trójkąt Pascala

Fraktale
- czyli o tym jak matematyka pomaga nam opisad świat
Trójkąt Sierpińskiego
Konstrukcja trójkąta Sierpińskiego
- krok pierwszy-
Konstrukcja trójkąta Sierpińskiego
- krok drugi.
Konstrukcja trójkąta Sierpińskiego
- krok piąty-
Trójkąt Sierpińskiego,
a Trójkąt Pascala
Trójkąt Pascala
Nr. wiersza
0.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
...
Trójkąt Pascala
1
1
1
1
1
2
3
1
3
1
6
4
1
10 10
5
1
1
6
15 20 15
6
1
1
7
21 35 35 21
7
1
1
8
28 56 70 56 28
8
1
......................................
1
4
1
5
Nr. wiersza
0.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
...
Gra w chaos
Konstrukcja płatka śniegu
Konstrukcja płatka śniegu
- krok pierwszy-
Konstrukcja płatka śniegu
- krok drugi-
Konstrukcja płatka śniegu
- krok piąty-
Jaka jest długość
krzywej Kocha?
Jakie jest pole
płatka śniegu ?
Dywan Sierpińskiego
Konstrukcja dywanu Sierpińskiego
-krok pierwszy-
Konstrukcja dywanu Sierpińskiego
-krok drugi-
Konstrukcja dywanu Sierpińskiego
-krok piąty-
Jakie jest pole powierzchni
dywanu Sierpińskiego?
ZBIÓR MANDELBROTA
Szereg geometryczny
i jego zastosowanie
w zadaniach
Pojęcie szeregu
Szeregiem nazywamy wyrażenie
a1 + a2 + a3 + ... + an + ...
Wyrazami szeregu nazywamy liczby
a1, a2 , a3 , …, , an , …
Zapis szeregu
Wyrażenie:
a1 + a2 + a3 + ... + an + ...
Możemy zapisad krócej:

a
n
n 1
Każdy przyzna, iż zapis ten jest dogodniejszy
tak wizualnie jak i merytorycznie.
N-ta suma częściowa szeregu
Niech dany będzie szereg:
a1 + a2 + a3 + ... + an + ...
S1 = a 1
S2 = a1 + a 2
S3 = a 1 + a 2 + a 3
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an
Zatem dla każdego n N+
 mamy
n
Sn   ak
Sn nazywamy zatem n-tą sumą częściową szeregu.
k 1
Szereg geometryczny
Jeżeli ciąg an jest geometryczny to szereg
a1 + a2 + a3 + ... + an + ...
nazywamy szeregiem geometrycznym.
Szereg geometryczny o pierwszym wyrazie a1 i
ilorazie q ma postad:
a1+ a1q + a1q2 + a1q3 + ... + anqn + ...

Czyli
a q
n
n1
n1
N-ta suma częściowa szeregu
geometrycznego
S 1 = a1
S2 = a1 + a1 q
S3 = a1+ a1q + a1q2
Sn = a1+ a1q + a1q2 +
a1q3 + ... + anqn
n
Sn   a1q
k 1
k 1
1
4
1
2
…
1
8
1
16
… …
1
1
32
……
64
…
Kolejne wyrazy ciągu przedstawione na wykresie.
y
1
0
1
x
Wyrażenie a1+ a1q + a1q2 + a1q3 + ... nazywamy
szeregiem geometrycznym o wyrazach a1, a1q, a1q2,
a1q3, ... i ilorazie q.
Sumą Sn = a1+ a1q + a1q2 + a1q3 + ... + a1qn-1 nazywamy
n –tą sumę częściową szeregu i tak:
S1=a1, S2 = a1+ a1q, S3 = a1+ a1q + a1q2, …
Jeżeli istnieje granica właściwa
S  lim Sn
n 
to granicę tę nazywamy sumą szeregu, szereg nazywamy
zbieżnym i piszemy:
S= a1+ a1q + a1q2 + a1q3 + …
Szereg geometryczny o ilorazie q(-1,1) jest zbieżny.
Jeżeli a1 jest pierwszym wyrazem szeregu, to suma
szeregu jest równa:
a1
S
1 q
Szereg geometryczny o pierwszym wyrazie
a1≠0 i ilorazie q jest zbieżny, gdy |q|<1
i rozbieżny, gdy |q|≥1