Pochodna funkcji - Katedra Matematyki, Politechnika Białostocka
Transkrypt
Pochodna funkcji - Katedra Matematyki, Politechnika Białostocka
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Budownictwo, sem. I, rok. akad. 2008/2009 Pochodna funkcji – str. 1/57 Iloraz różnicowy Niech x0 ∈ R oraz niech funkcja f b˛edzie określona przynajmniej na przedziale (x0 − r, x0 + r), gdzie r > 0. Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x0 odpowiadajacym ˛ przyrostowi h, gdzie 0 < |h| < r, nazywamy liczb˛e f (x0 + h) − f (x0 ) . h Budownictwo, sem. I, rok. akad. 2008/2009 Pochodna funkcji – str. 2/57 Interpretacja geometryczna ilorazu różnicowego Iloraz różnicowy jest równy tangensowi kata ˛ nachylenia siecznej przechodzacej ˛ przez punkty (x0 , f (x0 )) oraz (x0 + h, f (x0 + h)) do dodatniej półosi Ox. y y = f (x) f (x0 + h) ∆f = f (x0 + h) − f (x0 ) α f (x0 ) ∆f tg α = ∆x ∆x = h x0 x0 + h x Budownictwo, sem. I, rok. akad. 2008/2009 Pochodna funkcji – str. 3/57 Pochodna funkcji w punkcie Niech x0 ∈ R oraz niech funkcja f b˛edzie określona przynajmniej na przedziale (x0 − r, x0 + r), gdzie r > 0. Jeżeli istnieje skończona granica f (x0 + h) − f (x0 ) . lim h→0 h to nazywamy ja˛ pochodna˛ funkcji f w punkcie x0 i oznaczamy f 0 (x0 ) . Mówimy wtedy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0 . Jeżeli granica ilorazu różnicowego w punkcie x0 nie istnieje lub jest nieskończona, to mówimy, że funkcja f nie jest różniczkowalna w punkcie x0 . Budownictwo, sem. I, rok. akad. 2008/2009 Pochodna funkcji – str. 4/57 Pochodna funkcji w punkcie f (x0 + h) − f (x0 ) f (x0 ) = lim h→0 h def 0 m f (x) − f (x0 ) f (x0 ) = x→x lim 0 x − x0 def 0 Przykład: Niech f (x) = x2 . Wtedy 0 def (x0 +h)2 −x20 lim h h→0 0 def x2 −x20 lim x→x0 x−x0 f (x0 ) = f (x0 ) = = 2x0 h+h2 lim h h→0 = x→x lim 0 = 2x0 lub (x−x0 )·(x+x0 ) x−x0 = 2x0 Budownictwo, sem. I, rok. akad. 2008/2009 Pochodna funkcji – str. 5/57 Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych (c)0 = 0 , gdzie c ∈ R. (xp )0 = pxp−1 , dla p ∈ R, zakres zmienności x zależy od p. 1 x !0 1 = − 2 , x ∈ R \ {0}. x √ 0 1 x = √ , x ∈ R+ . 2 x (sin x)0 = cos x , x ∈ R. (cos x)0 = − sin x , x ∈ R. Budownictwo, sem. I, rok. akad. 2008/2009 Pochodna funkcji – str. 6/57 Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych π 1 , x 6= + kπ, k ∈ Z. (tg x) = 2 cos x 2 0 1 (ctg x) = − 2 , x 6= kπ, k ∈ Z. sin x 0 (ax )0 = ax ln a , a > 0, x ∈ R. (ex )0 = ex , x ∈ R. 1 , x > 0 i 0 < a 6= 1. (loga x) = x ln a 0 1 (ln x) = , x > 0. x 0 Budownictwo, sem. I, rok. akad. 2008/2009 Pochodna funkcji – str. 7/57 Prosta styczna do wykresu funkcji Niech x0 ∈ R oraz niech funkcja ciagła ˛ f b˛edzie