są proste.
3.2. Zauważmy, że na mocy Lematu 3.1 każdy projektywny nierozkładalny
A-moduł jest izomorficzny z pewnym modułem głównym algebry A.
Niech Q = (Q0 , Q1 , s, t) będzie skończonym kołczanem. Wówczas P ∈ modkQ jest nierozkładalnym modułem projektywnym wtedy i tylko wtedy, gdy jest
izomorficzny z modułem P (i) := i kQ dla pewnego i ∈ Q0 (patrz Wniosek 2.2 i
Uwaga 1.7 punkt (i)). Wówczas mamy równości
P = i kQ = ⊕j∈Q0 i kQj = ⊕j∈Q0 ⊕δ∈∆,s(δ)=i,t(δ)=j kδ
i moduł P ' P (i) w języku reprezentacji kołczanu Q ma postać
((Va := ⊕δ∈∆,s(δ)=i,t(δ)=a kδ = i kQa )a∈Q0 , (Vα := (− · α) : Vs(α) → Vt(α) )α∈Q1 )
Załóżmy, że mamy dany nierozkładalny projektywny moduł P 0 (i) := kQi ∈
kQ-mod ' mod-kQop dla pewnego i ∈ Q0 . Wówczas, podobnie jak przy powyższej
konstrukcji, P 0 (i) w języku reprezentacji kołczanu Qop , jest postaci
0
0
((Va0 := (kQi ) ·op a = a kQi )a∈Q0 , (Vα0 := (α · −) : Vt(α)
→ Vs(α)
)α∈Q1 )
(patrz Uwaga 1.3 punkt (v) oraz Przykład 2.5 punkt (iv)). Teraz, działając na
moduł P 0 (i) funktorem D, otrzymujemy na mocy Lematu 3.1 prawostronny nierozkładalny injektywny kQ-moduł oznaczany I(i).
Rozważmy teraz pewien ideał dopuszczalny I algebry kQ generowany przez
relacje Φ = {ρ1 , . . . , ρn } (patrz Lemat 2.6). Wówczas mamy równoważność kategorii kQ/I-mod i mod-(kQ/I)op oraz na mocy Twierdzenia 2.6 kategorie te rówop
op
noważne są kategorii repk (Qop , Φop ), gdzie Φop = {ρop
to relacją w
1 , . . . , ρn } i ρ
op
kołczanie Q odpowiadająca relacji ρ w kołczanie Q (powstała przez ”odwrócenie
strzałek”, np. jeśli ρ = αβ, to ρop = βα).
Przykład. Rozważmy kołczan Q postaci
23
α
1 -2
γ
β
?δ ?
3 -4
Wówczas nierozkładalny prawostronny kQ-moduł projektywny P (1)kQ w języku
reprezentacji kołczanu Q wygląda następująco:
k1
·α-
·γ
kα
k
·β
?
kγ
·δ-
'
1
?
hi
?
W
10
1
k
hi
1
?0
- k2
k
gdzie W = kαβ ⊕ kγδ. Natomiast nierozkładalny prawostronny kQ/I-moduł
projektywny P (1)kQ/I = (i + I)(kQ/I), gdzie I jest ideałem generowanym przez
relację αβ − γδ, w języku reprezentacji wygląda następująco:
k1
·α-
·γ
k
kα
·β
?
kγ
·δ-
'
1-
k
1
?
1
?
k
W
1-
?
k
gdzie W = (kαβ ⊕ kγδ)/I. Teraz, chcąc skonstruować nierozkładalny prawostronny kQ-moduł injektywny I(4)kQ , należy najpierw zbudować lewostronny kQmoduł projektywny P (4), który w języku reprezentacji kołczanu Qop jest postaci
hi
W
γ· 6
α·
kβ
6
β·
'
k 2
hi
δ·
kδ k4
0
1
6
1
0
k
6
1
k 1 k
gdzie W = kαβ ⊕ kγδ. Nastepnie działamy na powyższy moduł funktorem D i
otrzymujemy szukany prawostronny kQ-moduł injektywny I(4)kQ postaci
[1 0]
k2 - k
[0 1]
?
k
1
?
1- k
Zauważmy, że prawostronny kQ/I-moduł injektywny I(4)kQ/I jest izomorficzny
z modułem projektywnym P (1)kQ/I , czyli moduł M = I(4)kQ/I ' P (1)kQ/I jest
kQ/I-modułem zarówno projektywnym, jak i injektywnym. Moduły takie nazywamy projektywno-injektywnymi lub bijektywnymi.
24
Uwaga. Z powyższych konstrukcji wynika, że nierozkładalny kQ/I-moduł
projektywny P (i), gdzie I jest ideałem dopuszczalnym, jest prosty dokładnie
wtedy, gdy w Q z wierzchołka i nie wychodzi żadna strzałka.
3.3. Zauważmy, jeśli e1 , . . . , en ∈ A tworzy zupełny układ prymitywnych ortogonalnych idempotentów, to A = e1 A ⊕ · · · ⊕ en A jest rozkładem modułu regularnego na nierozkładalne moduły główne, będące wszystkimi nierozkładalnymi
modułami projektywnymi kategorii mod-A. Na mocy Uwagi 1.7 punkt (ii) mamy
izomorfizm k-przestrzeni HomA (ei A, A) ' Aei oraz HomA (Aei , A) ' ei A dla każdego 1 ≤ i ≤ n. W konsekwencji funktor (−)t = HomA (−, A) (patrz punkt 1.9)
zadaje dualność (równoważność z kategorią dualną) kategorii proj-A i A-proj,
gdyż mamy funktor (−)t|proj−A : proj−A → A−proj oraz funktor quasi-odwrotny
(−)t|A−proj : A−proj → proj−A i w konsekwencji otrzymujemy izomorfizm funktorów id|proj−A ' (−)tt
|proj−A .
Na mocy powyższych rozważań oraz Lematu 3.1 otrzymujemy, że zdefiniowany w punkcie 1.9 funktor Nakayamy ν na podkategorii modułów projektywnych
działa w sposób następujący:
ν |proj−A : proj−A
HomA (−, A)
- A−proj
Homk (−, k)
- inj−A
Dla P (i) = ei A ∈ proj−A mamy
ν(P (i)) = DHomA (ei A, A) ' DAei ∈ inj−A
Podobnie dla I(i) = DAei ∈ inj−A mamy
ν −1 (I(i)) = HomA (DDAei , A) ' HomA (Aei , A) ' ei A ∈ proj−A
W konsekwencji otrzymujemy równoważność funktorów ν −1 ν ' idproj−A i νν −1 '
idinj−A zadającą równoważność kategorii proj−A ' inj−A.
25
II. Zarys teorii Auslandera-Reiten
W pracy tej wykorzystamy jedno z najsilniejszych narzędzi współczesnej teorii
reprezentacji, teorię Auslandera-Reiten, w szczegółności tzw. Twierdzenie o składowej. Kompletne wyłożenie tej teorii znacznie wykracza poza charakter tej pracy,
dlatego ograniczymy się tylko do przedstawienia podstawowych pojęć, ich własności oraz niezbędnych faktów i twierdzeń. Dowody czytelnik może znaleźć w
monografii [1], która została wykorzystana przy pisaniu tego rozdziału.
4. Podstawowe pojęcia
4.1. Definicja. Niech A będzie ustaloną k-algebrą. Wówczas mówimy, że
homomorfizm A-modułów f : M → N jest
(i) homomorfizmem lewostronnie minimalnym (HLM), o ile dla każdego h ∈
EndA (N ) z tego, że hf = f wynika, że h jest automorfizmem.
(ii) homomorfizmem prawostronnie minimalnym (HPM), o ile dla każdego
k ∈ EndA (M ) z tego, że f k = f wynika, że k jest automorfizmem.
(iii) homomorfizmem lewostronnie prawie rozszczepialnym (HLPR), o ile f
nie jest sekcją oraz dla każdego homomorfizmu u : M → U , który nie jest sekcją,
istnieje homomorfizm u0 : N → U taki, że u = u0 f , czyli taki, że diagram
f
M -N
u
u0
?
U
jest przemienny.
(iv) homomorfizmem prawostronnie prawie rozszczepialnym (HPPR), o ile f
nie jest retrakcją oraz dla każdego homomorfizmu v : V → N , który nie jest
retrakcją, istnieje homomorfizm v 0 : V → M taki, że f v 0 = v, czyli taki, że
diagram
v0
V
v
?
M -N
f
jest przemienny.
(v) homomorfizmem lewostronnie minimalnym prawie rozszczepialnym (HLMPR), o ile jest HLM i HLPR.
(vi) homomorfizmem prawostronnie minimalnym prawie rozszczepialnym (HPMPR), o ile jest HPM i HPPR.
26
(vii) nieprzywiedlny, o ile f nie jest sekcją ani retrakcją oraz dla każdej pary
homomorfizmów f1 : M → X, f2 : X → N z tego, że f = f2 f1 wynika, że f1 jest
sekcją lub f2 jest retrakcją.
Lemat. (i) Jeśli f : L → M i f 0 : L → M 0 są HLMPR, to istnieje izomorfizm
h : M → M 0 taki, że hf = f 0 . Innymi słowy, odwzorowanie HLMPR z modułu L
jest wyznaczone ”jednoznacznie z dokładnością do izomorfizmu”.
(ii) Jeśli g : M → N i g 0 : M 0 → N są HPMPR, to istnieje izomorfizm
k : M → M 0 taki, że g 0 k = g. Innymi słowy odwzorowanie HPMPR do modułu
N jest wyznaczone ”jednoznacznie z dokładnością do izomorfizmu”.
(iii) Jeśli f : L → M jest HLPR, to L jest nierozkładalny.
(iv) Jeśli g : M → N jest HPPR, to N jest nierozkładalny.
(v) Jeśli f : M → N jest nieprzywiedlny, to f jest monomorfizmem lub
epimorfizmem i f nie jest izomorfizmem.
(vi) Jeśli f : L → M jest HLMPR, to f jest nieprzywiedlny oraz dla każdego
homomorfizmu f 0 : L → M 0 zachodzi równoważność: f 0 jest nieprzywiedlny wtedy
00
00
00
i tylko wtedy, gdy M 0 6= 0 oraz istnieją moduł
h 0 iM i homomorfizm f : L → M
takie, że M ' M 0 ⊕ M 00 i odwzorowanie ff00 : L → M 0 ⊕ M 00 jest HLMPR,
h 0i
gdzie ff00 (l) = (f 0 (l), f 00 (l)) dla każdego l ∈ L. Ponadto istnieje izomorfizm
h 0i
0
00
h : M → M ⊕ M taki, że ff00 = hf . Innymi słowy, wszystkie odwzorowania
nieprzywiedlne z L to ”składniki proste” odwzorowania f .
(vii) Jeśli g : M → N jest HPMPR, to g jest nieprzywiedlny oraz dla każdego
homomorfizmu g 0 : M 0 → N zachodzi równoważność: g 0 jest nieprzywiedlny wtedy
i tylko wtedy, gdy M 0 6= 0 oraz istnieją moduł M 00 i homomorfizm g 00 : M 00 → N
takie, że M ' M 0 ⊕M 00 i odwzorowanie [g 0 , g 00 ] : M 0 ⊕M 00 → N jest HPMPR, gdzie
[g 0 , g 00 ](m0 , m00 ) = g 0 (m0 ) + g 00 (m00 ) dla wszystkich m0 ∈ M 0 , m00 ∈ M 00 . Ponadto
istnieje izomorfizm h : M → M 0 ⊕ M 00 taki, że [g 0 , g 00 ]h = g. Innymi słowy,
wszystkie odwzorowania nieprzywiedlne do N to ”składniki proste” odwzorowania
g.
Uwaga. (i) Niech P będzie nierozkładalnym modułem projektywnym. Wówczas włożenie w : rad P → P jest HPMPR.
(ii) Niech I będzie nierozkładalnym modułem injektywnym. Wówczas rzutowanie p : I → I/soc I jest HLMPR.
4.2. Definicja. Ciąg dokładny A-modułów
f
g
0 -L -M - N - 0
nazywamy ciągiem prawie rozszczepialnym (CPR) lub inaczej ciągiem AuslanderaReiten, o ile f jest HLMPR i g jest HPMPR.
Uwaga. Niech ciąg dokładny
27
f
g
0 -L -M - N - 0
E:
będzie ciągiem Auslandera-Reiten. Wówczas
(i) Moduły L, N są nierozkładalne, L jest nieinjektywny, a N jest nieprojektywny.
(ii) Jeśli ciąg dokładny
f0
g0
0 - L0 - M 0 - N 0 - 0
E0 :
jest CPR, to następujące warunki są równoważne:
'
'
'
(a) E ' E 0 , tzn. istnieją izomorfizmy L → L0 , M → M 0 , N → N 0 , czyniące
poniższy diagram przemiennym
E:
f
g
0 -L -M - N - 0
E0 :
? 0 ? 0 ?
- L0 f- M 0 g- N 0 - 0
'
0
'
'
(b) L ' L0 .
(c) N ' N 0 .
Następujący fakt podaje inne charakteryzacje ciągów AuslanderaReiten.
Stwierdzenie. Niech ciąg
f
g
E:
0 -L -M - N - 0
będzie ciągiem dokładnym. Wówczas następujące warunki są równoważne
(i) ciąg E jest CPR.
(ii) f jest HLMPR.
(iii) g jest HPMPR.
(iv) L, N są modułami nierozkładalnymi, zaś f, g są homomorfizmami nieprzywiedlnymi.
Przykład. Niech P będzie A-modułem projektywno-injektywnym. Wówczas
ciąg A-modułów i A-homomorfizmów postaci
» –
q
i
[−j,p]
0 −→ rad P −→ (rad P )/(soc P ) ⊕ P −→ P/(soc P ) −→ 0
jest CPR, gdzie i, j są kanonicznymi włożeniami, zaś q, p kanonicznymi rzutami.
4.3. Ustalmy dowolny A-moduł M . Wówczas na mocy Lematu 3.1 istnieje
jego nakrycie projektywne p0 : P0 → M oraz nakrycie projektywne jego jądra
p01 : P1 → Ker p0 . Mamy więc ciąg dokładny
(∗)
p1
p0
P1 −→ P0 −→ M −→ 0
28
(nazywany prezentacją projektywną modułu M ), gdzie p1 (x) = p01 (x) dla każdego
x ∈ P1 . Do ciągu (∗) stosujemy funktor (−)t i otrzymujemy (patrz punkt 1.9)
ciąg dokładny
(∗t )
p0 t
p1 t
π
0 −→ M t −→ P0 t −→ P1 t −→ Coker p1 t −→ 0
gdzie π jest naturalnym rzutowaniem. Można pokazać, że dla różnych wyborów
nakryć projektywnych moduły Coker p1 t są izomorficzne. Dla danego modułu M
możemy wybrać jeden ustalony element klasy [Coker p1 t ]' , zadany przez wybór
prezentacji (∗). Oznaczmy go Tr M .
Dla dowolnego modułu M ∈ mod−A kładziemy τ M = DTr M oraz τ −1 M =
TrD M , gdzie D jest funktorem dualności (patrz 1.9). Tak zdefiniowane przyporządkowania nazywamy translacją (odpowiednio odwrotną translacją) AuslanderaReiten.
Własności. (i) Jeśli M ∈ mod-A jest nierozkładalny nieprojektywny, to
τ M ∈ mod-A jest nierozkładalny nieinjektywny. Jeśli M jest projektywny, to
τ M = 0.
(ii) Jeśli M ∈ mod-A jest nierozkładalny nieinjektywny, to τ −1 M ∈ mod-A
jest nierozkładalny nieprojektywny. Jeśli M jest injektywny, to τ M = 0.
(iii) Niech A będzie algebrą dróg kołczanu Q = (Q0 , Q1 , s, t), przy czym zakładamy, że Q0 = {1, 2, . . . , |Q0 |}. Wówczas P (1), . . . , P (n) to wszystkie nierozkładalne A-moduły projektywne oraz I(1), . . . , I(n) to wszystkie nierozkładalne
moduły injektywne (patrz 3.2). Nie jest trudno pokazać, że dla dowolnego nierozkładalnego nieprojektywnego prawostronnego A-modułu M , moduł τ M możemy
skonstruować wykorzystując funktor Nakayamy ν (patrz własności w punkcie
3.3). Konstruujemy prezentację projektywną modułu M :
p1
p0
P1 −→ P0 −→ M −→ 0
Niech P1 = ⊕ni=1 P (i)ni i P0 = ⊕ni=1 P (i)mi , gdzie n1 , . . . , nn , m1 , . . . , mn ≥ 0,
będą rozkładami na sumę prostą modułów nierozkładalnych. Zatem odwzorowanie p1 zadane jest przez macierz odwzorowań pomiędzy nierozkładalnymi modułami projektywnymi. Wówczas moduł τ M jest izomorficzny z jądrem odwzorowania ν(p1 ) : ⊕ni=1 I(i)ni → ⊕ni=1 I(i)mi i ν(p1 ) jest odpowiednią macierzą, której
współczynniki są proste do obliczania korzystając z definicji ν.
Bardzo duże znaczenie ze względu na zastosowania ma następujący fakt.
Twierdzenie. Niech M będzie nieprojektywnym modułem nierozkładalnym.
Wówczas:
(i) Istnieje ”jedyny z dokładnością do izomorfizmu” ciąg
E:
0
-L
f-
g
K -M - 0
29
będący CPR, przy czym L = τ M .
(ii) Ciąg dokładny
E:
0
- τ M f- K g- M
-0
jest CPR dokładnie wtedy, gdy E jest nierozszczepialny oraz dla każdego nieizomorfizmu v : M → M istnieje v 0 : M → K taki, że gv 0 = v. W szczególności, jeśli
EndA M jest ciałem, to E jest CPR dokładnie wtedy, gdy jest nierozszczepialny.
Uwaga. Dualna wersja powyższego Twierdzenia jest prawdziwa dla modułu
L nieinjektywnego. Wówczas za moduł M trzeba przyjąć τ −1 M .
5. Kołczan Auslandera-Reiten algebry
5.1. Przez ind-A będziemy oznaczać pełną podkategorię kategorii mod-A złożoną ze wszystkich prawostronnych A-modułów nierozkładalnych. Ustalmy teraz
moduły X, Y z ind-A. Wówczas przez J(X, Y ) oznaczamy zbiór wszystkich nieizomorfizmów między X i Y . Natomiast przez J 2 (X, Y ) oznaczamy zbiór wszystkich
odwzorowań f ∈ HomA (X, Y ) takich, że istnieją n ≥ 1, moduły nierozkładalne
Zi oraz homomorfizmy gi : X → Zi , hi : ZP
i → Y , 1 ≤ i ≤ n, należące do J(X, Zi )
oraz odpowiednio J(Zi , Y ), takie, że f = ni=1 hi gi .
Uwaga. (i) Łatwo pokazuje się, że J(∗, −) jest ideałem kategorii ind-A.
(ii) Dla dowolnych X, Y z ind-A odwzorowanie f : X → Y jest nieprzywiedlne
dokładnie wtedy, gdy f ∈ J(X, Y ) \ J 2 (X, Y ).
(iii) Dla dowolnych X, Y z ind-A zbiory J(X, Y ) i J 2 (X, Y ) są w naturalny
sposób wyposażone w strukturę k-przestrzeni i stąd mamy przestrzeń ilorazową
Irr(X, Y ) = J(X, Y )/J 2 (X, Y ), tzw. bimoduł odwzorowań nieprzywiedlnych z X
do Y .
