Egzamin z przedmiotu MATEMATYKA DYSKRETNA

ZESTAW 080209
Egzamin z przedmiotu
MATEMATYKA DYSKRETNA
Warszawa, 08.02.2009
IMIĘ I NAZWISKO:
1. Rozważmy program {i = 2; while (true) do begin i = i + 1; end; }. Wtedy niezmiennikiem pętli iteracyjnej
while jest formuła:
a) i ∈ Z,
b) i ∈ N i i · i > i,
c) 2 jest liczbą pierwszą.
2. Pewna własność W (n), gdzie n ∈ N, jest prawdziwa dla n = 0. Które z poniższych założeń jest warunkiem
wystarczającym i koniecznym do tego, aby W (102 + 1) było prawdą:
a) jeżeli W (k) jest prawdą, to W (k + 1) jest prawdą, dla dowolnego 0 ¬ k < 210 ,
b) jeżeli W (k) jest prawdą, to W (k + 1) jest prawdą, dla dowolnego k ∈ N,
c) jeżeli W (0), W (1), ..., W (k) jest prawdą, to W (k + 1) jest prawdą, dla dowolnego 0 ¬ k < 102 .
3. Jeżeli pewna własność W (n), gdzie n ∈ N, jest prawdziwa dla n = 0 i jeżeli W (0), ..., W (k) jest prawdą,
to W (k + 1) także jest prawdą, dla dowolnego 0 ¬ k < 102 , to:
a) własność W (210 ) jest fałszywa,
b) własność W (210 ) jest prawdziwa,
c) jeżeli własność W (102 ) jest fałszywa, to własność W (210 + 1) jest prawdziwa.
4. Która funkcja jest rozwiązaniem równania rekurencyjnego f (0) = 0, f (n + 1) = f (n) + n, dla n ­ 1?
a) f (n) =
n(n−1)
,
2
dla wszystkich n,
2
b) f (n) = (n − 1) , dla wszystkich n,
c) f (n) = n − 1, dla wszystkich n.
5. Funkcja T (n) = 2n jest rozwiązaniem równania rekurencyjnego:
a) T (0) = 1, T (i) = 3T (i − 1) dla wszystkich i > 0,
b) T (0) = 1, T (1) = 2, T (i + 1) = T (i) + 2T (i − 1) dla wszystkich i > 1,
c) T (1) = 2, T (i) = 2T (i − 1) dla wszystkich i > 1.
6. Niech a(n) oznacza liczbę sposobów ułożenia wieży wysokości n cm z klocków, jeżeli mamy do dyspozycji
klocki białe o wysokości 1 cm oraz klocki czarne, czerwone, niebieskie, żółte, zielone i różowe o wysokości
2 cm. Wówczas:
a) a(1) = 1, a(2) = 7, a(n) = a(n − 1) + 6a(n − 2) dla n > 2,
b) a(1) = 1, a(2) = 7, a(n) = a(n − 1) + a(n − 2) dla n > 2,
c) a(1) = 1, a(2) = 7, a(n) = a(n − 1) + 2a(n − 2) dla n > 2.
1
7. Dane jest równanie rekurencyjne a(0) = 1, a(1) = 5, a(2) = 17, a(n + 3) = 7a(n + 2) − 16a(n + 1) + 12a(n)
dla n ­ 0. Wielomian charakterystyczny tego równania ma postać:
a) W (r) = (r − 3)(r − 2),
b) W (r) = −r4 + 7r3 − 16r2 + 12r,
c) W (r) = r3 − 7r2 + 16r − 12.
