Modele i metody komputerowego rozpoznawania wzorców

Symulacja w Badaniach i Rozwoju
Vol. 6, No. 2/2015
Krzysztof SZKÓŁKA, Cezary BARTOSIAK,
Rafał KASPRZYK, Zbigniew TARAPATA
Wojskowa Akademia Techniczna, Wydział Cybernetyki
ul. Kaliskiego 2, 00-908 Warszawa
E–mail: [email protected],[email protected], [email protected],
[email protected]
Modele i metody komputerowego
rozpoznawania wzorców opisanych ilościowo
1
Wprowadzenie
Badanie podobieństwa grafów i sieci jest dziedziną istotną w wielu obszarach nauki:
chemii, biologii, energetyce czy informatyce. Większość systemów można stosunkowo
łatwo i intuicyjnie modelować jako graf lub sieć, a następnie tak zbudowany model
wykorzystać do badania, jak również optymalizacji tych systemów [2, 3, 4, 5].
Według Słownika Języka Polskiego „podobieństwo” to wspólność pewnych cech dwu
albo więcej osób, przedmiotów, obiektów itp. W kontekście analizy podobieństwa
grafów i sieci można stosować tę definicję intuicyjnie, bez potrzeby jej formalizacji.
W literaturze spotyka się liczne taksonomie metod badania podobieństwa grafów i sieci
[14, 15]. Najbardziej ogólny podział rozróżnia właśnie metody grafowe i sieciowe.
Metody grafowe wykorzystuje się do badania podobieństwa strukturalnego, a sieciowe
do badania podobieństwa niestrukturalnego (nazywanego inaczej sieciowym
lub ilościowym).
W literaturze można spotkać wiele przykładów metod i miar, które rozwiązują problem
strukturalnego podobieństwa grafów. Do klasycznych metod można zaliczyć:
izomorfizm oraz odległość edycyjną. W przypadku metod i miar ilościowych rozwiązań
jest mało, niewiele z nich jest dobrze udokumentowanych i są to najczęściej metody
rozwiązujące konkretny problem z danej dziedziny.
W artykule przedstawiona jest autorska metoda analizy podobieństwa grafów i sieci.
Metoda ta została zaimplementowana i jest jedną z funkcjonalności w popularnej
aplikacji komercyjnej, oferującej między innymi audyt użytkowników.
2
Definicje i notacje
Graf jest abstrakcyjną reprezentacją zbioru obiektów, między którymi mogą istnieć
związki. Obiekty te prezentowane są jako wierzchołki, związki zaś jako gałęzie (można
mówić o krawędziach, łukach oraz pętlach). Przykładowy graf pokazano na rysunku 1.
Formalnie graf
to trójka uporządkowana,
= ¤¥, , .¦, gdzie ¥ to zbiór
wierzchołków grafu ,
to zbiór gałęzi grafu , a . ⊂ ¥ × × ¥ – relacja
incydencji [1].
137
Krzysztof SZKÓŁKA, Cezary BARTOSIAK, Rafał KASPRZYK, Zbigniew TARAPATA
Rys. 1. Graf o 4 wierzchołkach i 4 kraw
krawędziach [opracowanie własne]
Fig. 1. Graph with 4 nodes and 4 edges [own preparation]
Siecią nazywamy graf, który jest opisany ilościowo
ilo
(wierzchołki i gałęzie mogą mieć
atrybuty, które je dodatkowo opisują).
opisu
Formalnie sieć § to trójka uporządkowana:
§=¨ ,
¯-∈ >,…,X³%µ,
[ 9©;%[∈ >,…,X % , «¬- 9®;¯
Z∈ª
´∈-
gdzie
to graf,
[ 9©;: ¥
→
5
, to i-ta
funkcja opisana na wierzchołku grafu (a = 1, … , ±¶; ±¶ – liczba wszystkich funkcji
opisanych na wierzchołkach grafu), ¬- 9®;: → 5 to j-ta funkcja opisana na gałęzi
grafu ( ° = 1, … , ±²; ±² – liczba wszystkich funkcji opisanych na gałęziach
gał
grafu).
