Algebra abstrakcyjna zarys wykładu

Transkrypt

Algebra abstrakcyjna zarys wykªadu
Szymon Brzostowski
7. pa¹dziernika 2016 r.
Umowy. Wsz¦dzie poni»ej skrót gddy oznacza¢ b¦dzie wtedy i tylko wtedy, gdy.
Znak := ma na celu przypisanie nazwie od strony kropek warto±ci od strony kresek.
F-cja itp. jest skrótem sªowa funkcja itp. Oznaczenia N; Z; Q; R; C peªni¡ standardowe role (konwencja: N liczby naturalne bez 0, N0 liczby naturalne z 0).
1 Grupy
Denicja 1. Grup¡ nazywamy ka»dy niepusty zbiór G, w którym okre±lone
jest pewne dziaªanie wewn¦trzne, oznaczane najcz¦±ciej symbolem (bardziej
precyzyjnie: grupa to para (G; ), gdzie G niepusty zbiór, za± : G G ! G),
speªniaj¡ce nast¦puj¡ce warunki:
V
G1 .
(a b) c = a (b c) (ª¡czno±¢)
a;b;c2G
G2 .
G3 .
W V
e2G a2G
a e = e a = a (istnienie elementu neutralnego)
a2G b2G
a b = b a = e, gdzie e 2 G jest dowolnym elementem speªnia-
V W
j¡cym G2 (istnienie elementu odwrotnego).
Uwaga. Je±li zachodzi potrzeba odró»nienia dwóch ró»nych dziaªa«, mo»na np.
u»ywa¢ te» symboli ; czy zamiast standardowej . Symbole + czy , chocia»
teoretycznie dopuszczalne, zwyczajowo s¡ stosowane do zapisywania dziaªania, które
dodatkowo jest przemienne (patrz denicja 2). Zapis dziaªania za pomoc¡ nazywamy zapisem multyplikatywnym , za± za pomoc¡ + zapisem addytywnym
(nazewnictwo to dotyczy te» oznacze« wariantywnych, o których wspomnieli±my
powy»ej).
Element e 2 G z warunku G2 nazywamy elementem neutralnym grupy. Czasem
mówi si¦ te», »e jest to jedynka grupy (i wtedy pisze si¦ 1 zamiast e) b¡d¹ w
przypadku addytywnym »e jest to zero grupy (i wtedy pisze si¦ 0 zamiast e).
wiczenie 1. Wykaza¢, »e w ka»dej grupie G jej element neutralny jest wyznaczony jednoznacznie. Z których aksjomatów grupy to wynika?
. This document has been written using the GNU TEXM AC S text editor (see www.texmacs.org).
1
2 Algebra 2 zarys wykªadu
Szymon Brzostowski
Element b 2 G speªniaj¡cy warunek G3 dla danego a 2 G i e 2 G nazywamy
elementem odwrotnym do a i oznaczamy przez a¡1 (wzgl¦dnie: ¡a w przypadku
zapisu addytywnego). wiczenie 1 wyja±nia, dlaczego a¡1 zale»y tylko od a, nie
zale»¡c od e. U»ywaj¡c powy»szej notacji, warunek G3 mo»na zapisa¢ nast¦puj¡co:
a a¡1 = a¡1 a = e:
wiczenie 2. Wykaza¢, »e element odwrotny a¡1 2 G do elementu a grupy G jest wyznaczony
jednoznacznie. Z których aksjomatów grupy to wynika?
Konwencja. W dalszym ci¡gu b¦dziemy zwykle opuszcza¢ przy zapisie dziaªa«,
pisz¡c np. ab zamiast a b (oczywi±cie tylko w przypadku zapisu multyplikatywnego).
Umowa. W dalszym ci¡gu, je±li wyra¹nie nie b¦dzie zaznaczone, »e jest inaczej,
wszystkie rozwa»ane grupy b¦d¡ w domy±le multyplikatywne; dokªadniej zapis typu
G grupa oznacza¢ b¦dzie G = (G; ).
wiczenie 3. Udowodni¢, »e w denicji grupy warunki G2 G3 mo»na zast¡pi¢ odpowiednio przez warunki:
W V
G2 +.
ae=a
e2G a2G
G3 .
+
V
W
a2G b2G
a b = e (e speªnia G2 +)
(i analogicznie przez pewne warunki G2 ¡G3 ¡ odgadn¡¢ je!).
wiczenie 4. Udowodni¢, »e para (G; ) b¦d¡ca póªgrup¡ (tzn. G =
/ ? oraz : G G ! G jest
ª¡czne) stanowi grup¦ gddy
(r). dla dowolnych a; b 2 G równania ax = b oraz ya = b maj¡ rozwi¡zania w G.
Ponadto wykaza¢, »e rozwi¡zania równa« z warunku (r) s¡ jedyne i równe x = a¡1 b, y = ba¡1.
Wªasno±¢ 1. Niech G b¦dzie grup¡. Wówczas:
V
1.
(a¡1)¡1 = a ^ (ab)¡1 = b¡1 a¡1
a;b2G
2. f-cja f: G ! G dana wzorem f(x) := x¡1 , x 2 G, jest bijekcj¡
V
3.
((ac = bc) ) a = b) ^ ((ca = cb) ) a = b) (prawo skraca«)
a;b;c2G
4. dla ka»dego a 2 G f-cje fa i ga: G ! G dane wzorami fa(x) := ax oraz
ga(x) := xa, x 2 G, s¡ bijekcjami.
Szkic dowodu.
ad. 1. Rachunki + jedyno±¢ elementu odwrotnego.
ad. 2. Wynika z 1.
ad. 3. Wykorzysta¢ ª¡czno±¢ i zale»no±¢ e = c c¡1.
ad. 4. U»y¢ ¢wiczenia 4.
Denicja 2. Powiemy, »e grupa G jest przemienna (b¡d¹ abelowa), je±li speªniony jest warunek
V
G4 .
a b = b a.
a;b2G
1. Grupy
3
Denicja 3. Niech (G; ) b¦dzie grup¡ i a 2 G. Okre±lamy formaln¡ pot¦g¦ nast¦puj¡co:
a0 := e;
an+1 := an a;
a
¡n
:= (a )
n ¡1
n 2 N0 :
; n 2 N0
Analogicznie w przypadku zapisu addytywnego, deniujemy formaln¡ wielokrotno±¢ n a.
wiczenie 5. Udowodni¢, »e okre±lone powy»ej formalne pot¦gowanie posiada wªasno±ci
analogiczne do zwykªego pot¦gowania (ale uwaga! tutaj nie musi by¢ przemienne):
i. (am)n = amn ,
ii. am an = am+n:
Zaªó»my dodatkowo, »e jest przemienne. Pokaza¢, »e wtedy zachodzi tak»e
iii. (a b)m = am bm.
Denicja 4. Podzbiór H G jest podgrup¡ grupy (G; ), je±li (H; jHH) jest
grup¡ (tzn. zbiór H z dziaªaniem rozwa»anym tylko w zbiorze H jest grup¡).
Obserwacja. Ka»da grupa G zawiera przynajmniej dwie podgrupy feg oraz G.
S¡ to tzw. podgrupy trywialne grupy G. atwo sprawdzi¢, »e s¡ one dzielnikami
normalnymi G (zob. denicja 14).
Twierdzenie 1. (charakteryzacja podgrup) ? =
/ H G jest podgrup¡ grupy G
gddy
^
a b¡1 2 H
a tak»e gddy
a;b2H
^
a;b2H
a¡1 b 2 H:
Szkic dowodu.
) Najpierw zauwa»y¢, »e ten sam element jest elementem neutralnym w grupie
G i w grupie H (wykorzysta¢ prawo skraca«). Nast¦pnie stwierdzi¢, »e ka»dy
element b 2 H ma t¦ sam¡ odwrotno±¢ b¡1 w H i w G i u»y¢ denicji podgrupy.
( (Wystarczy rozwa»y¢ np. pierwszy z przypadków drugi jest analogiczny)
Np. mo»na u»y¢ ¢wiczenia 3. Ale trzeba te» zauwa»y¢, »e jest wewn¦trzna w H! wiczenie 6. Udowodni¢, »e ? =
/ H G jest podgrup¡ grupy G gddy
^
(a b 2 H ^ a¡1 2 H):
a;b2H
wiczenie 7. Niech G b¦dzie grup¡. Wykaza¢, »e je±li dla pewnego elementu x 2 G zachodzi
x x = x, to x = e (tzn. x jest elementem neutralnym G).
Denicja 5. Rz¦dem rz(X) zbioru X nazywamy b¡d¹ liczb¦ jego elementów, je±li
X jest sko«czony, tzn. rz(X) := card(X), b¡d¹ te» rz(X) := +1 dla card(X) > @0.
Szymon Brzostowski
Twierdzenie 2. (charakteryzacja podgrup sko«czonych) Niech G b¦dzie
grup¡. Wtedy jej podzbiór H =
/ ? sko«czonego rz¦du stanowi jej podgrup¦ gddy
^
ab2H
(1)
a;b2H
(tzn. gddy jHH jest dziaªaniem wewn¦trznym w H).
Szkic dowodu.
) Oczywiste.
( Ustalmy dowolne a 2 H i rozwa»my f-cj¦ fa: G ! G, okre±lon¡ jak we wªasno±ci 1. Z zaªo»enia i wspomnianej wªasno±ci wnioskujemy, »e fa(H) = H. Podobnie
stwierdzamy, »e ga(H) = H. Teraz wystarczy skorzysta¢ z ¢wiczenia 4.
Wªasno±¢ 2. Przekrój H dowolnej niepustej rodziny fHtgt2T podgrup grupy G
jest podgrup¡ grupy G.
Szkic dowodu. Zauwa»y¢, »e H =
/ ? a nast¦pnie skorzysta¢ z twierdzenia 1.
Przykªady (do sprawdzenia samodzielnego b¡d¹ na ¢wiczeniach!).
I. Dla dowolnego zbioru X C niech X := X n f0g oraz X+ := X \ (0; +1). W
ci¡gach:
!
!
!
(C; +) (R; +) (Q; +) (Z; +) (f0g; +),
(C; ) (R; ) (Q; ) (f1g; ),
(R+; ) (Q+; ) (f1g; ),
gdzie + i oznaczaj¡ zwykªe dodawanie i mno»enie liczb zespolonych, ka»dy
wyraz jest grup¡ abelow¡, podgrup¡ ka»dej z grup poprzedzaj¡cych.
II. Niech Pn zbiór pierwiastków n-tego
stopnia z 1 w C. Wtedy (Pn; ) jest
S
podgrup¡ (C ; ). Podobnie P := n2N Pn zbiór wszystkich pierwiastków z
1 jest podgrup¡ grupy (C; ).
III. X dowolny zbiór. Para (2X; ), gdzie jest ró»nic¡ symetryczn¡ zbiorów,
stanowi grup¦ abelow¡.
IV. (fa + b i: a; b 2 Zg; +) grupa abelowa (a nawet pier±cie«, tzw. pier±cie«
Gaussa).
V. Macierze nieosobliwe GL(n; K), K -- ciaªo, tworz¡ grup¦ nieprzemienn¡
wzgl¦dem operacji mno»enia macierzy.
VI. Niech (L; +; ) przestrze« liniowa nad ciaªem K. Wtedy (L; +) stanowi grup¦.
VII. Niech X =
/ ?. Zbiór bijekcji zbioru X
1¡1
f: X !
!
!
!
!
!
!
!
!
!X
na
stanowi grup¦ wraz z dziaªaniem skªadania przeksztaªce«. Grup¦ t¦ b¦dziemy
oznacza¢ przez (Bij(X); ).
1. Grupy
5
VIII. W przypadku gdy X = f1; :::; ng elementy Bij(X) nazywamy permutacjami ,
a sam¡ grup¦ oznaczamy przez Sn i nazywamy grup¡ symetryczn¡. Jej podgrup¡ jest zbiór An permutacji parzystych (tzn. sgn() = 1 dla 2 An; »e to
istotnie podgrupa grupy Sn, mo»na wywnioskowa¢ z twierdzenia 2 i wªasno±ci
znaku permutacji). Grup¦ An nazywamy grup¡ alternuj¡c¡.
IX. Niech S1 := ff 2 Bij(N): rzfn 2 N: f(n) =
/ ng =
/ 1g. Jest to grupa symetryczna
niesko«czona (wraz z dziaªaniem skªadania przeksztaªce«).
!
V
X.
f: R !
!
!
!
!
! R: f ¡ klasy C1 oraz f 0(x) =
/ 0 ; jest podgrup¡ grupy Bij(R).
na
x2R
XI. Niech n 2 N. Zbiór Zn := f0; :::; n ¡ 1g wraz z dziaªaniem +n dodawania
modulo n, tzn. a +n b := (a + b) mod n, dla a; b 2 Zn, stanowi grup¦ abelow¡.
wiczenie 8. Poda¢ przykªad grupy G, której podzbiór H =
/ ? speªnia warunek (1) twierdzenia 2, ale H nie jest podgrup¡ grupy G.
V
wiczenie 9. Udowodni¢, »e je»eli w grupie G zachodzi a2Ga2=e, to G jest grup¡ abelow¡.
Denicja 6. Niech G b¦dzie grup¡ i ? =
/ M G. Oznaczmy
nr
1
hMi := fan
1 ::: ar : a1; :::; ar 2 M; n1; :::; nr 2 Z; r 2 Ng:
Ponadto dla M = ?, hMi = h?i := feg. Zbiór hMi b¦dziemy nazywa¢ grup¡ generowan¡ przez M. Z kolei zbiór N G b¦dziemy nazywa¢ zbiorem generatorów
grupy G, je±li hNi = G.
Obserwacje i konwencje. Wprost z denicji wida¢, »e hMi G. W przypadku gdy
M = fag b¦dziemy pisa¢ hai zamiast hfagi. Korzystaj¡c z denicji i ¢wiczenia 5 ªatwo
wywnioskowa¢, »e
hai = fan: n 2 Zg:
Podobnie, je±li M = fx1; :::; xkg jest podzbiorem grupy abelowej G,
nk
1
hMi = fxn
1 ::: xk : n1; :::; nk 2 Zg:
Twierdzenie 3. (opis grupy generowanej) Dla dowolnego M G zbiór hMi
jest podgrup¡ grupy G. Dokªadniej, jest to najmniejsza (w sensie relacji
inkluzji) podgrupa grupy G zawieraj¡ca zbiór M. Innymi sªowy,
\
hMi =
H:
HM
H¡ podgrupa
grupy G
Dowód.
!
!
Zauwa»y¢, »e M hMi.
Zauwa»y¢, »e hMi jest podgrup¡ grupy G u»ywaj¡c twierdzenia 1 i wªasno±ci
1 p. 1.
!
Szymon Brzostowski
Stwierdzi¢, »e ka»da podgrupa H grupy G, taka, »e H M, speªnia warunek
H hMi.
Denicja 7. Powiemy, »e grupa G jest cykliczna, je±li istnieje a 2 G takie, »e
G = hai = fan: n 2 Zg:
Denicja 8. Niech a 2 G, gdzie G dowolna grupa. Rz¦dem elementu a nazywamy rz¡d zbioru hai, tzn.
rz(a) := rz(hai):
Z ¢wiczenia 5 ªatwo wywnioskowa¢:
Wªasno±¢ 3. Ka»da grupa cykliczna jest abelowa.
Przykªady (drugi i trzeci z nich wynika z pó¹niejszych faktów).
a) (Z; +) = h1i = h¡1i, rz(1) = +1
b) (Zn; +n) = hai, dla dowolnego 0 =
/ a 2 Zn takiego, »e gcd(a; n) = 1
c) Grupa Pn zªo»ona z n-tych pierwiastków z 1, z przykªadu II, jest cykliczna
(por. punkt b) i twierdzenie 11).
wiczenie 10. Dowie±¢, »e jedyn¡ podgrup¡ rz¦du n 2 N grupy (C; ) jest grupa Pn n-tych
pierwiastków z 1.
wiczenie 11. Znale¹¢ rz¡d permutacji := h1; 2; 3i w grupie S3 (patrz przykªad VIII).
wiczenie 12. Jakie s¡ mo»liwe rz¦dy elementów grupy (2X; ) z przykªadu III?
wiczenie 13. Znale¹¢ rz¦dy nast¦puj¡cych elementów grupy GL(2; R) (patrz przykªad V):
1 1
¡1 0
A :=
;
B :=
:
¡2 4
0 ¡1
Denicja 9. Powiemy, »e grupy (G; ) oraz (G 0; ) s¡ izomorczne je±li istnieje
bijekcja : G ! G 0 zgodna z dziaªaniami grupowymi, tzn.
