Liczby pierwsze - wstęp

Artykuł pobrano ze strony eioba.pl
Liczby pierwsze - wstęp
W latach 60 ubiegłego wieku w Afryce znaleziono kości z wyrytymi na nich karbami liczące ponad
25000 lat. Na jednej z nich (kość z Ishango) karby układają się w liczby 11, 13, 17, 19. Są to liczby
pierwsze. Wymieniona kość stanowi drugie najstarsze na Ziemi znalezisko matematyczne i można ją
sobie obejrzeć w muzeum brukselskim na ulicy Rue Vautier 29 - B - 1000, około 100 metrów od
Parlamentu Europejskiego. Jeśli nie wybierasz się do Brukseli, to możesz przeglądnąć z tego miejsca
strony internetowe muzeum.
Skoro liczby pierwsze pojawiły się już tak wcześnie w naszej historii, to oczywistym jest fakt ich
olbrzymiego znaczenia, które nic a nic nie zmniejszyło się do dnia dzisiejszego (można powiedzieć, że
obecnie stało się jeszcze większe). Z tego powodu każdy adept sztuk informatycznych powinien
doskonale znać zagadnienia związane z liczbami pierwszymi, ponieważ będzie je spotykał ciągle na
swojej drodze.
W naszym opracowaniu przedstawiamy podstawowe algorytmy generacji liczb pierwszych oraz różne
zastosowania tych liczb. Wyjaśnimy również wiele pojęć informatycznych i matematycznych
związanych z tym tematem. Prezentowane rozwiązania nie są (i nawet nie mają na celu być)
optymalne. Naszym głównym celem jest maksymalna prostota i zrozumiałość. Jeśli w tej prostocie
posunęliśmy się za daleko (poniżej twojego poziomu), przepraszamy.
Zapraszamy
Ponieważ dostaję dużo listów od nieuważnych czytelników, wyjaśniam, iż prezentowane
programy są jedynie przykładami realizacji opisywanych algorytmów w wybranych
językach programowania. W żadnym razie nie są one celem artykułu. Celem są
ALGORYTMY. Znając algorytm można napisać dobry program w dowolnym języku
programowania. Dla uzasadnienia mojej postawy przytoczę znany cytat profesora
Donalda Knutha (jednego z największych współczesnych autorytetów w dziedzinie
informatyki):
"Languages come and go,
but algorithms stand the test of
time"
"Języki programowania pojawiają się i
odchodzą,
lecz algorytmy wytrzymują próbę czasu"
Donald Knuth
Donald Knuth
TRUDNE !
Przy analizie algorytmów jednym z kluczowych pojęć jest złożoność obliczeniowa
(computational complexity). Charakteryzuje ona ilość zasobów komputera użytych do
rozwiązywanego przez algorytm problemu. Wyróżniamy dwa rodzaje złożoności
obliczeniowej - czasową oraz pamięciową.
Pamięciowa złożoność obliczeniowa informuje nas o ilości pamięci
komputera wymaganej przez dany algorytm dla n przetwarzanych danych.
Jednostką jest komórka pamięci przechowująca jedną przetwarzaną daną.
W obecnych czasach systemy komputerowe są wyposażane w coraz
więcej taniej pamięci, zatem parametr ten stracił nieco na swoim
znaczeniu - kiedyś walczono o każdy bajt, a dzisiaj nikt nie przejmuje się
dziesiątkami megabajtów. Cóż, postęp...
Czasowa złożoność obliczeniowa informuje nas o czasie wykonania
zadania przez algorytm dla n danych wejściowych. Ponieważ wielkość ta
musi być niezależna od typu maszyny, na której uruchamiamy program,
za jednostkę czasowej złożoności obliczeniowej przyjęto wykonanie tzw.
operacji dominującej, czyli takiej, wokół której koncentruje się
przetwarzanie danych w algorytmie. Ilość wykonań operacji dominujących
jest proporcjonalna do czasu wykonania algorytmu.
Rozróżniamy dwa rodzaje czasowej i pamięciowej złożoności obliczeniowej:
Pesymistyczna złożoność obliczeniowa W(n) dotyczy najgorszego przypadku
zestawu danych, zatem określa ona największą ilość operacji dominujących (lub
komórek pamięci), która może być wymagana dla najgorszego przypadku n
danych wejściowych.
Oczekiwana złożoność obliczeniowa A(n) dotyczy typowego zestawu danych i
określa statystycznie średnią ilość operacji dominujących (komórek pamięci), które
należy wykonać dla typowego zestawu danych, aby rozwiązać problem.