określona przynajmniej na przedziale (x0 − r, x0 + r), gdzie r > 0. Prosta jest styczna do wykresu funkcji f w punkcie (x0 , f (x0 )), jeżeli jest granicznym położeniem siecznych wykresu funkcji przechodzacych ˛ przez punkty (x0 , f (x0 )) i (x, f (x)), gdy x → x0 . y y = f (x) f (x) sieczne styczna f (x0 ) x0 ←− x Budownictwo, sem. I, rok. akad. 2008/2009 x Pochodna funkcji – str. 8/57 Interpretacja geometryczna pochodnej Pochodna funkcji w punkcie x0 jest równa tangensowi kata ˛ nachylenia stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x0 , f (x0 )) do dodatniej półosi Ox. y y = f (x) styczna f (x0 ) tg α = f 0 (x0 ) α x0 x Równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x0 , f (x0 )): y = f 0 (x0 )(x − x0 ) + f (x0 ) . Budownictwo, sem. I, rok. akad. 2008/2009 Pochodna funkcji – str. 9/57 Przykład Niech f (x) = ex . Wówczas równanie stycznej do wykresu funkcji f w x0 = 0 ma postać: y = x + 1 . y y = ex y =x+1 (0, 1) x Budownictwo, sem. I, rok. akad. 2008/2009 Pochodna funkcji – str. 10/57 Przykład Niech f (x) = sin x. Wówczas równanie stycznej do wykresu funkcji f w x0 = π ma postać: y = π − x . 1 −π y y = sin x π -1 2π 3π 4π x y =π−x Budownictwo, sem. I, rok. akad. 2008/2009 Pochodna funkcji – str. 11/57 Pochodna funkcji na przedziale Funkcja ma pochodna˛ na przedziale I otwartym wtedy i tylko wtedy, gdy ma pochodna˛ w każdym punkcie tego przedziału. Funkcj˛e określona˛ na przedziale I, której wartości w punktach x tego przedziału sa równe f 0 (x) nazywamy pochodna˛ funkcji f na przedziale I i oznaczamy symbolem f 0 . f 0 : x 7→ f 0 (x) , x ∈ I. Budownictwo, sem. I, rok. akad. 2008/2009 Pochodna funkcji – str. 12/57 Działania arytmetyczne na pochodnych funkcji Jeżeli funkcje f i g sa różniczkowalne w punkcie x0 , to: (f + g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) + g 0 (x0 ) . (f − g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) − g 0 (x0 ) . (f · g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) · g(x0 ) + f (x0 ) · g 0 (x0 ) . f g !0 f 0 (x0 ) · g(x0 ) − f (x0 ) · g 0 (x0 ) , o ile g(x0 ) 6= 0. (x0 ) = 2 g (x0 ) Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0 , zaś c ∈ R, to (cf )0 (x0 ) = cf 0 (x0 ) . Budownictwo, sem. I, rok. akad. 2008/2009 Pochodna funkcji – str. 13/57 Przykład 1 √ 1 1 0 3 f (x) = x + 3x − + x ⇒ f (x) = 4x + 6x + 2 + √ x x 2 x 4 2 g(x) = sin x · ctg x , x 6= kπ, k ∈ Z, ⇒ 1 1 0 g (x) = cos x ctg x + sin x − 2 = cos x ctg x − sin x sin x x2 − 1 h(x) = 2 , x ∈ R, ⇒ x +1 2 2 2x · (x 4x + 1) − (x − 1) · 2x 0 h (x) = = 2 2 2 (x + 1) (x + 1)2 Budownictwo, sem. I, rok. akad. 2008/2009 Pochodna funkcji – str. 14/57 Twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0 