W(a, x)

Transkrypt

W(a, x)

Modelowanie matematyczne
dr inż. Zbigniew Tarapata
Wykład nr 4: Modele w warunkach rozmytości, nieokreśloności i symulacyjne
Założenie:
W(a, x) – jednoelementowy zbiór wskaźników
w ∈ W(a, x)
Przypadek, gdy w ∈ W(a, x) jest zbiorem rozmytym:
Podejście wg Bellmana, Zadeha
D D
D
(
)
,
a
,
A Ω
Y (a ) – nierozmyte zbiory wartości danych, zmiennych
decyzyjnych i wskaźników;
Ω(a ), Y(a ) – rozmyte zbiory wartości zmiennych decyzyjnych
i wskaźników;
Mechanizm realizacji decyzji nierozmytej:
o
o
ha : Ω ( a ) → Y ( a )
Wskaźnik liczbowy (funkcja przynależności do przecięcia zbiorów
rozmytych zmiennych decyzyjnych i wskaźników):
µ (x *) = max
min{g a ( x ), f a (h( x ))}
o
x∈Ω ( a )
gdzie: ga, fa - funkcje przynależności elementów do zbiorów Ω(a), Y(a).
PRZYKŁAD:
Spośród mało licznych grup pracowników chcemy wybrać grupę
dużej wydajności.
D
D
Ω (a ) = {1,2,3,4}, Y (a ) = {7,12,15,30}
Nr grupy
1 2 3 4 Niech zbiór rozmyty „małych
Liczność
1 3 2 5 liczności grup” ma postać:
Wydajność ha 30 15 12 7 
9
1
1
1 / 1, 2 / 1, 3 / , 4 / , 5 / 
10
2
7

a zbiór rozmyty „dużych wydajności”:
1
1

7 / 0, 12 / 0, 15 / , 30 /  .
8
3

Stąd
rozmyty
1 2 3 4 Przypadek,
gdy W ∈ zbiór
W(a, x)Ω(a)
jest
dopuszczalnych
decyzji
jest
1 9/10 1 1/7 zbiorem
liczbowym:
następujący:
30 15 12 7
x
ga (x)
ha (x)
fa (ha (x)) 1/3 1/8
µ(x)
1/3 1/8
0
0
0
0
9
1

1 / 1, 2 / , 3 / 1, 4 / 
10
7

1
Przypadek, gdy w ∈ W(a, x) jest zbiorem liczbowym:

kryterium pesymisty (Walda):
1 gdy max min W (a, x )
x∈Ω ( a )

Ea W = 
0 w p.p.

( )
Decyzja:
nie uczyć się bo:
max {min{10,-10}; min{-5,0}} =
= max{-10, -5}= -5
odpowiada
decyzji nr 2
sytuacja
nie
zapyta
decyzja
zapyta
1. uczyć się 10
-10
2. nie uczyć
-5
0
się

kryterium optymisty:
1 gdy max W = max max W (a, x )

x ∈ Ω a 
Ea W = 
0 w p.p.

( )
Decyzja:
uczyć się, bo:
max {max{10, -10} , max{-5, 0}} = max {10, 0} = 10
odpowiada decyzji nr 1

kryterium Hurwicza:
α – współczynnik optymizmu

1 gdy α max W + (1 − α ) min W =

E a W =  = max [α max W (a, x ) + (1 − α ) min W (a, x )]
x∈Ω(a )

0 w p.p.

( )
Można pokazać, że dla danych z powyższej tabeli:
1
3
nie uczyć się < α qr = < uczyć się
2
kryterium żalu (Savage’a)

w ( x, a, b )
sytuacja
dane
wskaźnik
decyzja
Rozumowanie decydenta:
Gdybym znał b, to podjąłbym decyzję x*, taką że:
(
)
w x * , a, b =
max w( x, a, b )
x ∈ Ω( a )
ale ponieważ nie znałem b i podjąłem decyzję x, więc mój „żal”
z tego powodu wynosi:
w s ( x, a, b ) = w x * , a, b  − w( x, a, b )


s
Dla w stosuje się kryterium pesymisty.
-10
10
10
0
0
-5
15
0
Ponieważ interesuje nas to, aby żal był
jak najmniejszy, więc naszą decyzją
będzie decyzja nr 1, tzn. uczyć się, bo
max {0, 10} < max {15, 0}.
3
PRZYKŁAD
Podejmujemy decyzję, czy iść do kina, teatru, czy muzeum.
Możemy trafić na dobry film lub spektakl, albo też słaby. Nie
wiemy tylko, czy muzeum jest otwarte.
Muzeum otwarte
dobry słaby
Film
20
4
Spektakl
13
10
Wystawa 12
12
max
20
12
Muzeum zamknięte
dobry słaby
Film
20
4
Spektakl
13
10
Wystawa
0
0
max
20
10
„Żal” odpowiadający
tabelki:
0
7
20
6
0
10
powyższym
sytuacjom
max Jeżeli muzeum jest zamknięte,
6 to idziemy do kina, w p.p. – do
teatru ?!!!!
7
20
przedstawiają
0
7
8
8
2
0
max
8
7
8
4
MODELE SYMULACYJNE
„pozwalają na drodze opisów matematycznych „naśladować”
zachowanie się obiektu obserwowanego z punktu widzenia
określonego problemu”

są to modele badawcze z czasem, w którym zbiór zmiennych X
(tzw. opisowych) dzieli się na 3 rozłączne podzbiory:
• zmiennych wejściowych (ich wartości są ustalone niezależnie
od zachowania się obiektu rzeczywistego); Xwe;
• zmiennych stanu (ich wartości opisują wybrane cechy obiektu
zmieniające się w czasie); Xst, Xwy;
• podzbiór jednoelementowy opisujący czas:

D
X = X we ∪ X st ∪ { t, T }
X we ∩ X st = ∅ X wy ⊂ X st
Zbiory dopuszczalnych
zmiennych wejściowych
zmiennych wyjściowych
zestawów wartości, odpowiednio:
X we , zmiennych stanu X st oraz
X wy , mogą być funkcjami czasu
D
określonymi w zbiorze R .
W modelach symulacyjnych definiuje się dwie funkcje:
•
przejścia stanu δ,
•
wyjściową λ.
δ : Xst × XWe ×T ×T → Xst ×T
Wartość δ(x, y, t, h) jest zestawem wartości zmiennych stanu
chwili t+h.
λ : Xst × Xwe ×T → Xwy ×T
Wartość λ(x, y, t) jest zestawem wartości zmiennych wyjściowych
w chwili t.
5