article in PDF format - Zeszyty Naukowe Instytutu Pojazdów

article in PDF format - Zeszyty Naukowe Instytutu Pojazdów

ZESZYTY NAUKOWE INSTYTUTU POJAZDÓW
2(88)/2012
Marcin Jasiński1
WYKORZYSTANIE ANALIZY WYMIAROWEJ DO OPISU OBCIĄŻEŃ
DYNAMICZNYCH USTROJU NOŚNEGO DŹWIGNICY WYWOŁANYCH
JAZDĄ PO NIERÓWNOŚCIACH
1. Wprowadzenie
Znajomość obciążeń dynamicznych wywołanych jazdą po nierównościach jest
istotna do prawidłowego projektowania i konstruowania ustrojów nośnych dźwignic
oraz ich jezdni czy torowisk. Literatura przedmiotowa [1-6] oraz normy [10, 11]
przedstawiają modele dynamiczne do obliczenia nadwyżki dynamicznej lub podają
współczynniki zwiększające obliczeniowe obciążenia statyczne od mas własnych. Na
wartość tych obciążeń wpływa wiele czynników, które wynikają m. in. z cech
konstrukcyjnych ustroju nośnego i układów jezdnych dźwignic (złożoności zestawów
kołowych, rozkładu kół itp.) oraz właściwości sprężystych materiałów kół jezdnych [7].
Analiza wymiarowa jest narzędziem bardzo często stosowanym w inżynierii, do
wyznaczania warunków podobieństwa pomiędzy dwoma obiektami o różnej wielkości.
Oparta jest ona na tzw. teorii podobieństwa modelowego, która określa zależności
pomiędzy parametrami fizycznymi mającymi wpływ na badane zjawisko [8, 9].
Korzystając z analizy wymiarowej można dojść do szczególnie cennych wniosków
podczas rozważania różnych procesów. Zastosowanie metody tej analizy może pomóc w
przyjęciu właściwego modelu [9] i odpowiednim zaplanowaniu eksperymentu poprzez
wybranie tych czynników, które w sposób istotny wpływają na badany proces. Wyniki
tak przeprowadzonych badań mogą być uogólnione na klasy procesów i obiektów
spełniających przyjęte kryteria podobieństwa modelowego.
Analiza wymiarowa i teoria podobieństwa umożliwiają wstępną analizę jakościowo
- teoretyczną i wybór parametrów bezwymiarowych mających wpływ na badane procesy
i zjawiska. Otrzymane wyniki dostarczają rozwiązań ograniczonych, a w niektórych
przypadkach – trywialnych [9]. Pomimo prostoty omawianej metody przy stosowaniu jej
w nowych zagadnieniach wymagane jest pewne doświadczenie i głębsze zrozumienie
istoty badanego procesu.
2. Modele do wyznaczania pionowych obciążeń dynamicznych ustrojów nośnych
dźwignic wywołanych jazdą po nierównościach
Do wyznaczania tych obciążeń dynamicznych Fd buduje się modele dyskretne o
bardzo różnej liczbie stopni swobody. W obliczeniach stosuje się zarówno dynamiczne
modele płaskie jak i przestrzenne, których tworzenie zawsze musi być poprzedzone
wnikliwą analizą i wyodrębnieniem tych czynników, które decydują o poszukiwanych
wielkościach obciążeń dynamicznych występujących w wybranych punktach, więzach
lub elementach ustrojów nośnych dźwignic. Istotnym jest, aby prosty model dynamiczny
[10, 11] stosować się do tych dźwignic, dla których jest on odpowiedni.