oraz funkcja g jest różniczkowalna w punkcie f (x0 ), to funkcja g ◦ f jest różniczkowalna w punkcie x0 oraz (g ◦ f )0 (x0 ) = g 0 (f (x0 )) · f 0 (x0 ) . Przykład: f (x) = sin3 x ⇒ f 0 (x) = 3 sin2 x · cos x g(x) = (3x2 + x + 2)5 , ⇒ g 0 (x) = 5(3x2 + x + 2)4 · (6x + 1) Budownictwo, sem. I, rok. akad. 2008/2009 Pochodna funkcji – str. 15/57 Postać logarytmiczno–wykładnicza funkcji Każda˛ funkcj˛e złożona˛ postaci [f (x)]g(x) można przedstawić w postaci logarytmiczno–wykładniczej: [f (x)]g(x) = eg(x)·ln f (x) . Postać logarytmiczno–wykładnicza˛ stosujemy do obliczania pochodnych funkcji danych w postaci [f (x)]g(x) . Przykład: f (x) = xx = ex ln x ⇒ f 0 (x) = ex ln x · (ln x + x · x1 ) = xx · (ln x + 1) Budownictwo, sem. I, rok. akad. 2008/2009 Pochodna funkcji – str. 16/57 Twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej Niech x0 ∈ Df . Niech f b˛edzie funkcja˛ ciagł ˛ a˛ i różnowartościowa˛ w otoczeniu punktu x0 oraz taka,˛ że f 0 (x0 ) 6= 0. Wówczas f −1 0 1 , (y0 ) = 0 f (x0 ) gdzie y0 = f (x0 ). Budownictwo, sem. I, rok. akad. 2008/2009 Pochodna funkcji – str. 17/57 Pochodne funkcji cyklometrycznych 1 (arc sin x) = √ , x ∈ (−1, 1). 2 1−x 0 1 (arc cos x) = − √ , x ∈ (−1, 1). 2 1−x 0 1 (arc tg x) = , x ∈ R. 2 1+x 0 1 (arc ctg x) = − , x ∈ R. 2 1+x 0 Budownictwo, sem. I, rok. akad. 2008/2009 Pochodna funkcji – str. 18/57 Różniczka funkcji Niech funkcja f b˛edzie określona na otoczeniu punktu x0 . Ponadto niech funkcja f ma pochodna˛ właściwa˛ (jest różniczkowalna) w punkcie x0 . Różniczka˛ funkcji f w punkcie x0 nazywamy funkcj˛e zmiennych ∆x określona˛ wzorem: def df (x0 )(∆x) = f 0 (x0 ) · ∆x . Różniczk˛e funkcji f oznacza si˛e także przez df (x0 ) lub krótko df . Budownictwo, sem. I, rok. akad. 2008/2009 Pochodna funkcji – str. 19/57 Różniczka i obliczenia przybliżone Niech funkcja f b˛edzie różniczkowalna w punkcie x0 . Wtedy f (x0 + ∆x) ≈ f (x0 ) + f 0 (x0 ) · ∆x , przy czym bład ˛ jaki popełniamy zast˛epujac ˛ przyrost funkcji ∆f jej różniczka˛ df = f 0 (x)∆x da˛ży szybciej do zera niż ∆x, tzn. ∆f − df =0. lim ∆x→0 ∆x Budownictwo, sem. I, rok. akad. 2008/2009 Pochodna funkcji – str. 20/57 Różniczka i obliczenia przybliżone y y = f (x) ∆f df f (x0 ) ∆x x0 Budownictwo, sem. I, rok. akad. 2008/2009 x Pochodna funkcji – str. 21/57 Przykład Wykorzystujac ˛ różniczk˛e obliczymy wartość przybliżona˛ √ wyrażenia 15,96 . √ Definiujemy funkcj˛e f (x) = x . Przyjmujemy x0 = 16 ⇒ ∆x = −0,04. 