Sprawdzanie twierdzenia Steinera

Sprawdzanie twierdzenia Steinera
Cel:
 Zapoznanie się z dynamiką ruchu obrotowego.
 Sprawdzenie twierdzenie Steinera.
Pytania kontrolne:





Zdefiniować wielkości charakterystyczne dla ruchu obrotowego (droga kątowa,
prędkość kątowa, przyspieszenie kątowe, moment bezwładności, moment siły,
moment pędu).
Twierdzenie Steinera.
W oparciu o II zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego napisać równanie ruchu
badanego w ćwiczeniu układu.
Wyprowadzić wzory pozwalające wyznaczyć gęstość i moment bezwładności
obciążnika o masie m, składającego się z dwóch współosiowych walców.
Na czym polega w wykonywanym ćwiczeniu sprawdzenie twierdzenia Steinera?
Opis ćwiczenia:
W doświadczeniu posługujemy się zmodyfikowaną wersją wahadła Oberbecka. Okrągła
tarcza 1 osadzona jest na łożyskach kulkowych i może wykonywać ruch obrotowy wokół
pionowej osi. W tarczy, w różnych odległościach od jej osi obrotu, wywiercone są otwory. W
otworach tych można umieszczać stalowe obciążniki 2 , zmieniając w ten sposób moment
bezwładności I układu. Z tarczą połączony jest bęben 3 składający się z trzech szpul o
różnych średnicach, na które nawijana jest linka 4 wprawiająca tarczę w ruch obrotowy.
Linka przewieszona jest przez lekki bloczek 5 zamocowany do podstawy przyrządu i
naprężona z siłą N ciężarkami 6 o masie m .
3
4
5
2
1
6
Rys. 1. Schemat wahadła do sprawdzania prawa Steinera
Pod wpływem siły grawitacji Q  mg oraz naprężenia linki N
ciężarki opadają z
przyspieszeniem a . Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu postępowego ciężarków ma
postać:
Q  N  ma .
(1)
Ruchowi postępowemu ciężarków towarzyszy ruch obrotowy tarczy. Występujące w tym
ruchu przyspieszenie kątowe  związane jest z działającym na bęben momentem M N siły
naprężenia linki. W stosowanym przyrządzie moment M T sił tarcia spowalniający ruch
układu ma niewielką wartość i możemy go w obliczeniach pominąć. W związku z tym druga
zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego przyjmuje postać:
M N  I .
(2)
M N  rN ,
(3)
Moment M N wyraża się wzorem
gdyż działająca na bęben siła naprężenia linki N przyłożona jest stycznie do obrzeża szpuli,
w odległości r od osi obrotu. Pomiędzy wartością przyspieszenia liniowego z jakim poruszają
się ciężarki oraz kątowego z jakim obraca się tarcza występuje relacja:
a  r .
(4)
Wykonanie ćwiczenia rozpoczynamy od określenia masy i wymiarów geometrycznych
obciążników.
r1
h1
h2
r2
Rys. 2. Przekrój obciążnika
Obliczamy gęstość obciążnika

m
m
m

 2
V V1  V2 πr1 h1  πr22 h2  h1 
(5)
oraz jego moment bezwładności względem osi symetrii


I 0ob  I1  I 2  12 m1r12  12 m2 r22  12 V1r12  12 V2 r22  12 π r14 h1  r24 h2  h1  .
(6)
Zdejmujemy z tarczy wszystkie obciążniki. Na jedną ze szpul nawijamy n - krotnie linkę
i podczepiamy do jej wolnego końca ciężarki. Za pomocą stopera mierzymy czas t w którym
tarcza wykona n pełnych obrotów, czyli obróci się o kąt   n  2 . Z równania ruchu
obrotowego jednostajnie zmiennego z zerową prędkością początkową
  12 t 2
(7)
wyznaczamy wartość przyspieszenia kątowego  tarczy. Równanie
I0 
mg  r r

,
(8)
uzyskane z przekształcenia równań (1)-(4), pozwala wyznaczyć wartość momentu
bezwładności I 0 tarczy bez obciążników.
Umieszczamy k obciążników w otworach tarczy, w jednakowej odległości rob od jej
środka. Dokonując tych samych pomiarów co poprzednio, wyznaczamy moment
bezwładności I tarczy z obciążnikami. Powtarzamy pomiary i obliczenia dla kilku kolejnych
położeń obciążników.
Wykonujemy wykres zależności momentu bezwładności tarczy z obciążnikami I od
kwadratu odległości rob obciążników od osi obrotu. Zgodnie z twierdzeniem Steinera moment
bezwładności każdego z obciążników względem osi obrotu tarczy wynosi
I ob  I 0ob  mrob ,
2
(9)
Całkowity moment bezwładności układu wyraża się wobec tego zależnością:
I  I 0  kI ob ,
 
Doświadczalna zależność I rob
2
(10)
powinna mieć charakter liniowy. Sprawdzamy, czy
wyznaczony na podstawie regresji liniowej I  a  rob  b współczynnik kierunkowy a
2
prostej oraz wyraz wolny b przyjmują odpowiednio wartości
a  k m,
b  I 0  kI 0ob .
(11)
Literatura:
1. Szydłowski H., Pracownia fizyczna, PWN, Warszawa (dostępne wydania).
2. Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki w politechnice, praca zbiorowa pod red. T. Rewaja,
PWN, Warszawa (dostępne wydania).
3. Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki, praca zbiorowa pod red. T. Rewaja, Wydawnictwo
Politechniki Szczecińskiej, Szczecin (dostępne wydania).
4. Resnick R., Halliday D., Walker J., Podstawy fizyki T.1, PWN, Warszawa (dostępne
wydania).
5. Bobrowski C., Fizyka: krótki kurs, WNT, Warszawa (dostępne wydania).
6. Orear J., Fizyka T.1, WNT, Warszawa (dostępne wydania).