(h)
(a b) = (a) (b);
dla wszystkich a; b 2 G. Wtedy takie nazywamy izomorzmem (grup) i pisze
0
0
my G = G lub dokªadniej G
=G .
0
Dowolne : G ! G (tzn. niekoniecznie bijekcj¦) speªniaj¡ce warunek (h)
nazywamy homomorzmem (grup); homomorzm ró»nowarto±ciowy nazywa
si¦ monomorzmem (grup) a homomorzm surjektywny epimorzmem (grup).
Notka 1. Algebra jako taka zajmuje si¦ jedynie wªasno±ciami niezmienniczymi
wzgl¦dem izomorzmów (nie tylko w przypadku grup). Innymi sªowy, nie ma znaczenia z punktu widzenia algebry np. natura elementów danego zbioru a tylko
to, jak na tych elementach si¦ rachuje. I tak, zwykle nieistotne dla matematyka (a
tym bardziej zwykªego czªowieka) jest pytanie typu: z jakich elementów skªada si¦
zbiór liczb wymiernych (czy rzeczywistych)? wa»ne jest tylko to, »e umiemy
te liczby dodawa¢ czy mno»y¢ i »e zachodz¡ pewne wªasno±ci tych dziaªa«. Poj¦cie
izomorzmu jest sformalizowaniem takiego podej±cia obiekty izomorczne s¡ nieodró»nialne wewn¡trz algebry.
1. Grupy
7
Z drugiej strony, nawet w obr¦bie algebry cz¦sto zachodzi potrzeba skorzystania ze szczególnych wªasno±ci elementów danego zbioru (najcz¦±ciej w pewnych
konstrukcjach, dowodach czy przykªadach). Takimi wªasno±ciami s¡ obdarzone np.
elementy grupy ilorazowej czyli klasy; cz¦sto dan¡ struktur¦ algebraiczn¡ wygodniej
jest bada¢ traktuj¡c j¡ jako struktur¦ ilorazow¡ innej, lepiej znanej struktury (tu
korzysta si¦ z twierdzenia o izomorzmie patrz ni»ej). Pewn¡ analogi¡ takiego
post¦powania jest znana z »ycia codziennego mo»liwo±¢ rachowania na uªamkach
zwykªych b¡d¹ dziesi¦tnych w zale»no±ci od sytuacji wygodniej mo»e by¢ u»ywa¢
jednych b¡d¹ drugich, mimo »e obydwa zapisy s¡ przejawem jednej i tej samej grupy,
np. (Q; +) czy (Q; ) (ale bywaj¡ te» oczywi±cie problemy matematyczne, w których
odpowiedni wybór reprezentacji liczb wymiernych mo»e znacznie upraszcza¢ spraw¦).
wiczenie 14. Niech (G; ) b¦dzie grup¡ a (G 0; ) grupoidem (tzn. G 0 =
/ ? i jest
dziaªaniem wewn¦trznym w G 0, niekoniecznie ª¡cznym!). Niech : G ! G 0 speªnia warunek
(h) denicji 9. Udowodni¢, »e:
i. ((G); ) jest grup¡,
ii. je±li (G 0; ) jest grup¡, to ((G); ) jest jej podgrup¡.
Kiedy (G) jest grup¡ abelow¡, cykliczn¡?
Twierdzenie 4. (Cayleya) Ka»da grupa jest izomorczna z pewn¡ grup¡ przeksztaªce« bijektywnych pewnego zbioru na siebie. Grupa sko«czona rz¦du n
jest izomorczna z pewn¡ podgrup¡ grupy symetrycznej Sn.
Szkic dowodu. Dowolnemu elementowi a 2 G przypisujemy przesuni¦cie lewostronne fa okre±lone jak we wªasno±ci 1. To przyporz¡dkowanie jest szukanym
izomorzmem aby to sprawdzi¢ wystarczy przeliczy¢, »e jest ono ró»nowarto±ciowe,
»e zachodzi warunek (h) i u»y¢ ¢wiczenia 14.
Uwaga. Na mocy powy»szego twierdzenia i notki 1, z punktu widzenia algebry
wystarczy w zasadzie bada¢ grupy bijekcji.
wiczenie 15. Udowodni¢, »e (Z; +) / (Q; +).
=
wiczenie 16. Niech G grupa (niesko«czonych) ci¡gów liczb wymiernych z dodawaniem
po wspóªrz¦dnych, tzn. G := (QN; +), i niech H := (Z QN; ), gdzie równie» oznacza
dodawanie po wspóªrz¦dnych. Udowodni¢, »e:
i. H jest podgrup¡ grupy G,
ii. G jest izomorczna z pewn¡ podgrup¡ grupy H,
iii. G / H.
=
wiczenie 17. Udowodni¢, »e zbiór G macierzy postaci
a ¡b
; gdzie a; b 2 R; a2 + b2 =
/ 0;
b a
tworzy grup¦ wraz z dziaªaniem mno»enia macierzy. Pokaza¢, »e (G; ) = (C ; ).
Denicja 10. Izomorzm grupy G na siebie nazywamy automorzmem (grupy
G). Zbiór wszystkich takich automorzmów b¦dziemy oznacza¢ przez Aut(G).
Szymon Brzostowski
Wªasno±¢ 4. Dla dowolnej grupy G zbiór Aut(G) wraz z dziaªaniem skªadania
przeksztaªce« stanowi grup¦, podgrup¦ (Bij(G); ).
Szkic dowodu.
!
!
Zauwa»y¢, »e Aut(G) Bij(G)
U»y¢ twierdzenia 1 b¡d¹ ¢wiczenia 6 (i przypomnie¢ sobie przykªad VII)
wiczenie 18. Dla dowolnej grupy G okre±lamy zbiór Autw(G) automorzmów wewn¦trznych grupy G przyjmuj¡c, »e ' 2 Autw(G) gddy istnieje a 2 G, takie, »e '(x) = a x a¡1, x 2 G.
Wykaza¢, »e Autw(G) jest podgrup¡ grupy Aut(G) (a nawet jej dzielnikiem normalnym patrz denicja 14).
wiczenie 19. Udowodni¢, »e je±li ': G ! G zadane wzorem '(x) := x¡1 jest automorzmem
grupy (G; ), to grupa G jest abelowa.
Denicja 11. Niech H i K b¦d¡ niepustymi podzbiorami pewnego grupoidu
(G; ) (zob. ¢wiczenie 14). Okre±lamy iloczyn algebraiczny zbiorów H i K wzorem
H K := fh k: h 2 H ^ k 2 Kg:
Wªasno±¢ 5. W ka»dej póªgrupie G zachodzi H (K L) = (H K) L, dla dowolnych
?=
/ H; K; L G.
Dowód. Oczywiste.
Denicja 12. Niech H b¦dzie podgrup¡ grupy G oraz a 2 G. Okre±lamy
a H := fag H oraz H a := H fag:
Zbiory te nazywamy odpowiednio: warstw¡ lewostronn¡ (prawostronn¡) grupy G
wzgl¦dem podgrupy H (wyznaczon¡ przez element a) lub krótko: warstw¡ (lewostronn¡ odp. prawostronn¡) elementu a.
Twierdzenie 5. (o równo±ci warstw) Niech H b¦dzie podgrup¡ grupy G za±
a, b elementami grupy G. Wtedy:
1. a H = b H , a¡1 b 2 H i H a = H b , a b¡1 2 H,
2. ka»de dwie warstwy grupy G wzgl¦dem podgrupy H s¡ równoliczne.
Szkic dowodu. (Patrz Algebra 1)
ad. 1. (Wystarczy udowodni¢ np. pierwsz¡ równowa»no±¢; drug¡ dowodzi si¦ analogicznie) ) Przej±¢ do elementów. ( Np. wykaza¢ pomocniczo, »e dla x 2 H jest
x H = H.
ad. 2. U»y¢ wªasno±ci 1 p. 4.
Wªasno±¢ 6. W dowolnej grupie G zbiór warstw lewostronnych H := fa H: a 2 Gg
grupy G wzgl¦dem podgrupy H jest równy zbiorowi klas abstrakcji relacji w G
zadanej wzorem a b , a¡1 b 2 H. Zatem H stanowi rozbicie zbioru G. Podobnie
dla fH a: a 2 Gg.
1. Grupy
9
Szkic dowodu. Sprawdzi¢, »e jest relacj¡ równowa»no±ci i wykaza¢, »e [a] = a H
dla a 2 G.
Wªasno±¢ 7. Rodzina fa H: a 2 Gg jest równoliczna z rodzin¡ fH a: a 2 Gg.
Szkic dowodu. Rozpatrze¢ przypisanie (a H) := H a¡1 i udowodni¢, »e jest to
poprawnie okre±lona funkcja bijektywna.
Denicja 13. Indeksem podgrupy H w grupie G nazywamy
iG(H) := rzfa H: a 2 Gg = rzfH a: a 2 Gg:
wª. 7
Twierdzenie 6. (Lagrange'a) Je±li H jest podgrup¡ grupy G, to zachodzi
rz(G) = rz(H) iG(H):
(W powy»szym twierdzeniu przyjmujemy oczywist¡ konwencj¦, »e 1 1 = 1.)
Szkic dowodu. (Patrz Algebra 1) W przypadku gdy rz(H); iG(H) < 1 wystarczy
u»y¢ wªasno±ci 6 i twierdzenia 5 p. 2. W pozostaªych przypadkach trzeba zauwa»y¢,
»e zawsze rz(G) = 1.
Wniosek 1. Je±li G jest grup¡ sko«czonego rz¦du i a 2 G, to rz(a)jrz(G).
Dowód. Wynika bezpo±rednio z denicji rz¦du elementu i twierdzenia Lagrange'a. Denicja 14. Podgrup¦ H grupy G nazywamy jej podgrup¡ normaln¡ (ewent.
jej dzielnikiem normalnym), je±li ka»dy automorzm wewn¦trzny ' 2 Autw(G)
przeprowadza H na siebie, tzn.
V
V
(n)
a H a¡1 = H
,
a H = H a:
a2G
lub
a2G
równowa»nie
Fakt, »e H jest dzielnikiem normalnym grupy G, b¦dziemy notowa¢ tak: H C G.
Uwaga. Warunek (n) orzeka w szczególno±ci, »e ka»da warstwa grupy G wzgl¦dem
jej podgrupy normalnej H jest obustronna (tzn. lewo- i prawostronna).
Twierdzenie 7. (charakteryzacja podgrup normalnych) Niech H b¦dzie podgrup¡ grupy G. Wtedy H jest dzielnikiem normalnym grupy G gddy zachodzi
warunek
^
^
(n 0)
a h a¡1 2 H
,
a H a¡1 H:
a2G;h2H
lub
równowa»nie a2G
Szkic dowodu. Wystarczy zauwa»y¢, »e z dowolno±ci a 2 G warunek a H a¡1 H
poci¡ga za sob¡ tak»e zawieranie odwrotne, co daje (n).
Wªasno±¢ 8. Je±li G jest grup¡ abelow¡, to ka»da jej podgrupa H jest jej podgrup¡ normaln¡.
Dowód. Wynika bezpo±rednio z twierdzenia 7.
Szymon Brzostowski
Twierdzenie 8 (i denicja 15). (istnienie grupy ilorazowej) Niech H C G.
Wtedy zbiór warstw G / H := fa H: a 2 Gg wraz z dziaªaniem algebraicznego mno»enia zbiorów tworzy grup¦, zwan¡ grup¡ ilorazow¡ G przez (ewent.
modulo, wzgl¦dem) H. W grupie tej zachodzi wzór
(a H) (b H) = (a b) H;
dla a; b 2 G, jej elementem neutralnym jest e H = H, za± elementem odwrotnym
do danego elementu a H jest a¡1 H.
Szkic dowodu. (Patrz Algebra 1) Wykazawszy najpierw, »e H H = H, u»y¢
wªasno±ci 5 i przerachowa¢.
Denicja 16. Niech ': G ! G 0 b¦dzie homomorzmem grup. Okre±lamy j¡dro
homomorzmu ' wzorem Ker ' := fg 2 G: '(g) = e 0g = '¡1(fe 0g), gdzie e 0
jest elementem neutralnym grupy G 0 , a tak»e obraz homomorzmu ' wzorem
Im ' := '(G).
Wªasno±¢ 9. Homomorzm grup ': G ! G 0 jest monomorzmem gddy jego j¡dro
jest jednoelementowe. Wówczas Ker ' = feg.
Szkic dowodu. ) Oczywiste.
( Dla h(a) = h(b) zbada¢ warto±¢ h(a b¡1).
Twierdzenie 9. (o izomorzmie) Je±li ': G ! G 0 jest homomorzmem grup,
to Ker ' C G, Im ' jest podgrup¡ G 0 oraz
G/Ker ' = Im ':
Szkic dowodu. (Patrz Algebra 1) Tezy o Ker ' i Im ' ªatwo wyprowadzi¢ rachunkiem (mo»na u»y¢ ¢wiczenia 14 oraz twierdzenia 7). Z kolei szukany izomorzm
zadajemy naturalnym wzorem '(a Ker ') := '(a), a 2 G. Nale»y sprawdzi¢, »e ta
denicja jest poprawna (twierdzenie 5 pomaga to zrobi¢) oraz pozostaªe warunki
izomorzmu (tutaj mo»na u»y¢ m.in. wªasno±ci 9).
Wniosek 2. Niech ': G ! G 0 b¦dzie homomorzmem grup. Wówczas rz G =
rz(Ker ') rz(Im '). W szczególno±ci dla dowolnego elementu a 2 G sko«czonego
rz¦du zachodzi rz '(a) j rz a.
Szkic dowodu. U»y¢ twierdzenia o izomorzmie i twierdzenia Lagrange'a.
Wªasno±¢ 10. Je±li H C G, to odwzorowanie ilorazowe H: G ! G/H jest epimorzmem o j¡drze H.
Szkic dowodu. U»y¢ twierdzenia 5.
wiczenie 20. Udowodni¢, »e (Zn; +n) = (Z/n Z; +), dla n 2 N.
wiczenie 21. Niech H K i K; H C G. Znale¹¢ homomorzm G/H ! G/K i zastosowa¢ do
niego twierdzenie o izomorzmie.
1. Grupy
11
Twierdzenie 10. (o generowaniu grupy cyklicznej sko«czonego rz¦du)
Grupa cykliczna hai jest rz¦du sko«czonego gddy istnieje k 2 N, takie, »e
ak = e. Wówczas
1. rz(a) = min fl 2 N: al = eg oraz hai = fa0 = e; :::; arz(a)¡1g,
2. am = e gddy rz(a) j m, dla dowolnej liczby caªkowitej m.
Szkic dowodu. Najpierw pokazujemy, »e je±li ak = e, to rz a 6 k. Nast¦pnie, »e je±li
n: =min fl 2 N: al = eg, to ai =
/ aj dla 0 6 i < j < n; to oznacza, »e rz a > n. ¡cznie
rz a = n i punkt 1. jest dowiedziony. Punkt 2. wywnioskowa¢ mo»na z równo±ci
am = am(mod n) oraz punktu 1. (przypomnienie: 0 2
/ N!).
wiczenie 22. Udowodni¢, »e je±li grupa G ma rz¡d p, gdzie p jest liczb¡ pierwsz¡, to jej
ka»dy element a =
/ e jest jej generatorem, tzn. hai = G. W szczególno±ci G jest cykliczna.
wiczenie 23. Pokaza¢, »e podgrupa grupy cyklicznej jest cykliczna.
Twierdzenie 11. (o kanonicznej postaci grup cyklicznych) Ka»da grupa
cykliczna G jest izomorczna albo z (Z; +) albo z (Zn; +n), dla pewnego n 2 N.
Szkic dowodu. Je±li G = hai, to okre±lamy funkcj¦ f: Z ! G wzorem f(k) := ak, k 2 Z.
S¡ tu dwa przypadki f-cja f jest ró»nowarto±ciowa b¡d¹ nie. U»y¢ twierdzenia 10,
twierdzenia o izomorzmie i ¢wiczenia 20.
Notacja. W dalszym ci¡gu grupy cykliczne b¦dziemy cz¦sto oznacza¢ przez Cn
b¡d¹ C1 (na mocy powy»szego twierdzenia i tak mo»emy my±le¢, »e dziaªamy
na liczbach caªkowitych) w zale»no±ci od tego czy rz¡d takiej grupy jest równy
rz G = n < 1 czy te» rz G = 1. Dziaªanie w takich grupach b¦dziemy zapisywa¢
w sposób multyplikatywny.