1 df 0 Ponieważ = f (x) = √ ,wi˛ec dx 2 x √ √ 15,96 ≈ 16 + 2√116 · (−0,04) = 3,995 . Budownictwo, sem. I, rok. akad. 2008/2009 Pochodna funkcji – str. 22/57 Zastosowanie różniczki funkcji do szacowania bł˛edów pomiarów Niech wielkości fizyczne x i y b˛eda˛ zwiazane ˛ zależnościa˛ y = f (x). Ponadto niech ∆x oznacza bład ˛ bezwzgl˛edny pomiaru wielkości x. Wtedy bład ˛ bezwzgl˛edny ∆y obliczeń wielkości y wyraża si˛e wzorem przybliżonym ∆y ≈ |f 0 (x0 )| ∆x , gdzie x0 jest wynikiem pomiaru wielkości x, przy czym f 0 (x0 ) jest właściwa. Budownictwo, sem. I, rok. akad. 2008/2009 Pochodna funkcji – str. 23/57 Przykład Czas w biegu na 100 m mierzy si˛e z dokładnościa˛ ∆t = 0,01 s. Zawodnik uzyskał 10 s. Z jaka˛ w przybliżeniu dokładnościa˛ można obliczyć pr˛edkość V tego zawodnika? 100 100 0 , wi˛ec V (t) = − 2 , wi˛ec Ponieważ V = t t ∆V ≈ |V 0 (10)| · ∆t = 100 − · 0,01 102 m = 0,01 . s Budownictwo, sem. I, rok. akad. 2008/2009 Pochodna funkcji – str. 24/57 Zwiazek ˛ różniczkowalności z ciagłości ˛ a˛ funkcji Twierdzenie: Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0 , to jest w tym punkcie ciagła. ˛ Uwaga: Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Na przykład funkcja f (x) = |x| jest ciagła ˛ w punkcie x0 = 0, ale f 0 (0) nie istnieje. y 2 -4 -2 y = |x| 2 x Budownictwo, sem. I, rok. akad. 2008/2009 Pochodna funkcji – str. 25/57 Zwiazek ˛ różniczkowalności z monotonicznościa˛ funkcji Twierdzenie: Niech I oznacza dowolny przedział. Jeżeli dla każdego x ∈ I funkcja f spełnia warunek: f 0 (x) = 0, to funkcja f jest stała na I; f 0 (x) > 0, to funkcja f jest rosnaca ˛ na I; f 0 (x) > 0, to funkcja f jest niemalejaca ˛ na I; f 0 (x) < 0, to funkcja f jest malejaca ˛ na I; f 0 (x) 6 0, to funkcja f jest nierosnaca ˛ na I. Budownictwo, sem. I, rok. akad. 2008/2009 Pochodna funkcji – str. 26/57 Pochodne wyższych rz˛edów Pochodne n-tego rz˛edu funkcji f w punkcie x0 definiujemy indukcyjnie 0 f (n) (x0 ) = f (n−1) (x0 ) , dla n > 1. Przyjmujemy, że f (0) (x0 ) = f (x0 ) i f (1) (x0 ) = f 0 (x0 ). Piszemy: f (2) = f 00 , f (3) = f 000 , f (4) = f IV lub f (1) = f˙, f (2) = f¨ lub n d f (n) f = n. dx Budownictwo, sem. I, rok. akad. 2008/2009 Pochodna funkcji – str. 27/57 Definicja minimum funkcji Funkcja f ma w punkcie x0 ∈ Df minimum lokalne, jeżeli _ ^ f (x) > f (x0 ) . δ>0 x∈S(x0 ,δ) Funkcja f ma w punkcie x0 ∈ Df minimum lokalne właściwe, jeżeli _ ^ f (x) > f (x0 ) . δ>0 x∈S(x0 ,δ) Budownictwo, sem. I, rok. akad. 2008/2009 Pochodna funkcji – str. 28/57 Definicja maksimum funkcji Funkcja f ma w punkcie x0 ∈ Df maksimum lokalne, jeżeli _ ^ f (x) 6 f (x0 ) . δ>0 x∈S(x0 ,δ) Funkcja f ma w punkcie x0 ∈ Df maksimum lokalne właściwe, jeżeli _ ^ f (x) < f (x0 ) . δ>0 x∈S(x0 ,δ) Budownictwo, sem. I, rok. akad. 2008/2009 Pochodna funkcji – str. 29/57 Ekstrema funkcji Minima i maksima lokalne nazywamy EKSTREMAMI LOKALNYMI. Budownictwo, sem. I, rok. akad. 