Logika i relacje

Logika, relacje v.0.7 – egzamin mgr inf niestacj
1
1
Funktory i kwantyfikatory
∀x∈X Φ(x) – dla każdego x ∈ X (= dla wszystkich x) zachodzi formuła Φ(x)
∃x∈X Φ(x) – istnieje x ∈ X takie, że (= dla pewnego x) zachodzi formuła Φ(x)
p q
0
0
1
1
0
1
0
1
negacja
¬q
1−q
1
0
koniunkcja
p∧q
min(p, q)
p·q
0
0
0
1
alternatywa
p∨q
max(p, q)
implikacja
p⇒q
1 − p · (1 − q)
równoważność
p⇔q
1 − |p − q|
kreska Sheffera
p|q
¬(p ∧ q)
0
1
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
Uwaga: Spójnik Sheffera | (NAND) jest funktorem uniwersalnym tzn. z jego pomocą można
zdefiniować wszystkie funktory zdaniotwórcze (jedno-, dwu- i więcej argumentowe). Np. ¬q = q|q,
p ∧ q = (p|q)|(p|q). (Wystarczy używać bramek logicznych NAND, choć to nieekonomiczne).
Spójnik ⊕ (dodawanie modulo 2 =operacja XOR) jest często wykorzystywany w kryptografii;
np. jako one time pad (OTP).
Operator konsekwencji. Σ |= A ↔ ∀α∈A Σ |= α,
Σ |= α (α jest konsekwencją semantyczną zbioru zdań Σ) ↔ α jest prawdziwa dla wszystkich
wartościowań zmiennych, przy których zdania z Σ są prawdziwe,
|= α (α jest tautologią rachunku zdań) ↔ ∅ |= α (α jest prawdziwe przy wszystkich wartościowaniach zmiennych).
` α (α jest twierdzeniem syntaktycznym) ↔ daje się wyprowadzić za pomocą reguły modus
ponens
σ,
(MP) σ ⇒ τ
τ
z systemu 14 aksjomatów Hilberta dla funktorów klasycznego rachunku zdań (KRZ).
Twierdzenie o pełności: ` α ⇔ |= α.
Twierdzenie o rozstrzygalności: O każdym zdaniu klasycznego rachunku zdań (KRZ) można
rozstrzygnąć, czy jest tautologią (twierdzeniem KRZ).
Dowód: Wystarczy sprawdzić (w skończonej liczbie kroków), czy zdanie jest zawsze (=przy
wszystkich wartościowaniach) prawdziwe.
Przykłady teorii nierozstrzygalnych: 1. arytmetyka Peano liczb naturalnych oraz każda bazująca na niej teoria (Gödel & Cohen); np. twierdzenie Goodsteina jest nierozstrzygalne, ale można
je wyprowadzić w bogatszej teorii (dopuszczającej pewne nieskończone liczby porządkowe); 2.
teoria mnogości – m.in. ze względu na hipotezę continuum (CH).
W teorii nierozstrzygalnej nie ma algorytmu pozwalającego stwierdzić prawdziwość bądź
fałszywość dowolnego jej zdania.
2
Relacje
R ⊂ X1 × X2 × X3 × . . . × Xm – relacja m-członowa
Przykłady
1) (m = 3) X1 – kobiety, X2 – dzieci, X3 – mężczyźni;
(x1 , x2 , x3 ) ∈ R (x1 , x2 i x3 są ze sobą w relacji R) ⇔ x2 jest dzieckiem x1 i x3 .
2
Logika, relacje v.0.7 – egzamin mgr inf niestacj
2) (m = 4) X1 = X2 = X3 = X4 – zbiór odcinków na płaszczyźnie;
(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R ⇔ odcinki x1 , x2 , x3 i x4 są (różnymi) bokami (tego samego) czworokąta.
3) (m = 2) X1 = X2 – zbiór serwerów;
(x1 , x2 ) ∈ R ⇔ serwery x1 i x2 komunikowały się w tym roku, w któryś czwartek pomiędzy godz.
20 a 21.
4) (m = 2) X1 = X2 = {„kamień”, „nożyce”, „papier”}; (x1 , x2 ) ∈ R ⇔ x1 bije x2 .