Denicja 17. Powiemy, »e grupa G jest prosta, je±li jej jedynymi dzielnikami
normalnymi s¡ feg i G (tzn. tylko jej trywialne podgrupy normalne).
Wniosek 3. Ka»da grupa abelowa i prosta jest cykliczna i sko«czona, a wi¦c
równa pewnemu Cn, n 2 N.
Szkic dowodu. Rozwa»y¢ podgrup¦ hai grupy G, dla pewnego G 3 a =
/ e. Wykorzy
sta¢ wªasno±¢ 8 oraz twierdzenie 11 (tu nale»y wykluczy¢, »e G = Z).
Notacja. W dalszym ci¡gu, je±li nie b¦dzie inaczej wynika¢ z kontekstu, symbol
(k; n) b¦dzie oznaczaª najwi¦kszy wspólny dzielnik liczb caªkowitych k i n.
Wªasno±¢ 11. Zaªó»my, »e rzhai = n 2 N. Wtedy haki = ha(k;n)i, dla dowolnego
k 2 Z.
Szkic dowodu. Zapiszmy (k; n) = u k + v n, dla pewnych u; v 2 Z (jest to fakt
standardowy; dowód analogicznego faktu dla wielomianów podamy pó¹niej patrz
twierdzenie 27). Wnioskujemy st¡d, »e ha(k;n)i haki. Skoro (k; n) j k, to dostajemy
te» zawieranie odwrotne.
Szymon Brzostowski
Wniosek 4. Niech rzhai = n 2 N. Wtedy równo±¢ hai = haki jest równowa»na
równo±ci (k; n) = 1, dla dowolnego k 2 Z.
Szkic dowodu.
( Wynika z wªasno±ci 11.
) Zauwa»y¢, »e relacja (ak)l = a implikuje 1 = k l + n m, gdzie l; m 2 Z (u»y¢
twierdzenia 10 p. 2.).
Wniosek 5. Niech n 2 N, k 2 N0. Wtedy f: Cn ! Cn dane wzorem
f(x): =xk;
dla x 2 Cn, jest homomorzmem oraz Im f = Cn/(k;n). Ponadto, f jest izomorzmem gddy (k; n) = 1.
n
n
Je±li Cn = hai, to rz ak = (k; n) a je±li dodatkowo k j n, to rz ak = k .
Szkic dowodu. U»ywaj¡c wªasno±ci 11 stwierdzamy, »e f(hai)=ha(k;n)iC n. Z faktu,
n
»e rz a=n, ci¡g postaci (a(k;n)i)06i<n/(k;n) jest ró»nowarto±ciowy. Ale (a(k;n)) (k; n) = e,
n
wi¦c twierdzenie 10 pozwala nam wywnioskowa¢, »e rz a(k;n) = (k; n) . ¡cznie, f(Cn) =
Cn/(k;n) Cn. A teraz tylko pytanie: kiedy ostatnie zawieranie jest równo±ci¡? Wªasno±¢ 12. Niech G b¦dzie grup¡ za± a i b jej elementami sko«czonego
rz¦du. Je±li (rz a; rz b) = 1 oraz a b = b a, to rz(a b) = rz(a) rz(b).
Szkic dowodu. Oznaczmy r := rz(a b).
!
Zauwa»y¢, »e r j (rz(a) rz(b)).
!
Rozwa»y¢ równo±¢ e = (a b)rrz(a) i wywnioskowa¢ z niej, »e rz(b) j r; podobnie
rz(a) j r.
W powy»szych sprawdzeniach u»y¢ twierdzenia 10.
Twierdzenie 12. (Cauchy'ego dla grup abelowych) Je±li (G; ) jest grup¡
abelow¡ sko«czonego rz¦du oraz p jest liczb¡ pierwsz¡ tak¡, »e p j rz(G), to w
G istnieje element rz¦du p.
Szkic dowodu. Niech rz G = n oraz G = fa1; :::; ang. Poªó»my Hi := haii i
rozwa»my H := H1 ::: Hn wraz z dziaªaniem okre±lonym po wspóªrz¦dnych
(przypominamy, »e tego typu obiekt jest nazywany sum¡ (b¡d¹ iloczynem) prost¡
(-ym) grup H1; :::; Hn). Deniujemy homomorzm grup f: (H; ) ! (G; ) wzorem
f(x1; :::; xn) := x1 ::: xn, dla xi 2 Hi. Stwierdzamy, »e f jest epimorzmem a nast¦pnie u»ywaj¡c wniosku
D
E 2 »e rz G j rz H. St¡d wynika, »e p j rz aj dla pewnego j. Rozwa»amy
rz aj
grup¦ K := aj
p
i sprawdzamy, »e to wªa±nie jej szukali±my (wniosek 5).
Uwaga. Powy»sze twierdzenie jest te» prawdziwe bez zaªo»enia przemienno±ci grupy
G (zob. [Fil08, tw. 33, str. 242]).
1. Grupy
13
wiczenie 24. Przypominamy, »e grupa (G; ) jest iloczynem (b¡d¹ sum¡) prostym (-t¡)
swoich podgrup H1; :::; Hn, je±li G jest izomorczna z iloczynem prostym grup H1; :::; Hn, tzn.
G
= H1 ::: Hn. Piszemy wtedy G = H1 ::: Hn (ewent. G = H1 ::: Hn). Udowodni¢,
»e G = H1 H2 je±li speªnione s¡ nast¦puj¡ce warunki:
1. G = H1 H2 (mno»enie algebraiczne zbiorów)
2. H1 \ H2 = feg
V
3.
a b = b a.
a2H
1
b2H2
wiczenie 25. Udowodni¢, »e dla dowolnych grup G1; G2; G3 zachodzi (G1 G2) G3 =
G1 G2 G3 i zastanowi¢ si¦ nad konsekwencjami tego (i temu podobnych) faktu.
wiczenie 26. Udowodni¢, »e dla dowolnych grup G1; G2 zachodzi G1 G2 = G2 G1 i zastanowi¢ si¦ nad konsekwencjami tego faktu.
Twierdzenie 13. (o rozkªadzie grupy cyklicznej) Ka»da sko«czona grupa
cykliczna G jest iloczynem prostym grup cyklicznych, których rz¦dy s¡ pot¦gami ró»nych liczb pierwszych.
Szkic dowodu. Mo»na zaªo»y¢, »e G =
/ feg, tzn. »e rz G > 1.
!
!
Niech najpierw rz G = k l, (k; l) = 1. Je±li G = hai, to okre±lamy G1 := hali
oraz G2 := haki. Na mocy wniosku 5, G1 = Ck i G2 = Cl. Rozwi¡zuj¡c równanie
n = u k + v l, dla dowolnie ustalonego n 2 Z, stwierdzamy, »e G G1 G2 a
st¡d oczywi±cie G = G1 G2. Nast¦pnie pokazujemy, »e G1 \ G2 = feg i dzi¦ki
wªasno±ci 3 mo»emy u»y¢ ¢wiczenia 24, które orzeka, »e G = G1 G2 = Ck Cl.
W przypadku ogólnym stosujemy indukcj¦, rozkªadaj¡c rz(G) na czynniki
pierwsze: rz G = pk1 1 ::: pkr r; indukcja przebiega wzgl¦dem r. Przydaje si¦
¢wiczenie 25.
Twierdzenie 14. (o elemencie maksymalnego rz¦du w grupie abelowej)
Niech G b¦dzie grup¡ abelow¡.
k:=sup (frz(a):a2Ggnf1g) i zaªó»my,
W Okre±lmy
V
»e k < 1 (tzn. zaªó»my, »e N2N a2G (rz a < 1 ) rz a 6 N)). Wówczas dla
ka»dego elementu b 2 G sko«czonego rz¦du zachodzi rz(b) j k. W szczególno±ci,
je±li rz G < 1, to dla ka»dego b 2 G jest rz(b) j k.
Szkic dowodu. Niech x 2 G b¦dzie takie, »e rz x = k. Nie wprost przypu±¢my, »e
istnieje element b 2 G rz¦du l := rz(b) < 1 oraz l - k. Wybieramy liczb¦ pierwsz¡ p oraz
i 2 N tak, by pijjl (tzn. by pi dzieliªo dokªadnie l) ale pi - k. Rozpisujemy l = pi l, k =
pj k, dla pewnych l; k 2 N, j 2 N0 takich, »e (p; l) = 1 oraz (p; k) = 1. Z wyboru p oraz
j
i mamy, »e j < i. Teraz rozwa»amy elementy xp oraz bl, liczymy ich rz¦dy (wniosek
¡ j 5) i u»ywamy wªasno±ci 12 by sprawdzi¢, »e 1 > rz xp bl > k, co daje sprzeczno±¢
z okre±leniem liczby k.
Twierdzenie 15. (podstawowe o grupach abelowych sko«czenie generowanych) Ka»da grupa abelowa posiadaj¡ca sko«czony zbiór generatorów jest
iloczynem prostym grup cyklicznych.
Dowód. Patrz Algebra 1 albo [Fil08, tw. 22, str. 234].
Szymon Brzostowski
wiczenie 27. Udowodni¢, »e je±li G = K1 V::: Kn, gdzie G; K1; :::; Kn grupy, to istniej¡
L1; :::; Ln G podgrupy grupy G, takie »e 16j6n Kj = Lj oraz G = L1 ::: Ln.
Wniosek 6. Ka»da sko«czona grupa abelowa G jest iloczynem prostym grup
cyklicznych o rz¦dach b¦d¡cych pot¦gami liczb pierwszych.
Szkic dowodu. Oczywi±cie G = fa1; :::; ang ) G = ha1; :::; ani, zatem mo»na
zastosowa¢ twierdzenie 15. Ze sko«czono±ci G wynika, »e G = Ck1 ::: Ckr, gdzie
k1; :::; kr =
/ 1 (równo±¢ mo»na uzasadni¢ uniwersalno±ci¡ symbolu Ck oraz ¢wiczeniem
27). Stosuj¡c twierdzenie 13 do ka»dego czynnika powy»szego rozkªadu grupy G i
pami¦taj¡c o ¢wiczeniu 25 wnioskujemy o istnieniu »¡danego rozkªadu.
Uwaga. Mo»na udowodni¢, »e rozkªad grupy G, o którym mowa w powy»szym
wniosku, jest w zasadzie jednoznaczny modulo kolejno±¢ czynników w rozkªadzie (i
trywialne czynniki rz¦du 1).
Twierdzenie 16. (o podgrupie zadanego rz¦du sko«czonej grupy abelowej)
Je±li G jest grup¡ abelow¡ sko«czonego rz¦du n oraz liczba naturalna m speªnia warunek m j n, to w G istnieje taka jej podgrupa H, »e rz H = m.
Szkic dowodu. Zgodnie z wnioskiem 6, G = Cpk1 ::: Cpkr r, gdzie oczywi±cie
1
n = pk1 1 ::: pkr r. Zatem mo»na zapisa¢ m = pl11 ::: plrr, przy czym 0 6 lj 6 kj (j = 1; :::; r).
Np. na mocy wniosku 5, ªatwo zauwa»y¢, »e Cplj Cpkj, czyli kªad¡c H := Cpl1 ::: Cplrr
otrzymujemy szukan¡ podgrup¦ grupy G.
j
j
1
2 Pier±cienie
Denicja 18. Pier±cieniem nazywamy dowolny zbiór R, w którym okre±lone
s¡ dwa dziaªania + i , zwane odpowiednio dodawaniem i mno»eniem,
speªniaj¡ce nast¦puj¡ce warunki:
1. (R; +; 0) grupa abelowa a 0 jej element neutralny,
V
2. r;s;t2R r (s t) = (r s) t (ª¡czno±¢ mno»enia),
V
3. r;s;t2R (r (s + t) = (r s) + (r t) ^ (s + t) r = (s r) + (t r)) (rozdzielno±¢
mno»enia wzgl¦dem dodawania).
Je±li dodatkowo:
V
4. r;s2R r s = s r (przemienno±¢ mno»enia),
to pier±cie« nazywamy przemiennym a je±li
W
V
5.
1 r = r 1 = r (istnienie elementu neutralnego mno»enia),
12R
r2R
to mówimy, »e R jest pier±cieniem z jedynk¡.
Czasem b¦dziemy pisa¢ bardziej precyzyjnie, »e pier±cieniem jest ukªad (R;
+; ).
2. Pier±cienie
15
Komentarze.
Jak zwykle w przypadku dziaªania zapisywanego multyplikatywnie, znak mno»enia b¦dzie najcz¦±ciej pomijany.
Przyjmujemy, »e mno»enie ma wi¦kszy priorytet ni» dodawanie. W zwi¡zku
z tym b¦dziemy opuszcza¢ zb¦dne nawiasy, np. (r s) + (r t) = rs + rt.
Podobnie jak dla grup, w przypadku pier±cieni okre±la si¦ formaln¡ pot¦g¦
jako skrócony zapis mno»enia. Ze wzgl¦du na fakt, »e zwykle w pier±cieniu
jego elementy nie posiadaj¡ odwrotno±ci wzgl¦dem , pot¦ga ta ma zwykle
wykªadniki naturalne. Dodatkowo, je±li 1 2 R, to r0 := 1 dla r 2 R. atwo udowodni¢, »e zachodz¡ podstawowe prawa dziaªa« na takich pot¦gach (por. ¢wiczenie 5).
Przypominamy, »e poj¦cie homomorzmu pier±cieni okre±la si¦ analogicznie
jak w przypadku grup, tzn. je±li ': (R; +; ) ! (S; ; ) jest odwzorowaniem
mi¦dzy pier±cieniami, to nazywa si¦ je homomorzmem (pier±cieni) je±li
^
(.)
'(r + s) = '(r) '(s)
r;s2R
oraz
($)
^
r;s2R
'(r s) = '(r) '(s):
Je±li R i S posiadaj¡ jedynki, to dodatkowo wymaga si¦, by '(1) = 1, tzn.
homomorzmy (pier±cieni z 1) musz¡ przeprowadza¢ 1 w 1.
Zupeªnie jak dla grup, homomorzm ' nazywa si¦ monomorzmem, je±li '
jest ró»nowarto±ciowe, epimorzmem je±li ' jest na, za± izomorzmem
je±li ' jest i mono- i epimorzmem.
Symbole Ker ', Im ' maj¡ takie same znaczenie, jak w przypadku grup
(por. denicja 16). Wªasno±¢ 9 jest te» prawdziwa w przypadku, gdy G jest
pier±cieniem, bo homomorzm ' pier±cieni jest w szczególno±ci homomorzmem grup addytywnych tych»e pier±cieni.
atwo dowie±¢, »e (por. ¢wiczenie 14):
Wªasno±¢ 13. Niech (R; +; ) b¦dzie pier±cieniem, (S; ; ) zbiorem z dwoma
dziaªaniami oraz ': R ! S speªnia warunki (.) i ($). Wówczas:
A) '(R) wraz z dziaªaniami zaw¦»onymi z S jest pier±cieniem,
B) '(0) = 0 oraz '(1) = 1 w pier±cieniu '(R),
C ) '(¡r) = '(r), '(r ¡ s) = '(r) '(s), '(m r) = m '(r), '(rm) = '(r)m,
dla r; s 2 R, m 2 N,
D) je±li R jest przemienny, to '(R) jest przemienny,
Szymon Brzostowski
E ) je±li S jest pier±cieniem (bez 1), to '(R) jest jego podpier±cieniem (patrz
denicja poni»ej).
Dowód. Proste ¢wiczenie.
Denicja 19. Podzbiór S pier±cienia R nazywamy podpier±cieniem pier±cienia
R, je±li S stanowi pier±cie« wraz z dziaªaniami z R rozpatrywanymi w S.
Je±li R zawiera jedynk¦, to tak»e S ma zawiera¢ t¦ jedynk¦; czasem mo»na to
podkre±li¢ mówi¡c, »e S jest podpier±cieniem pier±cienia z jedynk¡ R.
wiczenie 28. Udowodni¢, »e ? =
/ S R jest podpier±cieniem pier±cienia R (bez jedynki)
gddy
V
1. r;s2S r ¡ s 2 S
V
2. r;s2S r s 2 S.
wiczenie 29.TNiech fRtgt2T b¦dzie pewn¡ (niepust¡) rodzin¡ podpier±cieni pier±cienia R.
Udowodni¢, »e t2T Rt te» jest podpier±cieniem pier±cienia R (tak»e gdy 1 2 R).