Definicja. Niech A będzie ustaloną k-algebrą. Wówczas kołczanem Auslandera-Reiten algebry A nazywamy kołczan ΓA = (Γ0 , Γ1 , s, t) określany następująco:
(i) Γ0 = (ob ind-A)/'.
(ii) Γ1 ([M ], [N ]) = {α1 , . . . , αm : m = dimk Irr(M, N ), < α1 , . . . , αm > =
Irr(M, N )} dla dowolnych M, N z ind-A, przy czym [M ] = [M ]' .
Następny fakt łączy precyzyjnie pojęcia CPR i kołczanu Auslandera-Reiten.
Stwierdzenie. Niech dany będzie ciąg dokładny
E:
f
g
0 -L -M -N - 0
przy czym L, N są nierozkładalnymi A-modułami i M = ⊕ti=1 Mini dla pewnych
t ≥ 1, n1 , . . . , nt ≥ 1, M1 , . . . , Mt nierozkładalnych parami nieizomorficznych
30
"f #
1
A-modułów. Ponadto, niech f =
.
.
.
ft
, gdzie fi : L → Mini są współrzędny"f #
i1
..
.
mi odwzorowania f dla 1 ≤ i ≤ t oraz fi =
, gdzie fij : L → Mi są
fini
współrzędnymi odwzorowania fi dla 1 ≤ i ≤ t oraz 1 ≤ j ≤ ni . Odpowiednio
niech g = [g1 , . . . , gt ], gdzie gi : Mini → N są współrzędnymi odwzorowania g dla
każdego 1 ≤ i ≤ t oraz gi = [gij , . . . , gini ], gdzie gij : Mi → N są współrzędnymi
odwzorowania gi dla każdego 1 ≤ i ≤ t oraz 1 ≤ j ≤ ni .
Wówczas następujące warunki są równoważne:
(i) E jest ciągiem Auslandera-Reiten.
(ii) Dla każdego 1 ≤ i ≤ t oraz 1 ≤ j ≤ ni mamy fij ∈ J(L, Mi ); dla każdego
1 ≤ i ≤ t warstwy fi1 , . . . , fini ∈ Irr(L, Mi ) tworzą bazę przestrzeni Irr(L, Mi );
ponadto, jeśli Irr(L, M 0 ) 6= 0 dla nierozkładalnego A-modułu M 0 , to M 0 ' Mi dla
pewnego 1 ≤ i ≤ n.
(iii) Dla każdego 1 ≤ i ≤ t oraz 1 ≤ j ≤ ni mamy gij ∈ J(Mi , N ); dla każdego
1 ≤ i ≤ t warstwy gi1 , . . . , gini ∈ Irr(Mi , N ) tworzą bazę przestrzeni Irr(Mi , N );
ponadto, jeśli Irr(M 0 , N ) 6= 0 dla nierozkładalnego A-modułu M 0 , to M 0 ' Mi dla
pewnego 1 ≤ i ≤ n.
W konsekwencji dla każdego 1 ≤ i ≤ t zachodzi równość wymiarów przestrzeni
Irr(L, Mi ) i Irr(Mi , N ).
Przykład. (i) Pokażemy co oznacza powyższe stwierdzenie na konkretnym
przykładzie. Ustalmy A-moduły nierozkładalne L, M1 , M2 , N , przy czym załóżmy,
że M1 i M2 są nieizomorficzne. Wówczas, jeśli ciąg dokładny
f
g
0 -L -M - N - 0
h i
gdzie M = M1 ⊕ M2 oraz f = ff12 i g = [g1 , g2 ]; fi : L → Mi , gi : Mi → N
dla i = 1, 2, jest CPR, to przestrzenie Irr(L, Mi ) i Irr(Mi , N ) dla i = 1, 2 są
jednowymiarowe (generowane odpowiednio przez warstwy f1 ,f2 ,g1 ,g2 ). W konsekwencji kołczan
E:
* [M1 ] H
j
H
[L] H
[N ]
*
j
H
[M2 ]
jest podkołczanem kołczanu ΓA ”opisującym lokalnie” strukturę ΓA . Znaczy to
również, że z wierzchołka [L] nie wychodzi, zaś do wierzchołka [N ] nie wchodzi
więcej strzałek w kołczanie ΓA , niż ma to miejsce na powyższym rysunku.
(ii) Rozważmy teraz przypadek ogólny, tj. załóżmy, że mamy ciąg Auslandera-Reiten postaci
31
E:
f
g
0 -L -M - N - 0
gdzie L, N są nierozkładalnymi A-modułami i M = ⊕ti=1 Mini dla pewnych t ≥ 1,
n1 , . . . , nt ≥ 1, M1 , . . . , Mt nierozkładalnych parami nieizomorficznych A-modułów. Wówczas kołczan
n1* [M ] Hn1
1
.j
.
.
*
H. H
*
j
.. HH
[L]
[N ]
.
*
H
*
j
H
.
.
j
H
. *
H
nt H
j [Mt ] nt
jest podkołczanem kołczanu ΓA . Ponadto z wierzchołka [L] nie wychodzi, zaś do
wierzchołka [N ] nie wchodzi więcej strzałek w kołczanie ΓA , niż ma to miejsce
na powyższym rysunku. W szczególności kołczan ΓA jest lokalnie skończony, tzn.
dla dowolnego ustalonego wierzchołka a ∈ Γ0 liczba strzałek wychodzących i
wchodzących do a jest skończona. Kołczan powyższej postaci zadany przez CPR
nazywamy oczkiem (ang. mesh) kołczanu ΓA .
(iii) W przypadku, gdy A-moduł P jest projektywny, na mocy Uwagi 4.1
mamy HPMPR w : rad P → P , czyli lokalnie ΓA ma postać:
[P1 ] H
H
H
j
H
[P2 ]
[P ]
..
*
. [Pn ]
gdzie dla pewnego n ≥ 1, moduły P1 , . . . , Pn są wszystkimi nierozkładalnymi
składnikami prostymi radykału modułu P .
Podobnie, dla A-modułu I injektywnego, lokalnie kołczan ΓA ma postać
* [I1 ]
- [I2 ]
[I]
H
..
HH .
j
H
[Im ]
gdzie dla pewnego m ≥ 1, moduły I1 , . . . , Im są wszystkimi nierozkładalnymi
składnikami prostymi modułu I/(soc I).
Poniżej przedstawimy treść Twierdzenia o składowej, stanowiącego silne narzędzie do badania skończoności typu reprezentacyjnego algebry oraz pozwalające na stwierdzanie, że pewna klasa modułów nierozkładalnych opisuje wszystkie
moduły nierozkładalne z dokładnością do izomorfizmu. W literaturze spotyka
się bardziej ogólne sformułowanie, lecz tu przytaczamy je w postaci najbardziej
dopasowanej do naszych celów.
32
Twierdzenie (o składowej). Niech X będzie podklasą klasy obiektów kategorii ind−A domkniętą na izomorfizmy, taką, że |X| < ∞, gdzie X = X/'.
Załóżmy, że X spełnia warunki:
(i) Dla dowolnego nierozkładalnego modułu projektywnego wszystkie nierozkładalne składniki proste jego radykału należą do klasy X.
(ii) Dla dowolnego nierozkładalnego modułu injektywnego wszystkie nierozkładalne składniki proste jego ilorazu przez cokół należą do klasy X.
(iii) Dla każdego nieprojektywnego modułu X ∈ X wszystkie nierozkładalne
składniki proste modułu E należą do klasy X, gdzie 0 → τ X → E → X → 0 jest
CPR.
(iv) Dla każdego nieinjektywnego modułu X ∈ X wszystkie nierozkładalne
składniki proste modułu E należą do klasy X, gdzie 0 → X → E → τ −1 X → 0
jest CPR.
Wówczas, jeśli pełny podkołczan Γ kołczanu ΓA rozpięty na wierzchołkach z
klasy X jest spójny, to Γ jest składową spójności w ΓA i stąd Γ = ΓA oraz X składa
się ze wszystkich A-modułów nierozkładalnych (w szczególności, A jest skończonego typu reprezentacyjnego).
33
III. Specjalne algebry biseryjne
6. Wprowadzenie
6.1. Definicja. Niech A będzie ustaloną k-algebrą. Wówczas mówimy, że Amoduł M jest seryjny (inaczej uniseryjny), o ile krata jego podmodułów jest
łańcuchem.
Moduł M nazywamy biseryjnym, o ile jego radykał jest sumą dwóch niezerowych seryjnych podmodułów, których przekrój jest zerowy lub prosty.
Algebrę A nazywamy biseryjną, o ile każdy lewostronny i prawostronny nieseryjny nierozkładalny A-moduł projektywny jest biseryjny.
Przykład. (i) Rozważmy algebrę kQ dla kołczanu Q postaci
1 -2
- · · · - n−1 - n
Wówczas mamy uniseryjny kQ moduł P , którego krata podmodułów tworzy
następujący łańcuch
1
1
1
1
P : k - k - ··· - k - k
∪
0
1
0
k
· · · 1- k 1- k
∪
..
.
∪
0
0
1
1
0 - 0 - ··· - 0 - k
∪
0
0
0
0
· · · 0- 0 0- 0
gdzie 0 i 1 nad strzałkami oznaczają odpowiednio odwzorowanie zerowe i identyczność na k.
(ii) Rozważmy kołczan Q postaci
α
1 -2
γ
β
?δ ?
3
4
z relacją przemienności αβ −γδ generującą ideał I. Wówczas prawostronny kQ/Imoduł projektywny P (1) (patrz Przykład 3.2) i jego radykał (patrz Przykład 2.5)
są postaci
P (1)
rad P (1)
M1
M2
1
0
0
0
k -k
0 -k
0 -k
0 -0
1
1 ⊃ 0
1 = 0
1 + 0
0
?1 ?
?1 ?
?0 ?
?1 ?
k
k
k
k
0
k
k
k
34
Radykał P (1) jest, jak widać, sumą dwóch modułów seryjnych M1 , M2 , których
przekrój jest prosty (równy k), co implikuje, że moduł P (1) jest biseryjny.
6.2. Definicja. Algebrę A nazywamy specjalną, jeśli jest ona postaci1 kQ/I,
gdzie Q = (Q0 , Q1 , s, t) jest skończonym kołczanem, a I ideałem dopuszczalnym
algebry kQ, gdzie para (Q, I) spełnia warunki:
(SP1) Liczba strzałek zaczynających się (odpowiednio kończących) w ustalonym wierzchołku kołczanu Q jest ograniczona przez 2.
(SP2) Dla każdej strzałki α ∈ Q1 istnieje co najwyżej jedna strzałka β ∈ Q1 i
co najwyżej jedna strzałka γ ∈ Q1 takie, że relacje βα, αγ nie należą do I.
Algebrę specjalną A = kQ/I nazywamy algebrą strunową, o ile algebra A
jest specjalna oraz ideał I posiada zbiór generatorów składający się z zero-relacji
(mówimy czasami, że algebra A jest specjalną algebrą typu strunowego).
Lemat. Każda algebra specjalna jest biseryjna.
Dowód. Niech A = kQ/I, gdzie (Q, I) spełnia warunki (SP). Dla dowolnej
ustalonej strzałki α1 : i → j ∈ Q1 rozważmy zbiór ścieżek S(α1 ) := {u =
α1 α2 · · · αs : s ≥ 1; α2 , . . . , αs ∈ Q1 ; u ∈
/ I} z porządkiem u ≤ v, gdzie u, v ∈
S, dokładnie wtedy, gdy dla pewnej ścieżki u0 zachodzi uu0 = v (czyli u jest
początkową podścieżką v). Pokażemy, że zbiór S(α1 ) jest liniowo uporządkowany.
Załóżmy, że tak nie jest, czyli dla pewnych u, w ∈ S(α1 ) mamy u w oraz
w u. Wówczas, ponieważ obie zaczynają się strzałką α1 , istnieją n, m, t ≥ 1,
takie, że t < n, m oraz strzałki α2 , . . . , αn ∈ Q1 , βt+1 , . . . , βm ∈ Q1 , że u =
α1 · · · αt αt+1 · · · αn oraz w = α1 · · · αt βt+1 · · · βm . Wtedy z warunku (SP2) albo
αt αt+1 ∈ I albo αt βt+1 ∈ I i w konsekwencji albo u ∈ I albo w ∈ I i otrzymujemy sprzeczność z tym, że u, w ∈ S(α1 ). Zatem zbiór S(α1 ) jest liniowo
uporządkowany i skończony (bo I jest dopuszczalny). Niech wobec tego α1 · · · αs
będzie elementem największym zbioru S(α1 ). Wówczas moduł α1 A (δ oznacza
warstwę ścieżki δ) jest podmodułem modułu rad P (i), gdzie P (i) = P (i)kQ/I =
i A (patrz konstrukcja radykału reprezentacji w Przykładzie 2.5 oraz konstrukcja
reprezentacji projektywnych w punkcie 3.2) oraz krata podmodułów modułu α1 A
wygląda następująco: α1 A ⊃ α1 α2 A ⊃ · · · ⊃ α1 · · · αs A ⊃ 0 i α1 A jest modułem
seryjnym.
Zauważmy, że z warunku (SP1) wynika, że rad P (i) jest sumą co najwyżej
dwóch seryjnych modułów postaci jak wyżej. Załóżmy, że z wierzchołka i wychodzi
jeszcze jedna strzałka β1 ∈ Q1 , przy czym β1 · · · βt jest największym elementem
zbioru S(β1 ) dla pewnych t ≥ 1 i β2 , . . . , βt ∈ Q1 . Wówczas rad P (i) = α1 A+β1 A.
Pokażemy, że przekrój modułów α1 A i β1 A jest zerowy lub prosty. Załóżmy, że
T := α1 A ∩ β1 A 6= 0. Ponieważ T jest podmodułem obu modułów seryjnych,
to istnieją liczby dodatnie s0 , t0 takie, że s0 ≤ s, t0 ≤ t, t(αs0 ) = t(βt0 ) i T =
1
W literaturze spotyka się ogólniejszą definicję, tzn. wystarczy, że algebra A jest Morita
równoważna algebrze kQ/I, ale na potrzeby niniejszej pracy wystarczy przytoczona definicja.
35
α1 · · · αs0 A = β1 · · · βt0 A (*). Wówczas αs0 6= βt0 , gdyż gdyby były równe, to z
(SP2) mielibyśmy αs0 −1 αs0 ∈ I lub βt0 −1 αs0 ∈ I - sprzeczność z wyborem ścieżek
α1 · · · αs i β1 · · · βt . Zauważmy, że wówczas T jest również modułem seryjnym
i dla pewnego l ≥ 0 i strzałek γ1 , . . . , γl ∈ Q1 jego krata podmodułów jest
postaci: α1 · · · αs0 A ⊃ α1 · · · αs0 γ1 A ⊃ · · · ⊃ α1 · · · αs0 γ1 · · · γl A ⊃ 0. Wówczas,
jeśli α1 · · · αs0 γ1 ∈
/ I, to z rówości (*) również β1 · · · βt0 γ1 ∈
/ I i wobec tego αs0 γ1 ∈
/I
oraz βt0 γ1 ∈
/ I - otrzymujemy sprzeczność z warunkiem (SP2). W konsekwencji
l = 0 i T = kα1 · · · αs0 jest prosty.
Pokazaliśmy więc, że dowolny prawostronny nieseryjny nierozkładalny kQ/Imoduł projektywny jest biseryjny. Z symetrycznośći warunków (SP) otrzymujemy, że (Qop , I op ) również je spełnia i mamy analogicznie własności lewostronnych
modułów projektywnych (patrz konstrukcja lewostronnych kQ/I-modułów projektywnych w punkcie 3.2). Ostatecznie algebra A jest biseryjna.
2
Uwaga. Jeśli algebra kQ/I jest specjalna, to łatwo pokazać, że dla każdego
ideału I1 algebry kQ/I algebra ilorazowa (kQ/I)/I1 jest również specjalna.
Umowa. Wobec prawdziwości powyższego lematu algebry specjalne nazywane są specjalnymi algebrami biseryjnymi. Dalej parę (Q, I) będziemy nazywać
specjalnym kołczanem biseryjnym, o ile (Q, I) spełnia warunki (SP) (czyli algebra
kQ/I jest specjalna biseryjna).
Głównym celem niniejszej pracy jest podanie kryterium rozstrzygającego,
kiedy specjalne algebry biseryjne są skończonego typu reprezentacyjnego oraz
podanie opisu modułów nierozkładalnych w tej sytuacji (patrz Twierdzenie 10.3).
W dowodzie wykorzystanie zostana redukcja problemu do przypadku algebr strunowych ze szczególnym wyróżnieniem specjalnych drzew biseryjnych.
7. Drogi niezorientowane w specjalnych kołczanach biseryjnych
Niech w = (a|α1 . . . αn |b) będzie ścieżką w kołczanie Q = (Q0 , Q1 , s, t), gdzie
a, b ∈ Q0 , α1 , . . . , αn ∈ Q1 , przy czym t(α1 ) = a1 i s(αn ) = b1 . W tym rozdziale
będziemy stosować następującą konwencję przedstawienia graficznego ścieżki w
α
α2
αα
a -1 a1 · · · n−1
b1 -n b
oraz jej formalnej odwrotności w−1
α α
α
α
b n b1 n−1· · · 2 a1 1 a
czyli drogi niezorientowanej <b|αn αn−1 . . . α2 α1 |a>.
7.1. Definicja. Niech skończony kołczan Q = (Q0 , Q1 , s, t) i ideał I algebry kQ spełniają warunki (SP). Wówczas V -ciągiem w (Q, I) nazywamy drogę
niezorientowaną w w kołczanie Q postaci
36
δ
α
β1 ... γδ
γ- δ
α
βr ... γ1
r
ej0 0 ... 1 ei1 ej1 1 ... r−1
ejr−1r−1 ... r eir ejr
gdzie literami greckimi oznaczone są strzałki, a ej0 , . . . , ejr , ei1 , . . . , eir są odpowiednimi wierzchołkami kołczanu Q (ostatnia podścieżka i ścieżka, której formalna
odwrotność jest początkiem drogi w mogą być trywialne), która spełnia warunki:
(i) żadna ścieżka u taka, że u lub u−1 jest poddrogą drogi w nie należy do I,
(ii) w ideale I nie ma relacji postaci u − λu0 , gdzie u, u0 są ścieżkami, przy
czym u lub u−1 jest poddrogą drogi w i λ ∈ k, oprócz takiej, gdzie λ = 1 i u = u0 ,
(iii) αt 6= βt dla wszystkich 1 ≤ t ≤ r oraz γs 6= δs dla wszystkich 1 ≤ s ≤ r−1.
Ponadto V -ciąg w nazywamy prymitywnym V -ciągiem w (Q, I), o ile dla każdego n ∈ N istnieje w Q droga niezorientowana wn (tzn. wierzchołek początkowy
w pokrywa się z końcowym) i jest ona V -ciągiem oraz w nie jest potęgą żadnego
innego V -ciągu w0 w (Q, I).
Umowa. Przyjmuje się, że droga pusta ø jest V -ciągiem w (Q, I). Symbolem
V (Q, I) oznaczamy zbiór wszystkich V -ciągów w (Q, I).
