kryterium Dauphin

Stany nieustalone w SEE
wykład IX
- stabilność naturalna i sztuczna (1)
Désiré Dauphin Rasolomampionona, prof. PW
Stabilność naturalna
Jest to właściwość systemu elektroenergetycznego, polegającą na zachowaniu
synchronizmu generatorów po wystąpieniu małego zakłócenia przy braku działania
regulatorów napięcia,
Stabilność tę bada się korzystając z klasycznego modelu systemu przy założeniu, że
generatory są zastępowane reaktancjami synchronicznymi (Xd = Xq).
W takim modelu jedynymi równaniami różniczkowymi są równania ruchu wirników. W
przypadku małych zmian kątów równania te można zapisać w następujący sposób:
d∆δ i
= ∆ωi
dt
dla i = 1, 2, ..., n
d∆ωi
∆Pi Di
=−
−
∆ωi
dt
Mi Mi
(*)
gdzie ∆Pi - zmiana mocy czynnej generatora. Zmiany te określa równanie
 ∆P   H M   ∆δ 
 ∆Q =  N K   ∆U 
  
 
(**)
będące modelem przyrostowym sieci. Równania (*) i (**) stanowią zlinearyzowany model
systemu, słuszny przy małych zakłóceniach.
Stabilność naturalna
Postać równania zmiennych stanu odpowiadającego tym równaniom zależy od
dodatkowych założeń, które przyjmuje się odnośnie do wartości współczynników
tłumienia oraz modeli odbiorów.
Zakładając, że odbiory są zastąpione stałymi admitancjami, a węzły odbiorcze są
wyeliminowane i są znane parametry sieci transferowej łączącej wszystkie węzły
wytwórcze.
W przypadku takiej sieci w równaniach (*) zamiast napięć U; wystąpią siły
elektromotoryczne E'i przy czym ∆Ei = 0, ze względu na założenie |Ei| = const.
Równanie (*) upraszcza się do postaci
(*)
∆P = H∆δ
Stabilność naturalna
przy czym, zgodnie ze wzorem na moc czynną i bierna [9]; elementy macierzy Jacobiego
H są dane wzorami
∂P
H ij = i = Ei E j (− Bij cos δ ij + Gij sin δ ij )
∂δ j
(**)
∂Pi n
H ii =
∑ Ei E j (Bij cos δ ij − Gij sin δ ij )
∂δ i j =1
Jak łatwo zauważyć, zachodzi równość
n
n
j =1
j ≠1
∑ Hij = Hii + ∑ Hij = 0
(***)
czyli suma elementów w każdym wierszu macierzy H jest równa zeru. Oczywiście
macierz taka jest osobliwa, gdyż dodając do pierwszej kolumny jej wyznacznika
wszystkie pozostałe kolumny, otrzymuje się kolumnę zerową.
Przyrosty wszystkich kątów ∆δι nie mogą być zmiennymi stanu modelu interesujących
nas zjawisk. Równoczesny wzrost wszystkich kątów wirników generatorów nie
oznacza utraty synchronizmu. Decydują o tym kąty względne ∆δij .
Przyjmijmy, że kąty położenia wirników generatorów są liczone względem położenia
wirnika jednego generatora, nazywanego dalej generatorem odniesienia
Stabilność naturalna
Kąty względne ∆δin mogą być zmiennymi stanu, gdyż odpowiednio duży ich wzrost
oznacza utratę synchronizmu.
Dążąc do uzyskania równań zmiennych stanu, przyrosty mocy generatorów musimy
wyrazić za pomocą kątów względnych. Dla wygody przyjmijmy, że generatorem
odniesienia jest generator o najwyższym numerze. Z równości wynika, że
n
n
j =1
j ≠1
∑ Hij = Hii + ∑ Hij = 0
(*)
Dążąc do uzyskania równań zmiennych stanu, przyrosty mocy generatorów musimy
wyrazić za pomocą kątów względnych. Dla wygody przyjmijmy, że generatorem
odniesienia jest generator o najwyższym numerze. Z równości (*) wynika, że
H in = −∑ H ij
j ≠1
Przyrost mocy dowolnego generatora, określony równaniem ∆P = H∆δ można wyrazić
teraz w następujący sposób:
Stabilność naturalna
 ∆P1   H 11
 ∆P   H
 2   21
 .  .


