) ( )r ) ( )r

Podstawy logiki i teorii mnogości
Ćwiczenie 3
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ĆWICZENIE 3
Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): literał, alternatywa elementarna, koniunkcja
elementarna, formuła w koniunkcyjnej postaci normalnej, formuła w alternatywnej postaci
normalnej, minimalna apn i kpn, siatka karnaugha.
Postacie normalne formuł KRZ
DEF
Formuły p i ¬p , gdzie p jest dowolną zmienną zdaniową, nazywamy literałami: p jest
literałem pozytywnym, a ¬p negatywnym. Literały p i ¬p są przeciwne (jeden względem
drugiego).
Alternatywa elementarna (klauzula) jest to alternatywa skończenie wielu literałów, np.
p ∨ ¬q ∨ r .
Koniunkcja elementarna jest to koniunkcja skończenie wielu literałów, np. p ∧ ¬q ∧ r .
Formuła w koniunkcyjnej postaci normalnej (kpn) jest to koniunkcja skończenie wielu
alternatyw elementarnych, np. ( p ∨ ¬q ∨ r ) ∧ (¬p ∨ ¬r )
Formuła w alternatywnej postaci normalnej (apn) jest to alternatywa skończenie wielu
koniunkcji elementarnych, np. ( p ∧ ¬q ∧ r ) ∨ (¬p ∧ ¬r )
TW. Każda formuła KRZ jest logicznie równoważna pewnej formule w kpn i pewnej
formule w apn.
Przypadki szczególne:
(1) w( A) = 0 dla każdego wartościowania w.
Wtedy A jest logicznie równoważna formule p ∧ ¬p , która jest w apn
(2) w( A) = 1 dla każdego wartościowania w.
Wtedy A jest logicznie równoważna formule p ∨ ¬p , która jest w kpn
–1–
Podstawy logiki i teorii mnogości
Ćwiczenie 3
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
TW. Formuła w kpn jest tautologią KRZ wtedy i tylko wtedy, gdy w każdej składowej
alternatywie elementarnej występuje para przeciwnych literałów.
TW. Formuła w apn nie jest spełnialna wtedy i tylko wtedy, gdy w każdej składowej
koniunkcji elementarnej występuje para przeciwnych literałów.
Sprowadzanie formuł KRZ do apn i kpn metodą przekształceń równoważnych
Podformuły danej formuły zastępujemy formułami równoważnymi w następującej kolejności:
(1) eliminujemy spójniki ↔ i → zastępując odpowiednio:
C↔D
przez (C → D) ∧ ( D → C )
C→D
przez
(¬C ∨ D)
(2) wprowadzamy znak negacji do wnętrza oraz usuwamy
podwójną negację zastępując odpowiednio:
¬(C1 ∧ K ∧ Ck ) przez (¬C1 ∨ K ∨ ¬Ck )
¬(C1 ∨ K ∨ Ck ) przez
¬¬C
przez
(¬C1 ∧ K ∧ ¬Ck )
C
(3) stosujemy
a) rozdzielczość koniunkcji względem alternatywy (kpn)
zastępując odpowiednio:
D ∨ (C1 ∧ K ∧ C k ) przez (D ∨ C1 ) ∧ K ∧ (D ∨ C k )
(C1 ∧K ∧ C k ) ∨ D
przez (C1 ∨ D ) ∧ K ∧ (C k ∨ D )
b) rozdzielczość alternatywy względem koniunkcji (apn)