Z powy»szego ¢wiczenia wynika:
Wniosek 7. Ka»dy podzbiór A pier±cienia R jest zawarty w najmniejszym (w
sensie relacji inkluzji) podpier±cieniu pier±cienia R. Nazywamy go pier±cieniem
generowanym przez zbiór A i oznaczamy przez [A].
T
Dowód. Wystarczy rozwa»y¢ fS: A S R; S podpier±cie« pier±cienia Rg. atwo
zauwa»y¢, »e to jest wªa±nie [A].
Umowa.
W dalszym ci¡gu b¦dziemy rozwa»a¢ jedynie pier±cienie przemienne z 1! Zatem
wsz¦dzie poni»ej pier±cie«=pier±cie« przemienny z 1, chyba »e gdzie± zostanie
wyra¹nie powiedziane, »e jest inaczej.
Przykªady (ewent. ¢wiczenia).
I. (Z; +; ), (Q; +; ), (R; +; ), (C; +; ) pier±cienie przemienne z 1; ka»dy jest
podpier±cieniem nast¦puj¡cego po nim.
II. (Zn; +n; n), gdzie a n b := (a b) (mod n), n 2 N pier±cie« przemienny z 1.
p
p
III. RD := m + n D : m; n 2 Z , D 2 Z, (tutaj np. ¡1 : =i a D jest zwykle liczb¡
bezkwadratow¡, tzn. niepodzieln¡ przez kwadrat »adnej liczby pierwszej) pier±cie« przemienny z 1, zwany pier±cieniem Gaussa .
IV. Je±li R jest pier±cieniem przemiennym z 1, to w sposób standardowy okre±lamy
pier±cie« wielomianów R[X] zmiennej X o wspóªczynnikach w pier±cieniu
R. Podobnie okre±lamy pier±cie« R[X1; :::; Xn] wielomianów zmiennych
X1; :::; Xn o wspóªczynnikach w pier±cieniu R. W naturalny sposób mo»na
traktowa¢ R (i podobnie np. R[X1]) jako podpier±cie« pier±cienia R[X1; :::; Xn].
2. Pier±cienie
17
V. W sytuacji jak powy»ej, niech u1;:::;un2R oraz niech S b¦dzie podpier±cieniem
pier±cienia R. Przypisanie Xj 7! uj okre±la homomorzm , tzw. homomorzm
podstawienia, z pier±cienia wielomianów o wspóªczynnikach w S do pier±cie
nia R: S[X1;:::;Xn]!
!
!
!
! R. Obraz Im jest pier±cieniem, podpier±cieniem pier±cienia R (por. wªasno±¢ 13); b¦dziemy go oznacza¢ przez S[u1; :::; un].
VI. Pier±cieniem jest zbiór ci¡gów Cauchy'ego o wyrazach zespolonych wraz z
naturalnymi dziaªaniami.
VII. Podobnie, je±li X jest dowolnym zbiorem, to zbiór funkcji na X o warto±ciach
zespolonych, z naturalnymi dziaªaniami, jest pier±cieniem.
VIII. Zbiór M(n; R) macierzy kwadratowych typu n n o wspóªczynnikach w pier±cieniu R wraz z dziaªaniami dodawania i mno»enia macierzy tworzy pier±cie«
(ale nieprzemienny!).
Denicja 20. Pier±cie« R nazywamy caªkowitym (lub dziedzin¡), je±li 1=
/0 w
R oraz
^
(r s = 0 ) (r = 0 _ s = 0))
r;s2R
wiczenie 30. Które z pier±cieni w powy»szych przykªadach s¡ caªkowite?
Denicja 21. Pier±cie« R nazywamy ciaªem, je±li 1 =
/ 0 w R oraz ka»dy niezerowy element z R ma w R odwrotno±¢ wzgl¦dem (tzn. (R; ) jest grup¡).
wiczenie 31. Udowodni¢, »e je±li R jest pier±cieniem i ? =
/ A R, to zachodzi
(
)
X
ik
i1
[A] =
i1:::ik t1 ::: tk : M 2 N0; k 2 N; i1:::ik 2 Z; t1; :::; tk 2 A
06i1;:::;ik 6M
(por. wniosek 7). Wywnioskowa¢, »e je±li S jest podpier±cieniem pier±cienia R, to
(
)
X
[A [ S] =
si1:::ik ti11 ::: tikk : M 2 N0; k 2 N; si1:::ik 2 S; t1; :::; tk 2 A :
06i1;:::;ik 6M
Wreszcie, dla A = fu1; :::; ung zauwa»y¢, »e [fu1; :::; ung [ S] = S[u1; :::; un] (denicja ostatniego
symbolu zob. przykªad V str. 17).
Wªasno±¢ 14. Ka»de ciaªo jest dziedzin¡.
Szkic dowodu. Je±li w ciele K zachodzi r s = 0, gdzie r; s 2 R, r =
/ 0, to mno»¡c t¦ rów1
1
no±¢ obustronnie przez r ªatwo uzyskujemy, »e s = r 0 = 0, czyli K jest dziedzin¡. Denicja 22. Ideaªem pier±cienia R nazywamy ka»dy taki jego podzbiór I =
/ ?,
»e
V
a) x;y2I x + y 2 I,
V
b) r2R;x2I r x 2 I.
Fakt, »e I jest ideaªem w pier±cieniu R b¦dziemy notowa¢ tak: I C R.
Szymon Brzostowski
wiczenie
/ ?, zachodzi warunek b) oraz warunek
V 32. Wykaza¢, »e I C R gddy I =
a 0)
x
¡
y
2
I.
x;y 2I
Obserwacje i konwencje.
Z ¢wiczenia 32 wynika, »e ka»dy ideaª I pier±cienia R jest podgrup¡ grupy
(R; +). W sytuacji ogólnej, tj. gdy pier±cie« R niekoniecznie zawiera 1, od
ideaªu wymaga si¦, by powy»szy fakt równie» miaª miejsce; innymi sªowy ideaª
ma wtedy z denicji speªnia¢ warunki a 0) oraz b) ¢wiczenia 32.
Ka»dy pier±cie« R posiada przynajmniej dwa ideaªy (trywialne): f0g i R.
Zwykle jako oznaczenie ideaªu zerowego stosuje si¦, dla prostoty, 0 zamiast
f0g. Podobna umowa dotyczy pier±cienia zerowego, tzn. pisze si¦ np. R =
/ 0.
Z ka»dym ideaªem mo»na zwi¡za¢ struktur¦ ilorazow¡:
Denicja 23. Dla dowolnego I C R okre±lamy pier±cie« ilorazowy (R/I; +; ),
R/I := fr + I: r 2 Rg:
Tutaj dziaªania opisa¢ mo»na formuªami
(r + I) + (s + I) := (r + s) + I;
(r + I) (s + I) := (r s) + I;
dla dowolnych r; s 2 R. Zerem pier±cienia R/I jest J a jego jedynk¡ 1 + I.
Komentarze do denicji szkic poprawno±ci okre±lenia.
!
Skoro z denicji (R; +) jest grup¡ abelow¡, a na mocy ¢wiczenia 32 i
twierdzenia 1 I jest podgrup¡ grupy R, to zgodnie z twierdzeniem 8 (R/I;
+) jest grup¡ i zachodzi postulowany wzór dla dodawania.
!
Mamy dla r1 + I = r2 + I, s1 + I = s2 + I:
)
r1 s1 ¡ r2 s2 = (r1 ¡ r2) s1 + r2 (s1 ¡ s2) 2 I;
|||||||||{z}}}}}}}}}
|||||||||{z}}}}}}}}}
2I
2I
czyli r1 s1 + I = r2 s2 + I (twierdzenie 5). St¡d poprawno±¢ okre±lenia mno»enia
w R/I.
!
Reszta wªasno±ci dziaªa« + i w R/I wynika z analogicznych wªasno±ci w
pier±cieniu R.
wiczenie 33. Niech ': R ! S b¦dzie homomorzmem pier±cieni. Udowodni¢, »e:
1. je±li I C R, to tak»e '(I) C Im ',
2. je±li J C S, to tak»e '¡1(J) C R.
Twierdzenie 17. (o izomorzmie pier±cieni) Niech ': R ! S b¦dzie homomorzmem pier±cieni. Wtedy Ker ' C R, Im ' jest podpier±cieniem pier±cienia S
oraz
R/Ker ' = Im ':
2. Pier±cienie
19
Szkic dowodu. Skoro f0g C S, to '¡1(f0g) = Ker ' C R (¢wiczenie 33); »e Im '
jest podpier±cieniem pier±cienia S, wynika z wªasno±ci 13 p. (E). Teraz wystarczy
sprawdzi¢, »e ' okre±lone w twierdzeniu 9 jest nie tylko homomorzmem grup, ale
i pier±cieni.
vI
wiczenie 34. Wykaza¢, »e homomorzm ilorazowy I: R ! R / I, R 3 r 7!
7!
7!
7!
7!
7! r + I 2 R / I,
jest epimorzmem o j¡drze J (por. wªasno±¢ 10) i »e J w naturalny sposób okre±la bijekcj¦
mi¦dzy zbiorem tych ideaªów pier±cienia R, które zawieraj¡ I a zbiorem wszystkich ideaªów
pier±cienia R/I (bijekcja ta jest zgodna z relacj¡ inkluzji).
Wªasno±¢ 15. Niech R b¦dzie pier±cieniem.
a) Przeci¦cie dowolnej niepustej rodziny ideaªów pier±cienia R jest ideaªem
tego pier±cienia.
b) Je±li ? =
/ U R, to najmniejszy ideaª (U ) C R zawieraj¡cy zbiór U jako
podzbiór jest postaci (U) := fr1 x1 + ::: + rk xk: k 2 N; r1; :::; rk 2 R; x1; :::;
xk 2 U g. Ideaª (U) nazywamy ideaªem generowanym przez zbiór U. W
przypadku gdy U = fx1; :::; xng b¦dziemy mówi¢, »e ideaª (U ) jest sko«czenie
generowany i b¦dziemy pisa¢ (U ) = (U) R = (x1; :::; xn) R = R x1 + ::: + R xn,
gdzie w ostatniej formule stosujemy dziaªania dodawania i mno»enia algebraicznego zbiorów (zob. denicja 11) a tak»e umow¦ jak w denicji 12.
Ponadto kªadziemy (?) := f0g.
Szkic dowodu. Proste sprawdzenie.
wiczenie 35. Udowodni¢, »e je±li x1; :::; xn 2 R oraz I C R, to
(fx1; :::; xng [ I) = R x1 + ::: + R xn + I:
wiczenie 36. Udowodni¢, »e je±li I1; :::; In C R, to (I1 [ ::: [ In) = I1 + ::: + In.
Denicja 24. Ideaª wªa±ciwy I C R (tzn. I =
/ R) nazywamy:
¡
¡
ideaªem pierwszym (w R), je±li pier±cie« R/I jest caªkowity,
ideaªem maksymalnym (w R), je±li pier±cie« R/I jest ciaªem.
Wniosek 8. Je±li ideaª I C R jest maksymalny, to jest pierwszy.
Dowód. Wynika z denicji i wªasno±ci 14.
Twierdzenie 18. (charakteryzacja ideaªów pierwszych i maksymalnych)
Ideaª I =
/ R pier±cienia R jest:
V
1. pierwszy gddy a;b2R (a b 2 I ) a 2 I _ b 2 I),
V
2. maksymalny gddy JCR (J I ) J = I _ J = R).
Szkic dowodu.
ad. 1. Wynika z równowa»no±ci a b 2 I , a b + I = I.
Szymon Brzostowski
ad. 2. ) Niech J I i J =
/ I. Wybierzmy element x 2 J n I i z zaªo»enia znajd¹my
jego odwrotno±¢ y + I w R/I, tzn. (x + I) (y + I) = 1 + I. U»ywaj¡c twierdzenia 5 i
faktu, »e J C R stwierdzamy, »e 1 2 J sk¡d J = R.
( We¹my dowolne x + I =
/ 0 w R/ I, tzn. x + I =
/ I. St¡d x 2
/ I, czyli J := (fxg [ I)
% I. Zatem J = R. Z ¢wiczenia 35 wnioskujemy, »e 1 = r x + s, dla pewnych r 2 R;
s 2 I. Teraz wystarczy zauwa»y¢, »e (r + I) (x + I) = 1 + I, czyli x + I ma odwrotno±¢
w R/I.
wiczenie 37. Wykaza¢, »e bijekcja, o której mowa w ¢wiczeniu 34, jest te» bijekcj¡ mi¦dzy
ideaªami pierwszymi (maksymalnymi) pier±cienia R zawieraj¡cymi ideaª I a ideaªami pierwszymi (maksymalnymi) pier±cienia R/I.
Denicja 25. Podzbiór S pier±cienia R nazywamy multyplikatywnym, je±li
1 2 S, 0 2
/ S oraz
V
s s 2 S (tzn. (S; jS S ) jest grupoidem).
s1;s2 2S 1 2
Przykªad.
1. S = f1g jest zbiorem multyplikatywnym w R o ile 1 =
/ 0 w R, tzn. o ile R =
/ 0.
2. S = R = R n f0g jest zbiorem multyplikatywnym w R, o ile R jest dziedzin¡.
wiczenie 38. Udowodni¢, »e je±li I C R, to zbiór S := R n I jest podzbiorem multyplikatywnym pier±cienia R gddy ideaª I jest pierwszy w R.
Twierdzenie 19. (o istnieniu ideaªów pierwszych) Niech S b¦dzie podzbiorem
multyplikatywnym pier±cienia R. Oznaczmy przez P rodzin¦ takich ideaªów
I C R, »e I \ S = ?. Wtedy dla ka»dego J 2 P istnieje element P 2 P maksymalny (w sensie relacji inkluzji) w rodzinie P i taki, »e P J. Ka»dy taki ideaª
P jest ideaªem pierwszym w R.
Szkic dowodu. Najpierw zauwa»y¢, »e P =
/ ?, gdy» 0 2 P. Nast¦pnie stwierdzi¢, »e
dla rodziny P speªnione s¡ zaªo»enia Lematu Kuratowskiego-Zorna: sprawdzi¢, »e
ograniczeniem
górnym ªa«cucha (tj. podzbioru liniowo uporz¡dkowanego) P w
S
P jest
. St¡d pierwsza teza.
Pozostaje wykaza¢, »e ideaª P 2 P jak w tre±ci twierdzenia jest pierwszy:
!
!
!
Wida¢, »e P =
/ R, bo 1 2 S.
Niech a b 2 P i przypu±¢my, »e a 2
/ P oraz b 2
/ P. St¡d (fag [ P) =
R a + P % P, czyli istnieje pewne s1 2 S postaci s1 = r1 a + x, gdzie r1 2 R,
x 2 P. Podobnie istnieje S 3 s2 = r2 b + y, gdzie r2 2 R, y 2 P. Ale z faktu,
»e zbiór S jest multyplikatywny wynika, »e s1 s2 2 S; z drugiej strony wobec
a b 2 P i postaci s1; s2 wnosimy, »e s1 s2 2 P. St¡d s1 s2 2 S \ P, co sprzeczne
z okre±leniem rodziny P, do której przecie» P nale»y.
Pozostaje u»y¢ twierdzenia 18.
Wniosek 9. Ka»dy ideaª wªa±ciwy pier±cienia R jest zawarty w pewnym ideale
maksymalnym tego pier±cienia. W szczególno±ci, w ka»dym pier±cieniu R =
/ 0
istniej¡ ideaªy maksymalne.
2. Pier±cienie
21
Dowód. Je±li I C R jest ideaªem wªa±ciwym to R =
/ 0 i oczywi±cie I \ S = ? dla zbioru
multyplikatywnego S = f1g. Zatem, w oznaczeniach twierdzenia 19, P = fwszystkie
ideaªy wªa±ciwe g. Niech, na mocy wspomnianego twierdzenia, m 2 P b¦dzie elementem maksymalnym rodziny P. U»ywaj¡c twierdzenia 18 stwierdzamy, »e m jest
ideaªem maksymalnym pier±cienia R.
wiczenie 39. Wykaza¢, »e dla dowolnego ideaªu wªa±ciwego I pier±cienia R istniej¡ minimalne (w sensie relacji inkluzji) ideaªy pierwsze w rodzinie ideaªów pierwszych zawieraj¡cych
ideaª I. Nazywa si¦ je minimalnymi ideaªami pierwszymi ideaªu I.
wiczenie 40. Udowodni¢, »e pier±cie« R jest ciaªem gddy R posiada dokªadnie jeden ideaª
wªa±ciwy (ideaª 0).