.

 .
 .  .


 ∆Pn   H n1
H 12
.
.
.
H 22
.
.
H n2
.
.
.
.
H 1, n −1   ∆δ 1n 
H 2 , n −1   ∆δ 2 n 
.  . 


.  . 
.  . 


H n ,n −1   ∆δ n −1, n 
(*)
Oznacza to; że równanie (*) można zapisać dla kątów względnych, skreślając ostatnią
kolumnę macierzy H, czyli
n
∆Pi = ∑ H ij ∆δ j = ∑ H ij ∆δ j + H in ∆δ n =
j =1
∑ H (∆δ
j≠n
ij
j≠n
i
− ∆δ n ) = ∑ H ij ∆δ in
j≠n
przy czym występująca tu macierz jest prostokątna (n x (n -1)).
(**)
Tłumienie niejednorodne.
Podstawiając zależność (**) do równań
d∆δ i
= ∆ωi
dt
dla i = 1, 2, ..., n
d∆ωi
∆Pi Di
=−
−
∆ωi
dt
Mi Mi
(*)
Otrzymuje się równania, które w postaci macierzowej można zapisać w następujący
sposób:
 0
 0


∆
δ

1
n


•
 .
 ∆δ 
2n



 .
 . 
 .
 . 



 0
 . 
•
 H 11


 M
 ∆ δ 1n −1, n 
1
•
 = − H

ω
∆
 21
1 

•
 M2
 ∆ω 
2
 .



 . 
 .


.
 .



 . 
 H n −1,1
•


 M n −1
 ∆ ω n −1 
•
 H


 n ,1
 ∆ ωn 
 M n
•
0
.
.
.
0
−1
0
.
.
.
0
0
.
.
.
.
.
.
0
.
.
0
.
.
−1
.
.
.
.
.
.
0
.
.
.
0
.
0
D1
M1
.
0
.
.
.
.
.
−1
0
.
.
.
0
.
.
.
0
.
0
H 12
M1
H 22
M2
.
.
.
H n −1, 2
M n −1
H n,2
Mn
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
H 1, n −1
M1
H 2, n −1
M2
.
.
.
H n −1,n −1
M n −1
H n , n −1
Mn
.
.
.
D2
M2
.
.
.
.
0
0
.
.
.
.
Dn −1
M n −1
0
0
.
.
.
0
0
.
.
.
.
.
1 
1 
 ∆ δ 1n 
. 

  ∆δ 2 n 
. 
 . 

. 
 . 
1 
. 



0  ∆δ
 1n −1, n 
  ∆ω 
1

0 
  ∆ω 2 
.  . 


.  . 
.  . 





ω
∆
0
n −1


  ∆ω n 
Dn 
M n 
Tłumienie niejednorodne.
W równaniu tym wektor zmiennych stanu ma (2n-1) elementów, spośród których
(n-1) zmiennych to względne przyrosty kątów,
n zmiennych to przyrosty prędkości wirników.
Macierz stanu A jest stopnia (2n-1).
Układ jest stabilny, gdy wartości własne tej macierzy leżą w lewej półpłaszczyźnie
zmiennych zespolonych
Warunek ten można sprawdzić, stosując kryterium Hurwitza lub obliczając wartości
własne macierzy.
W przypadku dużej liczby generatorów obie te metody są bardzo pracochłonne, co wynika
z dużego wymiaru i niesymetrii macierzy A.
Nakład pracy potrzebny do sprawdzenia warunku stabilności jest tu przesadnie duży w
stosunku do dokładności modelu.
Stabilność sztuczna
Właściwość SEE polegającą na zachowaniu synchronizmu generatorów po wystąpieniu
małego zakłócenia przy uwzględnieniu działania regulatorów napięcia nazywa się
stabilnością sztuczną.
Odpowiednie badania przeprowadza się zarówno
•
w uproszczonym modelu systemu sprowadzonego, do układu generator-sieć sztywna,
•
jak i w modelu wielogeneratorowym.
W przypadku układu generator-sieć sztywna celem badań jest :
•
określenie wpływu parametrów układu wzbudzenia i regulacji napięcia na granicę
obszaru stabilności,
•
co wiąże się z ich optymalnym projektowaniem.
Celem badań przy użyciu modeli wielogeneratorowych jest
•
określenie wpływu układów wzbudzenia i regulacji napięcia na małe kołysania
wirników generatorów
•
co wiąże się z doborem i lokalizacją stabilizatorów systemowych.
Stabilność sztuczna - założenia
Sposób tworzenia zlinearyzowanego modelu z uwzględnieniem układu wzbudzenia i
regulacji napięcia omówimy przy założeniu, że generatorom są przyporządkowane
modele  • , • , 
 eq , ed 