Warto zauważyć, że każdy
żdy graf jest siecią,
sieci w której [ = ¬- = ·.
Przykładem sieci może byćć więc
wię graf z ponumerowanymi wierzchołkami i gałęziami
(na zbiorze wierzchołków i gałęzi
gałę są określone funkcje, których wartościami są
numery).
3
Metody badania podobieństwa
podobie
grafów i sieci
Metody badania podobieństwa
ństwa moż
można podzielić jak na rysunku 2.
Rys. 2. Taksonomia miar podobieństwa
podobień
[opracowanie własne]
Fig. 2. Taxonomy of similarity measures [own preparation]
Miary strukturalne (ang. structural similarity measures)
measures stosuje się zwykle do badania
grafów, a ilościowe (ang. quantitative similarity measures)
measures do badania sieci. W tych
138
Modele i metody komputerowego rozpoznawania wzorców opisanych ilościowo
pierwszych porównywana jest jedynie topologia (struktura) systemu, natomiast miary
ilościowe uwzględniają cechy opisane na wierzchołkach i gałęziach grafu.
Do najważniejszych metod i miar badania podobieństwa strukturalnego można zaliczyć
izomorfizm grafów, miary oparte na odległości edycyjnej, miary topologiczne i metody
iteracyjne - strukturalne. Metody badania podobieństwa niestrukturalnego opierają się
głównie na metodach iteracyjnych – ilościowych. Dalej przedstawione są wybrane
metody i miary badania podobieństwa grafów i sieci.
3.1 Izomorfizm
Jeśli pomiędzy dwoma grafami występuje izomorfizm, to są one strukturalnie
nieodróżnialne. Formalnie grafy
i ² nazywa się izomorficznymi, jeżeli istnieje
bijekcja pomiędzy zbiorami ich wierzchołków:
: ¥0 → ¥³ ,
gdzie:
¥0 – zbiór wierzchołków grafu ,
¥³ – zbiór wierzchołków grafu ²,
taka że dwa dowolne wierzchołki ¸ i © w grafie są do siebie przyległe wtedy i tylko
wtedy, gdy 9¸; i 9©; są przyległe w grafie ². Można również rozważać izomorfizm
sieci, w takim przypadku muszą zostać zachowane atrybuty (wartości funkcji)
wierzchołków i gałęzi. Przykładowe grafy izomorficzne przedstawione są na rysunku 3.
Rys. 3. Grafy izomorficzne [opracowanie własne]
Fig. 3. Isomorphic graphs [own preparation]
Problem rozstrzygania izomorfizmu grafów [9] należy do klasy NP [6], dla których nie
istnieje obecnie odpowiedź, czy należą one do podklasy problemów P czy NP–
zupełnych.
Miarami izomorficznymi nazywana jest grupa miar badania podobieństwa grafów, które
korzystają z izomorfizmu do wyznaczenia wartości tych miar.
Wśród metod badania izomorfizmu grafów za najlepsze uznawane są obecnie metoda
E. M. Luksa [7] o złożoności czasowej ® ¹Uº9QlogQ;W oraz metoda B. D. McKaya [8]
(złożoność czasową trudno jest oszacować, wiadomo, że jest ona wykładnicza). Warto
zaznaczyć, iż wiele metod jest ograniczonych do określonych klas grafów.
3.2 Odległość edycyjna
Odległość edycyjna między dwoma grafami określa minimalną liczbę koniecznych
operacji, aby jeden graf „zamienić” w drugi (operacją może być dodawanie
lub usuwanie wierzchołków lub gałęzi). Można ją rozumieć jako uogólnienie
izomorfizmu. Odległość edycyjna pomiędzy dwoma grafami izomorficznymi wynosi 0.
139
Krzysztof SZKÓŁKA, Cezary BARTOSIAK, Rafał KASPRZYK, Zbigniew TARAPATA
Zazwyczaj różne modyfikacje związane są z różnymi kosztami. Koszt modyfikacji
mówi o tym, jak „trudno” jest ją przeprowadzić.
