Matematyka dyskretna Zestaw 8. 1. Wiadomo, że zbiór V ma n

Matematyka dyskretna
Zestaw 8.
(zadania na 27.IV)
1. Wiadomo, że zbiór V ma n elementów.
a) Ile jest wszystkich grafów o wierzchołkach w zbiorze V ?
b) Ile grafów o wierzchołkach w V ma dokładnie m krawędzi?
c) Ile grafów o wierzchołkach w V ma dokładnie k wierzchołków izolowanych (tzn.
niepołączonych krawędzią z żadnym innym)?
2. Przez dG (v) oznaczamy stopień wierzchołka v w grafie G = (V, E). Pokazać, że:
a) jeśli #V > 1, to istnieją różne wierzchołki x, y ∈ V , t.że dG (x) = dG (y),
b) suma stopni wszystkich wierzchołków jest liczbą parzystą,
c) liczba wierzchołków o nieparzystym stopniu jest parzysta.
3. Narysować (o ile to możliwe) grafy o następujących ciągach stopni wierzchołków:
a) 2,2,3,3,3 b) 3,3,4,4,4 c) 1,2,3,4,4 d) 1,2,2,3,4,4 e) 1,1,2,2,3,3,4,4.
4. Podać przykład dwóch nieizomorficznych grafów G1 = (V, E1 ) oraz G2 = (V, E2 ),
w których dG1 (v) = dG2 (v) dla każdego v ∈ V .
5. Wyznaczyć wszystkie (nieizomorficzne) grafy o 4 wierzchołkach.
6. Pokazać, że jeśli w grafie G = (V, E) każdy wierzchołek:
a) ma stopień nie mniejszy niż 2, to G zawiera cykl,
b) ma parzysty stopień, to w G istnieje zbiór cykli zawierający każdą krawędź z E
dokładnie raz.
7. Dowieść, że jeśli graf G jest spójny oraz każdy jego wierzchołek ma stopień nie
większy niż 2, to G jest cyklem lub ścieżką.
8. Niech G = (V, E) będzie grafem spójnym oraz e ∈ E. Pokazać, że graf (V, E \ {e})
jest spójny wtedy i tylko wtedy, gdy e jest krawędzią w pewnym cyklu grafu G.
9. Dany jest graf G = (V, E), w którym #V = n. Pokazać, że:
a) jeśli G jest spójny, to #E ­ n − 1,
b) jeśli #E > 12 (n − 1)(n − 2), to G jest spójny.
10. Dowieść, że dla grafu G = (V, E) o k składowych spójnych zachodzą nierówności:
1
#V − k ¬ #E ¬ (#V − k)(#V − k + 1)
2
Pokazać, że powyższe oszacowania są ostre (podając odpowiednie przykłady).
11. Dopełnieniem grafu G = (V, E) nazywamy graf Ḡ = (V, Ē), w którym e ∈ Ē ⇔
e∈
/ E. Pokazać, że:
a) G oraz Ḡ nie mogą być jednocześnie niespójne,
b) jeśli G jest izomorficzny z Ḡ, to #V = 0 lub 1 (mod 4),
c) podać przykład grafu G izomorficznego ze swoim dopełnieniem.
12. Udowodnić, że wszystkie grafy o n wierzchołkach, których każdy wierzchołek ma
stopień n − 2 są izomorficzne.