8. Wskaż zdania prawdziwe.
a) Postać rekurencyjna ciągu Fibonacciego to F (0) = 1, F (1) = 1, F (n) = F (n − 1) + F (n − 2) dla n > 1,
b) Postać jawna ciągu Fibonacciego to F (n) =
√
√1 ( 1+ 5 )n+1
2
5
c) Funkcja tworząca ciągu Fibonacciego to f (x) =
√
√1 ( 1− 5 )n+1 dla
2
5
P+∞ 1+√5 1−√5 n+1 n
− 2 )
)x .
n=0 (( 2
−
9. Funkcją tworzącą ciągu a(0) = 1, a(1) = 2, a(n) = a(n − 1) + n jest:
1+x
1
a) f (x) = f (x − 1) + x,
b) f (x) = (1−x)
c) f (x) = 1−x
+
3,
każdego n,
x
(1−x)3 .
10. Wskaż zdania prawdziwe?
a) Podzbiór zbioru co najwyżej przeliczalnego jest co najwyżej przeliczalny,
b) Produkt kartezjański dwóch zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym,
c) Każdy nadzbiór zbioru nieprzeliczalnego jest nieprzeliczalny.
11. Które zbiory są nieprzeliczalne?
a) Zbiór wszystkich funkcji f : N → {0, 1},
b) Zbiór wszystkich nieskończonych ciągów zerojedynkowych,
c) Zbiór wszystkich słów nad trzyliterowym alfabetem.
12. Które zbiory są równoliczne?
a) Q i R\Q,
b) {x ∈ N : 10|x} i {x ∈ N : x mod 3 = 2},
c) {0, 1} i (0, 1).
13. Trójka dzieci zebrała 40 jabłek. Na ile sposobów dzieci mogą podzielić jabłka między sobą, jeśli założymy,
że jabłka są identyczne?
42
40
,
c) 40!
,
b)
a)
3! .
2
3
14. Niech Σ będzie 7-literowym alfabetem. Ile jest słów w Σ5 (zbiór słów pięcioliterowych), w których nie ma
powtarzających się liter?
b) P5 ,
c) C75 .
a) V75 ,
15. Dane są zbiory A i B takie, że |A| = 10, |B| = 5. Wówczas:
a) Liczba funkcji odwzorowujących X na Y wynosi 5!S(10, 5).
b) W zbiorze A można określić 25 binarnych relacji zwrotnych.
c) W zbiorze A można określić 245 binarnych relacji zwrotnych i symetrycznych.
16. W 50 pudełkach umieszczono zapałki. W każdym pudełku mieści się co najwyżej 20-zapałek. Wskaż zdania,
które mogą być w tej sytuacji prawdziwe.
a) Każde pudełko może mieć inną liczbę zapałek,
b) Dokładnie dwa pudełka mają tę samą liczbę zapałek,
c) Co najmniej 3 pudełka mają tę samą liczbę zapałek.
2
17. Jeżeli przeciętnie 5 dni w ciągu tygodnia jest deszczowych, to jak duże jest p-d, że 2 spośród 3 dni będą
pogodne?
3
5
2
5
a)
( 27 )2 ( 57 ),
b)
,
c) ( 23 )( 52 )2 ( 35 ).
2
2
7
7
18. Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych, a A i B dowolnymi zdarzeniami. Wtedy:
a) jeżeli A ⊆ B, to P (A) ¬ P (B),
b) P (A0 ) = 1 − P (A),
c) P (A ∪ B) = P (A) + P (B).
19. Gracz rzuca monetą, jeśli wypadnie reszka otrzymuje 1 zł jeśli wypadnie orzeł otrzymuje 0 zł. Niech X
będzie zmienną losową, której wartością jest otrzymana kwota pieniędzy. Wówczas:
p
a) E(X) = 12 ,
b) V (X) = 14 ,
c) V (X) = 12 .
20. Rzucamy dwiema symetrycznymi kostkami do gry. Każdemu z rzutów przypisujemy wartość bezwzględną
różnicy liczby oczek wyrzuconej na jednej i drugiej kostce. Wartość dystrybuanty F (x) dla x > 5 wynosi:
1
a) 1,
b) 0,
c) 18
.
TABLICA WYNIKÓW
zadanie
odpowiedź
zadanie
odpowiedź
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
ZESTAW 080209
3