Do popularnych metod wyznaczania odległości edycyjnej można zaliczyć poszukiwanie
największego podgrafu badanych grafów lub najmniejszego wspólnego nadgrafu,
czy przedstawioną dalej metodę Papadopoulosa i Manolopoulosa. Autorzy tej metody
zaproponowali w swojej pracy [10] algorytm, który opiera się na dodawaniu, usuwaniu
oraz modyfikacji wierzchołków. Autorzy wprowadzili ponadto koncepcję tzw.
histogramu grafu. Histogram grafu G budowany jest poprzez wyliczenie stopnia
każdego wierzchołka. Następnie każdy wierzchołek zaliczany jest do innego
„pojemnika” histogramu (którego wartość jest równa stopniowi odpowiadającego mu
wierzchołka). W celu porównania dwóch grafów buduje się dla nich histogramy
(ewentualnie dodając „pojemniki” o zerowej wartości, jeśli między grafami występuje
różnica w liczbie wierzchołków), następnie szereguje się je w porządku malejącym
(według wartości) oraz zwiększa wartości każdego „pojemnika” o jeden. Suma
bezwzględnych różnic wartości między odpowiadającymi sobie „pojemnikami” stanowi
szacunkową liczbę modyfikacji.
Algorytm ten jest bardzo szybki (złożoność czasowa º9QlogQ;), lecz nie jest dokładny.
Ponadto nadaje się tylko do badania podobieństwa strukturalnego. Mimo to dzięki
szybkości może być z powodzeniem używany do wstępnego badania podobieństwa
grafów.
3.3 Miary centralności
W przypadku bardzo dużych grafów i sieci może się okazać, że badanie izomorfizmu
lub wyliczanie odległości edycyjnej nie będzie możliwe, głównie ze względu
na złożoność obliczeniową tych metod, a w konsekwencji ich czasochłonność
w praktycznych przypadkach. Wówczas do oceny podobieństwa grafów i sieci
wykorzystać można miary odzwierciedlające ich właściwości. Przykładowymi
charakterystykami (właściwościami) grafów i sieci są: średnia długość najkrótszej
drogi, średnica (droga najkrótsza pomiędzy najbardziej oddalonymi wierzchołkami),
współczynnik klasteryzacji, średni stopień wierzchołka, rozkład stopnia wierzchołka,
czy w końcu miary centralności.
W różnego rodzaju analizach modeli grafowo-sieciowych coraz częściej wykorzystuje
się miary centralności, w szczególności w przypadku analizy sieci społecznych i ich
zastosowaniu, np. w epidemiologii [17, 18, 19] i analizie siatek przestępczych [20].
Miary centralności ułatwiają udzielenie odpowiedzi na pytanie, który wierzchołek jest
najbardziej istotny w badanym grafie lub sieci. Stąd też miary centralności często
nazywane są miarami istotności. Najczęściej wykorzystywanymi miarami centralności
są:
stopień
wierzchołka,
promień
wierzchołka,
bliskość
wierzchołka
i obciążenie/pośrednictwo wierzchołka. Każda miara centralności pozwala na ilościową
ocenę istotności wierzchołków w grafach lub sieciach niejako z różnej perspektywy.
Przedstawione dalej definicje miar centralności zostały opracowane dla tzw. grafów
zwykłych [1]. Na potrzeby zobrazowania interpretacji poszczególnych miar centralności
na rysunkach od 4 do 7 wierzchołki grafu przyjmują kolor o intensywności
proporcjonalny do wartości rozpatrywanej miary centralności.
140
Modele i metody komputerowego rozpoznawania wzorców opisanych ilościowo
Najprostszą miarą centralności wierzchołka, którą podpowiada intuicja, jest stopień
wierzchołka (ang. degree centrality). Według tej miary wierzchołek jest tym
istotniejszy, im ma wyższy stopnień:
gdzie:
`[ - stopień i-tego wierzchołka.
