Kinematyka ruchu wzdłuż prostej. Kinematyka ruchu w płaszczyźnie.

Kinematyka ruchu wzdłuż prostej
1.
1-1
Kinematyka ruchu wzdłuż prostej
Położenie
Prędkość
Prędkość średnia
v sr ≡
x (t 2 ) − x (t1 ) ∆x
=
∆t
t 2 − t1
v = const.
⇒ x (t ) = x0 + v ⋅ t
v = v sr
Prędkość chwilowa
x ( t + ∆t ) − x ( t )
d x (t )
= x ' (t ) =
∆t → 0
dt
∆t
v (t ) ≡ lim
Przyspieszenie
Przyspieszenie średnie
a sr ≡
v (t 2 ) − v (t1 ) ∆v
=
t 2 − t1
∆t
Przyspieszenie chwilowe
v(t + ∆t ) − v(t )
d v(t )
d 2 x(t )
a (t ) ≡ lim
= v' (t ) =
= x' ' (t ) =
∆t →0
dt
∆t
dt 2
Kinematyka ruchu wzdłuż prostej
Przykład: ruch zmienny
x (t ) = c ⋅ t 2
d x (t )
v (t ) =
= 2c ⋅ t
dt
1-2
Kinematyka ruchu wzdłuż prostej
1-3
Przykład: ruch jednostajnie przyspieszony
a = const.
⇒ v (t ) = v0 + a ⋅ t
a = a sr
z definicji przyspieszenia średniego
x (t ) = ?
z definicji prędkości średniej
x (t ) = x0 + v sr (t ) ⋅ t
v sr (t ) =
v 0 + v (t )
2
x (t ) = x0 +
ponieważ prędkość zależy liniowo od czasu
v 0 + v (t )
⋅t
2
ale
v (t ) = v0 + a ⋅ t
1
1
x (t ) = x0 + (v0 + v 0 + a ⋅ t ) ⋅ t = x0 + v0 ⋅ t + a ⋅ t 2
2
2
Kinematyka ruchu w płaszczyźnie
2.
2-1
Kinematyka ruchu w płaszczyźnie
Wektor położenia punktu na płaszczyźnie
!
r ( x, y ) – wektor położenia
x = r ⋅ cos α
y = r ⋅ sin α
!
!
!
r ( x, y ) = x ⋅ i + y ⋅ j
! !
i , j - wersory osi x i y
Kinematyka ruchu w płaszczyźnie
2-2
Ruch jednostajny po okręgu
α = ω ⋅t
 x = r ⋅ cos α = r ⋅ cos(ω ⋅ t )

 y = r ⋅ sin α = r ⋅ sin(ω ⋅ t )
Prędkość w ruchu po okręgu
→
→
v=
dr
dt
→
→
dx

π
sin(
)
cos(
v
r
t
r
t
=
=
−
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
+
ω
ω
ω
ω
x
2)

dt

v y = dy = − r ⋅ ω ⋅ cos(ω ⋅ t ) = r ⋅ ω ⋅ sin(ω ⋅ t + π2 )

dt
v = ω ⋅r
v⊥r
Przyspieszenie w ruchu po okręgu
→
→
a=
→
dv
dt
→
a || r
v2
a=
r
dv x

2
2
cos(
)
=
=
−
⋅
⋅
⋅
=
−
⋅
ω
ω
ω
a
r
t
x
x

dt

a = dv y = − r ⋅ ω 2 ⋅ sin(ω ⋅ t ) = − y ⋅ ω 2
 y
dt
a = ω ⋅r
2
→
→
a⊥v
→
→
a = −ω ⋅ r
2
Kinematyka ruchu w płaszczyźnie
Wektor prędkości chwilowej jest zawsze styczny do toru ruchu.
→
→
∆ s = v ⋅ ∆t
Przyspieszenie normalne (dośrodkowe) do toru ruchu zawsze wynosi:
v2
an =
R
gdzie R jest promieniem krzywizny toru.
2-3
Kinematyka ruchu w płaszczyźnie
2-4
Rzut poziomy
W chwili początkowej
→
t=0
r0 (0,0)
→
v0 ( v0 ,0)
przyspieszenie w tym ruchu jest przyspieszeniem spadku swobodnego
→
a (0,− g )
d vx

=
=0
a
 x
dt

a = d v y = − g
 y
dt
⇒ v x = const. = v0
⇒ v y = − g ⋅ t + C=0 = − g ⋅ t
Kinematyka ruchu w płaszczyźnie
2-5
dx

v
=
= v0
⇒ x = v0 ⋅ t + C =0 = v0 ⋅ t
 x
dt

2
v = d y = − g ⋅ t ⇒ y = − g ⋅ t
 y
2
dt
równanie parametryczne toru ruchu
 x = v0 ⋅ t


g ⋅t2
 y = − 2
po przekształceniach
y=−
g
⋅ x2
2
2v 0
prędkość w tym ruchu
v = v02 + g 2 ⋅ t 2
v x v0
v0
= =
v
v
v02 + g 2 ⋅ t 2
g ⋅ v0
v0
a n = g ⋅ cos α =
g
=
v
v02 + g 2 ⋅ t 2
v2
v3
an =
⇒
= R promień krzywizny toru
R
g ⋅ v0
cos α =
a +a = g
2
s
2
n
2
v02
⇒ as = g 1 − 2
v
as → g
t →∞