Dla uniknięcia trudności dołączenia schematu zastępczego generatora do schematu sieci
można przyjąć, że X q' ≈ X d'
czyli pomija się niesymetrię magnetyczną wirników generatorów.
•
•
Reaktancje przejściowe generatorów dołącza się do schematu sieci
Eliminuje się węzły odbiorcze zakładając, że odbiory są zastąpione stałymi
admitancjami.
W modelu układu wzbudzenia i regulacji napięcia pomija się wszystkie nieliniowości
zakładając, że przy małych zakłóceniach nie odgrywają one istotnej roli.
Układ wzbudzenia zastąpimy transmitancją drugiego rzędu,
a stabilizator systemowy - transmitancją trzeciego rzędu.
Zakłada się przy tym, że stabilizator może reagować na sygnał proporcjonalny do poślizgu
wirnika (wtedy KP = 0) lub mocy czynnej generątora (wtedy Kω = 0).
Stabilność sztuczna – Równania sieci
Po eliminacji węzłów odbiorczych sieć transferową można opisać równaniem węzłowym
we współrzędnych prostokątnych (a, b) czyli zachodzą zależności
n
(
I ai = ∑ Gij E − Bij E
j =1
•
'
aj
'
bj
)
n
(
I bi = ∑ Gij E aj' + Bij Ebj'
j =1
)
(**)
W równaniach generatorów prądy oraz siły elektromotoryczne generatorów są we
współrzędnych prostokątnych (d, q). Można więc napisać następujące zależności:
E aj' = − E dj' sin δ j + E qj' cos δ j
I qi = I ai cos δ i + I bi sin δ i
Ebj' = E dj' cos δ j + Eqj' sin δ j
(**)
I qi = I ai cos δ i + I bi sin δ i
(***)
stawiając równania (**) oraz (***) do równań (*), po dość prostych lecz żmudnych
przekształceniach, otrzymuje się
{
}
{
}
I di = ∑ (Bij cos δ ij − Gij sin δ ij )E qj' + (Bij sin δ ij + Gij cos δ ij )E dj'
n
j =1
I qi = ∑ (Bij sin δ ij + Gij cos δ ij )E qj' − (Bij cos δ ij − Gij sin δ ij )E dj'
n
j =1
Stabilność sztuczna – Równania sieci
czyli równania węzłowe sieci transferowej we współrzędnych prostokątnych
poszczególnych generatorów. Przechodząc do postaci macierzowej, po linearyzacji
otrzymuje się:
 ∂I q
∆I q   ∂E 'q
∆I  =  ∂I
d
 d
 ∂E '
 q
∂I q
∂E 'd
∂I d
∂E 'd
∂I q 
'
 ∆E q 
∂δ   ' 
∆E
∂I d   d 
 ∆δ 

∂δ  
(**)
gdzie: ∆Iq, ∆Id, ∆E'q, ∆E'd, ∆δ - wektory przyrostów odpowiednich wielkości wszystkich
generatorów.
Wzory na elementy występujących tu macierzy Jacobiego łatwo można znaleźć, obliczając
odpowiednie pochodne prawych stron równań (*).
Pomija się tu szczegółowe rozpisywanie tych wzorów.
'
'
Przy przyjętym założeniu X q ≈ X d
wzór na moc generatora sprowadza się do postaci
P i = E dj' I di + E qj' I qi
co po podstawieniu równań na prądy przedstawionych wcześniej prowadzi do wzoru
Stabilność sztuczna – Równania sieci
Pi = E
∑ {(B
n
'
dj
ij
j =1
}
cos δ ij − Gij sin δ ij )E qj' + (Bij sin δ ij + Gij cos δ ij )E dj' +
{
E qj' ∑ (Bij sin δ ij + Gij cos δ ij )E qj' − (Bij cos δ ij − Gij sin δ ij )E dj'
n
j =1
}
(**)
Przechodząc do postaci macierzowej, po linearyzacji otrzymuje się