zastępując odpowiednio:
D ∧ (C1 ∨ K ∨ C k ) przez (D ∧ C1 ) ∨ K ∨ (D ∧ C k )
(C1 ∨ K ∨ C k ) ∧ D przez (C1 ∧ D ) ∨ K ∨ (C k ∧ D )
–2–
Podstawy logiki i teorii mnogości
Ćwiczenie 3
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Sprowadzanie formuł KRZ do apn i kpn metodą tablicową - przykład
A = p ∧ q ↔ q ∧ ¬r
p
1
1
1
1
0
0
0
0
q
1
1
0
0
1
1
0
0
r
1
0
1
0
1
0
1
0
p∧q
1
1
0
0
0
0
0
0
¬r
0
1
0
1
0
1
0
1
q ∧ ¬r
0
1
0
0
0
1
0
0
A
0
1
1
1
1
0
1
1
apn
p ∧ q ∧ ¬r
p ∧ ¬q ∧ r
p ∧ ¬q ∧ ¬r
¬p ∧ q ∧ r
¬ p ∧ ¬q ∧ r
¬p ∧ ¬q ∧ ¬r
kpn
¬p ∨ ¬q ∨ ¬r
p ∨ ¬q ∨ r
apn: ( p ∧ q ∧ ¬r ) ∨ ( p ∧ ¬q ∧ r ) ∨ ( p ∧ ¬q ∧ ¬r ) ∨ ( ¬p ∧ q ∧ r ) ∨ ( ¬p ∧ ¬q ∧ r ) ∨
( ¬p ∧ ¬q ∧ ¬r )
kpn: ( ¬p ∨ ¬q ∨ ¬r ) ∧ ( p ∨ ¬q ∨ r )
Minimalizacja formuł apn i kpn.
DEF.
Minimalną apn formuły A nazywamy apn mającą najmniejszą liczbę literałów spośród wszystkich apn
tej formuły. Podobnie określamy minimalną kpn.
Do upraszczania formuł w postaci apn i kpn stosujemy następujące równoważności logiczne:
( p ∧ p) ↔ p
p ∧1↔ p
p ∨1↔1
( p ∨ p) ↔ p
p∧0↔0
p∨0↔ p
p ∨ ( p ∧ q) ↔ p
p ∧ ( p ∨ q) ↔ p
( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ ¬q ) ↔ p
( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ ¬q ) ↔ p
–3–
Podstawy logiki i teorii mnogości
Ćwiczenie 3
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Minimalizacja apn – siatki Karnaugh’a
1) 2 zmienne
( p ∧ q ) ∨ (¬p ∧ q ) ↔ q
¬q
q
p∧
∧¬q
p ∧q
p
¬p∧
∧q
¬p
¬p∧
∧¬q
Zaznaczamy 2 n sąsiadujących pól (możliwie najwięcej) i redukujemy tą zmienną, dla której
mamy raz jej negację i raz bez negacji. Reszta bez zmian.
2) 3 zmienne
( p ∧ q ∧ r ) ∨ ( p ∧ ¬q ∧ r ) ∨ (¬p ∧ ¬q ∧ r ) ↔ ( p ∧ r ) ∨ (¬q ∧ r )
q
¬q
p
X
X
¬p
X
r
r
¬q
¬r
q
¬r
–4–
Podstawy logiki i teorii mnogości
Ćwiczenie 3
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3) 4 zmienne
p ∨ (¬p ∧ q ) ∨ (¬p ∧ ¬q ∧ r ) ∨ (¬p ∧ ¬q ∧ ¬r ∧ s ) ↔ r ∨ s ∨ p ∨ q
q
p
q
q
q
X
X
X
X
X
X
X
X
¬p
X
X
p
X
X
¬p
r
X
X
r
X
¬r
¬r
–5–
Podstawy logiki i teorii mnogości
Ćwiczenie 3
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ćwiczenie 3: wiadomości i umiejętności
1. Po ćwiczeniu 3 student powinien znać definicje pojęć podanych w nagłówku ćwiczenia
2. Student powinien posiadać następujące umiejętności:
• dla danej formuły KRZ wyznaczyć równoważną apn i kpn metodą przekształceń
równoważnych
• dla danej formuły KRZ wyznaczyć równoważną apn i kpn metodą tablicową
• dla danej apn (kpn) znaleźć jej postać minimalną za pomocą siatki Karnaugha
–6–