2008/2009 Pochodna funkcji – str. 30/57 Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej Twierdzenie (Fermata): Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0 oraz posiada ekstremum lokalne w tym punkcie, to f 0 (x0 ) = 0 . Uwaga: Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Na przykład dla funkcji f (x) = x3 mamy f 0 (0) = 0, a f nie ma ekstremum w punkcie x0 = 0. y y = x3 x Budownictwo, sem. I, rok. akad. 2008/2009 Pochodna funkcji – str. 31/57 Warunek dostateczny istnienia maksimum funkcji różniczkowalnej Twierdzenie: Niech x0 ∈ R i f b˛edzie funkcja˛ określona˛ przynajmniej w otoczeniu punktu x0 , ciagła ˛ w punkcie x0 i różniczkowalna przynajmniej w sasiedztwie ˛ punktu x0 . Jeżeli istnieje δ > 0 takie, że ^ x∈(x0 −δ,x0 ) f (x) > 0 oraz 0 ^ f 0 (x) < 0 x∈(x0 ,x0 +δ) to w punkcie x0 funkcja f ma maksimum lokalne właściwe. Budownictwo, sem. I, rok. akad. 2008/2009 Pochodna funkcji – str. 32/57 Warunek dostateczny istnienia minimum funkcji różniczkowalnej Twierdzenie: Niech x0 ∈ R i f b˛edzie funkcja˛ określona˛ przynajmniej w otoczeniu punktu x0 , ciagł ˛ a˛ w punkcie x0 i różniczkowalna˛ przynajmniej w sasiedztwie ˛ punktu x0 . Jeżeli istnieje δ > 0 takie, że ^ x∈(x0 −δ,x0 ) f (x) < 0 oraz 0 ^ f 0 (x) > 0 x∈(x0 ,x0 +δ) to w punkcie x0 funkcja f ma minimum lokalne właściwe. Budownictwo, sem. I, rok. akad. 2008/2009 Pochodna funkcji – str. 33/57 II warunek dostateczny istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej Twierdzenie: Niech x0 ∈ R i f b˛edzie funkcja˛ określona˛ przynajmniej w otoczeniu punktu x0 . Jeżeli ① f 0 (x0 ) = f 00 (x0 ) = . . . = f (n−1) (x0 ) = 0 , ② f (n) (x0 ) 6= 0 , ˛ w punkcie x0 to, gdy n > 2 jest parzyste , funkcja f osiaga ekstremum lokalne właściwe, przy czym jest to minimum, gdy f (n) (x0 ) > 0, zaś maksimum gdy f (n) (x0 ) < 0. Gdy n jest nieparzyste, ekstremum nie wyst˛epuje. Budownictwo, sem. I, rok. akad. 2008/2009 Pochodna funkcji – str. 34/57 Minimum globalne Liczba m jest najmniejsza˛ wartościa˛ funkcji f na zbiorze A ⊆ Df , jeżeli istnieje punkt x0 ∈ A, taki że f (x0 ) = m i dla każdego x ∈ A f (x) > f (x0 ) = m . Liczb˛e m nazywamy minimum globalnym funkcji f na zbiorze A. Budownictwo, sem. I, rok. akad. 2008/2009 Pochodna funkcji – str. 35/57 Maksimum globalne Liczba M jest najwi˛eksza˛ wartościa˛ funkcji f na zbiorze A ⊆ Df , jeżeli istnieje punkt x0 ∈ A, taki że f (x0 ) = M i dla każdego x ∈ A f (x) 6 f (x0 ) = M . Liczb˛e M nazywamy maksimum globalnym funkcji f na zbiorze A. Budownictwo, sem. I, rok. akad. 2008/2009 Pochodna funkcji – str. 36/57 Ekstrema globalne Minimum i maksimum globalne nazywamy EKSTREMAMI GLOBALNYMI. Budownictwo, sem. I, rok. akad. 