[∆P ] =  ∂P'
 ∂E q
∂P
∂E'd
∆E'q 
∂P   ' 
 ∆E d 
∂δ 
 ∆δ 


gdzie ∆P - wektor przyrostów mocy wszystkich generatorów. Wzory na elementy
występujących tu macierzy Jacobiego można znaleźć, obliczając odpowiednie
pochodne prawej strony wzoru (**).
Stabilność sztuczna – Równania sieci
W podobny sposób można postąpić z wzorami
generatora.
dotyczącymi napięcia na zaciskach
Podstawiąjąc równania na prądy do równań napięciowych, otrzymuje się
U qi = E + X
'
di
∑ {(B
ij
cos δ ij − Gij sin δ ij )E qj' + (Bij sin δ ij + Gij cos δ ij )E dj'
}
U di = E − X
'
qi
∑ {(B
ij
sin δ ij + Gij cos δ ij )E qj' − (Bij cos δ ij − Gij sin δ ij )E dj'
}
'
qi
'
dj
n
j =1
n
j =1
2
2
Ze względu na regulatory napięcia istotne są moduły napięć generatorów, czyli U i = U qi + U di
Przechodząc do postaci macierzowej, po linearyzacji otrzymuje się

[∆U ] =  ∂U'
 ∂E q
∂U
∂E'd
∆E 'q 
∂U   ' 
 ∆E d 
∂δ 
 ∆δ 


gdzie ∆U - wektor przyrostów modułów napięć wszystkich generatorów.
Stabilność sztuczna – Równania sieci
Wzory na elementy występujących tu macierzy Jacobiego wynikają ze wzorów na
pochodne cząstkowe funkcji złożonej.
Pochodna cząstkowa modułu napięcia względem dowolnej zmiennej jest wyrażona
wzorem
∂U qi
∂U i
∂U di 
1 
 U qi

=
+ U di
∂α U i 
∂α
∂α 
w zależności od potrzeby a może być dowolną z następujących zmiennych:
E'qi, E'qj, E'di, E'dj, δi, δj
Pochodne cząstkowe oblicza się na podstawie prawych stron równań na wektor przyrostów
∆U.
Pomija się tu szczegółowe rozpisywanie tych wzorów.
Stany nieustalone w SEE
wykład X
- stabilność naturalna i sztuczna (2)
Désiré Dauphin Rasolomampionona, prof. PW
Stabilność sztuczna – Równania generatorów
•, •,
Przy przyjętym modelu  e q , e d 




równania różniczkowe generatorów przy małych przyrostach zmiennych możemy zapisać
w następujący sposób:
•
'
q
T ∆ E = −∆E'q + ∆X∆I d + ∆E f
'
d0
•
'
d
T ∆ E = −∆E'd − ∆X∆I q
'
q0
•
M∆ ω = −∆P − D∆ω
•
∆ δ = ∆ω
gdzie
∆E'q , ∆E'd , ∆I q , ∆I d , ∆ω, ∆δ
są wektorami kolumnowe przyrostów odpowiednich zmiennych, występujących także w
poprzednich równaniach.
'
'
Td0
, Tq0
, D, M
są macierzami diagonalnymi odpowiednio stałych czasowych generatorów oraz
współczynników bezwładności i tłumienia. Macierz ∆X jest też diagonalna i ma
elementy o wartościach ∆Xi=(Xdi-X’di)≈Xqi-X’qi).
Stabilność sztuczna – Równania generatorów
Podstawiając do równań generatorów zależności
 ∂I q
∆I q   ∂E 'q
∆I  =  ∂I
d
 d
 ∂E '
 q
∂I q
∂E
∂I d
∂E 'd
'
d
∂I q 
'
 ∆E q 
 ∂P
∂δ   ' 
[∆P ] =  '
∆E
∂I d   d 
 ∂E q