mgr inż. Marcin Jasiński, doktorant, Instytut Konstrukcji I Eksploatacji Maszyn, Wydział Mechaniczny
Politechniki Wrocławskiej.
1
13
W rozważaniach ww. obciążeń za pomocą analizy wymiarowej posłużono się
jednomasowym modelem dynamicznym, który jest odpowiednikiem modelu
przedstawionego w normie [11], przy czym w analizie uwzględniono dodatkowo
sztywność promieniową kół jezdnych (rys. 1.).
W przedstawionym na rysunku 1 modelu, przyjęto następujące założenia:
 dźwignica przejeżdża przez nierówność ze stałą prędkością v – zmiana
prędkości podczas pokonywania nierówności jest pomijalnie mała,
 zastępcza sztywność promieniowa kół jezdnych ck w kierunku pionowym
jest liniowa,
 cu jest pionową sztywnością zastępczą ustroju nośnego dźwignicy,
 masa zredukowana mz stanowi sumę masy podniesionej, masy wciągarki i
zredukowanej do środka rozpiętości masy dźwignicy,
 dynamiczne oddziaływania lin pominięto – założono, że masa podniesiona
znajduje się w najwyższym położeniu,
 h – funkcja nierówności opisująca próg lub szczelinę, uzależniona od
promienia koła jezdnego.
v
mz
cu
h
ck
Rys. 1. Jednomasowy model dynamiczny dźwignicy: mz – zredukowana masa dźwignicy
i podniesionego ładunku, v – prędkość jazdy, cz – pionowa sztywność zastępcza ustroju
nośnego, cz – zastępcza sztywność promieniowa kół jezdnych, h – funkcja nierówności
3. Opis pionowych obciążeń dynamicznych ustroju nośnego dźwignicy wywołanych
jazdą po nierównościach za pomocą analizy wymiarowej
Uwzględniając powyższe założenia, pionowe obciążenia dynamiczne ustroju
nośnego dźwignicy Fd można wyrazić funkcją F:
Fd   mz , g , cu , ck , v, h
przy czym:
Fd – pionowe obciążenia dynamiczne ustroju nośnego dźwignicy [N],
mz – masa zredukowana dźwignicy [kg],
g – przyspieszenie ziemskie [ms-2],
cu – pionowa sztywność zastępcza ustroju nośnego [Nm-1],
ck – zastępcza sztywność promieniowa kół jezdnych [Nm-1],
v – prędkość jazdy dźwignicy [ms-1],
14
(1)
h – funkcja nierówności [m],
są wymiarowymi argumentami tej funkcji F opisującej rozpatrywany proces.
Zagadnienie sprowadza się do znalezienia związku pomiędzy tymi argumentami,
które mają wymiary:
[mz] = [m0s0 kg1],
[g] = [m1s-2 kg0],
[cu] = [m0s-2 kg1],
[ck] = [m0s-2 kg1],
[v] = [m1s-1 kg0],
[h] = [m1s0 kg0],
Analiza wymiarowa nie dostarcza żadnych konkretnych wskazówek, co do wyboru
bazy wymiarowej (wielkości wymiarowo niezależnych) opisującej rozpatrywany proces.
W celu określenia optymalnej bazy wymiarowej wykonano operacje na kilku bazach
kierując się przy tym doświadczeniem oraz ogólną znajomością teorii badanego
zjawiska. Na tej podstawie wybrano trzy wielkości mz, g, cu przy pomocy, których
można właściwie opisać zjawiska zachodzące w analizowanym zagadnieniu.
Wybrane argumenty są wymiarowo niezależne, ponieważ wyznacznik macierzy
wykładników potęgowych jest różny od 0:
0 0 1 
1  2 0  2  0


