Definicja 1 (dystrybucja). k-wymiarow¡ dystrybucj¡ ∆ na M nazywamy

Piotr Suwara
Geometria ró»niczkowa I: 4 listopada 2011
1
Denicja 1 (dystrybucja). k-wymiarow¡ dystrybucj¡ ∆ na M nazywamy wybór k-wymiarowej
podprzestrzeni liniowej ∆m w ka»dej przestrzeni stycznej Tm M, m ∈ M.
Denicja 2. 1-wymiarowa dystrybucja jest generowana przez pole X wtw, gdy ∀m∈M ∆m =
linXm
Denicja 3. 1-wymiarowa dystrybucja jest gªadka wtw, gdy jest lokalnie generowana przez
pole gªadkie.
Denicja 4. Podrozmaito±¢ immersyjna jednowymiarowa i : N → M nazywa si¦ podrozmaito±ci¡ caªkow¡ dystrybucji ∆ wtw, gdy ∀n∈N i∗ (Tn N ) = ∆i(n) .
Uwaga 1. Je±li ∆ jest dystrybucj¡ gªadk¡, to ka»dy punkt m ∈ M le»y na podrozmaito±ci
caªkowej.
Denicja 5 (generowanie dystrybucji). k-wymiarowa dystrybucja ∆ jest generowana przez
pola X1 , . . . , Xk wtw, gdy ∀m∈M ∆m = lin(X1m , . . . , Xkm ).
Denicja 6 (gªadko±¢ dystrybucji). k-wymiarowa dystrybucja jest gªadka wtw, gdy jest
lokalnie generowana przez pola gªadkie.
Denicja 7 (podrozmaito±¢ caªkowa). Podrozmaito±¢ immersyjna k-wymiarowa i : N → M
nazywa si¦ podrozmaito±ci¡ caªkow¡ dystrybucji ∆ wtw, gdy ∀n∈N i∗ (Tn N ) = ∆i(n) .
Denicja 8 (dystrybucja caªkowalna). Rozmaito±ci caªkowe nie musz¡ istnie¢ nawet lokalnie. Je±li istniej¡, to dystrybucja nazywa si¦ caªkowaln¡.
Przykªad 1. Na R3 dystrybucja ∆( a, b, c) = lin((1, 0, b), (0, 1, 0)) nie jest caªkowalna.
Denicja 9 (pola zwi¡zane). Je±li f : M → N jest gªadkim przeksztaªceniem rozmaito±ci
oraz dane sa pola gªadkie X na M i Y na N , to te pola s¡ f -zwi¡zane wtw, gdy ∀m ∈
M f∗m (Xm ) = Yf (m) i wtw, gdy ∀ϕ∈C ∞ (N ) (Y ϕ) ◦ f = X(ϕ ◦ f ).
Uwaga 2. Je±li f jest immersj¡ f : M → N , a Y takim polem gªadkim na N , »e ∀m∈M Yf (m) ∈
f∗m (Tm M), to na M istnieje dokªadnie jedno pole X , które jest f -zwi¡zane z Y .
Twierdzenie 1. Je±li pola X1 , X2 na M s¡ f -zwi¡zane z polami Y1 , Y2 na N , to i pole
[X1 , X2 ] jest zwi¡zane z polem [Y1 , Y2 ].
Twierdzenie 2. Je±li dystrybucja ∆ na M jest caªkowalna, a pola X1 , X2 s¡ gªadkie i nale»¡
do dystrybucji ∆, to i [X1 , X2 ] ∈ ∆ (tzn. dystrybucja caªkowalna jest inwolutywna).
Twierdzenie 3. Niech pola X1 , . . . , Xk generuj¡ dystrybucj¦ ∆ w otoczeniu U punktu p w
M. Wtedy ∆ jest inwolutywne na U wtw, gdy ka»dy z nawiasów [Xi , Xj ] jest kombinacj¡
liniow¡ pól X1 , . . . , Xk o gªadkich wspóªrz¦dnych.
Piotr Suwara
Geometria ró»niczkowa I: 4 listopada 2011
2
Twierdzenie 4 (Frobeniusa). Ka»da dystrybucja inwolutywna jest caªkowalna.
Dokªadniej, niech ∆ b¦dzie k -wymiarow¡ dystrybucj¡ inwolutywn¡ na M. Wtedy dla
ka»dego punktu p ∈ M istnieje taka mapa (ϕ, U ) na otoczeniu punktu p w M taka, »e
ϕ(p) = 0, ϕ(U ) = (−ε, ε)n oraz dla dowolnych liczb ak+1 , . . . , an ∈ (−ε, ε) zbiór N = {q ∈
U : xk+1 (q) = ak+1 , . . . , xn (q) = an } jest podrozmaito±ci¡ caªkow¡ dystrybucji ∆.
Denicja 10 (wi¡zka wektorowa). Wi¡zk¡ wektorow¡ gªadk¡ rangi n nazywamy trójk¦
(E, π, B), gdzie E, B s¡ rozmaito±ciami ró»niczkowalnymi, π : E → B jest gªadkie oraz
dla ka»dego b ∈ B :
ˆ wªókno π −1 (b) jest przestrzeni¡ liniow¡ nad R,
ˆ istnieje jego otoczenie U ⊂ B oraz dyfeomorzm t : π −1 (U ) → U × Rn przemienny z
rzutem i z przeksztaªceniem π oraz b¦d¡cy izomorzmem liniowym na wªóknach.
B nazywa si¦ baz¡ wi¡zki, E - przestrzeni¡ wi¡zki, t - trywializacj¡.
Przykªad 2 (wi¡zka trywialna). E = B × Rn , π : E = B × Rn → B .
Przykªad 3 (wi¡zka styczna). Wi¡zka styczna T M do M.
E=TM=
[
Tm M,
B = M,
π(v) = m dla v ∈ Tm M .
m∈M
t
− U ×Rn
Wtedy maj¡c map¦ ϕ : U →Pϕ(U ) dostajemy trywializacj¦ m∈U Tm M = π −1 (U ) →
tak¡, »e dla v ∈ Tm M, v = ni=1 ai ∂x∂ i |m , mamy t(v) = (m, a1 , . . . , an ).
S
Przykªad 4 (wi¡zka tautologiczna). Niech B = Pn , E = {(x, v) : x ∈ Pn , v ∈ Rn+1 , v ∈ x} ⊂
Pn × Rn+1 , za± π : E → B b¦dzie rzutem.
Denicja 11 (przekrój wi¡zki). Przekrój wi¡zki to gªadkie przeksztaªcenie s : B → E takie,
»e π ◦ s = idB .
Przykªad 5. Pole wektorowe gªadkie to przekrój T M.
Denicja 12 (izomorzm wi¡zek). Izomorzm wi¡zek to dyfeomorzm przemienny z rzutowaniami i izomorzm na wªóknach.