∆δ

∂δ  
∂P
∂E'd
∆E'q 
∂P   ' 
 ∆E d 
∂δ  
 ∆δ 



[∆U ] =  ∂U'
 ∂E q
∂U
∂E'd
∆E 'q 
∂U   ' 
 ∆E d 
∂δ  
 ∆δ 


wynikające ze zlinearyzowanych równań sieci, otrzymuje się równania różniczkowe

  ∂I  
' −1
 Td0 ∆X d'  − 1
•
 ' 
  ∂E q  
∆
E
 q 
 ∂I q 
 •'  
' −1


T
∆X
∆
E
q0
 d = 
' 

E
∂
 q
 •  
0
 ∆ δ•  
 ∆ ω  


− 1  ∂P 
−
M

 ∂E ' 
 q

( )
( )
 ∂I 
T
∆X d' 
 ∂E d 
 ∂I q  
−1 
− Tq0'
∆X  '  − 1
  ∂E d  
0
 ∂P 
− M −1  ' 
 ∂E d 
( )
' −1
d0
( )
( )
' −1
d0
− T
 ∂I 
∆X d 
 ∂δ 
 ∂I q
∆X
 ∂δ
0
 ∂P 
− M −1 

 ∂δ 
( )
− Tq0'
−1




0 
  '   ' −1

 ∆E q   Td0 ∆E f 
'
0

0  ∆E q  + 



0
  ∆δ  

1 
 ∆ω  
0


−1 
− M D

( )
Stabilność sztuczna – Równania generatorów
Występujące tu siły elektromotoryczne przyrosty sił elektromotorycznych Ef wynikają z
działania układu wzbudzenia i regulacji napięcia generatorów
Przy tworzeniu zlinearyzowanego modelu systemu uwzględniającego układy wzbudzenia i
regulacji napięcia korzysta się z szeregu założeń.
Dla uniknięcia trudności dołączenia schematu zastępczego generatora do schematu sieci
przyjmuje się, że X’d = X’q
Reaktancje przejściowe generatorów dołącza się do schematu sieci i eliminuje się węzły
odbiorcze zakładające, że odbiory są zastąpione stałymi admitancjami.
W modelu układu wzbudzenia i regulacji pomija się wszystkie nieliniowości zakładając,
że przy małych zakłóceniach nie odgrywają one istotnej roli.
Zakłada się przy tym, że stabilizator może reagować na sygnał proporcjonalny do poślizgu
wirnika lub mocy czynnej generatora.
Wychodząc z równań opisujących sieć, generatory, układy wzbudzenia po ich linearyzacji
i wprowadzeniu kilku pomocniczych zmiennych (x1, ... ,xN)
Model 5 rzędu
Generator można opisać następującymi równaniami różniczkowymi:
.
T Eq, = −(α1 Eq, − α 2 X d" id − α 3 Eq" )− E f
,
do
1
1
1
1
1
1
1
,
"
"
E = [ " α 5 − , α 6]Eq + [ , α 7 − " α 8]X d id − [ " − , α 9 ]Eq + " E f
Tdo
Tdo
Tdo
Tdo
Tdo Tdo
Tdo
.
"
q
.
T Ed" = − Ed" + α 5 X q"iq
"
qo
gdzie SEM odpowiadające
ą napięciom
ę
źródłowym
ź
sąą w schematach zastępczych
ę
generatora
pokazanych na rysunku
(a) w osi d; (b) w osi q
Współczynniki występujące w tych równaniach zostały wyprowadzone szczegółowo na
poprzednich wykładach. Zależą one od reaktancji generatora.
Model 5 rzędu
Układom wzbudzenia i regulacji napięcia przyporządkowuje się modele nieliniowe o różnej
strukturze.
Zakładając, że przy małych zakłóceniach nieliniowości nie odgrywają żadnej roli, można je
pominąć.