Dla przykładu rozważmy wyszukiwanie elementu w n elementowym,
nieuporządkowanym zbiorze danych. Za operację dominującą przyjmujemy
sprawdzenie, czy i-ty element zbioru jest elementem poszukiwanym, i = 1,2,3,...,n.
W przypadku najgorszym poszukiwany element jest ostatnim, zatem znaleziony będzie
po sprawdzeniu wszystkich elementów tego zbioru. Również stwierdzenie, iż elementu
w zbiorze nie ma, wymaga przeglądnięcia wszystkich elementów. Stąd:
W(n) = n
Jeśli prawdopodobieństwo wystąpienia poszukiwanego elementu na każdej pozycji w
zbiorze jest takie samo, to dla każdego elementu wynosi ono:
pi =
1
dla i = 1,2,...,n
n
Oczekiwana złożoność obliczeniowa jest równa wartości oczekiwanej zmiennej losowej
rozkładu prawdopodobieństwa pi, zatem otrzymujemy wzór:
DLA
GENIUSZA
W teorii złożoności obliczeniowej bardzo duże znaczenie ma notacja Omikron służąca do
określania rzędu funkcji złożoności obliczeniowej. Zapis:
f(n) = O(g(n))
czytamy: funkcja f jest co najwyżej rzędu g, jeśli istnieje taka stała rzeczywista c i liczba
naturalna no, iż dla każdego n większego lub równego no funkcja f(n) jest niewiększa od
iloczynu c g(n).
Notacja O(g(n)) pozwala nam oszacować zachowanie się złożoności obliczeniowej wraz
ze wzrostem n do nieskończoności.
Załóżmy, iż wyznaczyliśmy oczekiwaną złożoność obliczeniową pewnego
algorytmu i otrzymaliśmy następujący wzór:
A(n) = n2 + 3n
Gdy n będzie dążyło do nieskończoności czynnik 3n stanie się coraz mniej
znaczący w stosunku do czynnika n2. Stąd wnioskujemy, iż jest to algorytm
o złożoności O(n2). Aby to udowodnić, musimy znaleźć stałą c oraz no, dla
których zachodzi:
n2 + 3n
cn2 dla n
no
Wystarczy przyjąć c = 4 i no = 1:
n2 + 3n
4n2 dla n
1
co dowodzi, iż podany algorytm ma rzeczywiście rząd złożoności
obliczeniowej równy O(n2).
Większość algorytmów posiada klasę złożoności zgodną z jedną z podanych niżej klas:
Złożoność obliczeniowa stała - O(1)
Algorytm wykonuje stałą ilość operacji dominujących bez względu na rozmiar danych
wejściowych. W takim algorytmie czas wykonania jest stały i nie zmienia się przy
zmianie liczby przetwarzanych elementów.
Złożoność obliczeniowa liniowa - O(n)
Dla każdej danej algorytm wykonuje stałą ilość operacji dominujących. Czas wykonania
jest proporcjonalny do liczby n danych wejściowych. Czas wykonania rośnie liniowo ze
wzrostem liczby elementów.
Złożoność obliczeniowa kwadratowa - O(n2)
Algorytm dla każdej danej wykonuje ilość operacji dominujących proporcjonalną do
liczby wszystkich przetwarzanych danych. Czas wykonania jest proporcjonalny do
kwadratu liczby danych n.
Inne złożoności tego typu O(n3), O(n4)... noszą nazwę wielomianowych złożoności
obliczeniowych.
Złożoność obliczeniowa logarytmiczna - O(log n)
n
W algorytmie zadanie rozmiaru n da się sprowadzić do zadania rozmiaru /2. Typowym
przykładem jest wyszukiwanie binarne w zbiorze uporządkowanym. Sprawdzenie
środkowego elementu pozwala określić, w której z dwóch połówek zbioru może
znajdować się poszukiwany element.
Ponieważ uczniowie młodszych klas liceum nie znają pojęcia logarytmu, podajemy jego
skróconą definicję:
Zapis logax czytamy: logarytm przy podstawie a z liczby x. Wartością jest
wykładnik potęgowy y, do którego należy podnieść podstawę logarytmu a,
aby otrzymać liczbę logarytmowaną x.
logax = y wtedy i tylko wtedy, gdy ay = x
W określeniu klasy złożoności obliczeniowej nie podajemy podstawy logarytmu,
ponieważ logarytmy o różnych podstawach z tej samej wartości różnią się od siebie
jedynie iloczynem przez stałą:
Niech
logax = y oraz logbx = cy
Wtedy
ay = x, oraz bcy = x
Stąd
ay = bcy
y
c y
(a) = (b )
Zatem
a = b oraz logbx = c logax
c
Ponieważ podstawy a i b są stałe, to i c musi być stałe. Z kolei z definicji notacji
Omikron wynika, iż klasa złożoności dwóch funkcji różniących się jedynie iloczynem
przez stałą jest taka sama. W informatyce bardzo często stosuje się logarytmy przy
podstawie 2.
log24 = 2, bo 22 = 4
log216 = 4, bo 24 = 16
8
log2256 = 8, bo 2 = 256, itd.