Niech v, w będą dowolnymi V -ciągami w (Q, I). Wówczas, o ile wierzchołek
będący końcem v pokrywa się z wierzchołkiem będącym początkiem w (lub w =
ø), to złożenie dróg vw nazywamy konkatenacją V -ciągów v i w (może się zdarzyć,
że vw nie będzie V -ciągiem).
Zauważmy, że każda poddroga niezorientowana V -ciągu w jest V -ciągiem,
który nazywamy V -podciągiem ciągu w.
Następne stwierdzenie odgrywać będzie kluczową rolę w dowodzie głównego
twierdzenia pracy.
Stwierdzenie. Niech (Q, I) będzie specjalnym kołczanem biseryjnym bez prymitywnych V -ciągów. Wówczas zbiór V -ciągów V (Q, I) jest skończony.
Dowód. W celu udowodnienia tezy przeprowadzimy rozumowanie nie wprost.
Załóżmy, że zbiór V (Q, I) jest nieskończony. Ze skończoności kołczanu Q wiemy,
że ilość V -ciągów o ustalonej długości jest skończona. Zatem ze zbioru V (Q, I)
możemy wybrać nieskończony ciąg W = (wi )i∈N V -ciągów o rosnącej długości.
Zauważmy, że ponieważ zbiór Q0 jest skończony, istnieje wierzchołek a ∈ Q0
oraz nieskończony podciąg W 0 = (wi0 )i∈N ciągu W taki, że wierzchołek a jest
początkowym wierzchołkiem każdej z dróg wi0 . Ponieważ z wierzchołka a wychodzą
co najwyżej dwie i wchodzą co najwyżej dwie strzałki, musi istnieć strzałka
(lub formalna odwrotność) α w kołczanie Q taka, że nieskończenie wiele V ciągów z ciągu W 0 zaczyna się strzałką (lub formalną odwrotnością) α. Rozumując
indukcyjnie, możemy z ciągu W 0 wybrać nieskończony podciąg V = (vi )i∈N taki,
że vi jest początkowym V -podciągiem V -ciągu vi+1 oraz |vi | < |vi+1 | dla każdego
i ≥ 1. Oznaczmy przez v∞ nieskończoną drogę ”w prawo” zadaną przez ciąg V ,
tzn. dla każdego i ≥ 1 V -ciąg vi jest początkową poddrogą drogi v∞ .
37
Zauważmy, że ze skończoności kołczanu Q istnieje wierzchołek b ∈ Q0 taki,
że b wystąpuje nieskończenie wiele razy razy w drodze v∞ . Oznaczmy przez bi
kolejne i-te wystąpienie wierzchołka b w drodze v∞ (formalnie w nieskończonym
ciągu kolejnych wierzchołków drogi v∞ ) oraz przez Um (bi ), m ≥ 1, V -ciąg będący
poddrogą drogi v∞ długości 2m, której środkowym wierzchołkiem jest wierzchołek
bi , o ile istnieje. Oznacza to, że istnieją drogi v, w (w - nieskończona) i strzałki
(lub formalne odwrotności) α1 , . . . , αm , β1 , . . . βm takie, że v∞ = vUm (bi )w oraz
Um (bi ) = α1 · · · αm bi β1 · · · βm . Zauważmy, że dla ustalonego m ≥ 1 droga Um (bi )
istnieje dla prawie wszystkich i ≥ 1.
Ze skończoności kołczanu Q dla każdego m ≥ 1 istnieją i = i(m), j = j(m) ≥ 1
takie, że i < j oraz Um (bi ) = Um (bj ) i dla pewnych niepustych dróg u1 =
u1 (m), u2 = u2 (m), u3 = u3 (m) (u3 jest nieskończona) zachodzi równość v∞ =
u1 Um (bi )u2 Um (bj )u3 . Zauważmy, że ponieważ ideał I jest dopuszczalny i każda
skończona poddroga w drogi v∞ jest V -ciągiem, istnieje takie n ≥ 1, że dla
każdego i ≥ 1 droga Un (bi ) nie jest drogą zorientowaną (wystarczy przyjąć za
n stopień nilpotentności ideału rad(kQ/I)). Niech Un (bi ) = wbi w0 . Wówczas
łatwo zobaczyć, że z wyboru n, i oraz j, v = bi w0 u2 wbj = bw0 u2 wb dla każdego t ≥ 1 droga v t jest V -ciągiem, bowiem każda podścieżka (lub formalna
odwrotność ścieżki) drogi v t długości nie większej od n albo zawiera b i wówczas jest V -podciągiem Un (bi ) lub jest poddrogą V -ciągu v. Zauważmy, że jeśli
v nie jest ”potęgą” żadnego innego V -ciągu, to v jest prymitywnym V -ciągiem,
w przeciwnym wypadku istnieje prymitywny V -ciąg v 0 oraz k ≥ 1, że v = v 0k .
W konkluzji otrzymujemy, że jeśli w kołczanie (Q, I) nie ma prymitywnych V ciągów, to zbiór wszystkich V -ciągów w (Q, I) jest skończony.
2
7.2. Niech (Q, I) będzie specjalnym kołczanem biseryjnym. Wprowadzimy
pewne operacje modyfikujące V -ciągi w (Q, I), które, jak pokażemy w paragrafie
8, pozwalają tworzyć ciągi Auslandera-Reiten nad algebrą kQ/I. Niech w będzie
niepustym V -ciągiem w (Q, I) postaci
ej0 ...
ei1 - ... ... - ejr−1
... α
ek r eir - ... - ejr
Wówczas przez wR oznaczamy drogę będącą maksymalnym V -ciągiem rozszerzającym w w prawo poprzez dopisanie V -ciągu
ejr - ejr+1
... eir+1
o ile taki istnieje (poddroga ejr+1 ← · · · ← eir+1 może być trywialna). Jeśli w
(Q, I) nie ma takiego rozszerzenia (w Q nie istnieje stosowna strzałka wychodząca
z wierzchołka ejr ), to za wR przyjmujemy V -ciąg powstały z w przez usunięcie
ostatniej podścieżki, włączając wierzchołek eir i strzałkę αr (wR może być pustym
38
V -ciągiem). Zauważmy, że wR = ø dokładnie wtedy, gdy w jest postaci w =
e1 → · · · → en dla pewnego n ≥ 1 i w nie można rozszerzyć w powyższy
sposób. Analogicznie definiujemy V -ciąg wL będący odpowiednim rozszerzeniem
lub skróceniem V -ciągu w z lewej strony.
Z definicji V -ciągu i własności (SP) pary (Q, I) widać, że operacje −R , −L
dla nietrywialnych (tzn. nie składających się tylko z jednego wierzchołka) V ciągów są deterministyczne (tzn. mają charakter funkcyjny w odniesieniu do tych
V -ciągów), ponadto zawsze możemy je zastosować do niepustego V -ciągu.
W przypadku niektórych V -ciągów trywialnych może się zdarzyć, że ciągi te
można za pomocą operacji −R (i odpowiednio −L ) rozszerzyć na dwa sposoby,
dlatego zapis v = aR (odpowiednio v = aL ) dla v ∈ V (Q, I), a ∈ Q0 należy
rozumieć w następujący sposób: V -ciąg v jest jednym z dwóch możliwych rozszerzeń ciągu trywialnego składającego się z wierzchołka a. Podobnie należy
rozumieć napis v = aRn (odpowiednio v = aLn ), który dla n ∈ N oznacza nkrotne zastosowanie operacji −R (odpowiednio −L ). Natomiast napis v 6= aR
oznacza, że v nie jest żadnym z dwóch możliwych rozszerzeń ciągu a (podobnie
dla −L , −Rn , −Ln ). Zauważmy, że z własności (SP) pary (Q, I) i definicji V -ciągu
wynika, że dla dowolnego V -ciągu w i n ≥ 1, zbiór V -ciągów v takich, że v = wRn
jest zawsze co najwyżej dwuelementowy.
Uwaga. Wprost z definicji wynikają następujące własności operacji −R :
(i) Dla dowolnych v, w ∈ V (Q, I) takich, że ich konkatenacja vw jest V ciągiem i dowolnego n ∈ N takiego, że wRn 6= ø zachodzi (vw)Rn = vwRn .
(ii) Jeśli w ∈ V (Q, I) jest postaci w = a ← bw0 dla pewnych a, b ∈ Q0 , strzałki
0
b → a ∈ Q1 oraz V -ciągu w0 , to jeśli istnieje n ∈ N takie, że wR
n = ø, to wRn = a.
Zauważmy, że powyższa własność nie zachodzi dla V -ciągów postaci w = a →
bw0 . Na przykład niech w0 := b i b będzie wierzchołkiem, z którego nie wychodzi
0
żadna strzałka w Q, wówczas wR
= bR = ø, ale wR = (a → b)R = ø 6= a.
Przykład. Niech Q będzie kołczanem postaci
4
α4
α-1 ?αα
1
2 2 3 3 6
α
?5
5
zaś I ideałem (α4 α2 , α1 α5 ). Wówczas trywialny V -ciąg 2 można rozszerzyć na
dwa sposoby: 2R = 2 → 3 i 2R = 2 → 5, natomiast operacja −R dla ciągu 3 jest
jednoznaczna i 3R = ø.
Nietrywialne V -ciągi rozszerzają się w sposób jednoznaczny, np. (1 → 2)R =
1 → 2 → 3 ← 6, (2 → 3)L = 5 ← 2 → 3.
Lemat. Niech skończony kołczan Q = (Q0 , Q1 , s, t) i ideał I algebry kQ
spełniają warunki (SP). Wówczas dla dowolnego niepustego V -ciągu w ∈ V (Q, I)
39
i każdego n ≥ 1 zachodzi wRn 6= w.
Dowód. V -ciąg w kończący sie (odpowiednio zaczynający) wierzchołkiem a ∈
Q0 będziemy oznaczać wa (odpowiednio aw). Przypuśćmy, że dla pewnego V ciągu w = wa, a ∈ Q0 oraz dla pewnego n ≥ 1 mamy wRn = w. Bez straty
ogólności możemy zakładać, że n jest minimalne o tej własności. Gdyby w ciągu
V -ciągów wR , wR2 , . . . , wRn−1 nie wystąpił V -ciąg będący skróceniem (V -podciągiem) wyściowego V -ciągu wa, to z minimalności n i definicji operacji −R
wszystkie te V -ciągi zawierają w jako swój istotny V -podciąg i wRn−1 6= w musi
mieć jedną z dwóch postaci:
(i) wRn−1 = wa → bv dla b ∈ Q0 , v ∈ V (Q, I). Wówczas skrócenie wRn−1 o bv
pociąga skrócenie wa o wierzchołek a i odpowiadającą mu strzałkę, sprzeczność.
(ii) wRn−1 = wa ← bv dla b ∈ Q0 , v ∈ V (Q, I). Lecz taka sytuacja nie jest
możliwa z definicji operacji −R (nie możemy przedłużyć V -ciągu wa o strzałkę
a ← b bez uprzedniego skrócenia V -ciągu wa, tzn. dla pewnego 1 ≤ i ≤ n − 1,
wRi musiałby być istotnym skróceniem w).
Powyższe sprzeczności oznaczają, że w ciągu wR , wR2 , . . . , wRn−1 musiało wystąpić istotne skrócenie wyjściowego V -ciągu wa. Mamy więc sytuację, w której
dla pewnego i < n, wRi = vd jest istotnie krótszy od wyjściowego V -ciągu w,
gdzie v ∈ V (Q, I), d ∈ Q0 i vd jest niepustym podciągiem V -ciągu w. Wybierzmy
takie i0 < n, że wRi0 = v0 d0 jest minimalnym V -podciągiem ciągu w spośród
wszystkich wRi o powyższej własności, gdzie v0 ∈ V (Q, I), d0 ∈ Q0 .
Z minimalności v0 i definicji operacji −R otrzymujemy, że V -ciąg w musi
być postaci w = v0 d0 → e0 u dla pewnych e0 ∈ Q0 , u ∈ V (Q, I) i strzałki
d0 → e0 ∈ Q1 (istotnie, aby otrzymać V -ciąg w musimy w kolejnych iteracjach
operacji −R rozszerzyć V -ciąg v0 d0 , a z definicji operacji −R możemy to zrobić
jedynie przy pomocy strzałki postaci d0 → e0 , gdyż aby rozszerzyć v0 d0 o strzałkę
postaci d0 ← f0 dla pewnego f0 ∈ Q0 należałoby najpierw skrócić V -ciąg v0 d0 ,
co przeczyłoby minimalności v0 ).
W ciągu V -ciągów wR , . . . , wRi0 musiało więc nastąpić skrócenie w = v0 d0 →
e0 u o V -podciąg e0 u, co pociąga za sobą zniknięcie wierzchołka d0 i odpowiadającej mu strzałki, co daje sprzeczność ze sposobu wyboru i0 .
W konkluzji wnioskujemy, że nie istnieje V -ciąg w taki, że dla pewnego n ≥ 1
zachodzi wRn = w.
2
Wniosek. Jeśli para (Q, I) spełnia warunki (SP) i w (Q, I) nie ma prymitywnych V -ciągów, to dla każdego niepustego V -ciągu w ∈ V (Q, I) istnieje takie
m ∈ N, że wRm = ø.
Dowód. Z powyższego lematu wiemy, że w ciągu w, wR , . . . , wRi , . . . nie ma
powtarzających się V -ciągów. Ponadto w (Q, I) istnieje jedynie skończona ilość
V -ciągów (patrz Stwierdzenie 7.1), więc proces iterowania operacji −R musi się
zatrzymać po skończonej ilości kroków (co jest możliwe jedynie, gdy otrzymamy
40
V -ciąg pusty) .
Uwaga. Operacja −L posiada analogiczne własności.
2
7.3. Niech (Q, I) będzie specjalnym kołczanem biseryjnym. Wprowadzimy
relację
↔ ⊂ (V (Q, I) \ {ø}) × (V (Q, I) \ {ø})
którą definiujemy jako relację równoważności generowaną przez pary (w, wR ) i
(w, wL ) dla wszystkich w ∈ V (Q, I).
Zauważmy, że dla v, w ∈ V (Q, I) \ {ø} mamy v ↔ w wtedy i tylko wtedy,
gdy istnieją n ≥ 0 i v0 , v1 , . . . , vn ∈ V (Q, I) \ {ø} takie, że v0 = v, vn = w i
dla każdego 0 ≤ i ≤ n − 1 zachodzi jeden z warunków: vi = vi+1 R , vi+1 = viR ,
vi = vi+1 L lub vi+1 = viL .
Jeśli v ↔ w, to mówimy, że V -ciąg v jest połączony z V -ciągiem w.
Lemat. Niech para (Q, I) spełnia warunki (SP) i w (Q, I) nie ma prymitywnych V -ciągów. Wówczas każdy niepusty V -ciąg w (Q, I) jest połączony z
V -ciągami trywialnymi składającymi się z jego początkowego i końcowego wierzchołka.
Dowód. Najpierw pokażemy, że każdy V -ciąg w jest połączony ze swoim
początkiem. Załóżmy, że w = aw dla pewnego a ∈ Q0 . Wówczas jeśli w jest
nietrywialnym V -ciągiem, to mamy jedną z dwóch sytuacji:
(i) w = a ← b0 v dla pewnych b0 ∈ Q0 , v ∈ V (Q, I). Wówczas na mocy
Wniosku 7.2 istnieje takie n ≥ 1, że (b0 v)Rn = ø, więc (a ← b0 w)Rn = a (patrz
Uwaga 7.2) i w konsekwencji a ↔ w.
(ii) w = a → b0 v dla pewnych b0 ∈ Q0 , v ∈ V (Q, I). Nie możemy zastosować
metody z poprzedniego punktu, bo anihilując V -ciąg bv stracimy również a (patrz
Uwaga 7.2). Ale za pomocą pewnej ilości operacji −R możemy rozszerzyć V ciąg a do V -ciągu w. Poniżej przedstawimy indukcyjną konstrukcję ciągu a =
w0 , w1 , . . . , wn = w początkowych V -podciągów V -ciągu w takich, że dla każdego
0 ≤ i ≤ n−1 istanieje m ∈ N, że wi+1 = wiRn , co w konsekwencji będzie oznaczać,
że a ↔ w.
Krok 1. aR = a → b0 ← b1 ← · · · ← bk dla pewnych wierzchołków b1 , . . . , bk
i odpowiednich strzałek kołczanu Q. Jeśli aR jest początkowym V -podciągiem w,
to kładziemy w1 := a → b0 ← b1 ← · · · ← bk i przechodzimy do następnego
kroku.
Jeśli tak nie jest, to wybieramy maksymalne 0 ≤ l < k takie, że a → b0 ←
b1 ← · · · ← bl jest początkowym V -podciągiem w (zauważmy, że a → b0 jest
V -podciągiem w, więc zbiór indeksów o powyższej własności jest niepusty). Na
mocy Wniosku 7.2 otrzymujemy n ∈ N takie, że (bl+1 ← · · · ← bk )Rn = ø, co
w konsekwencji daje (aR )Rn = a → b0 ← b1 ← · · · ← bl (patrz Uwaga 7.2).
Przyjmujemy za w1 otrzymany V -ciąg.
41
Krok 2. Po pierwszym kroku mamy V -ciąg w1 , który jest początkowym V podciągiem w. Krok drugi polega na iteracji następującej procedury.
Załóżmy, że mamy początkowy V -podciąg wi V -ciągu w, gdzie i ≥ 1. Jeśli
wi = w, to kończymy algorytm (uzyskaliśmy V -ciąg w rozszerzając trywialny
V -ciąg a). Załóżmy, że tak nie jest, czyli wi = wi ai , dla pewnego ai ∈ Q0 ,
jest istotnym V -podciągiem w. Zauważmy, że z definicji operacji −R i sposobu
otrzymania wi wiemy, że w = wi ai → c0 vi dla pewnych c0 ∈ Q0 i vi ∈ V (Q, I).
Teraz stosując krok pierwszy dla w := ai → c0 vi i a := ai otrzymujemy V -ciąg
v1 , który jest początkowym V -podciągiem ai → c0 vi . Kładziemy wi+1 := wi ai v1 .
Zauważmy, że dla każdego i ≥ 1 V -ciąg wi jest istotnym V -podciągiem wi+1
i wszystkie wi są V -podciągami w, więc algorytm się zatrzyma i da oczekiwany
ciąg V -podciągów V -ciągu w.
Analogicznie stosując w odpowiedni sposób operację −L pokazujemy, że w jest
połączony ze swoim końcem.
2
Twierdzenie. W spójnym kołczanie specjalnym biseryjnym (Q, I) bez prymitywnych V -ciągów dowolne V -ciągi w, v są połączone.
Dowód. Niech v, w będą dwoma dowolnymi ustalonymi V -ciągami w (Q, I).
Ustalmy wierzchołki a, b ∈ Q0 takie, że v = va i w = bw. Z powyższego Lematu
wiemy, że v ↔ a i b ↔ w. Ze spójności Q istnieje ciąg wierzchołków a =
a0 , a1 , . . . , an = b kołczanu Q taki, że dla każdego 0 ≤ i ≤ n − 1 wierzchołki
ai , ai+1 są połączone strzałką w Q1 , to znaczy, że mamy drogi niezorientowane wi
postaci ai → ai+1 ∈ Q1 lub ai ← ai+1 ∈ Q1 , które są oczywiście V -ciągami w
(Q, I). Wówczas z Lematu stosowanego do V -ciągów wi wnioskujemy, że ai ↔ ai+1
dla wszystkich 0 ≤ i ≤ n − 1 i z przechodniości relacji ↔ mamy a ↔ b. W konsekwencji V -ciągi v, w są połączone.