¿
R¾[ = |ª|V>
,
h
Rys. 4. Zobrazowanie wartości miary stopień [opracowanie własne]
Fig. 4. Visualization of degree centrality [own preparation]
Kolejną miarą centralności jest tzw. promień wierzchołka (ang. radius centrality),
według której wierzchołek jest tym ważniejszy, im jego odległość do najdalszego
wierzchołka jest najmniejsza. Miara ta jest niezwykle interesująca z punktu widzenia
zarządzania kryzysowego, kiedy istotne jest zapewnienie pewnego minimum
w najgorszym możliwym do zaistnienia przypadku:
Á¾[ =
1
max R[-∈ª
gdzie:
R[- – droga najkrótsza pomiędzy wierzchołkami i oraz j.
Rys. 5. Zobrazowanie wartości miary promień [opracowanie własne]
Fig. 5. Visualization of radius centrality [own preparation]
Miara bliskość wierzchołka (ang. closeness centrality) pozwala na wyliczenie średniej
odległości rozpatrywanego wierzchołka do wszystkich pozostałych wierzchołów
w grafie. Wierzchołek, który, „średnio rzecz biorąc”, jest najbliższy wszystkim
wierzchołkom jest uznawany za najistotniejszy:
¾¾[ = ∑
|ª|V>
Ã∈Ä L¿Ã
.
141
Krzysztof SZKÓŁKA, Cezary BARTOSIAK, Rafał KASPRZYK, Zbigniew TARAPATA
Rys. 6. Zobrazowanie wartości miary „bliskość” [opracowanie własne]
Fig. 6. Visualization of closeness centrality [own preparation]
Innym sposobem oceny węzła jest wyznaczenie pośrednictwa/obciążenia wierzchołka
(ang. betweenness/load centrality), które można zdefiniować jako procent najkrótszych
dróg pomiędzy dowolną parą wierzchołków przechodzących przez rozpatrywany węzeł:
ž[ =
Æ
∑Ç∈Ä ∑ÈÉÇ∈Ä Ç,¿,È
ÆÇ,È
9|ª|V ;9|ª|V>;
,
gdzie:
¹Ê,h – liczba dróg najkrótszych między wierzchołkami l oraz k,
¹Ê,[,h – liczba dróg najkrótszych między wierzchołkami l oraz k przechodzących przez i.
Rys. 7. Zobrazowanie wartości miary pośrednictwo [opracowanie własne]
Fig.7. Visualization of betweeness centrality [own preparation]
Ze względu na prosty sposób obliczania każdej z miar można je zastosować
przy badaniu podobieństwa, np. badać podobieństwo rozkładu wybranej miary
w jednym grafie do miary w innym grafie.
3.4 Miary iteracyjne
Istnieje szeroka gama metod badających podobieństwo grafów i sieci, które odnoszą się
do pytania: Jak bardzo podobne jest sąsiedztwo pewnego wierzchołka w jednym
w grafie do sąsiedztwa innego wierzchołka w drugim grafie?. Metody te opierają się na
idei, która mówi, że dwa wierzchołki dwóch różnych grafów są uważane za podobne,
gdy ich sąsiedztwo jest do siebie podobne. Definicja ta sugeruje, że metody, które się
do niej stosują, muszą mieć iteracyjny charakter, bowiem oceny podobieństwa
elementów propagują się na sąsiedztwo tychże w każdym kroku.
Metod iteracyjnych jest bardzo dużo. Wykorzystują one różne techniki do oceny
podobieństwa wierzchołków. Do najbardziej popularnych zalicza się na przykład
SimRank [11] czy iteracyjne strukturalne podobieństwo wierzchołków [12]. Warto
142
Modele i metody komputerowego rozpoznawania wzorców opisanych ilościowo
również zwrócić uwagę na sieciową miarę podobieństwa wierzchołków [13, 16]. Autor
proponuje miarę, która pozwala oszacować ilościowe podobieństwo wierzchołków
sieci. Można także mierzyć ilościowe podobieństwo gałęzi (zamiast funkcji opisanych
na wierzchołkach bierze się pod uwagę funkcje opisane na gałęziach) lub zastosować
podejście mieszane.
