Wybrane zagadnienia algebry i geometrii algebraicznej

SYLABUS - Karta programu przedmiotu
WYDZIAŁ FIZYKI, MATEMATYKI I INFORMATYKI
Rodzaj studiów: studia stacjonarne pierwszego stopnia
Kierunek: MATEMATYKA
Rok akad.: 2010/2011
Przedmiot wybieralny kierunkowy 2
Przedmiot:
ECTS: 7
WYBRANE ZAGADNIENIA ALGEBRY I GEOMETRII ALGEBRAICZNEJ
Rok studiów:
III
Semestr:
5
Rodzaj zajęć:
W
Ć
Liczba godzin w semestrze:
30
30
S
L
Przedmioty wprowadzające / wymagania wstępne:
Algebra liniowa z geometrią analityczną I i II, Algebra, analiza matematyczna I, II i III.
Założenia i cele przedmiotu:
Uzupełnienie i rozszerzenie wiadomości z algebry abstrakcyjnej, zapoznanie z podstawowymi pojęciami i
klasycznymi twierdzeniami teorii reprezentacji grup oraz wprowadzenie w elementarne zagadnienia geometrii
algebraicznej w taki sposób, żeby przygotować uczestników do samodzielnego studiowania (średnio
zaawansowanej) literatury przedmiotu oraz wpoić im umiejętność rozumienia i rozwiązywania standardowych
zadań.
Metody dydaktyczne:
Wykład, dyskusja, samodzielne studiowanie wskazanych fragmentów literatury, referaty studenckie,
rozwiązywanie zadań: zespołowe podczas ćwiczeń audytoryjnych, samodzielne (wg zestawów
dostarczonych przez prowadzących przedmiot) w ramach pracy własnej.
Forma i warunki zaliczenia przedmiotu:
Krótkie sprawdziany na ćwiczeniach, obecność na wykładach, egzamin pisemny i ustny. Warunkiem
koniecznym dopuszczenia do egzaminu jest zgromadzenie więcej niż połowy sumy maksymalnych
możliwych liczb punktów ze wszystkich sprawdzianów. Warunkiem koniecznym i wystarczającym
dopuszczenia do egzaminu ustnego jest zdobycie na egzaminie pisemnym więcej niż połowy maksymalnej
możliwej liczby punktów. Ocena końcowa z przedmiotu jest średnią ważoną ocen z ćwiczeń audytoryjnych,
egzaminu pisemnego i egzaminu ustnego, z przybliżonymi wagami (odpowiednio) 2/5, 2/5 i 1/5.
TREŚCI PROGRAMOWE
Wykłady:
1. Równania algebraiczne.
Problem rozwiązalności przez pierwiastniki. Wzory Cardana i Ferrariego. Twierdzenie Abela –
Ruffiniego.
2. Rozszerzenie wiadomości o wielomianach.
Wielomiany wielu zmiennych. Algebraiczna niezależność. Faktorialność pierścieni wielomianów nad
ciałem. Wielomiany jednorodne. Wielomiany symetryczne. Rugownik i wyróżnik.
3. Wprowadzenie do geometrii algebraicznej.
Pierścienie noetherowskie. Twierdzenie Hilberta o bazie. Ideały radykalne i pierścienie
zredukowane. Afiniczne zbiory algebraiczne, ich ideały i pierścienie współrzędnych. Twierdzenie
Hilberta o zerach i jego konsekwencje. Nierozkładalność i składowe nierozkładalne. Wymiar.
Podprzestrzeń styczna. Punkty regularne i osobliwe. Odwzorowania regularne.Informacja o
przestrzeniach rzutowych i ich podzbiorach algebraicznych.
4. Elementy teorii reprezentacji grup.
Reprezentacje liniowe. Równoważność reprezentacji. Suma prosta reprezentacji. Podprzestrzenie
niezmiennicze, podreprezentacje, nieprzywiedlność i całkowita przywiedlność. Lemat Schura.
Reprezentacje unitarne. Twierdzenie Maschkego. Charaktery.
Ćwiczenia audytoryjne:
1. Równania algebraiczne.
Rozwiązywanie równań stopnia 3 i 4. Przypomnienie wzorów Viete’a. Macierz stowarzyszona
wielomianu.
2. Rozszerzenie wiadomości o wielomianach.
Obliczanie rugowników i wyróżników. Przykłady zastosowań rugownika i wyróżnika. Wielomiany
nierozkładalne wielu zmiennych, rozkład na czynniki nierozkładalne. Sprawdzanie algebraicznej
niezależności. Wyrażanie wielomianów symetrycznych przez wielomiany podstawowe.
3. Wprowadzenie do geometrii algebraicznej.
Znajdowanie generatorów ideału wielomianowego. Radykały. Przykłady zbiorów algebraicznych.
Topologia Zariskiego w przestrzeni afinicznej. Sprawdzanie nierozkładalności, znajdowanie składowych,
podprzestrzeni stycznych, punktów osobliwych i wymiaru zbioru algebraicznego. Przykłady i własności
odwzorowań regularnych. Izomorficzność zbiorów algebraicznych.
4. Elementy teorii reprezentacji grup.
Klasyczne grupy macierzy. Przykłady reprezentacji. Reprezentacja regularna. Znajdowanie
podprzestrzeni niezmienniczych. Sprawdzanie równoważności par reprezentacji. Tablice charakterów.
Wykaz literatury podstawowej:
[1] A. Białynicki – Birula, Zarys algebry, PWN, Warszawa, 1987.
[2] A. I. Kostrikin, Wstęp do algebry, PWN, Warszawa, 1984.
[3] Z. Opial, Algebra wyższa, PWN, Warszawa, 1976.
Wykaz literatury uzupełniającej:
[1] S. Balcerzyk, T. Józefiak, Pierścienie przemienne, PWN, Warszawa, 1985.
[2] A. I. Kostrikin, Wstęp do algebry. 3, Podstawowe struktury algebraiczne, Wydawnictwo Naukowe PWN,
Warszawa, 2005.
[3] A. I. Kostrikin (red.), Zbiór zadań z algebry, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2005.
[4] R. Lidl, Algebra dla przyrodników i inżynierów, PWN, Warszawa, 1983.
[5] J. Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2001.
Osoba(y) odpowiedzialna(e) za przedmiot:
dr Marcin SKRZYŃSKI
Zatwierdził:
dr hab. Teresa WINIARSKA, prof. PK