5) (m = 2) X1 – dziedzina, X2 – przeciwdziedzina;
f : X1 → X2 (f jest funkcją z X1 do X2 ) ⇔ relacja f ⊂ X1 × X2 spełnia:
(i) (pełność dziedziny): ∀x∈X1 ∃y∈X2 (x, y) ∈ f ,
(ii) (prawostronna jednoznaczność): ∀x∈X1 ∀y,ŷ∈X2 [(x, y) ∈ f ∧ (x, ŷ) ∈ f ⇒ y = ŷ];
piszemy y = f (x) ↔ (x, y) ∈ f .
Dalej koncentrujemy się na przypadku relacji dwuczłonowych na tym samym zbiorze: m = 2,
X1 = X2 = X; piszemy x1 Rx2 ↔ (x1 , x2 ) ∈ R.
Def. Relacja R ⊂ X × X jest
(Z) zwrotna ⇔ ∀x∈X xRx,
(S) symetryczna ⇔ ∀x,x̂∈X [xRx̂ ⇒ x̂ ⇒ x],
(A) antysymetryczna ⇔ ∀x,x̂∈X [xRx̂ ∧ x̂Rx ⇒ x = x̂],
(P) przechodnia ⇔ ∀x,x̂,x̃∈X [xRx̂ ∧ x̂Rx̃ ⇒ xRx̃],
(L) spójna (= liniowa) ⇔ ∀x,x̂∈X (xRx̂ ∨ x̂Rx).
Słownie: (Z) „głosuję na siebie”, „ jestem nie gorszy od siebie”
(S) „ręka rękę myje”, ”Jak Kuba Bogu, tak Bóg Kubie”,
(A) „masz szefa i mu szefujesz? czyli to ty”, „ojciec swego ojca nie istnieje”,
(P) „klątwy się dziedziczą”, ”przyjaciele moich przyjaciół są moimi przyjaciółmi”,
(L) „albo my ich..., albo oni nas...”, „ktoś musi być gorszy”.
3
Relacja równoważności
∼⊂ X × X – relacja równoważności ⇔ ∼∈ (Z) ∩ (S) ∩ (P ).
Zbiór ilorazowy
[a]∼ = {x ∈ X : x ∼ a} – klasa abstrakcji elementu a (elementy podobne do a w sensie ∼);
X/∼ = {[a]∼ : a ∈ X} – zbiór ilorazowy (=zbiór klas abstrakcji);
S
[a]∼ , ∀a,â∈X ([a]∼ = [â]∼ ∨ [a]∼ ∩ [â]∼ = ∅).
(Zasada Abstrakcji) X =
a∈X
Słownie: relacja równoważności ∼ dzieli zbiór X na rozłączne klasy elementów.
Przykłady:
1. (Baza danych) X – zbiór osób w bazie danych
osoba
oczy
KL
niebieskie
JM
szare
ZR
zielone
AR niebieskie
włosy
szatyn
brunet
blond
blond
Logika, relacje v.0.7 – egzamin mgr inf niestacj
o
o
3
o
(a) x1 ∼ x2 ⇔ x1 i x2 mają ten sam kolor oczu. Np. (KL) ∼ (AR), ¬ (ZR) ∼ (AR),
w
w
w
(b) x1 ∼ x2 ⇔ x1 i x2 mają ten sam kolor włosów. Np. (ZR) ∼ (AR), ¬ (KL) ∼ (AR);
w = {AR, ZR} =, , blondyni”.
[AR]∼
Słownie: wyszukujemy ludzi posiadających tę samą cechę.
2. (Arytmetyka modularna) X = Z – zbiór liczb całkowitych; niech m ∈ Z, m > 1.
x1 ∼ x2 ⇔ m|x1 − x2 ⇔ x1 − x2 ∈ mZ ⇔ x1 i x2 dają tę samą resztę z dzielenia przez m;
piszemy: x1 ≡ x2 (mod m).