4
Autorska metoda badania podobieństwa sieci
Niech dana będzie sieć: § = ¨ = ¤¥, ¦, ·, ¬h 9®;%h∈ >,…,X³% µ ,
´∈-
gdzie:
- graf zwykły [1],
V - zbiór wierzchołków grafu o mocy |V|=n,
⊂ ©, ©′%: ©, ©′ ∈ ¥% - zbiór krawędzi grafu ,
¬h : →
- k-ta funkcja określona na zbiorze
krawędzi grafu
przyjmująca
wartości ze zbioru R (zbiór liczb rzeczywistych).
Opracowana metoda wyznacza podobieństwo każdej pary wierzchołków w sieci
zdefiniowanej jak wyżej.
Krok 1. Wyznaczenie wektora macierzy podobieństw wierzchołków §aÌ9§; ze względu
na k-tą funkcję opisaną na krawędziach sieci S:
gdzie:
§aÌh = ÍY[- 9`;Î5×5 .
§aÌ9§; = ¤§aÌ> , … , §aÌh , … , §aÌX³ ¦ ,
Wyliczenie każdego z elementów Y[- 9`; macierzy §aÌh bazuje na podgrafie1 [-Ï ,
1[- – zbiór
którego zbiorem wierzchołków jest zbiór
1[- ∪ a, °%, gdzie:
wierzchołków przyległych do wierzchołka a lub wierzchołka °. W oparciu o podgraf
Ï
[-
konstruowana jest podsieć §[-Ï = Ñ
Ï
[-
= Ò 1[- ∪ a, °%,
Ï
[- Ó,
·, ¬h 9®;%h∈ >,…,X³% Õ, co
Ô
´∈-¿Ã
w konsekwencji pozwala na wyznaczenie elementu Y[- 9`; według następującego
wzoru:
gdzie:
Y[- 9`; =
Ø 9¿,Ç;ÙØÈ 9Ã,Ç;
∑Ç∈ÛÜ Ö>V× È
×Ú
¿Ã
¿Ã
Ý 4¿ÃÝ
Ø
È
∈ [0,1] ,
1
Przypomnijmy, że podgraf G’ grafu G powstaje w ten sposób, że wybieramy pozdzbiór V’
zbioru wierzchołków V grafu G, który staje się zbiorem wierzchołków podgrafu G’, a następnie
do zbioru E’ gałęzi podgrafu G’ zaliczamy wszystkie gałęzie grafu G, które występują między
wierzchołkami należącymi do V’.
143
Krzysztof SZKÓŁKA, Cezary BARTOSIAK, Rafał KASPRZYK, Zbigniew TARAPATA
¬h = max9[,-;∈-Ô ¬h 9a, °; .
[-
¿Ã
Uwaga! We wzorze na Y[- 9`; przyjęto założenie, że jeśli wierzchołki © i ©′ nie są
do siebie przyległe, czyli nie istnieje pomiędzy nimi krawędź, wówczas ¬h 9©, © Ï ; = 0.
Wartość elementu Y[- 9`; macierzy §aÌh interpretowana jest jako stopień podobieństwa
wierzchołka a do wierzchołka ° ze względu na k-tą funkcję opisaną na krawędziach
grafu , biorąc pod uwagę jedynie najbliższe sąsiedztwo wierzchołków i oraz j,
tj. wierzchołki przyległe do i lub j. Wartość Y[- 9`; = 1 oznacza, że wierzchołki i oraz j
są identyczne z punktu widzenia k-tej funkcji na krawędziach grafu .
Krok 2. Wyznaczenie skumulowanej macierzy podobieństwa wierzchołków:
Mając obliczone wartości elementów wektora macierzy podobieństwa wierzchołków
§aÌ9§; = ¤§aÌ> , … , §aÌh , … , §aÌX³ ¦,
można
obliczyć
wartości
elementów
skumulowanej macierzy podobieństwa wierzchołków §aÌIÞ7ßÊ . W tym celu proponuje
się wykorzystać jedną z metod redukcji problemów wielokryterialnych polegającą
na utworzeniu kombinacji liniowej wektora kryteriów:
§aÌIÞ7ßÊ = ∑X³
há> àh ∙ §aÌh ,
gdzie:
àh - wagi ustalane przez decydenta spełniające następujące warunki:
àh ∈ [0,1], ∀` = 1, … , ±²
∑X³
há> àh = 1 .