Układ wzbudzenia można wtedy zastąpić transmitancją drugiego rzędu, a stabilizator
systemowy transmitancją trzeciego rzędu.
- układ wzbudzenia
.
X1
.
=
X2
0
1
X1
− A0 A2−1
− A1 A2−1
X2
∆e f = A0 A2−1
+
0
∆U PSS − ∆U
A1 A2−1
X1
X2
- stabilizator systemowy
.
X1
.
X2 =
.
X3
0
1
0
X1
0
0
0
0
1
X2 + 0
X3
Kp
0
Kω
− α 0α
−1
3
− α 1α
−1
3
−α 2α
−1
3
∆P
∆ω
Model matematyczny 5 rzędu z odbiorami liniowymi
Przebieg postępowania przy tworzeniu modelu zlinearyzowanego SEE będzie
następujący :
1. dołącza się reaktancje generatorów i transformatorów do modelu sieci,
2. odbiory zastępuje się stałymi admitancjami dołączonymi do modelu sieci,
3. eliminuje się wszystkie węzły odbiorcze,
4. łączy się równania algebraiczne sieci i generatora,
5. linearyzuje się równania sieci i generatora.
- układ wzbudzenia
Do modelu sieci dołącza się reaktancje generatorów i transformatorów
blokowych,
Zakłada się, że po dołączaniu reaktancji oraz eliminacji węzłów odbiorczych
sieć opisana jest następującym równaniem węzłowym :
I G = YG eG
gdzie macierz Y jest macierzą transferową sieci zastępczej.
Model matematyczny 5 rzędu z odbiorami liniowymi
Korzystając z równań różniczkowych opisujących pojedynczy generator (model 5
rzędu) można napisać układ równań różniczkowych opisujący system
wielogeneratorowy:
.
T ∆Eq, = − ( α1∆Eq, − α 2 X d" ∆I d − α 3 ∆Eq" ) − ∆E f
,
do
.
T ∆ Eq" = − ( ∆Eq" − α 4 X d" ∆I d − α 5∆Eq, )
"
do
.
Tqo" ∆ Ed" = − ( ∆Ed" − α 6 X q" ∆I q )
.
M∆ ω = ∆P − Dω
.
∆ δ = ∆ω
gdzie ∆Eq, , ∆E"q , ∆E"d , ∆I d , ∆I q , ∆δ, ∆ω,
oznaczają wektory przyrostów odpowiednich zmiennych występujących w
poprzednich równaniach,
Td0, , Td0" , Tq0" , X"d , X"q , M, D oznaczają macierze diagonalne odpowiednich stałych
czasowych, reaktancji oraz współczynników bezwładności i współczynników
tłumienia.
Model matematyczny 5 rzędu z odbiorami liniowymi
Symbol I oznacza macierz jednostkową.
β4 ,........, β8
są macierzami diagonalnymi odpowiednich współczynników
modeli 5 rzędu generatorów.
Przy uwzględnieniu przyrostów prądów, mocy i napięć, powyższe układy równań
różniczkowych tworzą następującą postać macierzową:
∂I d
∂I d
∂I d
, −1
, −1
α
β
β
+
)
T
T
3
do
5
do
5
∂Eq"
∂Ed"
∂δ
∂I
∂I
∂I
Tdo"−1 ( β 7 d" − 1)
Tdo"−1β 7 d"
Tdo"−1β 7 d
∂Eq
∂Ed
∂δ
∂I q
∂I q
∂I q
Tqo"−1β8 "
Tqo"−1 ( β8 " − 1) Tqo"−1β8
∂Eq
∂Eq
∂δ
Tdo, −1β 4 Tdo, −1 ( β5
.
∆Eq,
.
Tdo, −1β 4
∆E
"
q
.
∆ Ed"
.
∆δ
.
∆ω
=
0
0
0
0
− M −1
∂P
∂Eq"
0
− M −1
∂P
∂Ed"
0
− M −1
0
0
0
1
∂P
− M −1 D
∂δ
∆E f
∆Eq,