2
8. Klasyfikacja nierozkładalnych reprezentacji specjalnych drzew biseryjnych
8.1. Niech Q = (Q0 , Q1 , s, t) będzie drzewem, a I ideałem dopuszczalnym algebry kQ generowanym przez relacje Φ = {ρ1 , . . . , ρn } dla pewnego n ≥ 0 takim,
że (Q, I) jest specjalnym drzewem biseryjnym. Dla każdego V -ciągu w ∈ V (Q, I)
zdefiniujemy pewną reprezentację X(w) kołczanu Q z relacjami Φ. Ustalmy V ciąg w ∈ V (Q, I). Wówczas kładziemy X(w) := ((Xa )a∈Q0 , (Xα )α∈Q1 ), gdzie
Xa = k dla wszystkich wierzchołków a ∈ Q0 występujących w V -ciągu w oraz
Xa = 0 dla pozostałych a ∈ Q0 , natomiast odwzorowanie Xα : Xs(α) → Xt(α)
określamy przyjmując Xα = idk , jeśli droga niezorientowana składająca się ze
strzałki α lub jej formalnej odwrotności α−1 jest V -podciągiem V -ciągu w; dla
pozostałych strzałek β ∈ Q1 kładziemy Xβ = 0. Łatwo widać, że X(w) jest
poprawnie zdefiniowaną reprezentacją kołczanu Q.
Uwaga. (i) X(w) jest reprezentacją zerową dokładnie wtedy, gdy w = ø.
42
(ii) Zauważmy, że dla każdego 1 ≤ i ≤ n relacja ρi jest pewną ścieżką w
Q (patrz Uwaga 2.6) oraz z definicji ρi ani ρi −1 nie jest V -podciągiem w dla
żadnego 1 ≤ i ≤ n. Wiemy również, że w V -ciągu w nie ma powtarzających
się wierzchołków ani strzałek. W konsekwencji dla wszystkich 1 ≤ i ≤ n, mamy
Xρi = 0 i reprezentacja X(w) spełnia relacje Φ.
(iii) Wprost z konstrukcji wynika następująca własność: dla każdych w, v ∈
V (Q, I) mamy X(w) ' X(v) wtedy i tylko wtedy, gdy w = v lub v = w−1 .
Reprezentację X(w), dla dowolnego w ∈ V (Q, I), nazywamy reprezentacją
zadaną przez V -ciąg w. Zbiór wszystkich niezerowych reprezentacji izomorficznych z reprezentacjami zadanymi przez V -ciągi w (Q, I) oznaczamy jako X(Q, I).
Lemat. Niech (Q, I) będzie specjalnym drzewem biseryjnym. Wówczas zachodzi izomorfizm k-algebr Endk (X(w)) ' k dla każdego w ∈ V (Q, I) \ {ø}.
Dowód. Pokażemy najpierw tezę dla V -ciągów będących drogami zorientowanymi w Q. Ustalmy V -ciąg w ∈ V (Q, I) \ {ø} postaci
α
α2
ααw : a1 -1 a2 · · · n−2
an−1 n−1
an
dla pewnych n ≥ 1, a1 , . . . , an ∈ Q0 , α1 , . . . , αn ∈ Q1 . Wówczas reprezentacja
zadana przez w jest postaci
id
id
id
id
X(w) : k1 -k k2 -k · · · -k kn−1 -k kn
gdzie ki = k dla każdego 1 ≤ i ≤ n. Przestrzenie i odwzorowania odpowiadające pozostałym wierzchołkom i strzałkom kołczanu Q są zerowe. Wówczas
łatwo sprawdzić, że dla dowolnego λ ∈ k rodzina odwzorowań f λ = (fa )a∈Q0 ,
gdzie fa = λ · idk dla wszystkich a ∈ {a1 , . . . , an }, natomiast fa = 0, gdy
a∈
/ {a1 , . . . , an }, jest endomorfizmem reprezentacji X(w). Graficznie endomorfizm f λ możemy przedstawić w postaci diagramu
X(w) :
fλ
?
X(w) :
k1 =- k2 =- · · · =- kn−1 =- kn
λ·
?
λ·
···
?
λ·
?
λ·
?
k1 =- k2 =- · · · =- kn−1 =- kn
Powyższy rysunek należy rozumieć w taki sposób, że przestrzenie i odwzorowania
odpowiadające pozostałym wierzchołkom kołczanu Q są zerowe (w dalszej części
dowodu będziemy je pomijać jako nie wpływające na postać endomorfizmów).
Przyporządkowanie k 3 λ 7→ f λ wyznacza więc włożenie k-algebry k w algebrę
Endk (X(w)). Teraz pokażemy, że każdy endomorfizm reprezentacji X(w) jest
postaci f λ dla pewnego λ ∈ k. Ustalmy endomorfizm f ∈ Endk (X(w)). Jako,
że odwzorowania k-liniowe przestrzeni k w siebie to mnożenia przez skalar, więc
endomorfizm f ma postać:
43
k1 =- k2 =- · · · =- kn−1 =- kn
X(w) :
λ1 ·
λ2 ·
···
λn−1 ·
λn ·
?
?
?
k1 =- k2 =- · · · =- kn−1 =- kn
f
?
?
X(w) :
dla pewnych λ1 , . . . , λn ∈ k. Ale f jest homomorfizmem reprezentacji, więc z
definicji wszystkie kwadraty w powyższym diagramie są przemienne, zatem λ1 =
λ2 = · · · = λn i f = f λ1 . Pokazaliśmy więc, że Endk (X(w)) ' k.
Zauważmy teraz, że jeśli V -ciąg w byłby formalną odwrotnością pewnej ścieżki
w Q, to te same argumenty dałyby również izomorfizm Endk (X(w)) ' k. Rozpatrzmy teraz przypadek ogólny. Wiemy z definicji, że każdy V -ciąg v ∈ V (Q, I)\
{ø} jest ”konkatenacją” pewnej ilości V -ciągów będących ścieżkami lub formalnymi
odwrotnościami ścieżek w Q. Tak więc odwzorowanie f λ : X(v) → X(v) dla
pewnego λ ∈ k (definiowane analogicznie jak dla ścieżki) jest homomorfizmem
reprezentacji. Powtarzając podobne argumenty jak wyżej, pokazuje się, że każdy
endomorfizm f : X(v) → X(v) jest równy odwzorowaniu f λ dla pewnego λ ∈ k.
Ostatecznie otrzymujemy Endk (X(w)) ' k dla każdego w ∈ V (Q, I) \ {ø}.
2
Wniosek. Reprezentacje zadane przez niepuste V -ciągi w (Q, I) są nierozkładalne.
Dowód. Na mocy powyższego Lematu mamy Endk (X(w)) ' k dla każdego
w ∈ V (Q, I) \ {ø}. Ponieważ k jest pierścieniem lokalnym, to z Lematu 1.3 otrzymujemy nierozkładalność reprezentacji (modułu) X(w).
2
8.2. Niech (Q, I) będzie specjalnym drzewem biseryjnym. Wówczas, przyjmując, że Q0 = {1, . . . , |Q0 |}, każdy nierozkładalny kQ/I-moduł projektywny P (i),
1 ≤ i ≤ |Q0 |, jest postaci (patrz Przykład 3.2)
ki
·α1 A ·β1
k
idk A idk
U
A
kα1 kβ1
·α2 A ·β2
kα
. 1 α2
..
·αn kα1 · · · αn
k
idk '
AU
kβ1.β2
..
A ·βm
AU
.k
..
idk kβ1 · · · βm
k
AU
k
A idk
AU
k.
..
A idk
AU
k
dla pewnych maksymalnych n, m ≥ 0, tzn. takich, że α1 · · · αn ∈
/ I, β1 · · · βm
∈
/ I, gdzie α1 , . . . , αn , β1 , . . . , βm ∈ Q1 oraz dla każdych γ, δ ∈ Q1 , spełniających
t(αn ) = s(γ) i t(βm ) = s(δ), zachodzi α1 · · · αn γ ∈ I, β1 · · · βm δ ∈ I. Jeśli z wierzchołka i nie wychodzi żadna strzałka (lub odpowiednio wychodzi tylko jedna), to
n = m = 0 (odpowiednio n = 0). Przestrzenie i odwzorowania odpowiadające
pozostałym wierzchołkom i strzałkom kołczanu Q są zerowe. Istotnie, zauważmy,
44
że z warunku (SP1) wynika, że mamy co najwyżej dwie strzałki wychodzące
z wierzchołka i. Natomiast warunek (SP2) implikuje, że nie ma niezerowych
”rozgałęzień”, to jest dla każdych 1 ≤ j ≤ n, 1 ≤ k ≤ m oraz αj0 , βk0 ∈ Q0
takich, że t(αj ) = s(αj0 ) i t(βk ) = s(βk0 ) zachodzi αj αj0 ∈ I oraz βk βk0 ∈ I. Zauważmy, że moduł P (i) jest izomorficzny z modułem nierozkładalnym zadanym
przez V -ciąg
α
α β1
βm
w : t(αn ) n s(αn )· · ·t(α1 ) 1 i t(β1 )· · ·s(βm ) t(βm )
Natomiast radykał rad P (i) modułu P (i) jest postaci
0
0 A 0
AU
k
idk k
A idk
AU
.k
..
k.
..
idk A idk
AU
k
k
i łatwo widać, że nierozkładalne składniki proste modułu rad P (i) są reprezentacjami zadanymi przez V -ciągi
α
α
w1 : t(αn ) n s(αn )· · ·t(α2 ) 2 s(α2 )
w2 :
β2
βm
s(β2 ) t(β2 )· · ·s(βm ) t(βm )
Zauważmy, że wprost z definicji operacji −R i −L wynika, że w1L = ø i w2R = ø
oraz wRL = wLR = 0 (jeśli wRL i wLR są określone, tzn. jeśli wL i wR są niepuste).
Analogiczne rozważania i symetryczność warunków (SP) prowadzą do wniosku,
że dla każdego 1 ≤ i ≤ |Q0 | nierozkładalne kQ/I-moduły injektywne I(i) są izomorficzne z reprezentacjami zadanymi przez V -ciągi postaci
0
0
0
β10
1 k
0 βt
0
0 α0
0
0 αt(αk ) · · ·s(α1 )
i
s(β1 )· · ·t(βt )
s(βt )0
w : s(αk )
dla pewnych k, t ≥ 0 oraz strzałek α10 , . . . , αk0 ∈ Q1 i β10 . . . , βt0 ∈ Q1 . Analogicznie
jak składniki proste radykału modułu P (i), nierozkładalne składniki proste modułu I(i)/soc I(i) są zadane przez V-ciągi
w10 :
αk0
α20
t(αk0 )· · ·s(α20 ) t(α20 )
s(αk0 ) -
w20 :
β0
β0
t(β20 ) 2 s(β20 )· · ·t(βt0 ) t s(βt0 )
45
gdyż soc I(i) to reprezentacja zadana przez V -ciąg trywialny i.
Wniosek. Niech (Q, I) będzie specjalnym drzewem biseryjnym i |Q0 | = n.
Wówczas moduły P (1), . . . , P (n), (odpowiednio I(1), . . . , I(n)) oraz nierozkładalne składniki proste modułów rad P (1), . . . , rad P (n), (odpowiednio modułów
I(1)/soc I(1), . . . , I(n)/soc I(n)) należą do klasy X(Q, I).
8.3. Jeżeli dla pewnego wierzchołka a w ustalonym specjalnym drzewie biseryjnym (Q, I) istnieją dwa możliwe rozszerzenia aR i odpowiednio aL , to przyjmujemy jedno z nich jako aL , a drugie jako aR , dzięki temu operacje −L i
−R będą zawsze deterministyczne. Zauważmy, że z definicji operacji −R i −L
wynika, że dla każdego niepustego V -ciągu w ∈ V (Q, I) \ {ø} takiego, że X(w)
jest reprezentacją nieprojektywną zachodzi wRL = wLR , jeśli oba V -ciągi są
określone i niepuste. Załóżmy teraz, że jeden z V -ciągów wRL lub wLR jest
nieokreślony. Dla ustalenia uwagi załóżmy, że jest to wRL . Mamy więc sytuację, że wR = ø, czyli w musi być postaci w : e1 → e2 · · · en−1 → en dla
pewnego n ≥ 1, e1 , . . . , en ∈ Q0 i odpowiednich strzałek drzewa Q oraz w
nie można rozszerzyć za pomocą operacji −R . Wówczas, ponieważ X(w) nie
jest projektywna, z wierzchołka e1 musi w Q wychodzić jeszcze jedna strzałka
e1 → f1 ∈ Q1 (bo inaczej X(w) byłaby projektywna - patrz punkt 8.2) i mamy
teraz sytuację, że wL = fk → · · · f2 → f1 ← e1 → e2 · · · en−1 → en dla
pewnych k > 1, f2 , . . . , fk ∈ Q0 i odpowiednich strzałek kołczanu Q. Wówczas wLR = fk → · · · f2 → f1 6= ø. Z powyższych rozważań widać, że zawsze
przynajmniej jeden z V -ciągów wRL i wLR jest określony i niepusty. Wówczas
definiujemy V -ciąg w
e kładąc w
e = wRL , gdy wRL jest określony i niepusty oraz
w
e = wLR w przeciwnym przypadku (zauważmy, że jeśli oba są określone i niepuste,
to w
e = wRL = wLR ).
Lemat. Niech (Q, I) będzie specjalnym drzewem biseryjnym. Wówczas dla
każdego niepustego V -ciągu w ∈ V (Q, I), takiego, że X(w) jest reprezentacją nieprojektywną zachodzi τ X(w) ' X(w),
e gdzie τ jest translacją Auslandera-Reiten.
Dowód. Ustalmy niepusty V -ciąg w ∈ V (Q, I) taki, że X(w) jest nieprojektywny. Dowód tezy lematu rozbijemy na przypadki.
Załóżmy najpierw, że w jest taki, że wRL = wLR i oba te V -ciągi są określone
i niepuste. Przeprowadzimy dokładny dowód dla V -ciągu w postaci
a
b
@
R
@
R
a1
...
an
c1.
..
d1
...
R @
ck
b1.
..
R
@
bt
gdzie n ≥ 0, k ≥ 1, l ≥ 0, t ≥ 0, a, b, a1 . . . an , c1 . . . , ck , d1 . . . dl , b1 . . . , bt ∈ Q0 ,
tzn. V -podciągi a → c1 · · · → ck i ck ← dl · · · d1 ← b są nietrywialne. Przypadek
ten jest w pełni reprezentatywny, gdyż w sytuacji, gdy k = 0 lub w byłby
46
ogólnej postaci dowód przebiega analogicznie, wzrasta jedynie stopień komplikacji
technicznej odpowiednich zapisów.
Zbudujemy teraz reprezentację τ X(w) (patrz punkt 4.3). Rozpatrzmy najpierw przypadek, gdy V -ciąg w można rozszerzyć z prawej i lewej strony operacjami −R i −L . Zauważmy, że mamy naturalne rzutowania z nierozkładalnych
kQ/I-modułów projektywnych P (a) i P (b): πa : P (a) → Va oraz πb : P (b) → Vb ,
na kanoniczne podmoduły Va , Vb modułu X(w) zadane przez odpowiednie V podciągi V -ciągu w (na rysunkach utożsamiamy V -ciągi i reprezentacje przez nie
zadawane):
πa : P (a)
Va
-
a
... ...
a
... ...
R
@
an
ck
R
@
1
a
... 1
an
R
@
ck
R
@
bt
c11 .
..
c1p
R
@
a1m
oraz
πb : P (b)
Vb
-
b
... ...
ck
1
d
... 1
d1q
b
... ...
R
@
bt
ck
R
@
b11 .
..
b1r
R
@
gdzie m, r ≥ 1 (gdyż założyliśmy, że w można rozszerzyć z obu stron operacjami −R , −L ), q, p ≥ 0 (maksymalne w sensie punktu 8.2), a11 . . . , a1m , d11 , . . . , d1q ,
c11 , . . . , c1p , b11 , . . . , b1r ∈ Q0 (różne - wynika to warunków (SP)) i odpowiednich
strzałek drzewa Q. Rzutowanie πa jest zadane w oczywisty sposób przez położenie
πa = (fi )i∈Q0 , gdzie fi = idk dla i = a, a1 , . . . , an , c1 , . . . , ck oraz fj = 0 dla
pozostałych wierzchołków j. Analogicznie zdefiniowane jest odwzorowanie πb i
łatwo widać, że πa i πb są poprawnie zdefiniowanymi homomorfizmami reprezentacji. Homomorfizmy πa oraz πb indukują odwzorowanie p0 : P (a)⊕P (b) → X(w).
Reprezentacja P (a) ⊕ P (b) ma postać
47
k
... ...
k
k
...
k
@
R
k
...
k
v1
k
k
... ...
v2
2
v3 vR
@
4
R
@
R
@
k ..
.
R
@
k
k
k..
.
R
@
k
2
2
gdzie odwzorowania
h i h i v1 , v2 : k → k , v3 , v4 : k → k zadane są przez macierze odpowiednio 10 , 01 , [0 1], [1 0] i wówczas odwzorowanie p0 ma postać p0 = (gi )i∈Q0 ,
gdzie gck =[1 1]: k 2 → k, zaś pozostałe odwzorowania gi definiowane są tak jak dla
πa i πb (identyczności i odwzorowania zerowe). Zauważmy, że homomorfizm reprezentacji p0 jest nakryciem projektywnym modułu X(w) (z wyboru modułów P (a)
i P (b) i faktu, że top X(w) = top P (a) ⊕ top P (b)). Ponadto jądro homomorfizmu
p0 jest modułem izomorficznym z sumą prostą X(a11 → · · · a1m ) ⊕ X(d1q · · · ←
ck → · · · c1p ) ⊕ X(b11 → · · · b1r ), którego nakryciem projektywnym jest naturalne
rzutowanie p : P (a11 ) ⊕ P (ck ) ⊕ P (b11 ) → X(a11 → · · · a1m ) ⊕ X(d1q · · · ← ck →
· · · c1p ) ⊕ X(b11 → · · · b1r ) i otrzymujemy prezentację projektywną
p1
p0
P : P (a11 ) ⊕ P (ck ) ⊕ P (b11 ) −→ P (a) ⊕ P (b) −→ X(w) −→ 0
gdzie p1 (x) = p(x) dla każdego x ∈ P (a11 )⊕P (ck )⊕P (b11 ). Stosując teraz do ciągu
P funktor Nakayamy (patrz punkty 1.9 i 3.3) otrzymujemy odwzorowanie
ν(p1 ) : I(a11 ) ⊕ I(ck ) ⊕ I(b11 ) −→ I(a) ⊕ I(b)
przy czym Ker ν(p1 ) jest szukanym modułem τ X(w). W celu dokładniejszego
opisu jądra odwzorowania ν(p1 ) zauważmy, że moduły injektywne będące składnikami prostymi dziedziny i przeciwdziedziny powyższego odwzorowania mają
postać (patrz konstrukcja nierozkładalnych modułów injektywnych w punkcie
3.2 z uwzględnieniem warunków (SP)):
a2s
b2v
...
R.
@
..
a
...