Wyliczona w powyższy sposób macierz §aÌIÞ7ßÊ mówi, w jakim stopniu każda para
wierzchołków grafu jest do siebie podobna przy zadanych arbitralnie przez decydenta
wagach.
5
Praktyczne zastosowanie metody
Przedstawiony algorytm badania podobieństwa wierzchołków został zaprojektowana
i zaimplementowany na potrzeby jednej z usług systemu General Audit Tool (GAT)
[21, 22, 23] dla platformy Google Apps [24] – rysunek 8. Opracowana usługa systemu
GAT wskazuje pracowników, którzy są potencjalnie w stanie najszybciej przejąć
od siebie obowiązki (są do siebie najbardziej podobni w sensie realizowanych zadań
w firmie), np. podczas ich urlopu lub zmiany pracodawcy – rysunek 9.
144
Modele i metody komputerowego rozpoznawania wzorców opisanych ilościowo
Rys. 8. GAT - panel główny [ opracowanie własne]
Fig. 8. GAT – main panel [own preparation]
Rys. 9. GAT – analiza podobieństwa pracowników działu sprzedaży
[opracowanie własne]
Fig. 9. GAT – similarity analysis of employees in sales department
[own preparation]
Sieć współpracy pomiędzy pracownikami, będąca podstawą działania prezentowanej
usługi, budowana jest między innymi w oparciu o: wymianę wiadomości e-mail,
wzajemną pracę nad dokumentami, wspólne spotkania (na podstawie kalendarzy
pracowników), jak również wpisy na portalach społecznościowych.
W dalszej części rozdziału zaprezentowano przeprowadzone badania na sieci
odzwierciedlające współpracę pracowników rzeczywistej organizacji składającej się
z 50-ciu pracowników, w oparciu o zebrane dane z okresu trzech miesięcy w próbkach
tygodniowych.
145
Krzysztof SZKÓŁKA, Cezary BARTOSIAK, Rafał KASPRZYK, Zbigniew TARAPATA
Rys. 10. Graf pracowników – 1-szy
szy miesiąc
miesi współpracy [ opracowanie własne]
Fig. 10. Employees graph – 1st month of collaboration [own preparation]
Rys. 11. Rozkład stopni wierzchołków – 1-szy miesiąc współpracy
[opracowanie własne]
Fig. 11. Degree distribution –1st
1st month of collaboration
[own preparation]
146
Modele i metody komputerowego rozpoznawania wzorców opisanych ilościowo
Rys. 12. Graf pracowników organizacji – 3-ci miesiąc współpracy
[opracowanie własne]
Fig. 12. Employees graph – 3rd month of collaboration [own preparation]
Rys. 13. Rozkład stopni wierzchołków – 3-ci miesiąc współpracy
[opracowanie własne]
Fig. 13. Degree distribution – 3rd month of collaboration [own preparation]
Na rysunku 10 i 12 przedstawiono odpowiednio grafy reprezentujące pracowników i ich
współpracę z innymi osobami w organizacji, a także poza nią
po 1-szym i po 3-cim miesiącu zbierania danych. Analiza tych sieci pokazała, że mają
one charakter sieci bezskalowych (ang. scale-free). Sieci te cechują się potęgowym
rozkładem stopni wierzchołków (rys. 11 i rys. 13). Większość wierzchołków posiada
względnie mały stopień, podczas gdy pewna niewielka ich liczba ma stopień bardzo
duży w porównaniu do reszty. Takie wierzchołki nazywa się hubami. Dodatkowo
badane sieci mają względnie mało krawędzi (są grafami rzadkimi) i stosunkowo
niewielką średnią odległość pomiędzy wierzchołkami (około 2-3).