Złożoność obliczeniowa liniowo logarytmiczna - O(n log n)
Zadanie rozmiaru n daje się sprowadzić do dwóch podzadań rozmiaru n/2 plus pewna
ilość operacji, których liczba jest proporcjonalna do ilości danych n. Tego typu złożoność
obliczeniową posiadają dobre algorytmy sortujące.
Złożoność obliczeniowa wykładnicza - O(2n), O(n!)
Złożoność obliczeniową O(2n) posiada algorytm, w którym wykonywana jest stała liczba
operacji dla każdego podzbioru n danych wejściowych.
Złożoność obliczeniową O(n!) posiada algorytm, w którym wykonywana jest stała liczba
operacji dla każdej permutacji n danych wejściowych.
Złożoność obliczeniowa wykładnicza jest bardzo niekorzystna, ponieważ czas wykonania
rośnie szybko wraz ze wzrostem liczby danych wejściowych. Dla porównania załóżmy, iż
posiadamy dwa komputery. Pierwszy potrafi wykonać milion operacji dominujących w
ciągu sekundy. Drugi jest superkomputerem i potrafi tych operacji wykonać milion razy
więcej (bardzo optymistyczne założenie), czyli 1000 miliardów w ciągu sekundy. W
poniższej tabeli zebraliśmy dane o czasie wykonania algorytmu klasy O(2n) na tych
dwóch komputerach.
Czasy wykonania algorytmu klasy O(2n)
Rozmiar danych n
20
50
100
200
Czas wykonania
1,05 35,7 40169423 5x1037
dla komputera 1
sekund lat
mld lat mld lat
-6
Czas wykonania dla
1126
40,17 5x1031
10
superkomputera 2 sekund sekund mld lat mld lat
Z tabelki jasno wynika, iż zastosowanie superszybkiego komputera niewiele pomaga
algorytmowi. Czas wyznaczenia rozwiązania może stać się niewyobrażalnie duży (już dla
n = 100 w obu przypadkach raczej nie doczekamy się wyników). Dlatego algorytm o
wykładniczej złożoności obliczeniowej uważa się za wewnętrznie nierealizowalny i
należy go unikać.
Porównanie klas złożoności obliczeniowych
Klasa złożoności Nazwa klasy złożoności
obliczeniowej
obliczeniowej
O(1)
O(log n)
O(n)
O(n log n)
O(n2)
O(n3)
O(2n), O(n!)
stała
logarytmiczna
liniowa
liniowo-logarytmiczna
kwadratowa
sześcienna
wykładnicza
Cechy algorytmu
działa prawie natychmiast
niesamowicie szybki
szybki
dosyć szybki
wolny dla dużych n
wolny dla większych n
nierealizowalny dla większych n
Nieformalnie mówiąc klasa złożoność obliczeniowej informuje nas, iż czas t w funkcji
liczby elementów n jest proporcjonalny do funkcji określonej przez klasę złożoności, a
stała c jest współczynnikiem tej proporcjonalności. Spostrzeżenie to pozwala w
przybliżeniu oszacować czas wykonania algorytmu dla n elementów, jeśli jest znana
jego klasa złożoności obliczeniowej oraz czas wykonania dla innej liczby elementów.
Załóżmy, iż dla n1 = 100 elementów algorytm o klasie złożoności
2
obliczeniowej O(n ) wykonywał się przez czas t1 = 5 sekund. Ile przypuszczalnie czasu t2
zajmie przetworzenie w tym algorytmie n2 = 400 elementów?
Rozwiązanie
Skoro klasa złożoności obliczeniowej algorytmu jest rzędu O(n2), to czas
wykonania jest proporcjonalny do kwadratu liczby przetwarzanych
elementów. Zatem możemy zapisać:
Stąd
t2
t1
cn22
cn12
Z otrzymanej nierówności wyznaczamy czas t2:
2
t2
cn2
t1
cn12
Do otrzymanego wzoru podstawiamy wartości liczbowe i otrzymujemy
wynik:
Dokument ten rozpowszechniany jest zgodnie z zasadami licencji
GNU Free Documentation License.
Autor: mgr Jerzy Wałaszek
Przedruk ze strony: http://www.i-lo.tarnow.pl/edu/inf/alg/primes/index.html
Artykuł pobrano ze strony eioba.pl