I(a11 ) :
R
@
I(b11 ) :
b.
..
R
@
an
a11
bt
R
@
I ..
@
.
...
I
@
a3u
b3e
48
b11
c2f
...
d2g
...
R
@
I(ck ) :
a.
..
b
...
ck
R @
c2f
..
I(a) : .
b2v
...
I(b) :
a2
.. . s
a
d2
.. . g
b
R @
R @
gdzie s, u, v, e, f, g ≥ 0 są maksymalne (w sensie punktu 8.2) oraz a21 , . . . , a2s ,
a31 , . . . , a3u , c21 , . . . , c2f , d21 , . . . , d2g , b21 , . . . , b2v , b31 , . . . , b3e ∈ Q0 (różnymi symbolami
oznaczone są różne wierzchołki). Wówczas odwzorowanie ν(p1 ) ma postać
k.
..
k
...
R
@
2
k.
..
R
@
k
... . . .
k
k
k
k k.
..
...
R @
2
.k
. . ...
HH
j
k.
..
k
...
k
R
@
R @
k
k
R
@
I ..
@
k
...
k
...
.
I
@
k
k
gdzie odwzorowania liniowe składające się na ν(p0 ) mają oczywistą postać (identyczności, odwzorowania zerowe i macierze [1 1]). Łatwo widać, że reprezentacja
Ker ν(p0 ) jest izomorficzna z reprezentacją postaci
k
... ...
k
... ...
k
k
R @
R
@
k
k
R
@
I ..
@
k
...
.
I
@
k
k
Zauważmy, że jest to reprezentacja zadana przez V -ciąg
a3u → · · · → a11 ← an ← · · · a · · · → ck ← · · · b · · · → bt → b11 ← · · · ← b3e
49
który jest równy w
e = wLR = wRL . Pokazaliśmy więc tezę w przypadku, gdy
V -ciąg w da się rozszerzyć zarówno przez operację −L i −R .
Rozważmy teraz następny przypadek, gdy dokładnie jedna z operacji −R , −L
powoduje skrócenie w, przy ogólnym założeniu z początku dowodu. Dla ustalenia
uwagi załóżmy, że jest to operacja −R , tzn. z wierzchołka bt nie wychodzi żadna
strzałka taka, by można było o nią rozszerzyć v-ciąg w. Zauważmy, że, stosując
te same oznaczenia jak powyżej, mamy ciąg dokładny
p0
p0
1
0
P 0 : P (a11 ) ⊕ P (ck ) −→
P (a) ⊕ P (b) −→
X(w) −→ 0
gdzie p01 , p00 definiowane są analogicznie jak w poprzednim przypadku. Podobnie,
jak w wyżej, zbadamy odwzorowanie
ν(p01 ) : I(a11 ) ⊕ I(ck ) −→ I(a) ⊕ I(b)
Zauważmy, że teraz odwzorowanie ν(p01 ) ma postać
k.
..
R
@
k2
... ...
k
k
k.
..
k
...
k
...
k
...
k k.
..
...
R @
-
k
k
...
R @
k
R @
k
I.
@
..
I
@
k
i jądro powyższego odwzorowania zadane jest przez V -ciąg
a3u → · · · → a11 ← an ← · · · a · · · → ck ← · · · ← d1
który jest równy V -ciągowi w
e = wLR = wRL .
Oczywiście symetryczne argumenty dają tezę lematu, gdy operacja −L powoduje skrócenie, a −R rozszerzenie V -ciągu w. Analogiczne rozumowanie prowadzi
do wniosku, że teza jest również prawdziwa w ostatnim przypadku, gdy obie
operacje powodują skrócenie w.
Pozostało nam teraz rozważyć dopełniającą sytuację i pokazać tezę dla takich V -ciągów v ∈ V (Q, I) \ {ø}, dla których tylko jeden z V -ciągów vRL , vLR
jest określony. Ustalmy więc niepusty V -ciąg v taki, że X(v) jest nieprojektywna i vR = ø (czyli vRL jest nieokreślony). Wówczas v = e1 → · · · → en dla
pewnych n ≥ 1, e1 , . . . , en ∈ Q0 oraz v nie można rozszerzyć za pomocą operacji −R . Ponieważ X(v) jest nieprojektywna, z wierzchołka e1 wychodzi jeszcze
jedna strzałka e1 → f1 ∈ Q1 (patrz rozważania bezpośrednio przed niniejszym
50
lematem) oraz vL = fk → · · · f2 → f1 ← e1 → · · · → en dla pewnych
k > 1, f2 , . . . , fk ∈ Q0 , zaś ve = vLR = fk → · · · → f1 . Wówczas otrzymujemy nakrycie projektywne po : P (e1 ) → X(v), gdzie P (e1 ) jest reprezentacją
zadaną przez V -ciąg gl ← · · · ← g1 ← f1 ← e1 → · · · → en dla pewnych l ≥ 0,
g1 , . . . , gl ∈ Q0 . Jądro odwzorowania p0 jest reprezentacją zadaną przez V -ciąg
gl ← · · · ← g1 ← f1 . Konstruujemy następnie nakrycie projektywne Ker p0 ,
które jest postaci p1 : P (f1 ) → Ker p0 , gdzie P (f1 ) jest zadana przez V -ciąg
gl ← · · · f1 → h1 · · · → hm dla pewnych m ≥ 0, h1 , . . . hm ∈ Q0 . Otrzymujemy
wówczas ciąg dokładny
p0
p0
1
P : P (f1 ) −→
P (e1 ) −→ X(v) −→ 0
gdzie odwzorowanie p01 jest takie, że p01 (x) = p1 (x) dla każdego x ∈ P (f1 ). Chcąc
zbudować reprezentację τ X(v) pozostało zbadać jądro odwzorowania
ν(p01 ) : I(f1 ) −→ I(e1 )
Zauważmy, że reprezentacje injektywne I(f1 ) i I(e1 ) są zadane odpowiednio przez
V -ciągi fk → · · · f2 → f1 ← e1 ← j1 · · · ← js i kt → · · · k1 → e1 ← j1 · · · ← js dla
pewnych s, t ≥ 0, j1 , . . . , js , k1 , . . . , kt ∈ Q0 . Zauważmy, że Ker ν(p01 ) = τ X(v) jest
reprezentacją zadaną przez V -ciąg fk → · · · → f1 , który jest równy V -ciągowi
vLR .
Symetryczne argumenty dowodzą, że jeśli v jest taki, że vLR jest nieokreślony,
to τ X(v) = X(vRL ). Ostatecznie pokazaliśmy zatem, że τ X(w) = X(w)
e dla
wszystkich w ∈ V (Q, I) \ {ø} takich, że X(w) jest nieprojektywna.
2
Twierdzenie. Niech (Q, I) będzie specjalnym drzewem biseryjnym. Wówczas
dla każdego niepustego V -ciągu w ∈ V (Q, I) takiego, że X(w) jest reprezentacją
nieprojektywną, istnieją homomorfizmy reprezentacji f : X(w)
e → X(wL )⊕X(wR )
oraz g : X(wL ) ⊕ X(wR ) → X(w) takie, że ciąg
f
g
e -X(wR ) ⊕ X(wL ) - X(w) - 0
E : 0 - X(w)
jest ciągiem Auslandera-Reiten.
Dowód. Pokażemy najpierw istnienie odwzorowań f i g oraz dokładność ciągu
E. Ustalmy najpierw dowolny niepusty V -ciąg w, taki, że reprezentacja X(w)
jest nieprojektywna oraz w
e = wLR = wRL i oba V -ciągi wRL , wLR są niepuste i
określone. Podobnie, jak w dowodzie poprzedniego lematu, będziemy pokazywać
tezę twierdzenia na reprezentatywnym przykładzie V -ciągu w postaci
a
b
@
R
@
R
a1
...
an
c1.
..
d1
...
R @
ck
51
b1.
..
R
@
bt
gdzie n ≥ 0, k ≥ 1, l ≥ 0, t ≥ 0, a, b, a1 . . . an , c1 . . . , ck , d1 . . . dl , b1 . . . , bt ∈ Q0 ,
tzn. V -podciągi a → c1 · · · → ck i ck ← dl · · · d1 ← b są nietrywialne. Załóżmy
najpierw, że w można rozszerzyć z obu stron za pomocą operacji −L , −R , czyli
istnieją p, q ≥ 1, e1 , . . . , ep , f1 , . . . , fq ∈ Q0 , że mamy równości
wR = wbt → e1 ← · · · ← ep
wL = fq → · · · → f1 ← an w
w
e = fq → · · · → f1 ← an wbt → e1 ← · · · ← ep
Możemy zdefiniować naturalne rzutowanie
gL :
X(wL )
.a..
an
X(w)
-
.b..
U A
ck
.a..
UA
bt
.b..
AU an
ck
AU
bt
f1
.
fq
kładąc gL = (gL i )i∈Q0 , gdzie gL i = idk dla wszystkich i = a, b, a1 , . . . , an , c1 ,
. . . , ck , d1 , . . . , dl , b1 , . . . , bt oraz gL i = 0 dla pozostałych i. Analogicznie określamy
rzutowanie gR : X(wR ) → X(w). Powyższe odwzorowania indukują epimorfizm
g = [gL , −gR ] : X(wL ) ⊕ X(wR ) → X(w), przy czym reprezentacja X(wL ) ⊕
X(wR ) ma postać
2
.k..
v1
k2
2
.k..
AU k2
k
AU
k2
UA v2
k
. AK .
.
AK
k
k
gdzie przestrzenie k 2 odpowiadają wierzchołkom a, b, a1 , . . . , an , c1 , . . . , ck ,
d1 , . . . , dl , b1 , . . . , bt , przestrzenie k odpowiadają wierzchołkom e1 , . . . , ep , f1 , . . . , fq
(pozostałe przestrzenie są zerowe). Odwzorowania v1 , v2 : k 2 → k zadane są przez
macierze odpowiednio [1 0], [0 1], pozostałe odwzorowania to odpowiednio idk ,
idk2 . Natomiast homomorfizm g ma postać g = (gi )i∈Q0 , gdzie gi = [1−1] : k 2 → k
dla i = a, b, a1 , . . . , an , c1 , . . . , ck , d1 , . . . , dl , b1 , . . . , bt , gi = 0 dla pozostałych i.
Łatwo sprawdzić, że jądro epimorfizmu g ma postać
52
V
.. ..
V
.. ..
AU V
V
AU
V
AU
k
.
k
AK .
.
.
AK
k
k
hi
gdzie V = k 11 a odwzorowania liniowe są odpowiednimi obcięciami odwzorowań składających się na reprezentację X(wR ) ⊕ X(wL ). Zauważmy, że mamy
kanoniczne
włożenie f : X(wLR ) → X(wR ) ⊕ X(wL ) w postaci f = (fi )i∈Q0 , gdzie
hi
fi = 11 : k → k 2 dla i = a, b, a1 , . . . , an , c1 , . . . , ck , d1 , . . . , dl , b1 , . . . , bt , pozostałe
odwzorowania fi to odpowiednio idk i odwzorowania zerowe. Z określenia widać,
że Im f = Ker g.
Rozpatrzmy teraz przypadek, gdy operacja −L powoduje rozszerzenie, zaś −R ,
skrócenie V -ciągu w. Wówczas odwzorowanie gR : X(wR ) → X(w) ma postać
b
.a..
.d1
.
.
d1 AU
.a..
.
an
U A
ck
an
bt
AU ck
Jest to kanoniczne włożenie na odpowiednie współrzędne. W tym przypadku również łatwo sprawdzić, że odwzorowania g = [gL , −gR ] : X(wL ) ⊕ X(wR ) → X(w)
i kanoniczne włożenie f : X(w)
e → X(wL ) ⊕ X(wR ) zadają ciąg dokładny E.
Analogicznie dowodzi się tezy twierdzenia w przypadku, gdy operacja −L
powoduje skrócenie, zaś −R rozszerzenie V -ciągu w oraz, gdy obie operacje powodują skrócenie w.
Rozważmy teraz przypadek, gdy w jest taki, że jeden z V -ciągów wRL , wLR jest
nieokreślony. Załóżmy, że jest to V -ciąg wRL (w przeciwnym przypadku dowodzi
się stosując symetryczne argumenty). Mamy więc sytuację, że wR = ø i (patrz
rozważania na początku niniejszego punktu) w = e1 → e2 · · · en−1 → en , wL =
fk → · · · f2 → f1 ← e1 → e2 · · · en−1 → en oraz w
e = wLR = fk → · · · f2 → f1
dla pewnych n ≥ 1, k ≥ 2, e1 , . . . , en , f1 , . . . , fk ∈ Q0 . Zauważmy, że wówczas
X(wR ) = 0 i ciąg E ma postać
e1
0
f1
-
UA .
.
f1
f
-
..
fk
e1
AU
..
fk
53
g
-
en
AU .
.
AU
-
en
0
gdzie f jest kanonicznym włożeniem, zaś g naturalnym rzutowaniem. Jest oczywiste, że powyższy ciąg jest dokładny.
Pokazaliśmy, że w każdym przypadku można skonstruować ciąg dokładny
postaci E dla niepustego V -ciągu w takiego, że X(w) jest reprezentacją nieprojektywną.
Zauważmy, że ciąg E nie jest rozszczepialny. Gdyby tak nie było, to na mocy
rozważań w punkcie 1.8 otrzymujemy, że X(w) jest izomorficzny ze składnikiem
prostym reprezentacji X(wR ) ⊕ X(wL ) i z nierozkładalności reprezentacji zadawanych przez V -ciągi (patrz Wniosek 8.1) mamy X(w) ' X(wR ) lub X(w) '
X(wL ), sprzeczność z Uwagą 8.1 (iii).
Zatem ciąg E jest nierozszczepialnym ciągiem dokładnym takim, że zachodzi
izomorfizm Endk (X(w)) ' k (patrz Lemat 8.1). Zatem na mocy Twierdzenia 4.3
otrzymujemy, że E jest ciągiem Auslandera-Reiten.
2
8.4. Ustalmy spójne specjalne drzewo biseryjne (Q, I). Wówczas klasa X =
X(Q, I)\{0} niezerowych reprezentacji izomorficznych z reprezentacjami zadanymi przez niepuste V -ciągi jest, na mocy Wniosku 8.1, podklasą reprezentacji nierozkładalnych drzewa (Q, I), taką, że X = X/ ' jest zbiorem skończonym (Q jest
skończonym drzewem). Pokażemy, że X wyczerpuje wszystkie klasy izomorfizmów
modułów nad kQ/I. Do tego celu wykorzystamy następujący fakt.
Lemat. Niech (Q, I) będzie spójnym drzewem specjalnym biseryjnym. Wówczas pełny podkołczan Γ kołczanu ΓkQ/I rozpięty na wierzchołkach z klasy X jest
spójny.
Dowód. Z Twierdzenia 7.3 wiemy, że dowolne niepuste V -ciągi w0 , w00 ∈ V (Q, I)
są połączone (bo (Q, I) jest drzewem, więc nie ma prymitywnych V -ciągów).
Innymi słowy, istnieją n ≥ 0 i v0 , v1 , . . . , vn ∈ V (Q, I) \ {ø} takie, że v0 = w0 ,
vn = w00 i dla każdego 0 ≤ i ≤ n − 1 zachodzi jeden z warunków: vi = vi+1 R ,
vi+1 = viR , vi = vi+1 L lub vi+1 = viL . Zauważmy, że aby pokazać tezę lematu,
należy udowodnić fakt, że dla dowolnych niepustych V -ciągów w i v takich, że
v = wR (odpowiednio v = wL ) wynika, że w kołczanie Γ istnieje strzałka łącząca
wierzchołki [X(w)] i [X(v)]. Istotnie, na mocy indukcji wówczas będzie istniała w
ΓkQ/I droga niezorientowana łącząca wierzchołki [X(w0 )] i [X(w00 )] dla dowolnych
niepustych V -ciągów w0 , w00 ∈ V (Q, I).
Ustalmy więc dwa niepuste V -ciągi w, v ∈ V (Q, I). Załóżmy najpierw, że
v = wR . Wówczas, jeśli w jest taki, że reprezentacja X(w) jest nieprojektywna,
otrzymujemy oczko w kołczanie Γ postaci
*
[X(w)]
e
HH
j
[X(wL )]
H
H
j
[X(w)]
*
[X(wR )]
54
czyli wierzchołki [X(w)] i [X(v)] są połączone strzałką w Γ. Załóżmy teraz, że
reprezentacja X(w) jest projektywna, czyli w jest postaci (patrz 8.2) w = bn ←
· · · b1 ← a → a1 · · · → am dla pewnych n ≥ 0, m ≥ 0 maksymalnych w sensie
punktu 8.2, a1 , . . . , am , b1 , . . . , bn ∈ Q0 . Wówczas, z maksymalności n i m i
definicji operacji −R otrzymujemy v = wR = bn · · · ← b1 . Wobec faktu, że
v 6= ø, mamy n ≥ 1 i na mocy punktu 8.2 reprezentacja X(v) jest składnikiem
prostym radykału reprezentacji X(w), co daje (patrz Przykład 5.1 (iii)) strzałkę
w [X(v)] → [X(w)] ∈ Γ1 . Sytuację, gdy v = wL pokazuje się stosując symetryczne
argumenty.
W konkluzji otrzymujemy, że dla dowolnych niepustych V -ciągów w0 , w00 istnieje w Γ droga niezorientowana łącząca wierzchołki [X(w0 )] i [X(w00 )], co dowodzi,
że kołczan Γ jest spójny.
2.
Korzystając z Twierdzenia o składowej pokażemy teraz twierdzenie klasyfikujące reprezentacje nierozkładalne spójnych drzew specjalnych biseryjnych.
Twierdzenie. Niech (Q, I) będzie spójnym specjalnym drzewem biseryjnym.
Wówczas algebra kQ/I jest skończonego typu reprezentacyjnego i wszystkie nierozkładalne kQ/I-moduły (reprezentacje drzewa (Q, I)) są z dokładnością do izomorfizmu zadane przez V -ciągi w (Q, I).
Dowód. Na mocy wyżej udowodnionego lematu wiemy, że pełny podkołczan
Γ kołczanu ΓkQ/I rozpięty na wierzchołkach ze skończonej klasy X = X/ ', gdzie
X = X(Q, I) \ {0}, jest spójny. Z Twierdzenia 8.3 dla każdego V -ciągu w takiego,
że reprezentacja X(w) jest nieprojektywna, otrzymujemy CPR:
0 → τ X(w) → X → X(w) → 0
X = X(wL ) ⊕ X(wR ) i τ X(w) = X(w),
e stąd składniki proste modułu X należą
do klasy X. Dualna konstrukcja dla V -ciągu v takiego, że reprezentacja X(v) jest
nieinjektywna pozwala na skonstruowanie CPR:
0 → X(v) → X 0 → τ −1 X(v) → 0
w którym składniki proste modułu X 0 również należą do klasy X (wystarczy zastosować Twierdzenie 8.3 dla kołczanu (Qop , I op ), a następnie wykorzystać funktor
dualności D : A-mod → mod-A, gdzie A = kQ/I).
Na mocy powyższych rozważań i Wniosku 8.2 spełnione są założenia Twierdzenia 5.1 (o składowej), czyli klasa X jest klasą wszystkich reprezentacji nierozkładalnych drzewa (Q, I) i w szczególności algebra kQ/I jest skończonego typu
reprezentacyjnego.