147
Krzysztof SZKÓŁKA, Cezary BARTOSIAK, Rafał KASPRZYK, Zbigniew TARAPATA
Rys. 14. Graf pracowników organizacji – podobieństwo wierzchołków (pracowników)
[opracowanie własne]
Fig. 14. Employees graph – nodes similarity [own preparation]
Na rysunku 14 przedstawiono dwie sieci. Sieć A pokazuje współpracę pracowników
między sobą i osobami spoza organizacji. Sieć B reprezentuje tę samą sieć,
ale z usuniętymi osobami „zewnętrznymi”. Po zastosowaniu opisanej wcześniej metody
wierzchołki wskazywane przez czerwone strzałki otrzymały wysoką wartość
współczynnika podobieństwa (około 0,9). Oznacza to, iż pracownicy reprezentowani
przez te wierzchołki charakteryzują się bardzo podobnymi cechami. Rzeczywiście może
tak być, ponieważ ze struktury sieci wynika, że mają wspólnego sąsiada, którym może
być, na przykład kierownik zespołu. Ponadto pracownicy w ramach tego zespołu mogą
wykonywać podobne zadania, np. programiści. Natomiast wierzchołkami
wskazywanymi przez zielone strzałki mogą być kierownicy dwóch zespołów
zajmujących się różnymi, niezwiązanymi ze sobą dziedzinami. Dlatego wartość
współczynnika podobieństwa jest niska i wynosi około 0,06.
148
Modele i metody komputerowego rozpoznawania wzorców opisanych ilościowo
7
Wnioski
W artykule przedstawiona została autorska metoda analizy podobieństwa grafów i sieci.
Otrzymane wyniki badania konkretnego problemu, tj. analizy podobieństwa
pracowników, pokazały, że metody ilościowe mogą być z powodzeniem stosowane
w takich zadaniach. Trudność analizy polega na identyfikacji istotnych i mierzalnych
cech wśród zbioru wszystkich cech, które posiadają obiekty. W opisanym problemie
uwaga została skupiona tylko na cechach związanych z „aktywnością” osób
w organizacji (wynikało to z potrzeb biznesowych). Badając podobieństwo obiektów,
należy zidentyfikować i uwzględniać jedynie te cechy, które są istotne z punktu
widzenia celu modelowania, czyli mające znaczenie w danym kontekście.
Ciekawym spostrzeżeniem jest fakt, że analizowana sieć organizacji rzeczywistej ma
charakter sieci bezskalowych. Istotnymi wierzchołkami w takiej sieci są huby –
świadczy o tym niska wartość współczynnik podobieństwa (im mniejsza wartość, tym
obiekt jest bardziej „unikalny”, więc trudniej go zastąpić). Ponadto zmiany w „hubach”
znacznie wpływają na rezultaty wyszukiwania podobieństw wśród pracowników.
Informacje o hubach mogą być bardzo pomocne. Liczba krawędzi i wartości atrybutów
opisanych na nich wskazują, że mogą to być na przykład kierownicy działów, kadra
zarządzająca itp. Pozostałe wierzchołki (szczególnie te, których sąsiadem jest ten sam
hub) mają wysoki współczynnik podobieństwa. Takie wierzchołki są mniej istotne
i można je łatwo zastąpić – w przeciwieństwie do huba.
Warto zauważyć, że jednym z rozszerzeń przedstawionej metody może być
zastosowanie jej w połączeniu z technikami symulacji - umożliwienie badania wpływu
sposobu zarządzania organizacją (w tym struktury organizacji) na jej elastyczność
(łatwość dostosowania się do zmiany pracowników).
Literatura
1.
2.
3.
4.