0  2 1
(2)
Pozostałe wielkości wymiarowe v, h i ck należy wyrazić za pomocą mz g cu.
v  1mz , g , cu 
(3)
v  1mz 1 g a2 cu
(4)
a
a3
Porównując wymiary prawej i lewej strony równania (4):

m1s 1  kga1 ms 2
 kg s 
a2
1  2 a3
Otrzymujemy układy równań:
a1  a3  0

a2  1
 2a  2a  2
2
3

którego rozwiązanie jest następujące:
1
a1 
2
a2  1
15
(5)
a3  
1
2
Po podstawieniu a1, a1, a3 do równania (4)
1
v  1mz 2 g 1cu

1
2
(6)
korzystając z twierdzenia π [9] otrzymujemy:
cu v
mz g
1 
przy czym
(7)
cu
  odpowiada pierwszej częstości kołowych drgań własnych ustroju
mz
nośnego, wówczas:
v
g
1 
(8)
W sposób analogiczny postępujemy z drugą wielkością wymiarowo zależną h:
h  2 mz , g , cu 
h  2mz 1 g a2 cu
a

m1  kga1 ms 2
(9)
a3
(10)
 kg s 
a2
1  2 a3
a1  a3  0

a2  1
 2 a  2 a  0
2
3

(11)
Rozwiązanie układu równań jest następujące:
a1  1
a2  1
a3  1
Po podstawieniu a1, a1, a3 do równania (10) oraz korzystając z twierdzenia π
otrzymujemy:
2 
cu h
mz g
(12)
2 
 2h
g
(13)
po przekształceniach:
16
Ostatni argument ck funkcji F zależy od cu w następujący sposób:
ck  3cu
(14)
Zarówno ck, jaki i cu są tego samego wymiaru, dlatego też korzystając z twierdzenia π
otrzymujemy następującą funkcję liczbową opisującą badane zjawisko:
c
3  k
(15)
cu
Uwzględniając powyższe bezwymiarowe współczynniki φ1, φ2 i φ3 oraz korzystając z
równania (1) można zapisać:
Fd  f d 1 ,2 ,3 mz 1 g a2 cz
a
a3
(16)
gdzie:
fd – funkcja liczbowa argumentów bezwymiarowych; 1 
v ;
c
 2h ;
2 
3  k .
g
g
cu
Wyznaczając wykładniki potęgowe a1, a2, a3 równania (16) otrzymano wymiarowo
niezmienną jednorodną postać badanej zależności określającej obciążenia dynamiczne
ustroju nośnego dźwignicy wywołane jazdą po nierównościach:
 v  2 h ck 
Fd  
,
,  mz g
g cu 
 g
(17)
Analizując zależność (17) widać, że wartość pionowych obciążeń dynamicznych
ustroju nośnego wywołanych jazdą po nierównościach jest proporcjonalna do prędkości
jazdy dźwignicy, częstości drgań własnych ustroju nośnego, kształtu i wielkości
nierówności oraz stosunku zastępczej sztywności promieniowej kół jezdnych do
zastępczej sztywności pionowej ustroju nośnego.
W przypadku dźwignic torowych, których koła jezdne wykonane są ze stali (staliwa
lub żeliwa) lub z wysokowytrzymałych tworzyw sztucznych (lekkie dźwignice)
zachodzi zależność cu<<ck, przy której wymuszenie kinematyczne jest przenoszone
„bezpośrednio” na ustrój nośny i pobudza go do drgań. Wówczas wartość pionowych
obciążeń dynamicznych ustroju nośnego zależy proporcjonalnie od zastępczej
sztywności promieniowej kół (17).
Natomiast dla dźwignic o zwartej budowie (o małej rozpiętości), które posiadają
dużą sztywność pionową oraz jeżdżą na podatnych kołach (np. wykonanych z litej gumy
lub kołach ogumionych) zachodzi relacja cu>>ck. Taki ustrój nośny zachowuje się jak
quasi-sztywna bryła, która poddana działaniu wymuszenia kinematycznego będzie drgać
na kołach jezdnych.
Należy również zauważyć, że współczynnik bezwymiarowy opisany zależnością
(12) jest wzorem stosowanym do wyznaczenia współczynnika dynamicznego [4].
4. Kryteria podobieństwa modelowego
Badania eksperymentalne na modelach są niejednokrotnie jedynym możliwym
sposobem wyznaczenia istotnych czynników wpływających na rozważane zjawiska lub
procesy. Otrzymane wyniki należy uogólnić w taki sposób, aby istniała możliwość
17
odniesienia ich do wielu obiektów rzeczywistych, które spełniają kryteria przyjęte
podczas modelowania.
Korzystając z analizy wymiarowej wyznaczono bezwymiarowe parametry
(względem przyjętej bazy wymiarowej) wpływające na pionowe obciążenia dynamiczne
ustroju nośnego wywołanych jazdą po nierównościach. Parametry bezwymiarowe φ1, φ2,
φ3 stanowią bazę dla opisu mechanicznie podobnych zjawisk.
Kryterium podobieństwa dwóch zjawisk jest niezmienność liczbowa ww.
