Matematyka dla informatyków

Matematyka dla informatyków
Ćwiczenia 9
1
Grupa permutacji Sn
Zadanie 1. Składanie permutacji. Oblicz: (a) (13)(123), (b) (123)(13).
Zadanie 2. Podaj typ cykliczny następujących permutacji w S9 :
(a) (12345)(67)(89), (b) (1497)(23)(56), (c) (12)(46), (d) (1).
Zadanie 3 ( ). Ile permutacji w S3 ma następujący typ:
(a) z13 , (b) z1 z2 , (c) z12 z2 , (d) z3 ?
2
Grupa symetrii Cn oraz Dn
Zadanie 4. Weźmy kwadrat o wierzchołkach 1, 2, 3, 4. Niech ρ oznacza obrót kwadratu o 90◦
względem jego środka symetrii. Mamy wtedy 4 symetrie: id, ρ, ρ2 , ρ3 , które tworzą C4 z operacją składania symetrii ◦. Przedstaw na rysunku jak każde z powyższych symetrii przekształca
punkty kwadratu.
Zadanie 5. Dla każdej symetrii z C4 działającej na wierzchołki kwadratu podaj odpowiadającą
permutację z S4 oraz podaj jej typ cykliczny.
Zadanie 6. Weźmy kwadrat o wierzchołkach 1, 2, 3, 4. Niech ρ oznacza obrót o 90◦ oraz σ odbicie
względem osi poziomej. Mamy wtedy 8 następujących symetrii kwadratu: id, ρ, ρ2 , ρ3 , σ, ρσ, ρ2 σ, ρ3 σ,
które tworzą D4 . Przedstaw na rysunku jak każde z powyższych symetrii przekształca punkty
kwadratu. Następnie stowarzysz z nią permutację z S4 oraz podaj jej typ.
Zadanie 7. Pokaż jak grupa obrotów C4 działa na krawędzie kwadratu.
Zadanie 8. W jaki sposób następujące izometrie przekształcają wierzchołki oraz krawędzie
kwadratu?
a) σρ,
b) σ 2 ρ2 ,
c) ρσρ,
d) σρσ.
Zadanie 9 ( ). Wypisz wszystkie symetrie pięciokąta foremnego. Dla każdej z nich przypisz
permutację, która działa na zbiorze wierzchołków {1, 2, . . . , 5} oraz podaj jej typ. Zrób to samo
dla krawędzi pięciokąta foremnego.
1