Korzan B.: Elementy teorii grafów i sieci : metody i zastosowania, WNT, 1978
Newman M. E. J.: Networks. An Introduction, Oxford University Press, 2010
van Steen M.: Graph Theory and Complex Networks: An Introduction, 2010
Easley D., Kleinberg J.: Networks, Crowds, and Markets: Reasoning About
a Highly Connected World, Cambridge University Press, 2010
5. Jungnickel D.: Graphs, Networks and Algorithms, Springer, 2007
6. Chudy M.: Wybrane metody optymalizacji, EXIT, 2014
7. Luks E. M.: Isomorphism of graphs of bounded valence can be tested
in polynomial time. Journal of Computer and System Sciences, v. 25, 42-65, 1982
8. McKay B. D.: Practical graph isomorphism, Congressus Numerantium, v. 30,
45-87, 1981
9. Fortin S.: The Graph Isomorphism Problem, Technical Raport TR 96-20,
Departmant of Computer Sicence, The University of Alberta, July 1996
10. Papadopoulos A. N., Manolopoulos Y.: Structure-based similarity search
with graph histograms, DEXA '99 Proceedings of the 10th International Workshop
on Database & Expert Systems Applications, 174-178, 1999
149
Krzysztof SZKÓŁKA, Cezary BARTOSIAK, Rafał KASPRZYK, Zbigniew TARAPATA
11. Jeh G., Widom J.: SimRank: a measure of structural-context similarity,
Proceedings of the eighth ACM SIGKDD international conference on Knowledge
discovery and data mining, Edmonton, 2002
12. Blondel V. D., Gajardo A., Heymans M., Senellart P., Dooren P. V.: A measure
of similarity between graph vertices applications to synonym extraction and web
searching, SIAM Review, v. 46 (4), 647-666
13. Tarapata Z.: Multicriteria weighted graphs similarity and its application
for decision situation pattern matching problem, Proceedings of the 13th
IEEE/IFAC International Conference on Methods and Models in Automation
and Robotics, 1149-1155, 2007
14. Zager L.: Graph similarity and matching, PhD thesis, MIT, May 2005
15. Conte D., Foggia P., Sansone C., Vento M.: Thirty years of graph matching
in pattern recognition, International Journal of Pattern Recognition and Artificial
Intelligence, v. 18 (3), 2004
16. Tarapata Z., Kasprzyk R.: An application of multicriteria weighted graph similarity
method to social networks analyzing, Proceedings of the 2009 International
Conference on Advances in Social Network Analysis and Mining, 366-368, 2009
17. Kasprzyk R.: Diffusion in Networks, Journal of Telecommunications
and Information Technology, 2/2012, ISSN 1509-4553, 99-106
18. Bartosiak C., Kasprzyk R., Najgebauer A.: The graph and network theory as a tool
to model and simulate the dynamics of infectious diseases, Bio-Algorithms and
Med-Systems. Volume 9, Issue 1, Pages 17–28, ISSN (Online) 1896-530X, ISSN
(Print) 1895-9091, DOI: 10.1515/bams-2013-0003, March 2013
19. Kasprzyk R., Najgebauer A., Pierzchała D.: Modelling and Simulation
of an Infected Disease in Social Networks, Lecture Notes in Artificial Intelligence,
2011, Volume Part I, pp. 388-398, ISBN: 978-3-642-23934-2, Springer-Verlag
Berlin, Heidelberg
20. Tarapata Z., Kasprzyk R.: Graph-Based Optimization Method for Information
Diffusion and Attack Durability in Networks, RSCTC'2010, Lecture Notes
in Artificial Intelligence, vol. 6086, Springer, Heidelberg, pp. 698-709, 2010
21. www.bsn.ie
22. www.generalaudittool.com
23. https://plus.google.com/communities/108178540809040162296
24. www.google.pl/intx/pl/enterprise/apps/business/
150
Modele i metody komputerowego rozpoznawania wzorców opisanych ilościowo
Streszczenie
W niniejszej pracy autorzy poruszają zagadnienia z obszaru badania podobieństwa
grafów i sieci ze szczególnym naciskiem na metody ilościowe. Zostaje podjęta próba
klasyfikacji wybranych metod grafowo-sieciowych badania podobieństwa. Prezentuje
się tu także autorską metodę i rozwiązanie programowe, które jest wykorzystywane
w celu wspierania działań decyzyjnych w organizacjach.
Słowa kluczowe: sieć, rozpoznawanie wzorców, miary podobieństwa sieci
Models and methods
of quantitative computer patterns recognition
Summary
In this paper, authors describe issues of assessing similarity of graphs and networks,
with an emphasis on quantitative methods. An attempt is taken to classify graphs
and networks similarity methods. It also presents author’s method and software solution
that is used to support decision-making processes in organizations.
Keywords: network, pattern recognition, network similarity measures
151