parametrów na dźwignicy doświadczalnej i na obiekcie rzeczywistym.
Ponieważ analiza równania (17) dotyczy zjawiska występującego w warunkach
ziemskich (g=const), wówczas podobieństwo modelowe zachodzi, gdy częstość drgań
własnych ustroju nośnego, prędkości jazdy, funkcja nierówności oraz stosunek
zastępczej sztywności promieniowej kół jezdnych do zastępczej sztywności pionowej
ustroju nośnego są niezmienne na obiekcie doświadczalnym oraz rzeczywistym.
5. Podsumowanie
Zastosowana metoda pozwoliła na wstępną analizę jakościowo - teoretyczną
rozpatrywanego zagadnienia. Wyznaczone bezwymiarowe parametry, opisujące
pionowe obciążenia dynamiczne ustroju nośnego wywołane jazda po nierównościach,
umożliwiają uogólnienie otrzymanych wyników podczas badań na modelach oraz
odniesienie ich do obiektów rzeczywistych.
Otrzymane rozwiązania mogą przyczynić się do poprawnego opracowania planu
eksperymentu na obiekcie doświadczalnym lub rzeczywistym.
Stosowanie przedstawionej metody, pomimo jej prostoty i elementarności, wymaga
pewnego doświadczenie i głębszego rozumienia istoty badanych zjawisk.
Literatura:
[1]
Kazak S. A.: Dinamika mostovych kranov. Mašinostroenie, Moskva 1968.
[2]
Piątkiewicz A., Sobolski R.: Dźwignice. WNT, Warszawa 1978.
[3]
Goetzlinger J., Johnsson S.: Dynamic forces in cranes. Acta Polytechnica. Mech.
Engg. Series 3, Nr 7, 175(1955).
[4]
Scheffler M., Dresig H., Kurth F.: Unstetigförderer 2, VEB Verlag Technik,
Berlin 1977.
[5]
Ramakoteswara Rao K., Parameswaran M. A.: Dynamische Belastung eines
Laufkrans durch Schienenstoße. Fördern und Heben 28(1978) Nr 5/6..
[6]
Grabowski E., Kulig J.: Metoda obliczania obciążeń dźwignic wywołanych jazdą
po nierównościach. Transport Przemysłowy Nr 1/2008.
[7]
Jasiński M.: Zagadnienia obliczeniowego wyznaczania obciążeń dźwignic
wywołanych jazdą po nierównościach. Transport Przemysłowy i Maszyny
Robocze. Nr 2(8)/2010, str. 24 – 27.
[8]
L.I. Siedow: Analiza wymiarowa i teoria podobieństwa w mechanice, WNT,
Warszawa, 1968.
[9]
W. Kasprzak, B. Lysik: Analiza wymiarowa w projektowaniu eksperymentu,
Zakład Narodowy im. Ossolińskich, Wrocław, 1978.
[10] Norma PN-EN 13001-2: 2004: Bezpieczeństwo dźwignic. Ogólne zasady
projektowania. Część 2: Obciążenia.
[11] Norma PN-ISO 8686-1: 1999 – Dźwignice. Zasady obliczania i kojarzenia
obciążeń. Postanowienia ogólne.
18
Streszczenie
W pracy przedstawiono sposób opisania pionowych obciążeń dynamicznych
ustrojów nośnych dźwignic wywołanych jazdą po nierównościach wykorzystując analizę
wymiarową i teorię podobieństwa modelowego. Zastosowana metoda umożliwia
wstępną analizę jakościowo - teoretyczną i wyznaczenie parametrów bezwymiarowych
mających wpływ na badany proces. Niezmienność liczbowa wyznaczonych parametrów
umożliwia uogólnienie otrzymanych wyników oraz odniesienie ich do obiektów
rzeczywistych, które spełniają kryteria podobieństwa modelowego.
Słowa kluczowe: dźwignice, analiza wymiarowa, jazda po nierównościach
USE OF DIMENSIONAL ANALYSIS TO DESCRIBE THE DYNAMIC LOAD
OF THE CRANE SUPPORTING STRUCTURE CAUSED BY DRIVING OVER
UNEVEN SURFACES
Abstract
The paper presents a way to describe the vertical dynamic load of the crane
supporting structure caused by driving over uneven surfaces using a dimensional
analysis and similarity theory model. The method used for initial theoretical analysis and
the designation of dimensionless parameters affecting the studied process. Appointed
constancy of parameters enables generalization of results and relating them to real
objects that meet the criteria of similarity of the model.
Keywords: cranes, dimensional analysis, driving over uneven surfaces
Zadanie współfinansowane przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
19