Twierdzenie 20. (o ciele uªamków)
1. Je±li R jest pier±cieniem caªkowitym, to istnieje ciaªo K, takie, »e R K
i dla dowolnego elementu a 2 K istnieje b 2 R o tej wªasno±ci, »e a b 2 R.
(Innymi sªowy a = c b¡1 , gdzie c 2 R. W zwi¡zku z tym elementy ciaªa K
c
zapisujemy w postaci a = b , gdzie b; c 2 R, b =
/ 0, i nazywamy je uªamkami. Z kolei ciaªo K nazywamy ciaªem uªamków pier±cienia R i oznaczamy symbolem R0.)
2. Je±li L jest ciaªem i R L, to R R0 L.
Dowód. Zob. Algebra 1 lub [Fil08, tw. 35, str. 289].
Uwaga. Mo»na uogólni¢ powy»sze twierdzenie na przypadek dowolnego pier±cienia R
w ten sposób, by utworzy¢ pewien uniwersalny pier±cie« uªamków o mianownikach
le»¡cych w wybranym podzbiorze multyplikatywnym S pier±cienia R. Zauwa»my, »e
wtedy powy»sze twierdzenie odpowiada sytuacji S = R dla pier±cienia caªkowitego
R (por. przykªad 2 str. 20). Konstrukcj¦ t¦ mo»na znale¹¢ w [BJ85, rozdziaª I., 4.].
Denicja 26. Powiemy, »e pier±cie« R ma:
1. wªasno±¢ stabilizacji rosn¡cych ci¡gów ideaªów, je±li dla dowolnego ci¡gu
I1 I2 ::: In ::: ideaªów pier±cienia R istnieje taka liczba N 2 N, »e
IN = IN+1 = :::,
2. wªasno±¢ maksymalno±ci, je±li dowolna niepusta rodzina ideaªów pier±cienia R posiada element maksymalny (wzgl¦dem relacji zawierania).
Denicja 27. Powiemy, »e pier±cie« R jest noetherowski, je±li ka»dy ideaª
pier±cienia R jest sko«czenie generowany (zob. wªasno±¢ 15).
Twierdzenie 21. (charakteryzacja pier±cieni noetherowskich) Dla pier±cienia R nast¦puj¡ce warunki s¡ równowa»ne:
a) R posiada wªasno±¢ stabilizacji rosn¡cych ci¡gów ideaªów,
b) R posiada wªasno±¢ maksymalno±ci,
c) R jest noetherowski.
Szkic dowodu.
Szymon Brzostowski
(a) ) (b) Dowodzimy tego przez kontrapozycj¦.
(b) ) (c) Niech I C R. Nale»y rozwa»y¢ rodzin¦ H tych ideaªów pier±cienia R,
które s¡ zawarte w ideale I i jednocze±nie s¡ sko«czenie generowane. Jej element
maksymalny I 0, który istnieje z zaªo»enia, jest oczywi±cie sko«czenie generowany.
Wystarczy zatem zauwa»y¢, »e I 0 = I.
(c) ) (a) Dla dowolnego rosn¡cego ci¡gu
I1 I2 ::: In ::: ideaªów
S
pier±cienia R nale»y rozwa»y¢ sum¦ J := i2N Ii. Z faktu, »e J jest sko«czenie
generowany ªatwo wynika stabilizacja ci¡gu fIig.
Przykªady.
i. Pier±cie« Z liczb caªkowitych, ciaªo K, pier±cie« K[X] wielomianów o wspóªczynnikach w ciele K s¡ pier±cieniami noetherowskimi (bo s¡ to tzw. pier±cienie ideaªów gªównych , tzn. ka»dy ich ideaª mo»na wygenerowa¢ za pomoc¡ tylko jednego elementu).
ii. Pier±cie« K[X1; :::; Xn; :::] wielomianów przeliczalnej ilo±ci zmiennych nie
jest noetherowski, bo zawiera niesko«czony ±ci±le rosn¡cy ci¡g ideaªów (X1) $
S
(X1; X2) $ ::: (pier±cie« ten mo»na okre±li¢ jako K[X1; :::] := i2N K[X1; :::; Xi]).
Wªasno±¢ 16. Obraz homomorczny pier±cienia noetherowskiego jest pier±cieniem noetherowskim.
Szkic dowodu. Je±li ': R ! S jest epimorzmem pier±cieni, R jest noetherowski oraz
J C S, to rozwa»amy generatory r1; :::; rn ideaªu '¡1(J) i dowodzimy, »e S '(r1) + ::: +
S '(rn) = J.
Uwaga. Z powy»szej wªasno±ci i twierdzenia Hilberta o bazie (patrz ni»ej) wynika, »e
podpier±cie« R 0 := S[u1; :::; un] pier±cienia R generowany przez pier±cie« noetherowski
S R i pewne elementy u1; :::; un 2 R (zob. przykªad V str. 17) jest te» pier±cieniem
noetherowskim, nawet je±li pier±cie« R taki nie jest. Zatem noetherowsko±¢ rozszerza
si¦ na tzw. sko«czenie generowane S-algebry. W przypadku niesko«czonej ilo±ci
generatorów nie jest to prawd¡. Jako przykªad mo»na poda¢ podpier±cie« R 0 := [Z [
f2 X; 2 X2; 2 X3; :::g] pier±cienia R := Z[X]. Ten ostatni pier±cie« jest nawet noetherowski na mocy wspomnianego twierdzenia Hilberta o bazie, jednak»e pier±cie« R 0
zawiera ideaªy, które nie s¡ sko«czenie generowane. Zatem tutaj noetherowsko±¢ nie
rozszerza si¦ z S := Z na R 0. Przykªad ten pokazuje tak»e, »e podpier±cie« pier±cienia
noetherowskiego nie musi by¢ noetherowski, tzn. »e noetherowsko±¢ nie dziedziczy
si¦ na podpier±cienie.
wiczenie 41. Udowodni¢, »e je±li ': R ! R jest epimorzmem pier±cieni i pier±cie« R jest
noetherowski, to ' jest izomorzmem.
n
Wskazówka. Rozwa»y¢ ci¡g zªo»e« ('; '
'
|||{z}
}} ; :::; ' ; :::) i ich j¡der.
=:'2
wiczenie 42. Wykaza¢, »e w dowolnym pier±cieniu R zachodzi wzór
X k
k
(r + s) =
ri s j ;
i
i+j=k
i;j>0
2. Pier±cienie
23
gdzie r; s 2 R, k 2 N i stosujemy dziaªanie : Z R ! R okre±lone w denicji 3.
wiczenie 36 pokazuje, »e dziaªanie sumy teoriomnogo±ciowej zbiorów ma naturalny odpowiednik dla ideaªów (dodanie zbiorów b¦d¡cych ideaªami a nast¦pnie wygenerowanie ideaªu z wyniku prowadzi do ju» wcze±niej okre±lonego dziaªania dodawania algebraicznego zbiorów denicja 11). Z kolei wªasno±¢ 15 p. (a) pokazuje,
»e dziaªanie przeci¦cia ideaªów zawsze daje w wyniku ideaª. Skoro ka»dy ideaª jest
podzbiorem pier±cienia, a wi¦c zbioru z dwoma dziaªaniami, jest rzecz¡ naturaln¡ by
u»ywaj¡c tych dziaªa« okre±li¢ nowe dziaªania (dwu- i jednoargumentowe), ale ju» na
poziomie ideaªów. Poni»sza denicja zbiera podstawowe operacje okre±lane dla ideaªów:
Denicja 28. Niech I; J C R w pier±cieniu R. Okre±lamy nast¦puj¡ce ideaªy:
I. I + J := fa + b: a 2 I; b 2 Jg = (I [ J),
II. I \ J,
III. I J =I J := (fa b: a 2 I; b 2 Jg) =
bk 2 J (iloczyn ideaªów),
a) r I := (r) I dla r 2 R,
P
16i6k
ai bi: k 2 N; a1; :::; ak 2 I; b1; :::;
b) I0 := R, In := I
:::}}I dla n 2 N,
|||{z}
n czynników
V
IV. I: J := r 2 R: s2J r s 2 I = fr 2 R: r J Ig (iloraz ideaªów),
p
W
V. rad(I) = I := fr 2 R: n2N rn 2 Ig (radykaª ideaªu I).
Komentarze do denicji.
Iloczyn dwóch ideaªów jest ideaªem wprost z denicji. Podobnie, ªatwo to
sprawdzi¢ dla ilorazu ideaªów. Dla radykaªu jest to proste ¢wiczenie, które
wynika z faktu, »e je±li ak; bl 2 I, to tak»e (a + b)k+l¡1 2 I (sprawdzi¢ samodzielnie; por. te» wªasno±¢ 17 p. (viii)).
Dziaªania z punktów (I)(III) s¡ ª¡czne (sprawdzi¢ samodzielnie).
W kontek±cie pier±cieni przemiennych i ich ideaªów dziaªanie zawsze b¦dzie
oznaczaªo dziaªanie okre±lone w (III) a nie iloczyn algebraiczny zbiorów (tzn.
po przemno»eniu zbiorów I oraz J zgodnie z denicj¡ 11 nale»y jeszcze z wyniku wygenerowa¢ ideaª). W cz¦stej sytuacji I = r, J = R warto±¢ r R jest taka
sama niezale»nie od interpretacji symbolu (ªatwe sprawdzenie).
P
Mo»na te» mówi¢ o I, tj. o sumie dowolnej rodziny ideaªów fIg.
Wªasno±¢ 17. Niech I; J; I1; :::; J1; ::: C R, gdzie R pier±cie«. Wtedy:
i. I \ J I J,
ii. I0 I1 I2 :::,
¡ Pk
¡ Pl
Pk Pl
iii.
I
J
= =1 =1 I J,
=1
=1
iv. I: J I,
(
P
to skrócony zapis dla +)
T
I): J = 2A (I: J),
¡P
T
vi. I:
J
= 166l (I: J),
166l
v. (
T
Szymon Brzostowski
2A
vii. I1: (I J) = (I1: I): J,
viii. (I + J)n+m¡1 In + Jm, dla n; m 2 N,
p
ix. I I ,
p
p
x. je±li I J, to I J ,
pp
p
xi.
I = I,
p
p
p
p
xii. I1 ::: Ik = I1 \ ::: \ Ik = I1 \ ::: \ Ik ,
qp
p
p
xiii. I + J =
I + J,
p
¡ p n
xiv. je±li I C R jest sko«czenie generowany, to
I I dla pewnego n 2 N,
p
xv. I = R gddy I = R,
p
p
xvi. I + J = R gddy I + J = R.
Dowód. wiczenie.
Twierdzenie 22. (Cohena) Pier±cie« R jest noetherowski gddy jego ka»dy
ideaª pierwszy jest sko«czenie generowany.
Szkic dowodu. Oczywi±cie wystarczy dowie±¢ implikacji odwrotnej, co zrobimy
rozumuj¡c nie wprost. Przy takim przypuszczeniu:
!
rodzina A := fideaªy w R, które nie s¡ sko«czenie generowane g jest niepusta,
!
rodzina A speªnia zaªo»enia Lematu Kuratowskiego-Zorna,
!
dowodzimy, »e P jest ideaªem pierwszym w R, rozumuj¡c nie wprost:
!
wybieramy element maksymalny P rodziny A (jasne, »e P =
/ R),
!
dla x y 2 P, x; y 2
/ P zauwa»amy, »e (P [ fxg) % P, co implikuje,
»e (P [ fxg) = P + R x jest sko«czenie generowany,
kªadziemy P + R x = (a1 + b1 x; :::; an + bn x), gdzie ai 2 P, bi 2 R,
stwierdzamy, »e dla J := P: (x) jest J P + R y % P, czyli J 2
/ A,
kªadziemy J = (c1; :::; cp), gdzie ci 2 J,
sprawdzamy, »e P = (a1; :::; an; c1 x; :::; cp x), wykorzystuj¡c
generatory ideaªów P + R x oraz J,
zatem P 2
/ A i sprzeczno±¢ ta implikuje, »e P musi by¢ pierwszy,
na mocy gªównego zaªo»enia stwierdzamy, »e w takim razie P jest sko«czenie
generowany, co przeczy temu, »e P 2 A.
Wnioskujemy, »e A = ?, czyli pier±cie« R jest noetherowski.
2. Pier±cienie
25
wiczenie 43. Udowodni¢, »e dla dowolnego ideaªu I C R zachodzi
\
rad(I) =
P:
RBPI
P pie rwszy w R
Wskazówka. U»y¢ twierdzenia 19.
Udowodnimy teraz podstawowe twierdzenie Hilberta dla pier±cieni noetherowskich.
Twierdzenie 23. (Hilberta o bazie) Je±li R jest pier±cieniem noetherowskim,
to tak»e pier±cie« wielomianów R[X] jest noetherowski.
Szkic dowodu. Przypuszczamy nie wprost, »e pewien ideaª I C R[X] nie jest sko«czenie generowany. Zatem I nie jest ideaªem trywialnym. Okre±lamy ci¡g ffig1
i=1 tak,
»e fi 2 I n (f1; :::; fi¡1) a przy tym fi jest wielomianem najni»szego mo»liwego stopnia
(tutaj dla i = 1, f1 2 I n f0g). Denicja ta jest poprawna, bo z przypuszczenia ideaª
I nie jest sko«czenie generowany.
Okre±lamy fi := ai Xni + :::, gdzie ai 2 R i ni = deg fi.
Dowodzimy, »e (a1) R $ (a1; a2) R $ ::: $ (a1; :::; ak) R $ :::, co sprzeczne z noetherowsko±ci¡ pier±cienia R (por. twierdzenie 21):
i. zauwa»amy, »e ci¡g fnig1
i=1 jest niemalej¡cy,
ii. przypuszczaj¡c nie wprost, »e dla pewnego k 2 N jest ak+1 =
Pk
ri 2 R, okre±lamy g := i=1 ri Xnk +1 ¡ni fi,
Pk
i=1
ri ai, gdzie
iii. stwierdzamy, »e g2R[X] (z monotoniczno±ci ci¡gu fnig) a ponadto »e g 2
(f1; :::; fk) R[X] I,
iv. z okre±lenia mamy, »e g = ak+1 Xnk +1 + wyrazy ni»szego stopnia,
v. zatem fk+1 ¡ g 2 I n (f1; :::; fk) oraz deg (fk+1 ¡ g) < nk+1 = deg fk+1 a to jest
sprzeczne z okre±leniem wielomianu fk+1.
Podsumowuj¡c, wykazali±my, »e (R[X] nie jest noetherowski) ) (R nie jest
noetherowski), czyli twierdzenie równowa»ne dowodzonemu.
Uwaga. Analogiczne twierdzenie mo»na udowodni¢ dla pier±cienia R[[X]] formalnych szeregów pot¦gowych
w pier±cieniu noetherowskim R tj.
P1o wspóªczynnikach
i
formalnych sum postaci i=1 ri X , gdzie ri 2 R, wraz ze splotem Cauchy'ego jako
dziaªaniem mno»enia (zob. [BJ85, twierdzenie (2.2.6)]).
Wniosek 10. Pier±cie« R[X1; :::; Xn] jest noetherowski je±li tylko pier±cie« R jest
noetherowski. W szczególno±ci pier±cie« wielomianów n zmiennych o wspóªczynnikach w ciele K jest pier±cieniem noetherowskim.
Dowód. Wynika bezpo±rednio z twierdzenia Hilberta za pomoc¡ prostej indukcji. wiczenie 44. Udowodni¢, »e je±li I1; :::; In; P C R oraz P jest pierwszy, to
_
I1 ::: In P )
Ii P:
16i6n
Szymon Brzostowski
wiczenie 45. Udowodni¢, »e je±li ideaªy I1; :::; In C R speªniaj¡ warunek Ik + Il = R, dla
k; l = 1; :::; n, k =
/ l, to I1 \ ::: \ In = I1 ::: In.
Wskazówka. Rozªo»y¢ odpowiednio 1 2 R. U»y¢ indukcji.
wiczenie 46. Przy zaªo»eniach poprzedniego ¢wiczenia udowodni¢, »e
R/I1 ::: R/In
R/I1 \ ::: \ In =
(jest to tzw. chi«skie twierdzenie o resztach).
Wskazówka. Rozªo»y¢ odpowiednio 1 2 R. U»y¢ indukcji.
