Wielomiany Wartości i wektory własne

Algebra z geometrią, zagadnienia, wykład 8.
Wielomiany
8.1. Lemat: λ jest pierwiastkiem wielomianu pn stopnia n > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje
niezerowy wielomian qn−1 taki, że
pn (z) = (z − λ)qn−1 (z)
8.2. Lemat: każdy wielomian o współczynnikach z ciała liczb zespolonych może być w pełni sfaktoryzowany nad C.
Wartości i wektory własne
W tej części dim V < ∞.
8.4. Definicja podprzestrzeni niezmienniczej endomorfizmu. Obcięcie operatora do podprzestrzeni
niezmienniczej.
8.5. Postać operatora w działaniu na jednowymiarową przestrzeń niezmienniczą. Pojęcie wartości
własnej.
8.6. Definicja podprzestrzeni własnej i wektora własnego.
8.7. Przykład: Â(w, z) = (−z, w) dla v = (w, z) ∈ R2 oraz v = (w, z) ∈ C2 .
8.8. Niech  ∈ L(V ). Załóżmy, że λ1 , . . . , λm to parami różne wartości własne A zaś v1 , . . . , vm to
odpowiadające im, niezerowe wektory własne. Teza: v1 , . . . , vm są liniowo niezależne.
8.9. Wniosek: liczba różnych wartości własnych  ∈ L(V ) jest nie większa niż dim V.
8.10. Wielomiany o argumentach będących operatorami.
8.11. Twierdzenie: każdy operator liniowy, działający na skończenie wymiarowej przestrzeni zespolonej, ma wartość własną.
Leszek Hadasz
[email protected]
1