2
9. Specjalne algebry biseryjne typu strunowego
W paragrafie tym przedstawimy kilka faktów pozwalających na zredukowanie badania skończoności typu reprezentacyjnego specjalnych algebr biseryjnych
55
do przypadku algebr strunowych. Od tego momentu będziemy rozpatrywać tylko
moduły prawostronne.
9.1. Lemat. Niech A będzie ustaloną k-algebrą bazową, a P nierozkładalnym
A-modułem projektywno-injektywnym. Wówczas
(i) dla dowolnego A-homomorfizmu f : P → M , gdzie M 6= 0 jest modułem
nierozkładalnym nieizomorficznym z P , zachodzi inkluzja soc P ⊂ Ker f .
(ii) cokół modułu P jest izomorficzny z pewnym ideałem (dwustronnym) algebry A.
Dowód. (i) Ustalmy dowolny nierozkładalny A-moduł M 6= 0 nieizomorficzny z
P i homomorfizm f : P → M . Wówczas Ker f 6= 0, gdyż w przeciwnym przypadku
f byłby monomorfizmem i z injektywności P byłby izomorficzny ze składnikiem
prostym modułu M - sprzeczność, gdyż M jest nierozkładalny i nieizomorficzny z
P . Na mocy Lematu 3.1 punkt (vii) cokół modułu P jest prosty, jest więc jedynym
prostym podmodułem modułu P . Z Uwagi 1.3 punkt (vii) wiemy, że moduł Ker f
zawiera podmoduł prosty, co implikuje, że soc P ⊂ Ker f (gdyż każdy podmoduł
modułu Ker f jest też podmodułem modułu P ).
(ii) Ustalmy pełny układ {e1 , . . . , en } prymitywnych ortogonalnych idempotentów algebry A, gdzie n ≥ 1. Wówczas P , jako nierozkładalny moduł projektywny, jest izomorficzny z modułem głównym et A dla pewnego 1 ≤ t ≤
n (patrz Lemat 3.1). Zatem moduł soc et A jest podmodułem prawostronnego
A-modułu regularnego A, stąd soc et A jest prawostronnym ideałem algebry A.
Pozostaje więc sprawdzić, czy moduł soc et A jest lewostronnym ideałem algebry A. Wystarczy sprawdzić, czy dla każdego a ∈ A obraz homomorfizmu ϕa :
et A → A na zbiorze soc et A zawiera się w soc et A, gdzie ϕa (b) = ab dla każdego b ∈ et A. Ustalmy a ∈ A. Zauważmy, że a = e1 a + · · · + en a i homomorfizm ϕa jest sumą homomorfizmów ϕei a : et A → A dla każdego 1 ≤ i ≤ n.
Sprawdzenie, czy dla każdego 1 ≤ i ≤ n, ϕei a (soc ei A) ⊂ soc et A, da nam tezę.
Ponieważ Im ϕei a ⊂ ei A, możemy przyjąć, że ϕei a jest homomorfizmem z et A
do ei A dla każdego 1 ≤ i ≤ n. Zauważmy, że ϕet a (soc et A) ⊂ soc et A na mocy
Uwagi 1.6 punkt (v). Natomiast dla każdego i 6= t moduł ei A jest nieizomorficzny z et A (algebra jest bazowa), co z punktu (i) niniejszego lematu implikuje, że
soc ei A ⊂ Ker ϕei a , czyli ϕei a (soc ei A) = 0 ⊂ soc ei A. Pokazaliśmy zatem, że dla
każdego a ∈ A zachodzi inkluzja ϕa (soc ei A) ⊂ soc ei A, czyli soc ei A jest również
ideałem lewostronnym algebry A, co w konkluzji daje, że jest ideałem algebry A.
Zatem cokół modułu P jest izomorficzny z ideałem algebry A.
2
Uwaga. W dalszej części będziemy utożsamiać każdy nierozkładalny A-moduł
projektywno-injektywny P z izomorficznym z nim modułem głównym eA, gdzie
e ∈ A jest pewnym elementem pełnego układu prymitywnych ortogonalnych
idempotentów algebry A. Zatem na mocy powyższego lematu soc P jest ideałem
algebry A, wobec tego możemy tworzyć algebrę ilorazową A/(soc P ). Przez ind-A
56
będziemy oznaczać klasę nierozkładalnych reprezentacji algebry A.
Stwierdzenie. Niech A będzie ustaloną k-algebrą bazową, a P nierozkładalnym A-modułem projektywno-injektywnym. Wówczas zachodzi równość klas (indb
b = A/(soc P ).
A)/'
= (ind-A)/' \ {[P ]' }, gdzie A
b
Dowód. Zauważmy, że na mocy Uwagi 1.5 klasa C1 = (ind-A)/'
jest równa
klasie C2 = {M ∈ ind-A : M I = 0}/', gdzie I = soc P . Aby pokazać tezę
stwierdzenia udowodnimy dwie równości: C2 = C oraz C = C3 , gdzie C3 = (indA)/'\{[P ]' }, zaś C składa się ze wszystkich klas izomorfizmów nierozkładalnych
bn → M . Zatem
A-modułów M , takich, że istnieje n ≥ 1 i epimorfizm f : A
pokażemy cztery inkluzje:
(i) C2 ⊂ C. Ustalmy nierozkładalny A-moduł M taki, że M I = 0. Niech
m1 , . . . , mn ∈ M generują moduł M. Na
Pnmocy Uwagi 3.1 istnieje epimorfizm
n
f : A → M taki, że f ((a1 , . . . , an )) = i=1 ai mi , dla każdych a1 , . . . , an ∈ A.
Niech f1 , . . . , fn : A → M będą współrzędnymi odwzorowania f , tj. fi (a) = mi a
dla każdego 1 ≤ i ≤ n, a ∈ A. Wówczas dla każdego 1 ≤ i ≤ n, a ∈ I zachodzi
fi (a) = mi a = 0, czyli I ⊂ Ker fi . Zatem na mocy Lematu 1.1 dla każdego
b → M taki, że Im fbi = Im fi . Zatem homomorfizm
1 ≤ i ≤ n istnieje fbi : A
n
n b
b → M jest ”na” i w konsekwencji [M ]' ∈ C.
⊕i=1 fi : A
(ii) C ⊂ C2 . Ustalmy moduł M ∈ C. Z definicji istnieje n ≥ 1 i epimorfizm
bn → M . Algebra A
b jest oczywiście A-modułem takim, że AI
b = 0. Zatem
f :A
n
n
n
b I = (AI)
b
b I) = M I, więc M I = 0, czyli
A
= 0. Ponieważ f jest ”na”, to f (A
b
[M ]' ∈ (ind-A)/'.
(iii) C3 ⊂ C. Ustalmy nierozkładalny A-moduł M nieizomorficzny z P . Na
mocy Uwagi 3.1 istnieje s ≥ 1 oraz epimorfizm f : As → M . Niech f1 , . . . , fs :
A → M będą współrzędnymi odwzorowania f i niech A = P1 ⊕ · · · ⊕ Pm będzie
rozkładem A-modułu regularnego A na sumę prostą modułów głównych dla pewnego m ≥ 1. Możemy przyjąć, że Pm ' P . Niech fij : Pj → M dla każdego 1 ≤ j ≤
m będą współrzędnymi odwzorowania fi dla każdego 1 ≤ i ≤ s. Wówczas dla każdego 1 ≤ i ≤ s na mocy Lematu 9.1 zachodzi inkluzja I ⊂ Ker fim , więc na mocy
n
m
cn
Lematu 1.1 otrzymujemy homomorfizm fc
i : P/I → M taki, że Im fi = Im fi .
m
Zatem Im fbi = Im fi , gdzie fbi = fi1 ⊕ · · · ⊕ fim−1 ⊕ fc
i : P1 ⊕ · · · ⊕ Pm−1 ⊕ P/I → A
b więc homomordla każdego 1 ≤ i ≤ s. Zauważmy, że P1 ⊕ · · · ⊕ Pm−1 ⊕ P/I = A,
bs → M jest ”na” i [M ]' ∈ C.
fizm ⊕si=1 fbi : A
(iv) C ⊂ C3 . Aby udowodnić tą inkluzję, wystarczy pokazać, że P nie jest
bk dla żadnego k ≥ 1. Załóżmy więc przeciwnie,
epimorficznym obrazem modułu A
bk → P . Wówczas mamy równości (patrz
że istnieje k ≥ 1 oraz epimorfizm f : A
bk I) = P I - sprzeczność, gdyż P I 6= 0.
dowód inkluzji (ii)): 0 = f (0) = f (A
b
Ostatecznie pokazaliśmy, że (ind-A)/'
= (ind-A)/' \ {[P ]' }.
2
9.2. Stwierdzenie. Niech (Q, I) będzie specjalnym kołczanem biseryjnym.
57
Wówczas jeśli istnieją drogi zorientowane u, v ∈
/ I, takie, że u − λv ∈ I dla pewnego λ ∈ k \ {0}, to istnieje nierozkładalny kQ/I-moduł projektywno-injektywny
nieseryjny P = P (a), gdzie a ∈ Q0 jest początkowym wierzchołkiem dróg v i u)
taki, że soc P = ku, gdzie u = u + I ∈ kQ/I.
Dowód. Załóżmy , że mamy u, v ∈ ∆, λ ∈ k \ {0}, a, b ∈ Q0 , spełniające
warunki: s(u) = s(v) = a, t(u) = t(v) = b, |u|, |v| ≥ 2 oraz u − λv ∈ I, u ∈
/ I,
v∈
/ I. Skonstruujemy teraz nierozkładalny kQ/I-moduł projektywno-injektywny
P o własności soc P = ku. Niech u = a → a1 → · · · → an → b oraz u =
a → b1 → · · · → bm → b dla pewnych n, m ≥ 1 oraz a1 , . . . , an , b1 . . . , bm ∈ Q0 .
Zauważmy, że z warunków (SP) oraz tego, że u, v ∈
/ I wynika, że w drogach u
i v nie występują cykle oraz drogi u, v nie mają wspólnych strzałek. Załóżmy
najpierw, że zbiory {a1 , . . . , an } i {b1 , . . . , bm } są rozłączne. Wówczas nierozkładalny kQ/I-moduł projektywny P (a) jest izomorficzny z modułem postaci (patrz
konstrukcja modułów projektywnych w punkcie 3.2 uwzględniając warunki (SP)
i relację u − λv):
k
JJ
^
k.
..
k
k.
..
k
−1
JJ
^ ·λ
k
gdzie przestrzenie k odpowiadają wszystkim wierzchołkom ścieżek u i v, zaś odwzorowanie ·λ−1 : k → k odpowiada strzałce bm → b (pozostałe odwzorowania
na rysunku to identyczności na k). Natomiast nierozkładalny kQ/I-moduł injektywny I(b) jest izomorficzny z modułem postaci:
k
·λ
JJ
^
k.
..
k
−1
k.
..
k
JJ
^ k
przy czym tu odwzorowanie ·λ−1 : k → k odpowiada strzałce a → b1 . Łatwo sprawdzić, że rodzina odwzorowań k-liniowych (fi )i∈Q0 , gdzie fi = idk dla
i = a, a1 , a2 , . . . , an−1 , an oraz fi = ·λ−1 : k → k dla i = b1 , . . . , bm (fi = 0 dla
pozostałych i), jest izomorfizmem reprezentacji P (a) i I(b), czyli skonstruowaliśmy
kQ/I-moduł projektywno-injektywny P , którego radykał jest izomorficzny z modułem postaci:
58
0
JJ
^
k.
..
k
k.
..
k
J ·λ−1
^ J
k
co implikuje, że moduł P (a) ' I(b) jest biseryjny.
Pozostało sprawdzić sytuację, gdy istnieje wspólny wierzchołek w zbiorach
{a1 , . . . , an } i {b1 , . . . , bm }. Załóżmy, że c = ai = bj , dla pewnych 1 ≤ i ≤ n
oraz 1 ≤ j ≤ m, będzie jedynym wspólnym wierzchołkiem (w sytuacji, gdy jest
więcej wspólnych wierzchołków dowód przebiega analogicznie). Zauważmy, że z
warunków (SP) wynika, że ai−1 → c → bj+1 , bj−1 → c → ai+1 ∈ I (przyjmujemy,
że a0 = b0 = a i an+1 = bm+1 = b). Wówczas lokalnie (przy wierzchołku c)
reprezentacja P (a) ma postać:
...
...
k
k
@
v1@
R v2
k2
v3
v4
@
R
@
k.
k.
..
..
gdzie przestrzeń k 2 odpowiada wierzchołkowi c, przestrzenie k wierzchołkom ai−1 ,
ai+1 , bj−1 , bj+1 , natomiast
v1 , v2 : k → k 2 oraz v3 , v4 : k 2 → k,
h iodwzorowania
hi
zadane przez macierze 10 , 01 oraz odpowiednio [1 0], [0 1] (jeśli j = m, to
ostatnia macierz ma postać [0 λ−1 ]), odpowiadają strzałkom odpowiednio ai−1 → c,
bj−1 → c, c → ai+1 , c → bj+1 . Przestrzenie i odwzorowania odpowiadające
pozostałym wierzchołkom zbiorów {a1 , . . . , an } i {b1 , . . . , bm } są takie, jak w
poprzedniej sytuacji w module P (a). Symetryczność warunków (SP) implikuje, że moduł I(b) jest izomorficzny z modułem, który lokalnie przy wierzchołku
c ma tę samą postać, przy czym przestrzenie i odwzorowania odpowiadające
pozostałym wierzchołkom zbiorów {a1 , . . . , an } i {b1 , . . . , bm } są takie, jak w
poprzedniej sytuacji w module I(b) (jeśli j = 1, to w reprezentacji I(b)
h odi
0
wzorowanie v2 odpowiadające strzałce a → b1 jest zadane przez macierz λ−1 ).
Podobnie mamy izomorfizm
P (a) i I(b) zadany przez rodzinę odwzoh reprezentacji
i
1
0
2
rowań (fi )i∈Q0 , gdzie fc = 0 λ−1 : k → k 2 , zaś fi dla pozostałych wierzchołków
definiowane jak w poprzedniej sytuacji. Pokazaliśmy więc, że w tym przypadku
również moduł P (a) ' I(b) jest projektywno-injektywny (łatwo pokazać, że również jest biseryjny).
W obu przypadkach łatwo widać, że soc P = ku. W konkluzji otrzymujemy,
że każda relacja przemienności u − λv ∈ I, gdzie λ ∈ k \ {0}, u, v ∈ Q≥2 ,
59
u, v ∈
/ I zadaje pewien biseryjny (a więc nieseryjny) kQ/I-moduł projektywnoinjektywny, co daje tezę lematu.
2
Wprowadzimy oznaczenia ρ1 (I) = I ∩ Q≥2 oraz ρ2 (I) = I ∩ {u − λv : λ ∈
k \ {0}; u, v ∈ Q≥2 ; u, v ∈
/ I; s(u) = s(v), t(u) = t(v)}. Z warunków (SP) łatwo
widać, że ideał I jest generowany przez relacje ze zbiorów ρ1 (I) i ρ2 (I).
Lemat. Niech (Q, I) będzie specjalnym kołczanem biseryjnym. Wówczas
(i) zbiór relacji ρ2 (I) jest skończony,
(ii) jeśli ρ2 (I) = {ui − λi vi }ni=1 dla pewnego n ≥ 0, to algebra
(kQ/I)/ < u1 , . . . , un >' kQ/(I ⊕ ku1 ⊕ · · · ⊕ kun )
jest strunowa.
Dowód. (i) Ponieważ ideał I jest dopuszczalny, to liczba ścieżek nienależących do I jest skończona. Ponadto dla każdych u, v ∈ Q≥2 istnieje co najwyżej
jedna λ ∈ k \ {0} taka, że u − λv ∈ ρ2 (I). Istotnie, załóżmy, że tak nie jest,
czyli istnieją różne λ1 , λ2 ∈ k \ {0} takie, że u − λ1 v, u − λ2 v ∈ ρ2 (I). Wówczas
u − λ1 v − (u − λ2 v) = (λ2 − λ1 )v ∈ ρ2 (I), czyli v ∈ I, sprzeczność. W konkluzji
otrzymujemy, że zbiór ρ2 (I) jest skończony.
(ii) Zauważmy, że I ⊕ ku1 , . . . , I ⊕ kun są ideałami w kQ i że izomorfizm z tezy
wynika z Twierdzenia 1.3. Ponadto, mamy ρ1 (I ⊕ ku1 ) = ρ1 (I) ∪ {u1 , v1 } oraz
ρ2 (I ⊕ ku1 ) = ρ2 (I) \ {u1 − λ1 v1 } i w konsekwencji ρ2 (I ⊕ ku1 ⊕ · · · ⊕ kun ) = ∅ i
algebra kQ/(I ⊕ ku1 ⊕ · · · ⊕ kun ) jest strunowa (patrz Uwaga 6.2).
2
Uwaga. Wprost z definicji V -ciągów mamy równość V (Q, I) = V (Q, I ⊕ku1 ⊕
· · · ⊕ kun ) i w konsekwencji X(Q, I) = X(Q, I ⊕ ku1 ⊕ · · · ⊕ kun ) (oznaczenia jak
w powyższym lemacie).
Twierdzenie. Niech (Q, I) spełnia warunki (SP) oraz niech ρ2 (I) = {u1 −
λ1 v1 , . . . , un − λn vn } dla pewnych n ≥ 0, λ1 , . . . , λn ∈ k \ {0}, u1 , . . . , un , v1 , . . . ,
b = kQ/(I ⊕ ku1 ⊕ · · · ⊕ kun ) jest skończonego typu repvn ∈
/ I. Wówczas algebra A
rezentacyjnego dokładnie wtedy, gdy algebra A = kQ/I jest skończonego typu reprezentacyjnego. Ponadto klasa A-modułów nierozkładalnych może być traktowana
b
jako rozłączna suma klasy A-modułów
nierozkładalnych oraz klas izomorfizmów
modułów projektywno-injektywnych zadanych przez relacje u1 − λ1 v1 , . . . , un −
λn v n .
Dowód. Na mocy Stwierdzenia 9.2 relacje przemienności u1 − λ1 v1 , . . . , un −
λn vn zadają nierozkładalne A-moduły projektywno-injektywne P1 , . . . , Pn , których
cokoły są równe odpowiednio ku1 , . . . , kun . Łatwo udowodnić, że algebra postaci
b = kQ/(I ⊕ ku1 ⊕
(((A/soc P1 )/soc P2 )/ · · · )/soc Pn jest izomorficzna z algebrą A
· · · ⊕ kun ). Indukcyjne zastosowanie Stwierdzenia 9.1 daje nam tezę niniejszego
twierdzenia.
2
60
10. Specjalne algebry biseryjne skończonego typu reprezentacyjnego
W tej części pracy krótko, bez wprowadzania formalnych definicji z zakresu teorii nakryć, przedstawimy rozwiązanie problemu rozstrzygania skończoności typu reprezentacyjnego, wraz z klasyfikacją modułów nierozkładalnych dla
dowolnej specjalnej algebry biseryjnej.
10.1. W punkcie 8.1 zdefiniowaliśmy reprezentację zadaną przez V -ciąg w
specjalnym drzewie biseryjnym. Łatwo pokazać, że podobna konstrukcja (która
jest uogólnieniem konstrukcji w przypadku drzew) reprezentacji zadawanych przez
V -ciągi w dowolnej specjalnej algebrze biseryjnej daje reprezentacje nierozkładalne. Ustalmy specjalną algebrę biseryjną (Q, I) oraz dowolny V -ciąg w ∈ V (Q, I).