3 Ciaªa i wielomiany
W dalszej cz¦±ci wykªadu symbole wyró»nione nast¦puj¡co: K; L; M itp. (oczywi±cie z wyj¡tkiem N; Z) b¦d¡ zawsze oznacza¢ pewne ciaªa, nawet je±li nie b¦dzie to
explicite zaznaczone. Z denicji ciaªa (denicja 21) wynika, »e zbiór K elementów
niezerowych ciaªa K tworzy grup¦ abelow¡ wraz z operacj¡ mno»enia z ciaªa K. W
szczególno±ci dowolny element x 2 K ma jedyny element odwrotny x¡1 2 K, który
1
b¦dziemy oznacza¢ te» przez x . St¡d ªatwo wywnioskowa¢:
Wªasno±¢ 18. Je±li fKg jest niepust¡ rodzin¡ podciaª ciaªa L (tzn. T
takich podpier±cieni pier±cienia L, które s¡ te» ciaªami), to tak»e pier±cie« K jest
podciaªem ciaªa L.
Denicja 29. Niech K b¦dzie ciaªem i A K. Przez (A) b¦dziemy oznacza¢ najmniejsze podciaªo ciaªa K zawieraj¡ce zbiór A jako podzbiór. atwo
zauwa»y¢, »e na mocy wªasno±ci 18 takie ciaªo zawsze istnieje i jest równe
\
(A) =
F:
AFK
F podciaªo ciaªa K
Ciaªo (A) nazywamy ciaªem generowanym przez zbiór A.
Ostrze»enie. Oznaczenie na ciaªo generowane przez zbiór jest takie samo, jak jedno
z mo»liwych oznacze« na ideaª pier±cienia generowany przez jego podzbiór (zob. wªasno±¢ 15). Nie powinno to jednak nigdy prowadzi¢ do nieporozumie«.
Denicja 30. Niech K i L b¦d¡ podciaªami ciaªa M. Zªo»eniem K L ciaª K
i L nazywamy ciaªo (K [ L). Je±li jeszcze A M, to r ozszerzeniem K(A) ciaªa
K o elementy zbioru A nazywamy ciaªo (K [ A). Dla A = fx1; :::; xng b¦dziemy
te» pisa¢ K(A) = K(x1; :::; xn).
Ostrze»enie. W powy»szej denicji symbol (cz¦sto pomijany) jest tylko pewnym
sugestywnym oznaczeniem. Nie myli¢ z mno»eniem algebraicznym zbiorów czy z
iloczynem ideaªów. (Z wªasno±ci poni»ej mo»na wywnioskowa¢, »e K L jest to ciaªo
generowane przez iloczyn algebraiczny zbiorów K i L, co uzasadnia przyj¦te oznaczenie, podobnie jak byªo to w przypadku pary ideaªów i ich iloczynu.)
3. Ciaªa i wielomiany
27
Wªasno±¢ 19. Je±li K i L s¡ podciaªami ciaªa M, to K L jest najmniejszym
podciaªem ciaªa M zawieraj¡cym ciaªa K i L. Ponadto
a1 b1 +:::+akbk
KL=
: k2N;aj;cj2K;bj;dj2L (j=1;:::;k);c1 d1 +:::+ckdk=
/0 :
c1 d1 +:::+ckdk
Szkic dowodu. Je±li F jest najmniejszym podciaªem ciaªa M zawieraj¡cym ciaªa
K i L, to oczywi±cie zawiera ono tak»e zbiór K [ L a st¡d F (K [ L) = K L. Z
drugiej strony, K L jest pewnym ciaªem zawieraj¡cym K i L, czyli K L F. St¡d
F = K L. Postulowan¡ równo±¢ mo»na udowodni¢ standardowym rozumowaniem
(por. podobne fakty z teorii grup i pier±cieni).
Denicja 31. Niech K i L b¦d¡ ciaªami. Ka»dy niezerowy homomorzm ':
K ! L pier±cieni bez jedynki K i L nazywamy wªo»eniem (ciaª) (tutaj niezerowe ' to ' =
/ 0 jako funkcja).
Poni»sze twierdzenie pokazuje w szczególno±ci, »e mimo i» denicja tego nie
wymaga wªo»enie ' zawsze speªnia '(1) = 1 i jest ró»nowarto±ciowe. Dlatego
wªo»enie, które jest te» na jest zwane izomorzmem (ciaª).
Twierdzenie 24. (o wªo»eniu) Niech ': K ! L b¦dzie wªo»eniem ciaª. Wówczas ' jest monomorzmem pier±cieni z 1. Co wi¦cej, '(K) jest podciaªem
¡ a '(a)
ciaªa L i zachodz¡ wzory '(b¡1) = '(b)¡1 , ' b = '(b) , dla a; b 2 K, b =
/ 0.
Szkic dowodu. Z denicji wªo»enia mo»emy wybra¢ sobie taki element x0 2 K, »e
'(x0) =
/ 0. Z jego pomoc¡ dowodzimy, »e musi by¢ '(1) =
/ 0 a nast¦pnie »e w takim
razie '(1) = 1 (prawo skraca«). wiczenie 40 implikuje nam, »e Ker ' = f0g a ostatni
komentarz na stronie 15 pozwala stwierdzi¢, »e ' jest monomorzmem.
Na mocy twierdzenia 17, '(K) jest podpier±cieniem pier±cienia L. e jest te»
podciaªem ciaªa L, sprawdzamy bezpo±rednio z denicji ciaªa. Postulowane wzory s¡
jasne.
wiczenie 47. Sprawdzi¢, »e je±li ': R ! S jest homomorzmem pier±cieni (z 1), R jest ciaªem
oraz S =
/ 0, to ' jest monomorzmem, '(R) jest ciaªem i zachodz¡ wzory jak w twierdzeniu 24.
wiczenie 48. Udowodni¢, »e przeksztaªcenie '¡1: '(K) ! K odwrotne do wªo»enia ciaª
': K ! L te» jest wªo»eniem.
Wªasno±¢ 20. Je±li ': K ! L jest wªo»eniem, K jest rozszerzeniem ciaªa F (tzn.
F jest podciaªem ciaªa K) oraz A K, to
'(F(A)) = '(F)('(A)):
Je±li ponadto 'jF=idjF, to
'(F(A)) = F('(A)):
Umowa. W sytuacji jak powy»ej b¦dziemy cz¦sto mówi¢ krótko: niech K L
b¦dzie rozszerzeniem ciaª . Podobny termin b¦dzie te» u»ywany dla ci¡gu rozszerze« K1 ::: Kn, gdzie Ki jest podciaªem ciaªa Ki+1, dla i = 1; :::; n ¡ 1; jest tak
np. w twierdzeniu 25.
Szymon Brzostowski
Szkic dowodu wªasno±ci. Jedna inkluzja jest jasna a druga wynika z faktu, »e '
jest izomorzmem na swój obraz (mo»na przyªo»y¢ '¡1j'(K)).
Denicja 32. Niech K L b¦dzie rozszerzeniem ciaª. Stopniem rozszerzenia
(L : K) nazywamy liczb¦ (lub symbol 1) dimK L, tzn. (L : K) jest wymiarem
ciaªa L traktowanego jako przestrze« liniowa nad ciaªem K.
wiczenie 49. Przemy±le¢ dlaczego w denicji 32 ciaªo L mo»na uwa»a¢ za przestrze« liniow¡
nad ciaªem K.
Twierdzenie 25. (o wymiarach rozszerze« ciaª) Je±li K L M jest rozszerzeniem ciaª, to (M : K) = (M : L) (L : K).
Szkic dowodu. Rozwa»amy baz¦ A przestrzeni liniowej M nad ciaªem L i baz¦ B
przestrzeni liniowej L nad ciaªem K i dowodzimy, »e zbiór A B = fa b: a 2 A; b 2 Bg
jest baz¡ przestrzeni liniowej M nad K. Przy tym rz(A B) = rz A rz B.
Wniosek 11. Je±li K1 ::: Kn jest rozszerzeniem ciaª, to
(Kn : K1) = (Kn : Kn¡1) ::: (K2 : K1):
Dowód. Prosta indukcja.
Przypomnienie. Niech R b¦dzie pier±cieniem. Przypominamy, »e:
!
dla wielomianu f postaci f=(f0;f1;:::;fn;0;0;:::), gdzie f0;f1;:::2R, pisze si¦
f=f0 +f1 X+f2 X2 +:::+fnXn przyjmuj¡c, »e X:=(0;1;0;0;:::); w konsekwencji
mówi si¦ o wielomianach zmiennej X o wspóªczynnikach w pier±cieniu R
i stosuje si¦ notacj¦ R[X] dla pier±cienia takich wielomianów
!
dla f = f0 + f1 X + f2 X2 + ::: + fn Xn, gdzie fn =
/ 0, kªadzie si¦ deg f = degX f := n a
ponadto deg 0 = degX 0 := ¡1; wielko±¢ t¦ nazywa si¦ stopniem wielomianu f
!
!
je±li R jest dziedzin¡, to pier±cie« wielomianów R[X] te» jest dziedzin¡ (zob.
[Fil08, tw. 8, str. 263]) a ponadto zachodzi wzór deg f g = deg f + deg g (ogólnie
zawsze jest 6), dla f; g 2 R[X]
je±li R jest dziedzin¡ i rz R=1, to pier±cie« R[X] jest izomorczny (a wi¦c
uto»samialny) z pier±cieniem funkcji wielomianowych o wspóªczynnikach w R
z naturalnymi dziaªaniami (zob. [Fil08, tw. 2, str. 293]); je±li rz R < 1, to powy»szy fakt nie ma miejsca: np. wielomian f:=X(Xp¡1¡1)2Zp[X], gdzie p jest
liczb¡ pierwsz¡, speªnia f =
/ 0 a jednocze±nie na mocy twierdzenia Fermata
wyznacza on funkcj¦ wielomianow¡ to»samo±ciowo równ¡ 0
!
indukcyjnie okre±la si¦ pier±cie« R[X1; :::; Xk] := (R[X1; :::; Xk¡1])[Xk]; w zwi¡zku
z tym mo»na w szczególno±ci odró»nia¢ wielomiany ró»nych zmiennych X i
Y, zanurzaj¡c pier±cienie R[X], R[Y] w pier±cieniu R[X; Y] (ale oczywi±cie, traktowane jako niezale»ne byty, pier±cienie te speªniaj¡ R[X] = R[Y])
!
warto±¢ (f) homomorzmu podstawienia (zob. przykªad V str. 17) notuje
si¦ f(a1; :::; an), gdzie f 2 R[X1; :::; Xn], a1; :::; an 2 S i R jest podpier±cieniem
pier±cienia S; w szczególno±ci, dla S = R[X] i f; g 2 R[X] okre±lony jest wielomian
f g := f(g) 2 R[X] zwany zªo»eniem wielomianów f i g
29
wiczenie 50. Wykaza¢, »e dla f; g 2 R[X], gdzie R dowolny pier±cie«, zachodzi wzór
deg (f + g) 6 max fdeg f; deg gg;
a je±li ponadto deg f =
/ deg g, to w powy»szej nierówno±ci jest równo±¢.
Denicja 33. Niech R b¦dzie pier±cieniem i f 2 R[X]. Element a 2 R nazywamy
pierwiastkiem wielomianu f, je±li f(a) = 0.
Obserwacja. W sytuacji jak w powy»szej denicji (pierwiastka wielomianu) cz¦sto
podaje si¦ pozornie silniejsz¡ denicj¦, np. ...Element a 2 S, gdzie R jest podpier±cieniem pier±cienia S, nazywamy.... Ma to by¢ mo»e pewne znaczenie psychologiczne, ale tak naprawd¦ denicja taka ma w zasadzie ten sam zakres stosowalno±ci
co denicja 33: przecie» je±li element a 2 S speªnia f(a) = 0 i S R, to mo»na uzna¢,
»e f 2 S[X] i zgodnie z przyj¦t¡ denicj¡ mo»na stwierdzi¢, »e a 2 S jest pierwiastkiem
wielomianu f 2 S[X] (który tak naprawd¦ nale»y do R[X]). Ten niuans interpretacyjny
dobrze mie¢ na wzgl¦dzie w dalszej cz¦±ci wykªadu (tak»e w przypadku niektórych
twierdze«).
Denicja 34. Niech K b¦dzie ciaªem. Przez K(X) b¦dziemy oznacza¢ ciaªo
funkcji wymiernych zmiennej X o wspóªczynnikach w K, tzn. ciaªo uªamków pier±cienia wielomianów K[X] (zob. twierdzenie 20): K(X) := (K[X])0.
Zauwa»my, »e oznaczenie K(X) na ciaªo (K[X])0 jest zgodne z oznaczeniem z
denicji 30 (tzn. rzeczywi±cie jest to ciaªo generowane przez ciaªo K i element X).
Denicja 35. Niech K b¦dzie ciaªem. Wielomian g 2 K[X] nazywamy dzielnikiem wielomianu f 2 K[X] a wielomian f wielokrotno±ci¡ wielomianu g, je±li
istnieje wielomian h 2 K[X] taki, »e f = g h. W takiej sytuacji b¦dziemy pisa¢
g j f (i czyta¢: g dzieli f) wzgl¦dnie f 0 (mod g) (czyt.: f przystaje do 0
modulo g).
atwo sprawdzi¢ nast¦puj¡ce cechy relacji podzielno±ci:
Wªasno±¢ 21. Niech f; f1; :::; fn; g; g1; :::; gn 2 K[X]: Wówczas:
¡V
1.
h
j
f
) h j (f1 g1 + ::: + fn gn),
j
j=1;:::;n
2. f j g ) (h f) j (h g),
3. (f j g ^ g j h) ) f j h a dla f =
/ 0 tak»e
Dowód. Sprawdzenie z denicji.
g
f
j .
h
f
Denicja 36. Mówimy, »e wielomiany f; g 2 K[X] s¡ stowarzyszone, je±li f j g
oraz g j f. B¦dziemy wtedy pisa¢ f g.
wiczenie 51. Udowodni¢, »e f 2 K[X] jest elementem odwracalnym w K[X] gddy f jest
niezerow¡ staª¡, tzn. f 2 K.
Wªasno±¢ 22. Dwa wielomiany f; g 2 K[X] speªniaj¡ f g gddy istnieje c 2 K
takie, »e f = c g.
Szymon Brzostowski
Szkic dowodu. ( Oczywiste.
) Osobno rozpatrujemy przypadek f = 0. Dla f =
/ 0 znajdujemy k; h 2 K[X] takie,
¡1
»e f = h g, g = k f i st¡d wnioskujemy, »e h = k . Na mocy ¢wiczenia 51 dostajemy
tez¦.
wiczenie 52. Udowodni¢, »e f; g 2 K[X] speªniaj¡ f g gddy (f) = (g) w K[X].
Twierdzenie 26. (o dzieleniu z reszt¡) Niech f;g2K[X], g=
/ 0, b¦d¡ wielomianami o wspóªczynnikach w ciele K. Wtedy istnieje dokªadnie jedna para (q; r)
wielomianów z K[X] taka, »e
f = q g + r oraz deg r < deg g:
Wielomian q 2 K[X] nazywamy ilorazem cz¦±ciowym a wielomian r 2 K[X] reszt¡ (z dzielenia f przez g).
Szkic dowodu. Istnienie. Jest ono jasne dla g 2 K, wi¦c zakªadamy, »e deg g > 0.
W przypadku gdy deg f < deg g wystarczy poªo»y¢ q := 0 i r := f. Zatem zakªadamy,
»e deg f > deg g. Rozpisujemy: f = fm Xm + ::: + f0, g = gn Xn + ::: + g0, gdzie m = deg f,
f
n = deg g, i zauwa»amy, »e f = gm Xm¡n g + f, gdzie f 2 K[X] speªnia deg f < m = deg f.
n
W szczególno±ci, dla deg f = deg g uzyskujemy szukany iloraz cz¦±ciowy i reszt¦. Nast¦pnie przeprowadzamy rozumowanie indukcyjne wzgl¦dem liczby deg f ¡ deg g > 0,
stosuj¡c powy»szy trik (z rozpisywaniem za pomoc¡ g) do wielomianu f. W ten sposób stwierdzamy (algorytmicznie!), »e iloraz cz¦±ciowy i reszta istniej¡.
Jedyno±¢. Je±li f=q1 g+r1 =q2 g+r2, gdzie q1;q2;r1;r2 2K[X] oraz deg r1;deg r2 <
deg g, to (q1 ¡q2)g=r2 ¡r1 i st¡d
deg (q1 ¡q2)+deg g=deg((q1 ¡q2)g)=deg(r2 ¡r1)6maxfdeg r1;deg r2g<deg g;
¢w. 50
co jak ªatwo zauwa»y¢ prowadzi do wniosku, »e deg (q1 ¡ q2) = ¡1. St¡d q1 = q2
a wi¦c tak»e r1 = r2.