X/∼ = Z/mZ ∼
= Zm = {0, 1, . . . , m − 1} – reszty z dzielenia przez m;
S
Z=
[x]∼ = [0]∼ ∪[1]∼ ∪. . .∪[m−1]∼ – rozbicie na liczby dające różne reszty z dzielenia.
x∈Z
4
Relacja porządku
¬⊂ X × X – relacja (częściowego) porządku ⇔
¬⊂ X × X – relacja porządku liniowego
⇔
¬ ∈ (Z) ∩ (A) ∩ (P).
¬ ∈ (Z) ∩ (A) ∩ (P) ∩ (L).
Przykłady:
1) (Porządki liniowe)
(a) X – zbiór słów; x1 ¬ x2 ⇔ słowo x1 poprzedza w słowniku x2 (lub jest tym samym
słowem); np. lista osób.
(b) X = R, x1 6 x2 – zwykłe porównywanie liczb.
2) (Porządki częściowe)
(a) X – katalogi; x1 ¬ x2 ⇔ x1 jest podkatalogiem x2 (lub tym samym katalogiem); tzw.
drzewo katalogowe. Porządek nie jest liniowy, bo podkatalogi mogą leżeć w różnych katalogach.
(b) X = N; x1 ¬ x2 ⇔ x1 |x2 (x1 dzieli x2 ). Porządek nie jest liniowy, bo ¬ (5|12 ∨ 12|5).
(c) X = 2V (=podzbiory zbioru V ); A ¬ B ⇔ A ⊆ B (=zawieranie=inkluzja). Porządek nie
jest liniowy, bo ¬({v1 } ⊂ {v2 } ∨ {v1 } ⊂ {v2 }), gdy v1 6= v2 , v1 , v2 ∈ V (jednak jeśli V 6 1, to
porządek ⊆ jest liniowy).
3) (Porządek dobry) X = N; x2 6 x2 .
(Zasada Minimum) Każdy podzbiór N ma element najmniejszy.
(Zasada Indukcji Matematycznej) (Φ(0) ∧ ∀n∈N [Φ(n) ⇒ Φ(n + 1)]) ⇒ ∀n∈N Φ(n), gdzie Φ jest
dowolną formułą zdaniową zawierającą n jako zmienną wolną.
Zasada Indukcji Matematycznej ↔ Zasada Minimum (na gruncie pozostałych aksjomatów Peano).
4
Logika, relacje v.0.7 – egzamin mgr inf niestacj
Diagramy Hassego. Min-max.
x1 ¬ x2 ↔ wierzchołek x2 jest powyżej x1 (i po krawędziach można się przedostać z jednego do
drugiego).
β1
β2
β3
β4
ξ
µ3
ν3
µ2
ν2
µ1
ν1
α
µi , νi (i = 1, 2, 3) – elementy minimalne
ξ – element największy
ω1
α – element najmniejszy
βi (i = 1, 2, 3, 4) – elementy maksymalne
..
.
ω2
r
r
r
r
r
r
r ψ
φ1
φ2
rπ
ψ, φi (i = 1, 2) – elementy minimalne
..
.
ψ, ωi (i = 1, 2) – elementy maksymalne
π – element max.
ψ – jednocześnie min. i max.
nic powyżej
max
największy
elem.
wszystko poniżej
wszystko powyżej
min
nic poniżej
5
największy
najmniejszy
6⇐
najmniejszy
max.
min.
w drugą stronę nie zachodzi;
przykład z π
⇒
jedyny elem.
Moc zbioru
1. Def. X = Y (zbiory X i Y są tej samej mocy = są równoliczne) ⇔ ∃ f : X → Y – bijekcja.
2. Def. N = ℵ0 (alef zero), R = c (kontinuum); X –
przeliczalny
6 ℵ0
⇔X
.
nieprzeliczalny
> ℵ0
3. Tw. Z = Q = ℵ0 .
4. Tw. [0, 1] = R \ Q = c = 2ℵ0 = 2N 6= ℵ0 .
5. Tw. (Cantora) X < 2X .
6. 0 < 1 < 2 < . . . < ℵ0 < 2ℵ0 = c < 2c = 22
ℵ0
< 22
2ℵ 0
< . . ..
Logika, relacje v.0.7 – egzamin mgr inf niestacj
7. (CH) Hipoteza continuum: ℵ0 < k 6 c ⇒ k = c.
Słownie: kontinuum występuje bezpośrenio po alef zero.
5