Wówczas reprezentację X(w) = ((Xa )a∈Q0 , (Xα )α∈Q1 ) zadaną przez V -ciąg w
konstruuje się następująco: Xa = k n , gdzie n ≥ 0 to ilość wystąpień wierzchołka a w V -ciągu w. Odwzorowanie Xα dla strzałek α niewystępujących w
V -ciągu w jest zerowe. Jeśli strzałka α : a → b występuje w V -ciągu w, to
Xα działa identycznościowo na poszczególnych kopiach ciała k odpowiadających
wystąpieniom wierzchołków a i b.
Przykład. Rozważmy kołczan postaci
2
α @ β
R
γ @
1
3
z ideałem I generowanym przez relację (αβγ)2 . Oczywiście (Q, I) jest specjalnym
kołczanem biseryjnym. Rozpatrzmy V -ciąg w ∈ V (Q, I) postaci 1 → 2 → 3 →
1 → 2. Wówczas reprezentacja X(w) ma postać
k2
v1 @ v2
R
v3 @
k
k2 hi
gdzie odwzorowania v1 , v2 , v3 są zadane przez macierze odpowiednio I2 , [1 0], 01 .
Uwaga. Od tego momentu będziemy rozpatrywać jedynie spójne kołczany.
10.2. Niech para (Q, I) spełnia warunki (SP) i załóżmy, że ideał I jest generowany przez zero-relacje (tzn. algebra kQ/I jest typu strunowego). Wówczas
możemy skonstruować morfizm kołczanów z relacjami, tzw. uniwersalne nakrycie
e I)
e → (Q, I). Kołczan Q
e jest nieskończonym (ale lokalnie skońGalois F : (Q,
czonym) drzewem, które powstaje poprzez zastosowanie klasycznej konstrukcji
nakrycia uniwersalnego grafu, tu w ”wersji skierowanej”, stosowanej w topologii
algebraicznej (patrz [7] i [2]). Ideał Ie jest ideałem k-kategorii lokalnie ograniczonej
e generowanym przez podniesienia dróg generujących ideał I. Analogicznie jak
kQ
e działa w sposób wolny grupa G (grupa podstawowa
w klasycznej sytuacji na Q
e
kołczanu Q) i Q można traktować jako kołczan ilorazowy Q/G.
61
e I)
e → repk (Q, I).
Nakrycie F indukuje tzw. funktor opuszczania Fλ : repk (Q,
Funktor Fλ ma bardzo dobre własności, m.in. zachowuje reprezentacje nierozkłae I)
e mamy Fλ (M ) ' Fλ (N ) wtedy i tylko
dalne oraz dla dowolnych M, N ∈ repk (Q,
g
wtedy, gdy M = N dla pewnego g ∈ G, gdzie gN jest przesunięciem względem
e I)
e → repk (Q,
e I)
e (patrz [6]).
indukowanego działania · : G × repk (Q,
e I),
e droga [w]G := F(w) jest V -ciągiem w
Dla dowolnego V -ciągu w ∈ V (Q,
(Q, I) oraz mamy równość |w| = |[w]G |. Ponadto wszystkie V -ciągi w (Q, I) są
e I).
e Łatwo pokazać, że ponadto dla dowolnego
obrazami pewnych V -ciągów w (Q,
e I)
e mamy Fλ (X(w)) = X([w]G ).
V -ciągu w ∈ (Q,
Stwierdzenie. Niech A = kQ/I będzie dowolną ustaloną specjalną algebrą
biseryjną typu strunowego bez prymitywnych V -ciągów. Wówczas A jest skończonego typu reprezentacyjnego oraz ind A/ '= X(Q, I)/ '.
Dowód. W dowodzie wykorzystamy Twierdzenie Gabriela (patrz [6]). Pokae I)
e jest lokalnie skończonego typu reprezentacyjnego, tzn., że dla
żemy, że (Q,
e0 istnieje tylko skończenie wiele (z dokładnością do
każdego wierzchołka x ∈ Q
e I)
e takich, że Mx 6= 0
izomorfizmu) reprezentacji nierozkładalnych M ∈ repk (Q,
(gdzie Mx to k-przestrzeń w reprezentacji M odpowiadająca wierzchołkowi x).
Wówczas w konkluzji otrzymamy, że kQ/I jest skończonego typu reprezentacyjnego i każdy nierozkładalny kQ/I-moduł jest postaci Fλ (M ) dla pewnego nieroze I).
e
kładalnego M ∈ repk (Q,
W celu pokazania powyższej własności wykorzystamy wyniki, które uzyskaliśmy dla (skończonych) specjalnych drzew biseryjnych. Zauważmy, że V -ciągi w
e I)
e mają ograniczoną długość. Istotnie, załóżmy, że tak nie jest tzn.
drzewie (Q,
e I)
e rosnącej długości.
istnieje nieskończony ciąg V -ciągów v1 , v2 , . . . , vi , . . . ∈ V (Q,
Wówczas otrzymujemy w V (Q, I) nieskończony ciąg V -ciągów rosnącej długości
F(v1 ), F(v2 ), . . . , F(vi ), . . . , sprzeczność ze Stwierdzeniem 7.1. Zauważmy, że dla
e I)
e kategorię
dowolnego skończonego pełnego podkołczanu (Q0 , I 0 ) kołczanu (Q,
e I)
e (przez
repk (Q0 , I 0 ) możemy traktować jako pełną podkategorię kategorii repk (Q,
funktor uzupełnienia reprezentacji M ∈ repk (Q0 , I 0 ) zerami na wierzchołkach odf0 \ Q0 ). Wobec tego mamy równość
powiadających wierzchołkom ze zbioru Q
0
[
e I)
e =
repk (Q,
repk (Q0 , I 0 )
0 |<∞
e I),|Q
e
(Q0 ,I 0 )⊂(Q,
0
która implikuje, że wszystkie skończenie wymiarowe reprezentacje nierozkładale I)
e są zadawane przez V -ciągi w (Q,
e I).
e Wynika
ne nieskończonego drzewa (Q,
to natychmiast z opisu nierozkładalnych reprezentacji skończonych specjalnych
drzew biseryjnych (parz Twierdzenie 8.4) oraz uwagi, że każdy V -ciąg w skońe I)
e jest V -ciągiem w kołczanie (Q,
e I)
e
czonym podkołczanie (Q0 , I 0 ) kołczanu (Q,
e I)
e może być zrealizowany w pewnym skońi odwrotnie, każdy V -ciąg w (Q,
0 0
czonym podkołczanie (Q , I ). Zauważmy, że dla ustalonego wierzchołka a ∈
62
f0 istnieje jedynie skończenie wiele V -ciągów w (Q,
e I)
e zawierających a, gdyż
Q
e
e
e
długości V -ciągów w (Q, I) są ograniczone i Q jest drzewem. Zatem istnieje
jedynie skończenie wiele nieizomorficznych reprezentacji nierozkładalnych takich,
że k-przestrzeń odpowiadająca wierzchołkowi a jest niezerowa. Innymi słowy,
e I)
e jest lokalnie skończonego typu reprezentacyjnego. Zatem na mocy Twier(Q,
dzenia Gabriela kategoria reprezentacji algebry kQ/I jest skończonego typu reprezentacyjnego oraz każda nierozkładalna reprezentacja kołczanu (Q, I) jest izomorficzna z reprezentacją zadaną przez pewien V -ciąg w ∈ V (Q, I).
2
10.3. Na koniec przedstawimy główne twierdzenie rozstrzygające skończoność
typu reprezentacyjnego w klasie specjalnych algebr biseryjnych, podające klasyfikację reprezentacji nierozkładalnych.
Twierdzenie. Niech para (Q, I) spełnia warunki (SP) oraz niech ρ2 (I) =
{u1 −λ1 v1 , . . . , un −λn vn } dla pewnych n ≥ 1, λ1 , . . . , λn ∈ k \{0}, u1 , . . . , un , v1 ,
. . . , vn ∈
/ I. Wówczas algebra A = kQ/I jest skończonego typu reprezentacyjnego
dokładnie wtedy, gdy w kołczanie (Q, I) nie ma prymitywnych V -ciągów. Ponadto,
wówczas (ind-kQ/I)/' = X(Q, I)/' ∪ {[P1 ]' , . . . , [Pn ]' }, gdzie P1 , . . . , Pn to
nierozkładalne reprezentacje projektywno-injektywne zadane przez relacje z ρ2 (I).
Dowód. Załóżmy, że w kołczanie (Q, I) nie ma prymitywnych V -ciągów. Alb = kQ/(I ⊕ ku1 ⊕ · · · ⊕ kun ) na mocy Lematu 9.2 jest typu strunowego.
gebra A
Na mocy Uwagi 9.2, V (Q, I ⊕ ku1 ⊕ · · · ⊕ kun ) = V (Q, I).
b nie ma prymitywnych V -ciągów, co na mocy Stwierdzenia 10.1
Zatem w A
b = X(Q, I ⊕
implikuje, że jest skończonego typu reprezentacyjnego oraz ind-A
ku1 ⊕ · · · ⊕ kun ).
Wobec tego na mocy Twierdzenia 9.2 algebra A = kQ/I jest skończonego
typu reprezentacyjnego i wszystkie ”z dokładnością do izomorfizmu” reprezentacje nierozkładalne algebry kQ/I to reprezentacje zadane przez V -ciągi w (Q, I)
oraz biseryjne reprezentacje nierozkładalne projektywno-injektywne P1 , . . . , Pn
zadane przez relacje u1 − λ1 v1 , . . . , un − λn vn ∈ I (patrz Stwierdzenie 9.2).
Załóżmy teraz, że w kołczanie istnieje prymitywny V -ciąg w. Wówczas można pokazać, że dla każdego n ≥ 1 reprezentacja X(wn ) jest nierozkładalna i
oczywiście reprezentacje X(w), X(w2 ), . . . , X(wi ), . . . są parami nieizomorficzne,
stąd algebra A = kQ/I nie jest algebrą skończonego typu reprezentacyjnego.
Ostatecznie pokazaliśmy więc, że specjalna algebra biseryjna A = kQ/I jest
algebrą skończonego typu reprezentacyjnego wtedy i tylko wtedy, gdy w (Q, I)
nie ma prymitywnych V -ciągów oraz opis nierozkładalnych reprezentacji algebry
A pokrywa się z tym z tezy twierdzenia.
2
63
IV. Rozkład reprezentacji specjalnych algebr
biseryjnych
W niniejszym rozdziale przedstawimy metodę rozkładu reprezentacji specjalnych algebr biseryjnych na sumę prostą reprezentacji nierozkładalnych z ustalonego zbioru reprezentantów klas izomorfizmów, przy czym skupimy się dokładniej
na rozkładzie specjalnych drzew biseryjnych.
11. Ogólna metoda rozkładu reprezentacji algebr skończonego typu
reprezentacyjnego.
11.1. Niech A będzie ustaloną algebrą skończonego typu reprezentacyjnego
oraz niech M1 , . . . , Mp , gdzie p = p(A) ≥ 1, będą parami nieizomorficznymi
nierozkładalnymi A-modułami takimi, że dla każdego nierozkładalnego A-modułu
X istnieje takie 1 ≤ i ≤ p, że X ' Mi .
Niech N będzie dowolnym skończenie wymiarowym A-modułem. Wówczas
istnieją liczby n1 = n1 (A, N ), . . . , np = np (A, N ) takie, że N ' M1n1 ⊕ · · · ⊕
n
Mn p . Na mocy Wniosku 1.7 liczby te wyznaczone są jednoznacznie. Celem tego
paragrafu jest przedstawienie metody znajdywania układu liczb n1 , . . . , np dla
dowolnej skończenie wymiarowej reprezentacji N algebry A.
Zauważmy, że dla każdego 1 ≤ i ≤ p mamy izomorfizmy przestrzeni
HomA (N, Mi ) ' HomA (M1n1 , Mi ) ⊕ · · · ⊕ HomA (Mpnp , Mi ) '
' HomA (M1 , Mi )n1 ⊕ · · · ⊕ HomA (Mp , Mi )np
które indukują równość
dimk HomA (N, Mi ) = n1 dimk HomA (M1 , Mi ) ⊕ · · · ⊕ np dimk HomA (Mp , Mi )
Oznaczmy przez cij = cij (A) = dimk HomA (Mj , Mi ) oraz mi = mi (A, N ) =
dimk HomA (N, Mi ) dla dowolnych 1 ≤ i, j ≤ p. Powyższe równości możemy
zapisać w postaci
mi = n1 ci1 + n2 ci2 + · · · + np cip
dla każdego 1 ≤ i ≤ p. Otrzymaliśmy więc układ równań
Cn = m
"m #
"n #
1
, gdzie m = m(A, N ) =
..
.
mp
1
, n = n(A, N ) =
Mn (N).
64
..
.
np
oraz C = C(A) = [cij ]1≤i,j≤p ∈
Jeśli będziemy znali wartości mi oraz cij dla wszystkich 1 ≤ i, j ≤ p, to
rozwiązanie układu równań Cn = m (o ile istnieje i jest jedyne) da nam szukany
wektor n. W szczególności można to zawsze zrobić, gdy macierz C jest odwracalna,
wówczas rozwiązanie byłoby zadane formułą n = C −1 m.
Zauważmy, że wyżej przedstawioną metodę można próbować zastosować do
rozkładu dowolnych skończenie wymiarowych reprezentacji specjalnych algebr biseryjnych bez prymitywnych V -ciągów, gdyż na mocy Twierdzenia 10.3 algebry
te są skończonego typu reprezentacyjnego i znamy precyzyjny opis wszystkich
reprezentacji nierozkładalnych w ”terminach macierzowych”. Dzięki temu możemy policzyć wszystkie współczynniki mi oraz cij występujące w wyżej opisanym
układzie równań. Pewien problem może stanowić odwracalność macierzy C. Między innymi tym problemem zajmiemy się w następnym paragrafie.
12. Algorytm rozkładu reprezentacji specjalnych drzew biseryjnych
W dalszym ciągu będziemy stosować oznaczenia wprowadzone w paragrafie
11.
12.1. Metoda omówiona w poprzednim paragrafie może być stosowana dla
dowolnej algebry A skończonego typu, o ile potrafimy rozwiązywać układy równań
postaci m = Cn. W dalszych rozważaniach pokażemy bardziej szczegółowo, jak
liczyć liczby mi , cij , dla 1 ≤ i, j ≤ p, w przypadku specjalnych drzew biseryjnych. Przypomnijmy, że specjalne drzewa biseryjne są skończonego typu reprezentacyjnego oraz wszystkie nierozkładalne reprezentacje specjalnych drzew
biseryjnych są (z dokładnością do izomorfizmu) zadane przez V -ciągi (Twierdzenie 8.4). Dowolna reprezentacja zadana przez V -ciąg w drzewie jest postaci
X = ((Xi )i∈Q0 , (Xα )α∈Q1 ), gdzie wszystkie przestrzenie Xi są zerowe albo równe
k, zaś wszystkie odwzorowania Xα są to odwzorowania zerowe lub identyczności
na k.
Ustalmy specjalne drzewo biseryjne (Q, I), A = kQ/I. Niech N będzie skończenie wymiarową reprezentacją drzewa (Q, I). Możemy przyjąć, że reprezentacja N zadana jest w postaci macierzowej, tzn. N = ((Ni )i∈Q0 , (Nα )α∈Q1 ), gdzie
dla każdego i ∈ Q0 , Ni = k pi , dla pewnego pi ≥ 0 oraz dla każdej α ∈ Q1 ,
Nα ∈ Mpt(α) ×ps(α) (k) (przy czym przyjmujemy, że macierz o zeru wierszach lub
kolumnach to odwzorowanie zerowe). Wprowadzimy następujące pomocnicze oznaczenia:
(i) supp N = {i ∈ Q0 : Ni 6= 0} - nośnik reprezentacji N ,
(ii) N|P = ((Ni0 )i∈Q0 , (Nα0 )α∈Q1 ), gdzie P ⊂ Q0 , jest to reprezentacja będąca
obcięciem reprezentacji N do podzbioru wierzchołków P , tzn. dla każdego i ∈ P ,
Ni0 = Ni , zaś dla i ∈ Q0 \ P , Ni0 = 0. Natomiast Nα0 = Nα dla wszystkich tych
α ∈ Q1 , że s(α), t(α) ∈ P . Dla pozostałych α ∈ Q1 , Nα0 = 0.
65
(iii) S(w) = supp X(w) ∪ {s(α) ∈ Q0 : α ∈ Q1 , t(α) ∈ supp X(w)}, gdzie w
jest dowolnym V -ciągiem w (Q, I).
Na zbiorze V -ciągów V (Q, I) wprowadzimy relację ∼ ⊂ V (Q, I) × V (Q, I)
przyjmując v ∼ w wtedy i tylko wtedy, gdy v = w−1 , w = v −1 lub w = v. Jest
to oczywiście relacja równoważności. Niech p = |V (Q, I)/∼| oraz niech v1 , . . . , vp
będą ustalonymi reprezentantami klas abstrakcji relacji ∼. Wówczas (patrz Uwaga
8.1) reprezentacje Mi := X(vi ) dla każdego 1 ≤ i ≤ p są parami nieizomorficzne i
dla każdej reprezentacji nierozkładalnej X drzewa (Q, I) istnieje 1 ≤ i ≤ p takie,
że Mi ' X.
Uwaga. Nietrudno sprawdzić z definicji homomorfizmu reprezentacji, że liczba mi = mi (Q, I, N ) = dimk HomA (N, Mi ) jest równa wymiarowi przestrzeni
HomA (N|S(vi ) , Mi|S(vi ) ), gdyż odwzorowania składające się na każdy homomorfizm
reprezentacji N i Mi odpowiadające wierzchołkom spoza zbioru S(vi ) są zerowe i
ich pominięcie nie wpływa na liczenie wymiaru przestrzeni HomA (N, Mi ). Łatwo
widać również, że jeśli reprezentacje N i Mi mają rozłączne nośniki, to mi = 0.
Rozważmy teraz dowolny homomorfizm f = (fi )i∈Q0 reprezentacji N|S(vi ) i
Mi|S(vi ) . Pokażemy teraz sposób obliczania liczby mi dla V -ciągu vi postaci
as αs
as−1 · · · a1 α1
a
β1
- b1 · · · bt−1
βt
- b1
dla pewnych s, t ≥ 1, a, a1 , . . . , as , b1 , . . . , bt ∈ Q0 oraz α1 , . . . , αs , β1 , . . . , βt ∈ Q1 .
Przypadek ten jest w pełni reprezentatywny, dla V -ciągów ogólniejszej postaci
wzrasta jedynie ilość analogicznych obliczeń. Lokalnie na nośniku reprezentacji
X(vi ) homomorfizm f wygląda następująco
Nαs ps−1
Nα 1 p Nβ 1 q 1
N βt q 1
- k · · · k qt−1
-k
N:
k · · · k p1 k
k ps f:
?