Uwaga. atwo zauwa»y¢, »e powy»sze twierdzenie jest prawdziwe, je±li w miejsce
ciaªa K rozwa»ymy dziedzin¦ R i zaªo»ymy dodatkowo, »e gn 2 R jest odwracalne w
R (gn ma znaczenie jak w dowodzie).
wiczenie 53. Wykaza¢, »e K[X] jest dziedzin¡ ideaªów gªównych.
Wniosek 12. (Twierdzenie Bézout) Niech f 2 K[X] i a 2 K. Reszta z dzielenia
f przez (X ¡ a) 2 K[X] jest równa f(a), tzn. f = q (X ¡ a) + f(a), gdzie q 2 K[X].
Dowód. Na mocy twierdzenia 26 mamy f = q (X ¡ a) + r, gdzie deg r < deg (X ¡ a) = 1.
St¡d r 2 K i kªad¡c X = a (tzn. obliczaj¡c warto±¢ f(a)) otrzymujemy f(a) = r(a) =
r.
Wniosek 12'. (Twierdzenie Bézout) Element a 2 K jest pierwiastkiem wielomianu f 2 K[X] gddy (X ¡ a) j f.
31
Dowód. Wynika bezpo±rednio z powy»szej wersji Twierdzenia Bézout.
Denicja 37. Niech f1; :::; fn 2 K[X]. Wielomian d 2 K[X] (odp. w 2 K[X]) nazywamy najwi¦kszym wspólnym dzielnikiem (odp. najmniejsz¡ wspóln¡ wielokrotno±ci¡) wielomianów f1; :::; fn je±li zachodz¡ nast¦puj¡ce warunki:
1. d j fj, dla j = 1; :::; n (odp. fj j w, dla j = 1; :::; n),
2. je±li g 2 K[X] i g j fj, dla j = 1; :::; n, to g j d (odp. je±li fj j g, dla j = 1; :::;
n, to w j g),
3. wielomian d jest moniczny, tzn. jego wspóªczynnik przy najwy»szej
pot¦dze X w jego rozwini¦ciu jest równy 1, (odp. wspóªczynnik przy
najwy»szej pot¦dze X w rozwini¦ciu wielomianu w jest iloczynem wspóªczynników przy najwy»szej pot¦dze X w rozwini¦ciach wielomianów
f1; :::; fn).
B¦dziemy pisa¢ d = NWD(f1; :::; fn) = (f1; :::; fn) (odp. w = NWW(f1; :::; fn) =
[f1; :::; fn]).
W dalszym ci¡gu wykªadu skupimy si¦ na twierdzeniach dotycz¡cych NWD.
Twierdzenia dla NWW s¡ w wi¦kszo±ci analogiczne.
Wªasno±¢ 23. Niech f1; :::; fn 2 K[X]. Je±li istnieje pewien (f1; :::; fn), to jest on
tylko jeden.
Szkic dowodu. Je±li wielomiany d; d 0 2 K[X] speªniaj¡ warunki denicji 37, to punkty 1.2. implikuj¡, »e d i d 0 s¡ stowarzyszone, a wªasno±¢ 22 i punkt 3. »e w takim
razie s¡ one równe.
Twierdzenie 27. (o kombinacji liniowej ukªadu wielomianów) Niech K b¦dzie ciaªem i niech b¦d¡ dane wielomiany f1; :::; fn 2 K[X] nie wszystkie równe
0. Okre±lmy A 2 K[X][Z1; :::; Zn] wzorem
A = A(Z1; :::; Zn) := Z1 f1 + ::: + Zn fn:
Wtedy:
1. istniej¡ takie wielomiany h1; :::; hn 2 K[X], »e A(h1; :::; hn) jest najwi¦kszym wspólnym dzielnikiem wielomianów f1; :::; fn, czyli
h1 f1 + ::: + hn fn = (f1; :::; fn);
2. dla dowolnego g 2 K[X] równanie A(Z1; :::; Zn) = g ma rozwi¡zanie w
K[X]n gddy (f1; :::; fn) j g.
Obserwacja. Zauwa»my, »e warunek: wielomiany f1; :::; fn 2 K[X] nie wszystkie równe 0 jest konieczny i wystarczaj¡cy na istnienie NWD(f1; :::; fn). Istotnie, dostateczno±¢ jest tre±ci¡ powy»szego twierdzenia a konieczno±¢ wynika z faktu, »e dla f1 = ::: =
fn = 0 ich wspólnym dzielnikiem jest ka»dy wielomian z K[X], wi¦c warunek 2 denicji
37 implikowaªby, »e (f1; :::; fn) = 0, co z kolei przeczyªoby warunkowi 3 tej»e denicji.
Szymon Brzostowski
Szkic dowodu twierdzenia 27. Sprawdzamy ªatwo, »e 2. jest konsekwencj¡ 1.
(implikacja odwrotna) oraz denicji NWD + wªasno±ci 21 (implikacja prosta).
Dla dowodu 1. zaªó»my, »e np. f1 =
/ 0. Wtedy A(1; 0; :::; 0) = 1 f1 = f1, co oznacza,
»e zbiór W := fA(k1; :::; kn): kj 2 K[X] (j = 1; :::; n)g n f0g jest niepusty. Okre±lmy
d 2 K[X] jako wielomian najni»szego mo»liwego stopnia spo±ród tych nale»¡cych do
W. Ponadto zauwa»my, »e wielomian d mo»na wybra¢ jako moniczny. Zapiszmy d =
h1 f1 + ::: + hn fn, gdzie h1; :::; hn 2 K[X], i przypu±¢my, »e istnieje j 2 f1; :::; ng takie,
»e d - fj. Na mocy twierdzenia o dzieleniu z reszt¡, fj = q d + r, gdzie deg r < deg d i
/ ¡r = q d ¡ fj = A(h1 q; :::; hj¡1 q; hj q ¡ 1; hj+1 q; :::;
r=
/ 0. To pozwala nam zapisa¢ 0 =
hn q) 2 W. Ale to jest sprzeczne z wyborem wielomianu d. Wnioskujemy wi¦c, »e d j fj,
dla j = 1; :::; n. Jak na pocz¡tku dowodu, u»ywaj¡c wªasno±ci 21 stwierdzamy, »e
dowolny wspólny dzielnik h 2 K[X] wielomianów f1; :::; fn dzieli tak»e wielomian d.
¡cznie stwierdzamy, »e d speªnia warunki 1.3. denicji 37, wi¦c d = (f1; :::; fn).
wiczenie 54. W oznaczeniach twierdzenia 27, znale¹¢ konstruktywnie rozwi¡zanie równania A(Z1; :::; Zn) = g, dla n = 2, u»ywaj¡c Algorytmu Euklidesa poszukiwania NWD.
Wniosek 13. (o istnieniu NWD) Dla dowolnych f1; :::; fn 2 K[X], z których nie
wszystkie s¡ równe 0, istnieje dokªadnie jeden NWD tych wielomianów. (W konsekwencji, je±li F jest podciaªem ciaªa K i f1; :::; fn 2 F[X], to (f1; :::; fn) 2 F[X].)
Dowód. Wynika bezpo±rednio z wªasno±ci 23 i twierdzenia 27.
wiczenie 55. Udowodni¢, »e je±li f1; :::; fn; f; g; d 2 K[X] i istniej¡ odpowiednie NWD, to
1. (f1; :::; fk¡1; (fk; :::; fn)) = (f1; :::; fn), dla dowolnego k 2 f1; :::; ng,
a je±li ponadto d 2 K[X] jest wielomianem monicznym, to
2. (d f; d g) = d (f; g),
f g
(f; g)
3. (d j f ^ d j g) ) d ; d = d .
Denicja 38. Wielomiany f1;:::;fn2K[X] nazywamy wzgl¦dnie pierwszymi, je±li
(f1;:::;fn)=1. Zapis f?g b¦dzie oznaczaª, »e (f;g)=1, dla dowolnych f;g2K[X].
Zauwa»my, »e je±li wielomiany f1; :::; fn s¡ wzgl¦dnie pierwsze, to który± z nich jest
niezerowy.
Wniosek 14. Wielomiany f1; :::; fn 2 K[X] s¡ wzgl¦dnie pierwsze gddy
_
f1 h1 + ::: + fn hn = 1:
h1;:::;hn 2K[X]
Dowód. Wynika ªatwo z wªasno±ci 21 i twierdzenia 27.
Wniosek 15. Je±li f1; :::; fn 2 K[X] nie wszystkie s¡ równe 0, to kªad¡c d := (f1; :::;
fn) mamy
f1
fn
; :::;
= 1:
d
d
33
Dowód. Z twierdzenia 27 jest f1 h1+:::+fnhn=d, dla pewnych h1;:::;hn2K[X]. Skoro
f
f
djfj, j=1;:::;n, to d1 h1 +:::+ dn hn=1, czyli na mocy wniosku 14 mamy tez¦.
Twierdzenie 28. (zasadnicze twierdzenie arytmetyki wielomianów) Je±li f;
g; h 2 K[X] przy czym f ? g, to relacja f j (g h) implikuje, »e f j h.
Dowód. Z wniosku 14 istniej¡ wielomiany p; q 2 K[X] takie, »e 1 = p f + q g. St¡d
h = (p h) f + q (g h). Jednak»e f j (g h) i f j f wi¦c f j h (wªasno±¢ 21).
Wªasno±¢ 24. Je±li f; g1; :::; gn 2 K[X] i f ? gj, dla j = 1; :::; n, to f ? g1 ::: gn.
Dowód. Dla n = 1 wªasno±¢ jest oczywista. Indukcyjnie, zaªó»my, »e wiemy ju», i»
f ? g1 ::: gn¡1. Poªó»my g := g1 ::: gn¡1. Z wniosku 14 istniej¡ wielomiany p; q 2 K[X]
takie, »e 1 = p f + q g. Zatem gn = (p gn) f + q (g gn). Przyjmijmy d := (f; g gn) = (f;
g1 ::: gn). Z ostatniej relacji i wªasno±ci 21 mamy, »e d j gn. Skoro tak»e d j f, to z denicji NWD wynika, »e d j (f; gn) = 1. St¡d i z moniczno±ci d d = 1. Innymi sªowy,
f ? g1 ::: gn.
Twierdzenie 29. (o parami wzgl¦dnie pierwszych dzielnikach) Niech f1; :::;
fn; g 2 K[X] b¦d¡ wielomianami o wspóªczynnikach w ciele K, speªniaj¡cymi
warunki fi ? fj dla i =
/ j oraz fi j g dla i = 1; :::; n. Wtedy
(f1 ::: fn) j g:
Dowód. Dla n = 1 twierdzenie jest oczywiste. Indukcyjnie, zaªó»my, »e wiemy ju», i»
g
(f1 ::: fn¡1) j g. Poªó»my h := f1 ::: fn ¡1 2 K[X]. Z zaªo»enia i z wªasno±ci 24 wynika, »e
fn ? (f1 ::: fn¡1). Zatem, na mocy wniosku 14, istniej¡ wielomiany p; q 2 K[X] takie,
»e 1 = p fn + q (f1 ::: fn¡1). St¡d h = (p h) fn + q g. Skoro fn j g, to z ostatniej relacji i
h
g
z wªasno±ci 21 wnosimy, »e fn j h, tzn. K[X] 3 fn = f1 ::: fn .
wiczenie 56. Udowodni¢, »e je±li f; g 2 K[X] i f ? g, to fk ? gk, dla dowolnego k 2 N.
Denicja 39. Wielomian f 2 K[X] n K nazywamy nierozkªadalnym (w K[X]), je±li
^
g h = f ) (g 2 K _ h 2 K):
g;h2K[X]
Wielomian f2K[X]nK, który nie jest nierozkªadalny, nazywamy rozkªadalnym.
Umowa. Gdy mówi si¦, »e wielomian f 2 K[X] jest nierozkªadalny, zawsze ma si¦ na
my±li nierozkªadalno±¢ w K[X], chyba »e wyra¹nie jest powiedziane, »e chodzi nam
o nierozkªadalno±¢ w jakim± wi¦kszym pier±cieniu, np. w pewnym L[X], gdzie L jest
rozszerzeniem ciaªa K. Podobna umowa dotyczy tak»e denicji 40 poni»ej.
Wªasno±¢ 25. Niech f; g 2 K[X] i zaªó»my, »e f jest nierozkªadalny. Wtedy
(f; g) =
/ 1,fjg
Szymon Brzostowski
lub równowa»nie (f; g) = 1 , f - g:
Dowód. ( Je±li f j g, to wobec f j f mamy, »e f j (f; g). Z drugiej strony, (f; g) j f,
wi¦c (f; g) f. Skoro f jest nierozkªadalny, to deg f > 0 a st¡d (f; g) =
/ 1.
) Zaªó»my, »e (f; g) =
/ 1. Skoro (f; g) j f, to z nierozkªadalno±ci f wynika, »e
f
(f; g) 2 K lub (f; g) 2 K. Gdyby (f; g) 2 K, to warunek 3. denicji 37 implikowaªby,
f
»e (f; g) = 1, co niemo»liwe z zaªo»enia. Zatem (f; g) 2 K czyli f (f; g). Ale (f; g) j g,
wi¦c tak»e f j g.
Denicja 40. Wielomian f 2 K[X] n K nazywamy pierwszym (w K[X]), je±li
^
f j (g h) ) (f j g _ f j h):
g;h2K[X]
wiczenie 57. Udowodni¢, »e f =
/ 0 jest pierwszy w K[X] gddy
f j fj; dla pewnego j 2 f1; :::; ng).
V
f1;:::;fn 2K[X]
(f j (f1 ::: fn) )
wiczenie 58. Udowodni¢, »e f =
/ 0 jest pierwszy w K[X] gddy (f) C K[X] jest ideaªem pierwszym.
Twierdzenie 30. (nierozkªadalno±¢ a pierwszo±¢ wielomianu) Wielomian
f 2 K[X] n K jest pierwszy gddy jest nierozkªadalny.
Dowód. ) (kontrapozycja) Je±li f jest rozkªadalny, to f = g h, gdzie g; h 2 K[X]
oraz deg g; deg h > 0. Ale st¡d deg g; deg h < deg f, wi¦c f - g i f - h. Skoro fjf = g h, to
wnioskujemy, »e f nie jest pierwszy.
( Zaªó»my, »e f jest nierozkªadalny i niech fj(gh). Na mocy wªasno±ci 25, (f;
gh)=
/ 1. Ale w takim razie wªasno±¢ 24 implikuje, »e (f;g)=
/ 1 b¡d¹ (f;h)=
/ 1. Ponownie
u»ywaj¡c wªasno±ci 25 mamy st¡d, »e fjg b¡d¹ fjh. Zatem f jest pierwszy.
Twierdzenie 31. (o rozkªadzie na czynniki nierozkªadalne) Niech K b¦dzie
ciaªem. Ka»dy wielomian f 2 K[X] n K mo»na przedstawi¢ jako iloczyn sko«czonej ilo±ci wielomianów nierozkªadalnych w K[X]. Rozkªad taki jest jednoznaczny z dokªadno±ci¡ do porz¡dku czynników i stowarzyszenia.
Szkic dowodu. Przypu±¢my, »e rodzina W :=f(f)CK[X]:f2K[X]nK i f nie posiada
rozkªadu na czynniki nierozkªadalne w K[X]g jest niepusta. Stosuj¡c twierdzenie 23
wybieramy maksymalny element (g) 2 W. Oczywi±cie g jest rozkªadalny. Ale skoro
tak, to g = h k, gdzie h; k 2 K[X], deg h; deg k > 0 . Gdyby (h); (k) 2
/ W, to (g) 2
/ W,
wi¦c mo»na zaªo»y¢, »e np. (h) 2 W. To oznacza, »e (g) $ (h) (¢wiczenie 52 wyklucza
równo±¢) a przy tym (h) 2 W. Sprzeczno±¢ z wyborem elementu (g) jako maksymalnego w rodzinie W. St¡d W = ?, co daje nam istnienie rozkªadu.
Jednoznaczno±¢ rozkªadu. Zapiszmy f = u g1 ::: gr = v h1 ::: hs, gdzie u; v 2 K za±
g1;:::;gr;h 1;:::;hs2K[X] s¡ nierozkªadalne. Zaªó»my, »e np. r>0; oczywi±cie tak»e s>0.
