Mechanika teoretyczna: Kinematyka ciała sztywnego

Mechanika teoretyczna: Kinematyka
ciała sztywnego
Kinematyka ciała sztywnego
Mechanika teoretyczna
Kinematyka ciała sztywnego – 2
Zadanie. Kwadrat ABCD o boku a porusza się ruchem jednostajnym po osi x z
prędkością v poruszając swoim wierzchołkiem C pręt EO zamocowany przegubowo w
punkcie O. Wyznaczyć prędkość kątową i przyspieszenie kątowe pręta w funkcji kąta ϕ.
y
E
D
C
v
a
ϕ
b
A
a
B u O
x
Kinematyka ciała sztywnego
Mechanika teoretyczna
Kinematyka ciała sztywnego – 3
odległość u maleje z prędkością v
z geometrii zadania
du
= −v
dt
(1)
u
= ctg ϕ(t)
a
(2)
v = const 6= ϕ = const
(3)
u = a ctg ϕ(t)
(4)
u jest funkcją kąta ϕ, a ten z kolei jest funkcją czasu t
u = u[ϕ(t)]
(5)
stąd zmiana drogi w czasie jest pochodną funkcji złożonej
du dϕ
−a
dϕ
du
=
·
=
·
dt
dϕ dt
sin2 ϕ dt
(6)
Kinematyka ciała sztywnego
Mechanika teoretyczna
Kinematyka ciała sztywnego – 4
Ponieważ
dϕ
= ϕ̇
ω=
dt
(7)
aϕ̇
aω
=
=v
sin2 ϕ
sin2 ϕ
(8)
v
ω = sin2 ϕ
a
(9)
d2 ϕ
ε = 2 = ϕ̈
dt
(10)
i porównując wzory (1) i (6) mamy
d2 ϕ
v
dϕ
dω
ε= 2 =
= 2 sin ϕ cos ϕ ·
dt
dt
a
dt
|{z}
ω
v
v
· sin2 ϕ
= sin 2ϕ
a
a
v2
= 2 sin 2ϕ sin2 ϕ
a
(11)
Kinematyka ciała sztywnego
Mechanika teoretyczna
Kinematyka ciała sztywnego – 5
Zadanie. Odcinek AB o długości L = 0.5 m znajduje się w ruchu płaskim w płaszczyźnie
rysunku prędkości liniowych, na którym zaznaczono odcinek i kierunki liniowe jego
końców. Prędkość końca A jest znana i wynosi vA = 10 m/s. Wyznaczyć chwilową
prędkość kątową odcinka, prędkość punktu B oraz prędkość liniową środka D odcinka.
Chwilowy środek obrotu wyznaczono na przecięciu linii prostopadłych do wektorów
prędkości
L/2
L/2
vB
vD
A
D
60
vA
ρA
30◦
60
◦
◦
60
◦
C
ρD
ρB
B
Kinematyka ciała sztywnego
Mechanika teoretyczna
Kinematyka ciała sztywnego – 6
1 1
1
· =
2 2
4
√
√
3
3
1
=
ρB = L cos 30◦ = ·
2 2
4
ρA = L cos 60◦ =
vA = ω · ρA
10 ✚
m/s
vA
= 1
ω=
= 40 rad/s
ρA
m
4✚
√
√
3
= 10 3 m/s = 17.3 m/s
vB = ω · ρB = 40 ·
4
ρD = ρA =
L
1
= m
2
4
vD = ω · ρD = 40 ·
1
= 10 m/s
4
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)