Ćwiczenia z Algebry liniowej z geometrią. I rok matematyki z fizyką

Ćwiczenia z Algebry liniowej z geometrią. I rok matematyki z fizyką.
Zestaw 6
1. Niech R>0 będzie zbiorem liczb rzeczywistych dodatnich. Zbadać, czy
układ (R>0 , R, ◦, ∗) jest przestrzenią liniową, przy czym działania ◦ oraz ∗
określone są następująco:
∀x,y∈R>0 x ◦ y = xy,
∀α∈R ∀x∈R>0 α ∗ x = xα .
2. Niech A będzie m × n macierzą o współczynnikach w ciele k. Dla jakich
wartości wektora b ∈ k m zbiór rozwiązań układu równań liniowych Ax = b
tworzy podprzestrzeń w k n ?
3. Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem k oraz niech U , W
będą podprzestrzeniami V .
(a) Uzasadnij, że U ∪ W nie jest podprzestrzenią przestrzeni V .
(b) Uzasadnij, że U + W jest generowana przez U ∪ W .
(c) Wykaż, że U ∪ W jest podprzestrzenią przestrzeni V wtedy i tylko
wtedy, gdy U ⊂ W lub W ⊂ U.
4. Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem k oraz niech U , W i W 0
będą podprzestrzeniami V . Udowodnij, że mają miejsce następujące inkluzje
podprzestrzeni
(a) (U ∩ W ) + (U ∩ W 0 ) ⊂ U ∩ (W + W 0 ),
(b) U + (W ∩ W 0 ) ⊂ (U + W ) ∩ (U + W 0 ).
5. W przestrzeni R3 rozpatrujemy podzbiory A = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 |x3 =
0} oraz B = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 |x1 x2 = 0}. Rozstrzygnij, które z nich są podprzestrzeniami przestrzeni R3 .
6. W przestrzeni E = {f |f : [0, 1] → R} z działaniami dodawania funkcji
i mnożenia przez skalar rozpatrujemy podzbiory A = {f ∈ E|2f (0) = f (1)},
B = {f ∈ E|∀x f (x) > 0}. Rozstrzygnij, które z nich są podprzestrzeniami
przestrzeni E.
7. (a) Dane są wektory v1 = (1, 2, 0), v2 = (a, 0, b) i v3 = (0, c, 1) w
przestrzeni R3 . Czy można dobrać wartości a, b, c tak, by wektory v1 , v2 , v3
tworzyły zbiór liniowo niezależny?
(b) W przestrzeni R3 dane są wektory v1 = (1, 1, 1) oraz v2 = (0, 1, 2).
Znaleźć wektory v3 i v4 takie, że wektory v1 , v2 , v3 tworzą zbiór liniowo
niezależny zaś wektory v1 , v2 , v4 zbiór liniowo zależny.
(c) Wykaż, że wektory v = (x1 , x2 , x3 ) i w = (y1 , y2 , y3 ) w przestrzeni R3
są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją dwa różne indeksy
i, j ∈ {1, 2, 3} takie, że xi yj − xj yi 6= 0.
8. Wykaż, że każdy z ciągów liczbowych (1,
√
przestrzeni liniowej (Q( 2), Q, +, ·).
√
√
2), ( 2, 1+1√2 ) jest bazą
9. Wykaż, że wielomiany f1 (x) = 2, f2 (x) = x + 3, f3 (x) = 2x2 + 1 tworzą bazę przestrzeni liniowej (R[x]2 , R, +, ·). Znajdź współrzędne wektorów
f (x) = 3x − 1, g(x) = ax2 + bx + c w tej bazie.
10. Udowodnij, że jeśli wektory u, v oraz w tworzą bazę pewnej przestrzeni liniowej, to wektory u, u + v oraz u + v + w też tworzą bazę tej przestrzeni.
11. Niech V będzie przestrzenią liniową nad k wymiaru 10, zaś U i W
jej podprzestrzeniami odpowiednio wymiaru 8 i 9. Jakie są możliwe wartości
dim(U ∩ W )?
12. Niech V będzie skończeniewymiarową przestrzenią liniową nad ciałem
k oraz niech U , W będą podprzestrzeniami V . Wykazać, że jeśli dim(U +
W ) = 1+dim(U ∩ W ), to suma U + W jest równa jednej z tych podprzestrzeni, a przekrój U ∩ W drugiej.
13. Znajdź bazy sumy i przekroju podprzestrzeni liniowych przestrzeni
R4 :
(a) U rozpiętej na wektorach
a1 = (1, 2, 0, 1), a2 = (1, 1, 1, 0)
i W rozpiętej na wektorach
b1 = (1, 0, 1, 0), b2 = (1, 3, 0, 1).
(b) U rozpiętej na wektorach
a1 = (1, 1, 1, 1), a2 = (1, −1, 1, −1), a3 = (1, 3, 1, 3)
i W rozpiętej na wektorach
b1 = (1, 2, 0, 2), b2 = (1, 2, 1, 2), b3 = (3, 1, 3, 1).
14. Znajdź bazę podprzestrzeni X przestrzeni R4 , jeśli X jest zbiorem
wektorów spełniających warunki:
(a) 3x1 − 2x2 + 4x3 + x4 = 0, x1 + x2 − 3x3 − 2x4 = 0,
(b) x1 + x2 + x3 = 0, x2 + x3 + x4 = 0, x1 + x3 + x4 = 0, x1 + x2 + x4 = 0.