0
∆Eq"
, −1
0
∆Ed" + Tdo
0
∆δ
0
∆ω
Model matematyczny 5 rzędu z odbiorami liniowymi
Układy równań algebraiczno-różniczkowych układów wzbudzenia, po zastąpieniu
wektora przyrostów napięcia ∆U wyrażeniem
∂U
∆U =
∂ed
∂U
∂eq
∂U
∂δ
∆ed
∆eq
∆δ
Przyjmują następujące postaci:
0
0
0 ∆ed
0
1
X1
∂U ∂U ∂U ∆e + 0
=
+
.
q
−
−
−
− A0 A2−1 − A1 A2−1 X 2
∆U PSS
∂ ed ∂ e q
∂δ ∆δ
X2
X1
∆e f = − B0 A2−1 − B1 A2−1
X2
.
X1
gdzie A0 , A1 , A2 , B0 , B1 oznaczają macierze diagonalne odpowiednich parametrów układów
wzbudzenia,
X1, X2 oznaczają wektor odpowiednich zmiennych stanów, ∆U oznacza wektor przyrostów
napięć wyjściowych stabilizatorów, 1 oznacza macierz jednostkową. Dla modelu 5
rzędu zachodzi
ed = Ed" , eq = Eq"
Model matematyczny 5 rzędu z odbiorami liniowymi
Układy równań algebraiczno-różniczkowych stabilizatorów
zastąpieniu wektora przyrostów mocy ∆P wyrażeniem
∆P =
∂P
∂ed
∂P
∂eq
systemowych,
∆ed
∆eq
∆δ
∂P
∂δ
Przyjmują następujące postaci:
∆ed
.
X3
.
X4 =
.
X5
∆U PSS
po
0
1
0
0
0
1
X3
0
0
0
0
∆eq
X4 +
0
0
0
0
∂P
∂P
∂P
− α 0α 3−1 − α 1α 3−1 − α 2 α 3−1 X 5
KP
KP
KP
K ω ∆δ
∂ ed
∂ eq
∂δ
∆ω
∆ed
∆eq
∂P
∂P
∂P
= K P β 3α 3−1
K P β 3α 3−1
K P β 3α 3−1
K ω β 3α 3−1
∂e d
∂eq
∂δ
∆δ
∆ω
X3
+ −β 3α 0α 3− 2 β1α 3−1 − β 3α 1α 3− 2 β 2 α 3−1 − β 3α 2 α 3− 2 X 4
X5
gdzie K P , K ω
oznaczają macierze diagonalne odpowiednich współczynników
wzmocnienia stabilizatorów. Dla modelu 5 rzędu zachodzi ed = Ed" , eq = Eq"
Model matematyczny 5 rzędu z odbiorami liniowymi
Łącząc równania 5 rzędu generatorów, układów wzbudzenia i stabilizatorów kołysań
otrzymuje się równanie będące równaniem zmiennych stanu systemu
wielogeneratorowego.
∆ Eq'
.
∆E
∂I d
+ α3 )
∂Eq"
∂I
Tdo"−1 ( β 7 d" − 1)
∂E q
∂I q
Tqo"−1β8 "
∂Eq
∂I d
∂Ed"
∂I
Tdo"−1β 7 d"
∂Ed
∂I q
Tqo"−1 (β 8 " − 1)
∂E d
∂I d
∂δ
∂I
Tdo"−1β 7 d
∂δ
Iq
∂
Tqo"−1β8
∂δ
0
0
0
0
0
− M −1
Tdo,−1β 4
.
"
d
Tdo,−1β 6
.
∆ Eq"
0
.
∆δ
.
∆ω =
.
X1
.
X2
.
X3
.
X4
.
X5
0
Tdo,−1 (β 5
∂P
∂Eq"
0
Tdo,−1β5
− M −1
∂P
∂Ed"
0
Tdo,−1β 5
− M7
∂P
∂δ
0
0
∂P ∂U
−
K Pβ 3α
∂Eq" ∂Eq"
∂P ∂U
−
K Pβ 3α
∂Ed" ∂Ed"
∂P ∂U
−
K P β 3α
∂δ ∂δ
0
0
0
0
0
0
0
0
0
−1
3
KP
∂P
∂Eq"
−1
3
KP
∂P
∂Ed"
−1
3
KP
∂P
∂δ
Tdo,−1 B0 A2−1 Tdo,−1 B1 A2−1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
− M −1 D
0
0
0
0
0
0
0
K ωβ 3α
−2
3
1
−1
1
− A0 A
0
−1
2
− A0 A
− β 3α 0 α
−β3α − β 3α 2α 3−2
∆δ
∆ω
X1
X2
X3
X4
X5
0
−2
3
−β3α − β 3α1α
−1
3
0
−2
3
∆Eq,
∆Eq"
∆Ed"
−1
3
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
Kω
0
0
α 0α 3−1
α1α 3−1
α 2α 3−1