2008/2009 Pochodna funkcji – str. 37/57 Ekstrema globalne Niech A = ha, bi ⊆ R i f : A → R. Niech f ma pochodna˛ właściwa˛ lub niewłaściwa˛ poza skończona˛ liczba˛ punktów przedziału A. Ponadto niech f ma skończona˛ liczb˛e punktów krytycznych, tzn. punktów xk , w których f 0 (xk ) = 0 lub f 0 (xk ) nie istnieje. Jeżeli f jest funkcja˛ ciagł ˛ a˛ na domkni˛etym i ograniczonym zbiorze A, to funkcja f osiaga ˛ na A wartość najmniejsza˛ i najwi˛eksza.˛ Budownictwo, sem. I, rok. akad. 2008/2009 Pochodna funkcji – str. 38/57 Algorytm znajdowania ekstremów globalnych funkcji Niech A = ha, bi ⊆ R i f : A → R. Niech f ma pochodna˛ właściwa˛ lub niewłaściwa˛ poza skończona˛ liczba˛ punktów przedziału A. Ponadto niech f ma skończona˛ liczb˛e punktów krytycznych, tzn. punktów xk , w których f 0 (xk ) = 0 lub f 0 (xk ) nie istnieje. Ekstremów globalnych funkcji f na przedziale A szukamy post˛epujac ˛ według algorytmu: Znajdujemy wszystkie punkty krytyczne wewnatrz ˛ przedziału A i obliczmy wartości funkcji w tych punktach. Obliczmy f (a) i f (b). Porównujemy otrzymane wartości funkcji znajdujac ˛ wartość najmniejsza˛ i najwi˛eksza.˛ Budownictwo, sem. I, rok. akad. 2008/2009 Pochodna funkcji – str. 39/57 Przykład Niech f : A ⊂ R → R i gdzie A = h0, 3i. f (x, y) = |x − 1|, x = 1 jest punktem krytycznym funkcji f , gdyż f 0 (1) nie istnieje. Wtedy f (1) = 00. f (0) = 1 i f (3) = 22. Wówczas m = fnajmniejsze = 0 i M = fnajwiększe = 2. Budownictwo, sem. I, rok. akad. 2008/2009 Pochodna funkcji – str. 40/57 Zastosowanie pochodnych do obliczanie granic funkcji Twierdzenie (Reguła de l’Hospitala): Niech funkcje f i g spełniaja˛ warunki: ˛ punktu x0 ¬ funkcje f ,g i f 0 , g 0 b˛eda˛ określone w sasiedztwie ¬ lim f (x) = lim g(x) = 0 albo lim f (x) = lim g(x) = ∞ x→x0 x→x0 x→x0 x→x0 f 0 (x) ® istnieje granica x→x lim 0 =a. 0 g (x) f (x) Wówczas istnieje granica x→x lim oraz 0 g(x) f (x) lim =a. x→x0 g(x) Powyższe twierdzenie jest prawdziwe również dla granic jednostronnych, niewłaściwych oraz dla granic w +∞ lub w −∞. Budownictwo, sem. I, rok. akad. 2008/2009 Pochodna funkcji – str. 41/57 Funkcja wypukła Funkcje f nazywamy wypukła˛ na przedziale (a, b) ⊆ R wtedy i tylko wtedy, gdy ^ ^ a<x1 <x2 <b 0<t<1 f (tx1 + (1 − t)x2 ) < tf (x1 ) + (1 − t)f (x2 ) . Uwaga: Geometrycznie funkcja jest wypukła, jeżeli każdy odcinek siecznej wykresu leży powyżej fragmentu wykresu położonego miedzy punktami, przez które przechodzi sieczna. Budownictwo, sem. I, rok. akad. 2008/2009 Pochodna funkcji – str. 42/57 Funkcja wkl˛esła Funkcje f nazywamy wkl˛esła˛ na przedziale (a, b) ⊆ R wtedy i tylko wtedy, gdy ^ ^ a<x1 <x2 <b 0<t<1 f (tx1 + (1 − t)x2 ) > tf (x1 ) + (1 − t)f (x2 ) . Uwaga: Geometrycznie funkcja jest wkl˛esła, jeżeli każdy odcinek siecznej wykresu leży poniżej fragmentu wykresu położonego miedzy punktami, przez które przechodzi sieczna. Budownictwo, sem. I, rok. akad. 2008/2009 Pochodna funkcji – str. 43/57 Warunki wystarczajace ˛ wypukłości i wkl˛esłości Twierdzenie: Jeżeli f 00 (x) > 0 dla każdego x ∈ (a, b), to funkcja f jest wypukła na (a, b). Twierdzenie: Jeżeli f 00 (x) < 0 dla każdego x ∈ (a, b), to funkcja f jest wkl˛esła na (a, b). Budownictwo, sem. I, rok. akad. 2008/2009 Pochodna funkcji – str. 44/57 Punkt przegi˛ecia wykresu funkcji Niech funkcja f b˛edzie określona i różniczkowalna przynajmniej w otoczeniu punktu x0 . Punkt (x0 , f (x0 )) nazywamy punktem przegi˛ecia wykresu funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba δ > 0, taka że funkcja f jest wypukła na (x0 − δ, x0 ) oraz wkl˛esła na (x0 , x0 + δ) lub odwrotnie. Warunek konieczny istnienia punktu przegi˛ecia: Twierdzenie: Jeżeli funkcja f posiada pochodna˛ drugiego rz˛edu w punkcie x0 oraz posiada w punkcie (x0 , f (x0 )) punkt przegi˛ecia, to f 00 (x0 ) = 0. Budownictwo, sem. I, rok. akad. 2008/2009 Pochodna funkcji – str. 45/57 Warunek dostateczny istnienia punktu przegi˛ecia Twierdzenie: Niech x0 ∈ R i f b˛edzie funkcja˛ określona˛ przynajmniej w otoczeniu punktu x0 , ciagł ˛ a˛ i różniczkowalna˛ w punkcie x0 . Jeżeli istnieje δ > 0 takie, że ^ f (x) < 0 oraz ^ f (x) > 0 oraz 00 x∈(x0 −δ,x0 ) ^ f 00 (x) > 0 ^ f 00 (x) < 0 x∈(x0 ,x0 +δ) lub x∈(x0 −δ,x0 ) 00 x∈(x0 ,x0 +δ) to w punkcie (x0 , f (x0 )) funkcja f ma punkt przegi˛ecia. Budownictwo, sem. I, rok. akad. 2008/2009 Pochodna funkcji – str. 46/57 II warunek dostateczny istnienia punktu przegi˛ecia Twierdzenie: Niech x0 ∈ R i f b˛edzie funkcja˛ określona˛ przynajmniej w otoczeniu punktu x0 . Jeżeli ① f 0 (x0 ) = f 00 (x0 ) = . . . = f (n−1) (x0 ) = 0 , ② f (n) (x0 ) 6= 0 , to, gdy n > 3 jest nieparzyste , funkcja f ma w punkcie (x0 , f (x0 )) punkt przegi˛ecia.. Budownictwo, sem. I, rok. akad. 2008/2009 Pochodna funkcji – str. 47/57 Pochodne a wykres funkcji f 00 + + – – + – f0 + – + – 0 0 min. lok max. lok f Uwaga: Jeżeli f 00 (x0 ) = 0 i f 000 (x0 ) 6= 0, to x0 jest punktem przegi˛ecia si˛e wykresu funkcji f . Budownictwo, sem. I, rok. akad. 2008/2009 Pochodna funkcji – str. 48/57 Badanie funkcji Przez badanie przebiegu zmienności funkcji i sporzadzanie ˛ jej wykresu rozumiemy wykonanie nast˛epujacych ˛ czynności: 1. Wyznaczenie dziedziny funkcji. 2. Wskazanie podstawowych własności: (a) parzystość lub nieparzystość (b) okresowość (c) miejsca zerowe funkcji (punkty przeci˛ecia wykresu funkcji z osia˛ OX) i punkty przeci˛ecia wykresu funkcji z osia˛ OY (d) ciagłość ˛ 3. Zbadanie zachowania si˛e funkcji na "ko ńcach" dziedziny - wyznaczenie asymptot wykresu funkcji. 