docZapisz jako PDF
download 
Reklamacja Transkrypt
Zapisz jako PDF
Zadanie Udowodnić, że suma szeregu jest skończona. Rozbijamy sumę na sumę częściową (nieskończenie wielu) wyrazów pierwszych wyrazów, i sumę pozostałych Każdy z ułamków w nawiasie kwadratowym jest dodatni, więc dostajemy nierówność Teraz rozbijamy sumę na sumę częściową (nieskończenie wielu) wyrazów pierwszych wyrazów i sumę pozostałych Każdy z ułamków w nawiasie kwadratowym jest ujemny, więc dostajemy nierówność Obie nierówności razem dają dolne i górne ograniczenie na sumę : Obliczamy różnicę wartości tych ograniczeń Obliczamy granicę wartości tej różnicy dla Następnie wykazujemy monotoniczność ciągu parzystych sum cząstkowych Ten ciąg jest ściśle rosnący. Analogicznie pokazujemy, że ciąg nieparzystych sum cząstkowych jest ciągiem ściśle malejący: Udowodniliśmy, że liczba spełnia następujące warunki: jest większe od każdego wyrazu rosnącego ciągu parzystych sum cząstkowych jest mniejsze od każdego wyrazu malejącego ciągu nieparzystych sum cząstkowych ciąg różnic między wartościami wyrazów tych monotonicznych ciągów, , ma granicę równą zero Powyższe warunki można zilustrować odpowiednim wykresem Pokazują one, że szereg jest zbieżny. Na obecnym etapie zajęć nie możemy jeszcze obliczyć wartości liczbowej sumy wypisać przybliżone wartości kilku sum cząstkowych 2 2.667 3 3.4467 4 2.895 5 3.340 6 2.976 7 3.284 20 3.092 21 3.189 50 3.122 51 3.161 . Warto jednak 100 3.13159 101 3.15149 1000 3.14059 1001 3.14259 Sumą szeregu jest liczba , ale, jak widać w powyższej tabelce, ciąg sum cząstkowych zbiega dość powoli. Obliczona wcześniej różnica pokazuje, że suma cząstkowa przybliża z dokładnością rzędu (to też można dostrzec w tabelce). Zadanie Znaleźć sumę szeregu Zadanie bardzo łatwo rozwiązać po zapisaniu wyrazu w postaci kombinacji funkcji wymiernych o mianownikach liniowych w (operacja odwrotna do sprowadzania do wspólnego mianownika): Licznik ostatniego ułamka ma być równy 1, więc otrzymujemy układ równań którego rozwiązanie ma postać , . Szukaną sumę szeregu zapisujemy w postaci Obliczamy kilka pierwszych sum cząstkowych Łatwo zauważyć, że -ta suma cząstkowa wynosi co pozwala obliczyć sumę jako granicę ciągu sum cząstkowych Zadanie Udowodnić zbieżność szeregu dla . Dokonujemy następujących operacji w celu znalezienia ograniczenia na ciąg sum cząstkowych: Wyrażenia w nawiasach spełniają warunek -ta suma cząstkowa spełnia więc nierówność Porównując skrajne wyrażenia w powyższym wzorze, dostajemy Wyrażenie w nawiasie jest liczba dodatnią (co udowodnimy za chwilę), więc możemy powyższą nierównośc przekształcic do postaci Prawa strona tej nierówności jest dla każdego następujący ciąg nierówności skończoną liczbą dodatnią, co pokazuje O ciągu sum cząstkowych wiemy więc, że jest ciągiem rosnącym (ponieważ jest ciągiem ograniczonym z góry przez ustaloną dla każdego Ciąg ) skończoną liczbę dodatnią , jako rosnący i ograniczony z góry, jest ciągiem zbieżnym, co należało wykazać. Zadanie Znaleźć sumę szeregu Warto wypisać jawnie kilka pierwszych wyrazów tej sumy Suma cząstkowa jest równa Każdy wyraz powyższej sumy zapisujemy jako kombinację prostych funkcji wymiernych co prowadzi do układu równań którego rozwiązaniem jest , . -tą sumę cząstkową możemy więc zapisać w postaci [Error parsing LaTeX formula. Error 1: ] Teraz łatwo możemy już obliczyć sumę szeregu jako granicę ciągu sum cząstkowych Zadanie Znaleźć sumę szeregu korzystając z wyniku podanego przy rozwiązywaniu zadania 4.1: Wypisujemy jawnie kilka pierwszych wyrazów sumy Podobnie jak w poprzednich zadaniach, zapisujemy -ty wyraz szeregu w innej postaci co, po wyznaczeniu stałych i , daje Sumę szeregu można zapisać w postaci Tym razem nie ma żadnego kasowania między składnikami kolejnych wyrazów szeregu i . Szereg w nawiasie w powyższym równaniu jest podobny do szeregu z sumą równą podanego w treści zadania Aby z tego skorzystać, zmieniamy ostatnio uzyskaną postać wyrażenia na sumę :