X(vi ) :
fas
?
k =
fas−1
?
fa1
?
k · · · k =
fa
?
k
fb
fb
fb
?1
? t−1
?t
=- k · · · k
=- k
gdzie przestrzenie k q , k p1 , . . . , k ps , k q1 , . . . , k qt , przy czym q, p1 , . . . , ps , q1 , . . . , qt ≥
0, to przestrzenie reprezentacji N odpowiadające wierzchołkom odpowiednio a,
a1 , . . . , as , b1 , . . . , bt . Zauważmy, że odwzorowania fa , fa1 , . . . , fas , fb1 , . . . , fbt to
mnożenia przez pewne wektory odpowiednio xa ∈ M1×q (k), xa1 ∈ M1×p1 (k), . . . ,
xas ∈ M1×ps (k), xb1 ∈ M1×q1 (k), . . . , xbt ∈ M1×qt (k). Ponieważ f jest homomor-
66
fizmem reprezentacji, to z definicji
xas Nαs = xas−1
..
.
(1)
x a 2 Nα 2
x a 1 Nα 1
xb1 Nβ1
xb2 Nβ2
=
=
=
=
..
.
x a1
xa
xa
xb1
xbt Nβt = xbt−1
Niech teraz S(vi ) \ suppX(vi ) = {c1 , . . . , cl } dla pewnego l ≥ 0. Zatem mamy
strzałki γ1 : c1 → c01 , . . . , γl : cl → c0l ∈ Q1 , przy czym wierzchołki c01 , . . . , c0l
należą do zbioru suppX(vi ) = {a, a1 , . . . , as , b1 , . . . , bt }. Wobec tego z definicji
homomorfizmu reprezentacji otrzymujemy układ
(2)
xc01 Nγ1 = 0
xc02 Nγ2 = 0
..
.
xc0l Nγl = 0
Wymiar przestrzeni rozwiązań układu jednorodnego (1 + 2) (czyli układu powstałego z połączenia układów (1) i (2)) to szukana liczba mi .
Powyższą metodę możemy zastosować również do wyznaczania współczynników cij = cij (Q, I) = dimk HomA (Mj , Mi ) dla wszystkich 1 ≤ i, j ≤ p, tzn. obliczenie liczby cij sprowadza się do szukania wymiaru przestrzeni rozwiązań układu
typu (1+2). Lecz do obliczenia macierzy C nie potrzeba wykonywać żadnych
rachunków, gdyż liczby cij , jak pokażemy w następnym punkcie, zależą tylko od
struktury i wzajemnego położenia V -ciągów vi i vj dla każdych 1 ≤ i, j ≤ p.
12.2 W tym i następnym punkcie będziemy dalej zajmować się ustalonym
specjalnym drzewem biseryjnym (Q, I) i algebrą A = kQ/I. Ten punkt ma
charakter luźnych rozważań mających na celu znalezienie bardziej optymalnej
metody obliczania macierzy C. Łatwo pokazać wprost z definicji homomorfizmu
reprezentacji i postaci reprezentacji zadawanych przez V -ciągi (patrz też dowód
Lematu 8.1), że liczby cij są nie większe niż 1 dla każdego 1 ≤ i, j ≤ p. Zauważmy, że również na mocy Lematu 8.1, cii = 1 dla wszystkich 1 ≤ i ≤ n. Ponadto
(patrz Uwaga 12.1) jeśli reprezentacje Mi , Mj mają rozłączne nośniki, to cij =
cji = 0. W konsekwencji znamy już ”dużą część” macierzy C bez wykonywania
żadnych rachunków. Poniżej pokażemy dwa fakty pozwalające sprowadzić proces
obliczania współczynników do poziomu czysto kombinatorycznego, bardziej ”przyjaznego” dla komputera. Przyjmijmy pomocnicze oznaczenia Sij := supp X(vj ) ∩
67
supp X(vi ), Si := supp X(vi ), dla dowolnych 1 ≤ i, j ≤ p. Ponieważ Q jest
drzewem, pełny podkołczan kołczanu Q rozpięty na wierzchołkach ze zbioru Sij
jest spójny (i ”stanowi” drogę będącą V -podciągiem V -ciągów vi , vj ).
Lemat. Niech vi , vj ∈ V (Q, I) będą V -ciągami takimi, że Sij 6= ∅ oraz niech
f = (fc )c∈Q0 : X(vj ) → X(vi ) będzie homomorfizmem reprezentacji takim, że
istnieje wierzchołek s ∈ Sij taki, że fs = 0. Wówczas homomorfizm f jest zerowy.
Dowód. Rozważmy wierzchołki należące do zbioru Sij będące bezpośrednimi
sąsiadami wierzchołka s, tzn. połączone z nim strzałką (z definicji V -ciągu wierzchołki takie mogą być co najwyżej dwa). Jeśli nie ma takich sąsiadów to Sij =
{s} i teza jest oczywista. Jeśli są, to z definicji homomorfizmu reprezentacji
odpowiednie diagramy muszą komutować i odwzorowania k-liniowe homomorfizmu f odpowiadające tym wierzchołkom są również zerowe. Indukcyjne rozumowanie prowadzi do wniosku, że dla każdego c ∈ Sij , fc = 0, co w konsekwencji
oznacza, że f = 0.
2
Stwierdzenie. Niech vi , vj ∈ V (Q, I), i 6= j, będą dwoma dowolnymi V ciągami z wcześniej ustalonego zbioru v1 , . . . , vp . Wówczas cij = 1 wtedy i tylko
wtedy, gdy dla dowolnej strzałki α : a → b ∈ Q1 spełnione są dwa poniższe
(dualne) warunki:
(i) Z tego, że a ∈ Sij oraz b ∈ Si wynika, że b ∈ Sj .
(ii) Z tego, że b ∈ Sij oraz a ∈ Sj wynika, że a ∈ Si .
Dowód. Załóżmy najpierw, że dla pewnej strzałki a → b ∈ Q0 jeden z warunków (i), (ii) nie jest spełniony. Niech będzie to warunek (i), czyli a ∈ Sij , b ∈ Si ,
b∈
/ Sj . Wówczas dowolny homomorfizm reprezentacji f = (fc )c∈Q0 lokalnie ma
postać:
0
ka - 0
X(vj ) :
f : fa
0
?
?
?
0 =
X(vi ) :
kb0
ka
gdzie ka0 , kb0 i ka to przestrzenie równe k odpowiadające odpowiednio wierzchołkom
a, b w reprezentacji X(vi ) oraz wierzchołkowi a w reprezentacji X(vj ). Wówczas
z definicji homomorfizmu reprezentacji fa = 0 i na mocy wyżej udowodnionego
lematu f = 0. W konkluzji otrzymujemy, że cij = dimk HomA (X(vj ), X(vi )) = 0.
Jeśli warunek (ii) nie jest spełniony, to dowolny homomorfizm f = (fc )c∈Q0 :
X(vj ) → X(vi ) lokalnie ma postać (oznaczenia jak wyżej):
X(vj ) :
f:
?
X(vi ) :
ka =- kb
f
0?
?b
0- 0
0
kb
68
analogicznie z definicji homomorfizmu reprezentacji i powyższego lematu wnioskujemy, że f = 0 i cij = 0.
Pokażemy teraz implikację w drugą stronę, tzn. pokażemy, że jeśli dla dowolnej
strzałki a → b ∈ Q1 spełnione są warunki (i) i (ii), to cij = 1. Zauważmy, że
do pokazania tezy wystarczy skonstruować niezerowy homomorfizm reprezentacji
X(vj ) i X(vi ).
Niech f = (fc : Xcj → Xci )c∈Q0 , gdzie Xcj , Xci to k-przestrzenie odpowiadające wierzchołkowi c w reprezentacji odpowiednio X(vj ), X(vi ) (równe 0 lub k z
definicji) oraz
idk c ∈ Sij
fc =
0
c∈
/ Sij
dla każdego c ∈ Q0 . Teraz wystarczy pokazać, że f jest homomorfizmem reprezentacji X(vj ) i X(vi ), tzn., że dla dowolnej strzałki α : a → b ∈ Q1 diagram
(*)
j
Xaj X-α Xbj
fa
f
? X i ?b
α
Xai - Xbi
gdzie Xαj , Xαi to odwzorowania z reprezentacji odpowiednio X(vj ), X(vi ), odpowiadające strzałce α, komutuje. Odwzorowanie Xαi jest identycznością na k,
gdy Xai = Xbi = k, w przeciwnym przypadku jest odwzorowaniem zerowym
(analogicznie dla Xαj ). Należy teraz sprawdzić następujące przypadki:
(a) a, b ∈ Sij . Wówczas Xai = Xaj = Xbi = Xbj = k oraz fa = fb = idk , w
konsekwencji diagram (*) komutuje.
(b) a, b ∈
/ Sij . Wówczas Xai = Xaj = Xbi = Xbj = 0 oraz fa = fb = 0 i diagram
(*) komutuje.
(c) a ∈ Sij , b ∈
/ Sij . Jeśli b ∈
/ Si oraz b ∈
/ Sj , to Xai = Xaj = k, Xbi = Xbj = 0
oraz fa = idk , fb = 0 i diagram (*) komutuje. Jeśli b ∈ Si , to b ∈ Sj i b ∈ Sij .
Jeśli b ∈ Sj , b ∈
/ Si , to Xai = Xaj = k, Xbi = 0, Xbj = k i diagram (*) komutuje.
(d) a ∈
/ Sij , b ∈ Sij . Jeśli a ∈
/ Si oraz a ∈
/ Sj , to Xai = Xaj = 0, Xbi = Xbj = k
oraz fa = 0, fb = idk i diagram (*) komutuje. Jeśli a ∈ Sj , to a ∈ Si i a ∈ Sij .
Jeśli a ∈ Si , a ∈
/ Sj , to Xbi = Xbj = k, Xai = k, Xaj = 0 i diagram (*) komutuje.
Sprawdziliśmy zatem, że diagramy postaci (*) komutują w każdym przypadku,
więc f jest homomorfizmem reprezentacji. W konsekwencji cij = 1.
2
Pokazaliśmy zatem, jak wyznaczać macierz C i wektor m dla specjalnych
drzew biseryjnych. W następnym punkcie wskażemy kolejny sposób automatyzacji pewnych obliczeń oraz pokażemy, że dla specjalnych drzew biseryjnych macierz
C jest odwracalna. W konkluzji otrzymamy, że powyższa metoda dla specjalnych
drzew biseryjnych zawsze daje poprawne rozwiązanie.
69
12.3. Dowód nieosobliwości macierzy C będzie wykorzystywał dwa nietrywialne fakty z zakresu teorii Auslandera-Reiten, które sformułujemy poniżej. Uzasadnienie można znaleźć np. w książce [1].
Stwierdzenie. (i) Niech A będzie dowolną algebrą skończonego typu reprezentacyjnego nad ciałem algebraicznie domkniętym, zaś M1 , M2 dowolnymi nierozkładalnymi A-modułami. Wówczas dowolny nieizomorfizm f : M1 → M2 jest sumą
złożeń odwzorowań nieprzywiedlnych. W konsekwencji, jeśli HomA (M1 , M2 ) 6= 0,
to istnieje droga zorientowana w kołczanie Auslandera-Reiten ΓA z wierzchołka
[M1 ] do wierzchołka [M2 ].
(ii) Niech A = kQ/I będzie algebrą skończonego typu reprezentacyjnego, gdzie
Q jest skończonym drzewem, zaś I ideałem dopuszczalnym algebry kQ. Wówczas
kołczan Auslandera-Reiten ΓA jest acykliczny.
Wniosek. Jeśli cij = 1, to cji = 0 dla każdych 1 ≤ i, j ≤ p.
Dowód. Załóżmy, że tak nie jest, tzn. dla pewnych 1 ≤ i, j ≤ p zachodzi cij =
cji = 1. Wówczas na mocy powyższego stwierdzenia istnieje droga zorientowana w
kołczanie Auslandera-Reiten ΓkQ/I z wierzchołka [X(vj )] do [X(vi )] oraz z [X(vi )]
do [X(vj )]. W konsekwencji otrzymujemy cykl zorientowany w kołczanie ΓkQ/I ,
sprzeczność z punktem (ii) powyższego stwierdzenia.
2
Istotną rolę będzie odgrywał następujący prosty fakt z teorii grafów.
Lemat. Niech Γ = (Γ0 , Γ1 ) będzie skończonym grafem zorientowanym acyklicznym, tż. |Γ0 | = r ∈ N. Wówczas istnieje numeracja w1 , . . . , wr wszystkich
wierzchołków Γ taka, że jeśli istnieje droga zorientowana z wierzchołka wj do wi ,
to j > i dla każdych 1 ≤ i, j ≤ r.
Dowód. Prosta indukcja.
2
Wykorzystując powyższe fakty udowodnimy zapowiadane twierdzenie.
Twierdzenie. Niech (Q, I) będzie niepustym specjalnym drzewem biseryjnym.
Wówczas macierz C = C(Q, I) jest odwracalna.
Dowód. W dowodzie przyjmujemy oznaczenia jak we wcześniejszych punktach.
Pokażemy, że dla dowolnej skończenie wymiarowej reprezentacji N drzewa (Q, I)
układ równań Cn = m posiada rozwiązanie. Ponieważ na mocy Stwierdzenia 12.2
kołczan Auslandera-Reiten ΓA , gdzie A = kQ/I, jest acykliczny, więc z Lematu
12.2 istnieje permutacja σ ∈ Sp taka, że V -ciągi wσ(i) := vi dla każdego 1 ≤ i ≤ p,
spełniają następującą własność. Z tego, że HomA (X(wj ), X(wi )) 6= 0, czyli istnieje droga w kołczanie ΓA z wierzchołka [X(wj )] do [X(wi )], wynika, że j > i. W
konsekwencji macierz C 0 = [c0ij ]1≤i,j≤p , gdzie c0ij = dimk HomA (X(wj ), X(wi )), jest
górnotrójkątna. Ponieważ dla każdego 1 ≤ i ≤ p, c0ii = cσ−1 (i)σ−1 (i) = 1, otrzymujemy, że w macierzy C 0 na przekątnej stoją same jedynki. Oczywiście macierz C 0 ,
jako macierz górnotrójkątna z jedynkami na przekątnej, jest odwracalna i układ
równań C 0 n0 = m0 , powstały z wyjściowego układu Cn = m przez przenumerowanie zmiennych σ, posiada rozwiązanie. Z tego wynika, że układ Cn = m posiada
70
rozwiązanie i macierz C jest macierzą nieosobliwą, co kończy dowód twierdzenia.
2
Wniosek. Dla dowolnej skończenie wymiarowej reprezentacji N specjalnego
drzewa biseryjnego (Q, I) wektor n = n(Q, I, N ) jest zdeterminowany przez wektor
m = m(Q, I, N ) i zadany jest formułą
n = C −1 m
12.4. W punktach 12.1, 12.2 i 12.3 pokazaliśmy, jak rozkładać dowolne skończenie wymiarowe reprezentacje specjalnych drzew biseryjnych na sumę prostą
reprezentacji nierozkładalnych. Tzn. według
" #wcześniejszych oznaczeń pokazaliśmy
n1
..
.
np
jak szukać wektora n = n(Q, I, N ) =
dla dowolnego specjalnego drzewa
biseryjnego (Q, I) oraz jego reprezentacji N . Poniżej podsumujemy rozważania
niniejszego rozdziału przedstawiając w zwięzły sposób (za pomocą pseudokodu)
algorytm rozkładu.
Algorytm rozkładu skończenie wymiarowych reprezentacji
specjalnych drzew biseryjnych
Dane: niepuste specjalne drzewo biseryjne (Q, I), reprezentacja N drzewa (Q, I).
Wynik: wszystkie reprezentacje nierozkładalne drzewa (Q, I)" zadane
przez V #
ciągi v1 , . . . , vp dla pewnego p ≥ 1, wektor n = n(Q, I, N ) =
n1
..
.
np
taki, że N '
X(v1 )n1 ⊕ · · · ⊕ X(vp )np
1. Wyznacz wszystkie V -ciągi w kołczanie (Q, I):
p:=0;
dla wszystkich i, j ∈ Q0 wykonuj {
wyznacz drogę w(i, j) łączącą wierzchołki i, j;
jeśli droga w(i, j) nie zawiera podścieżek (lub formalnych odwrotności)
należących do ideału I wykonuj {
p := p + 1;
vp := w(i, j);
}
pomiń sprawdzanie drogi w(j, i);
}
2. Wyznacz macierz C:
dla wszystkich 1 ≤ i ≤ p ustaw cii := 1;
71
dla wszystkich różnych 1 ≤ i, j ≤ p wykonuj
jeśli cij jest niepoliczone wykonuj {
jeśli Sij = ∅ ustaw cij := 0, cji := 0;
jeśli nie wykonuj {
dla wszystkich a ∈ Sij , b ∈ Si wykonuj
jeśli b ∈
/ Sj ustaw cij := 0; i przerwij pętlę;
jeśli cij niepoliczone wykonuj
dla wszystkich b ∈ Sij , a ∈ Sj wykonuj
jeśli a ∈
/ Si ustaw cij = 0 i przerwij pętlę;
}
jeśli cij niepoliczone ustaw cij := 1, cji := 0;
}
3. Wyznacz wektor m:
dla wszystkich 1 ≤ i ≤ p wykonuj {
jeśli Sij = ∅ ustaw mi := 0;
jeśli nie oblicz wymiar przestrzeni rozwiązań układów typu (1+2)
dla N i X(vi ) i podstaw wynik za mi ;
}
4. Rozwiąż układ równań m = Cn:
n := C −1 m;
5. Zwróć wyniki: V -ciągi v1 , . . . , vp oraz wektor n.
Uwaga. Jeśli chcemy uzyskać rozkład większej liczby reprezentacji danego
kołczanu (Q, I), to kroki 1. i 2. powyższego algorytmu wykonujemy tylko raz a
następnie dla każdej reprezentacji N kołczanu (Q, I) wykonujemy jedynie kroki
3.–5.
72
Bibliografia
[1] I. Assem, D. Simson, A. Skowroński. Elements of Representation Theory of
Associative Algebras, Volume 1. Techniques of Representation Theory. London
Math. Soc. Student Texts 65, Cambridge Univ. Press, Cambridge - New York,
2004.
[2] M. Dembinski, P. Dowbor, A. Skowroński. On indecomposable representations
or quivers with zero-relations. Fund. Math. 130, no. 3, 1988.
[3] P. Dowbor, A. Skowroński. Galois coverings of representation-infinite algebras.
Comment. Math. Helv. 62, 1987.
[4] Y. A. Drozd, V. V. Kirichenko. Finite Dimensional Algebras. Tłum. Vlastimil
Dlab. Springer-Verlag.
[5] P. Gabriel. Indecomposable representations. Symposia Math. 1973.
[6] P. Gabriel. The universal cover of a representation-finite algebra. Lecture Notes
in Math. 903, Springer, 1981.
[7] W. S. Massey. Algebraic Topology, an Introduction. New York-Chicago-San
Francisco-Atlanta, 1967.
[8] Z. Pogorzały. Algebry specjalne biseryjne. Opracowanie wykładu seminaryjnego.
Toruń, 2000.
[9] Z. Pogorzały. Representation-finite special algebras. Ann. Soc. Math. Pol., Ser.
I, Commentat. Math. 26, 1986.
[10] A. Skowroński, J. Waschbüsch. Representation-finite biserial algebras. Journal
für Mathematik. Band 345, 1983.
[11] W. Wald, J. Waschbüsch. Tame biserial algebras. J. Algebra 95, no. 2, 1985.
73