4. Zbadanie pierwszej pochodnej - monotoniczność i ekstrema funkcji. 5. Zbadanie drugiej pochodnej - przedziały wkl˛esłości i wypukłości oraz punkty przegi˛ecia wykresu funkcji. 6. Sporzadzenie ˛ wykresu funkcji. Budownictwo, sem. I, rok. akad. 2008/2009 Pochodna funkcji – str. 49/57 Przykład Zbadać przebieg zmienności i naszkicować wykres funkcji f danej wzorem: x3 + 4 f (x) = . 2 x 1. Df = R \ {0} = (−∞, 0) ∪ (0, +∞). 2. Podstawowe własności funkcji f : (a) funkcja f nie jest ani parzysta ani nieparzysta. (b) f nie jest funkcja˛ okresowa.˛ √ 3 (c) f (x) = 0 ⇔ x + 4 = 0 ⇔ x = − 3 4, zatem √ P0 (− 3 4, 0) jest punktem przeci˛ecia wykresu funkcji z osia˛ OX; brak punktów przeci˛ecia wykresu funkcji z osia˛ OY . (d) f jest ciagła ˛ w swojej dziedzinie. Budownictwo, sem. I, rok. akad. 2008/2009 Pochodna funkcji – str. 50/57 Przykład c.d. 3. Ponieważ f (x) = 3 x3 +4 x2 x +4 4 lim = + = +∞, 2 x→0 x 0 " # wi˛ec prosta x = 0 jest asymptota˛ pionowa˛ obustronna˛ wykresu funkcji f . Ponieważ x3 + 4 lim = ±∞, 2 x→±∞ x wi˛ec wykres funkcji f nie ma asymptot poziomych. Budownictwo, sem. I, rok. akad. 2008/2009 Pochodna funkcji – str. 51/57 Przykład c.d. f (x) = x3 +4 x2 Zbadajmy istnienie asymptot ukośnych y = ax + b: 1 + x43 f (x) x3 + 4 = lim = 1, = lim a = lim 3 x→±∞ x x→±∞ x→±∞ x 1 " 3 x +4 −x b = lim [f (x) − ax] = lim 2 x→±∞ x→±∞ x " # 3 3 x +4−x 4 4 = lim = lim 2 = = 0. 2 x→±∞ x→±∞ x x ∞ # Istnieje wi˛ec jedna asymptota ukośna o równaniu y=x. Budownictwo, sem. I, rok. akad. 2008/2009 Pochodna funkcji – str. 52/57 Przykład c.d. f (x) = x3 +4 x2 4. Monotoniczność i ekstrema: 3 8 x −8 0 f (x) = 1 − 3 = , 3 x x 0 f (x) = 0 ⇔ x = 2. f f0 + 0 x 6= 0. − + 2 min. lok Ponadto fmin (2) = 3 . Budownictwo, sem. I, rok. akad. 2008/2009 Pochodna funkcji – str. 53/57 Przykład c.d. f (x) = x3 +4 x2 5. Wkl˛esłość i wypukłość: 24 f (x) = 4 , x 00 x 6= 0. Zauważmy, że dla każdego x 6= 0 mamy f 00 (x) > 0. f f 00 + + 0 Zatem wykres nie posiada punktów przegi˛ecia – jest to wykres wypukły. Budownictwo, sem. I, rok. akad. 2008/2009 Pochodna funkcji – str. 54/57 Przykład c.d. x f 00 f (x) = √ 3 −∞, − 4 √ −34 + + + + f0 x3 +4 x2 √ 3 − 4, 0 + + 0 (0, 2) 2 (2, +∞) × + + + × – 2 – +∞ f y=x 0 y=x +∞ × Budownictwo, sem. I, rok. akad. 2008/2009 3 Pochodna funkcji – str. 55/57 Przykład c.d. f (x) = 6. x3 +4 x2 y x3 + 4 y= x2 6 3 √ −34 -4 -2 2 4 6 x -3 Budownictwo, sem. I, rok. akad. 2008/2009 Pochodna funkcji – str. 56/57 Dzi˛ekuj˛e za uwag˛e Budownictwo, sem. I, rok. akad. 2008/2009 Pochodna funkcji – str. 57/57