Wtedy g1 j(vh1 :::hs). Na mocy twierdzenia 30 i ¢wiczenia 57 wnioskujemy, »e jest
np. g1 jh1, czyli g1;h1 s¡ stowarzyszone (wobec nierozkªadalno±ci h1). Dziel¡c przez
g1 obie strony rozwa»anej równo±ci, sprowadzamy j¡ do równo±ci analogicznej, ale
z mniejsz¡ ilo±ci¡ czynników. Po sko«czonej ilo±ci kroków wnioskujemy tez¦.
35
Komentarze. Denicje 39 i 40 mo»na uogólni¢ na dowolne pier±cienie, zast¦puj¡c w
nich warunek 2
/ K warunkiem jest niezerowy i nie jest odwracalny (por. ¢wiczenie
51). Je±li wi¦c zamiast pier±cienia K[X] rozwa»y¢ dowolny pier±cie« noetherowski R,
ªatwo zauwa»y¢, »e samo istnienie rozkªadu z twierdzenia 31 mo»na dowie±¢ tak samo
jak powy»ej. Jednak»e zwykle rozkªad taki nie b¦dzie jednoznaczny, gdy» w tym
celu potrzeba analogonu twierdzenia 30 (dokªadniej: implikacji ( tego twierdzenia,
która ogólnie rzecz bior¡c nie zachodzi). Okazuje si¦, »e pierwszo±¢=nierozkªadalno±¢ je±li R jest dziedzin¡ ideaªów gªównych i na takie pier±cienie mo»na uogólni¢
twierdzenie 31 (szczególny przykªad: R = Z). Mo»liwo±¢ ta wynika z faktu, »e wªa±nie
w takiej ogólno±ci daje si¦ okre±li¢ NWD w pier±cieniu (z dokªadno±ci¡ do stowarzyszenia, tzn. rezygnuje si¦ z warunku 3 denicji 37). Innym wa»nym uogólnieniem jest
nast¦puj¡ca obserwacja: je±li w dziedzinie R zachodzi twierdzenie 31 (tzn. zaªó»my, »e pier±cie« R jest dziedzin¡ z jednoznaczno±ci¡ rozkªadu), to tak»e R[X] speªnia ten warunek . Ta wersja twierdzenia 31 to tzw. Lemat Gaussa. W powi¡zaniu z
dowiedzionym przez nas przypadkiem jednej zmiennej nad ciaªem wynika z niego, »e
pier±cie« wielomianów K[X1; :::; Xn] o wspóªczynnikach w ciele K jest dziedzin¡ z
jednoznaczno±ci¡ rozkªadu . Dowody poni»szych faktów mo»na znale¹¢ np. w ksi¡»ce [Lan73] a tak»e w nieco mniejszej ogólno±ci w [Fil08].
wiczenie 59. Niech R b¦dzie dziedzin¡. Sugeruj¡c si¦ powy»szym komentarzem i ¢wiczeniem 58 okre±li¢ poj¦cie elementu pierwszego i nierozkªadalnego pier±cienia R (mo»na to zrobi¢
w du»ej mierze na poziomie ideaªów). Nast¦pnie wykaza¢, »e je±li w dziedzinie R przeci¦cie
dwóch dowolnych ideaªów gªównych (tzn. generowanych przez jeden element) jest te» ideaªem
gªównym, to w R ka»dy element nierozkªadalny jest pierwszy (a wi¦c, »e s¡ to poj¦cia równowa»ne). Wywnioskowa¢, »e je±li dodatkowo pier±cie« R jest noetherowski, to jest on dziedzin¡
z jednoznaczno±ci¡ rozkªadu.
Wniosek 16. Niech f 2 K[X] n K. Wtedy f = a pl11 ::: plnn , gdzie a 2 K , p1; :::; pn s¡
parami ró»nymi monicznymi wielomianami pierwszymi i l1; :::; ln 2 N.
Dowód. Oczywisty.
mr
1
Wniosek 17. Niech f; g 2 K[X] n K i niech f = a pl11 ::: plrr , g = b pm
1 ::: pr , gdzie a;
b 2 K , p1; :::; pr s¡ parami ró»nymi monicznymi wielomianami pierwszymi oraz
l1; :::; lr 2 N0 , to
(f; g) = pl11 ^m1 ::: plrr ^mr;
[f; g] = a b pl11 _m1 ::: plrr _mr;
gdzie ^ = min , _ = max . W konsekwencji [f; g] istnieje i jest jedyna.
wiczenie 60. Udowodni¢, »e dla f; g 2 K[X], gdzie f =
/ 0 b¡d¹ g =
/ 0, zachodzi wzór
f g = (f; g) [f; g]:
Przypominamy, »e twierdzenie Bézout (wn. 12') orzeka, »e a 2 K jest pierwiastkiem wielomianu f 2 K[X] gddy (X ¡ a) j f. Naturaln¡ jest zatem nast¦puj¡ca denicja:
Szymon Brzostowski
Denicja 41. Niech K L b¦dzie rozszerzeniem ciaª. Element a 2 L nazywamy
k-krotnym pierwiastkiem wielomianu f 2 K[X] ( k 2 N0 ) gddy
(X ¡ a)k j f oraz
(X ¡ a)k+1 - f w L[X]:
(Dla k = 0, a nie jest pierwiastkiem wielomianu f.)
Wªasno±¢ 26. Element a 2 K jest k-krotnym pierwiastkiem wielomianu f 2 K[X]
gddy f = (X ¡ a)k g, gdzie g 2 K[X] i g(a) =
/ 0.
Szkic dowodu. Oczywi±cie mo»na zaªo»y¢, »e f =
/ 0.
) Gdyby g(a) = 0, to z twierdzenia Bézout ªatwo wynikaªoby, »e tak»e (X ¡
a)k+1 j f czyli a byªoby przynajmniej (k + 1)-krotnym pierwiastkiem f.
( Oczywi±cie (X ¡ a)k j f. Gdyby (X ¡ a)k+1 j f, to g = (X ¡ a) h, gdzie h 2 K[X]
czyli g(a) = 0.
Denicja 42. Pochodn¡ wielomianu f = a0 + a1 X + ::: + an Xn 2 K[X] nazywamy
wielomian f 0 2 K[X] postaci
f 0 := a1 + 2 a2 X + ::: + n an Xn¡1
(dla n = 0 powy»szy wzór ma oznacza¢, »e f 0 = 0).
Okre±lamy tak»e pochodn¡ rz¦du k 2 N0 wielomianu f:
f(0) := f;
f(k) := (f(k¡1)) 0; dla k > 0:
Obserwacja. W powy»szej denicji nie zakªadamy, »e an =
/ 0. atwo zauwa»y¢, »e
mimo tej niejednoznaczno±ci zapisu f, jego pochodne s¡ dobrze okre±lone. Ponadto,
dla k > n jest f(k) = 0 a tak»e f(n) = n! an.
Denicja 43. Charakterystyk¡ ciaªa K (ogólniej: pier±cienia R) nazywamy rz¡d
jego jedynki w grupie (K; +) ( (R; +)), tzn. char K := rz 1. W przypadku gdy
rz 1 = 1 mówi si¦ te» cz¦sto, »e ciaªo K (pier±cie« R) ma charakterystyk¦ 0 i
pisze si¦ char K = 0 ( char R = 0).
wiczenie 61. Udowodni¢, »e dla dowolnego a 2 K zachodzi charK = rz a (konwencja 1).
wiczenie 62. Udowodni¢, »e charakterystyka ciaªa K jest liczb¡ pierwsz¡ b¡d¹ zerem (1).
wiczenie 63. Udowodni¢, »e w ka»dym ciele K jego podciaªo proste, okre±lone jako ciaªo
(f0g) K (zob. denicj¦ 29), jest izomorczne z Q albo z Zp, gdzie p jest liczb¡ pierwsz¡.
Jaki jest zwi¡zek tego faktu z charakterystyk¡ ciaªa K?
r
Notacja. Niech R b¦dzie pier±cieniem, r 2 R i k 2 Z. Zapis k b¦dzie oznacza¢ eler
ment k := (k 1)¡1 r, gdzie 1 2 R jest jedynk¡ pier±cienia R i k 1 jest odwracalny.
Wªasno±¢ 27. Niech a 2 K, f; f1; :::; fn; g 2 K[X]. Wtedy:
1. (a f) 0 = a f 0 ,
Pn
Pn
2. ( i=1 fi) 0 = i=1 fi0 ,
3. (f g) 0 = f 0 g + f g 0 ,
4. (fn) 0 = n fn¡1 f 0 , dla n 2 N0 ,
37
5. (f g) 0 = (f 0 g) g 0 ,
6. je±li char K = 0 i deg f 6 m, m 2 N0 , to
f(X) = f(a) +
f 0(a)
f(m)(a)
(X ¡ a) + ::: +
(X ¡ a)m
1!
m!
(wzór Taylora):
Wªasno±¢ 28. Je±li element a 2 K jest k-krotnym pierwiastkiem wielomianu
f 2 K[X] ( k > 1), to (X ¡ a)k¡1 j f 0. Je±li ponadto char K = 0, to a jest (k ¡ 1)-krotnym pierwiastkiem f 0.
Szkic dowodu. Korzystamy z wªasno±ci 26 i wªasno±ci 27, i rachujemy. Nast¦pnie
znów u»ywamy wªasno±ci 26.
Twierdzenie 32. (charakteryzacja krotno±ci pierwiastka wielomianu) Niech
k 2 N, K b¦dzie ciaªem i char K = 0. Element a 2 K jest k-krotnym pierwiastkiem wielomianu f 2 K[X] gddy
0 = f(a) = f 0(a) = ::: = f(k¡1)(a)
i
f(k)(a) =
/ 0:
Szkic dowodu. ) Z wªasno±ci 28 wynika ªatwo, »e a jest (k ¡ i)-krotnym pierwiastkiem wielomianu f(i), dla i = 0; :::; k. St¡d i z wªasno±ci 26 wynikaj¡ postulowane
wzory.
( Oczywi±cie f =
/ 0. Niech m > deg f; z denicji 41 wynika, »e deg f > k. Rozpisujemy f zgodnie ze wzorem Taylora a» do rz¦du m wª¡cznie a nast¦pnie z wyniku wyodr¦bniamy czynnik (X ¡ a)k uzyskuj¡c f = (X ¡ a)k h. atwo sprawdzamy, »e h(a) =
f(k)(a)
k!
=
/ 0, na mocy zaªo»enia. Teraz stosujemy wªasno±¢ 26.
wiczenie 64. Udowodni¢, »e wielomian f 2 K[X] ma co najwy»ej deg f pierwiastków w K,
licz¡c ich krotno±ci.
Wniosek 18. Niech K L b¦dzie rozszerzeniem ciaª, f 2 K[X] oraz (f; f 0) = 1.
Wtedy wszystkie pierwiastki f w L s¡ jednokrotne.
Dowód. Gdyby a 2 L byªo pierwiastkiem wielokrotnym, tzn. przynajmniej dwukrotnym, to z denicji (X ¡ a)2 j f. Ale wtedy, na mocy wªasno±ci 28, (X ¡ a) j f 0. St¡d
(X ¡ a) j (f; f 0) = 1. Sprzeczno±¢.
Wniosek 19. Je±li char K = 0, f 2 K[X] jest nierozkªadalny, to f nie posiada pierwiastka wielokrotnego w »adnym rozszerzeniu L ciaªa K.
Dowód. Oczywi±cie m := deg f > 0. Zatem f = a0 + a1 X + ::: + am Xm, am =
/ 0. Z
0
m¡1
denicji pochodnej mamy f = a1 + ::: + m am X
. Tutaj m am =
/ 0 wobec zaªo»enia
o charakterystyce ciaªa K (¢w. 61). W szczególno±ci ¡1 < deg f 0 = m ¡ 1 < deg f. Ale
st¡d f - f 0, wi¦c na mocy wªasno±ci 25 (f; f 0) = 1. Teraz teza wynika z wniosku 18. Wªasno±¢ 29. Niech f; g 2 K[X] i niech f b¦dzie nierozkªadalny. Je±li f i g posiadaj¡ wspólny pierwiastek w pewnym rozszerzeniu L ciaªa K, to f j g (w K[X]).
Szymon Brzostowski
Dowód. Skoro f =
/ 0, to, na mocy twierdzenia 27, wielomian d = (f; g) 2 K[X] istnieje
i speªnia d = p f + q g, dla pewnych p; q 2 K[X]. Je±li wi¦c f(a) = g(a) = 0, gdzie a 2 L,
to tak»e d(a) = 0. W szczególno±ci d =
/ 1. Wªasno±¢ 25 orzeka zatem, »e f j g.
Denicja 44. Element a rozszerzenia L ciaªa K nazywamy algebraicznym
wzgl¦dem ciaªa (ewent. nad ciaªem) K, je±li istnieje f 2 K[X] n K taki, »e f(a) = 0.
Twierdzenie 33. (o wielomianie minimalnym) Niech a b¦dzie elementem algebraicznym nad ciaªem K. Istniej¡ wielomiany nierozkªadalne f 2 K[X] takie,
»e f(a) = 0. Ka»de dwa takie wielomiany s¡ stowarzyszone.
Dowód. Niech, zgodnie z denicj¡ 44, g 2 K[X] n K b¦dzie taki, »e g(a) = 0. Na mocy
twierdzenia 31, g mo»na rozªo»y¢ na czynniki nierozkªadalne w K[X]. Skoro ciaªo jest
dziedzin¡, to w tym rozkªadzie musi istnie¢ pewien czynnik f nierozkªadalny w K[X]
i taki, »e f(a) = 0. Je±li teraz ~f 2 K[X] jest innym wielomianem nierozkªadalnym speªniaj¡cym ~f (a) = 0, to korzystaj¡c z wªasno±ci 29 stwierdzamy, »e f j ~f oraz ~f j f czyli
»e ~f f.
Denicja 45. Wielomianem minimalnym (nad ciaªem K) elementu a algebraicznego wzgl¦dem ciaªa K nazywamy taki wielomian nierozkªadalny i moniczny
f 2 K[X], »e f(a) = 0. (Na mocy twierdzenia 33 i wªasno±ci 22 wielomian ten
jest wyznaczony jednoznacznie.)
Liczb¦ deg f, gdzie f jest wielomianem minimalnym elementu a nad K,
nazywamy stopniem (elementu algebraicznego) a (wzgl¦dem K) i oznaczamy j¡
przez st a (ewent. stK a). (Oczywi±cie zawsze st a > 0.)
Zanotujmy w formie ¢wiczenia fakt nast¦puj¡cy:
wiczenie 65. Niech K L b¦dzie rozszerzeniem ciaª i zaªó»my, »e u1; :::; un 2 L. Wtedy
(por. denicj¦ 30):
g(u1; :::; un)
K(u1; :::; un) =
: g; h 2 K[X1; :::; Xn]; h(u1; :::; un) =
/0 :
h(u1; :::; un)
Wskazówka upraszczaj¡ca. Mo»na skorzysta¢ z ¢wiczenia 31 i twierdzenia 20.
Powy»sza posta¢ ciaªa K(u1; :::; un) ulega uproszczeniu przy zaªo»eniu, »e elementy u1; :::; un s¡ algebraiczne nad K. Kluczow¡ obserwacj¡ jest tutaj nast¦puj¡ce twierdzenie (zob. te» wniosek 20 poni»ej):
Twierdzenie 34. (o elemencie algebraicznym) Niech K b¦dzie ciaªem za± u
b¦dzie elementem algebraicznym wzgl¦dem ciaªa K, st u = n. Poªó»my
(
)
^
M := fg(u): g 2 K[X]; deg g < ng = a0 + a1 u + ::: + an¡1 un¡1:
aj 2 K :
06j6n¡1
Wówczas:
1. K(u)=M,
2. zbiór f1; u; :::; un¡1g jest baz¡ przestrzeni liniowej K(u) nad K,
3. (K(u) : K) = n = st u.
39
Szkic dowodu. Niech f 2 K[X] b¦dzie wielomianem minimalnym elementu u nad
K. Zatem deg f = n > 1.
Najpierw rozwa»amy szczególny przypadek n = 1 i bezpo±rednio sprawdzamy
tezy twierdzenia w tej sytuacji.
Dalej zakªadamy, »e n > 1.
atwo widzimy, »e K [ fug M K(u) .
Dowodzimy, »e M = fg(u): g 2 K[X]g :
dla g2K[X] rozwa»amy g (mod f) i zauwa»amy, »e g(u)=(g (mod f))(u)
2M, co dowodzi »¡danej inkluzji.
Dowodzimy, »e M jest ciaªem :
wystarczy pokaza¢ zawieranie ,
na mocy powy»szego punktu ªatwo widzimy, »e M jest pier±cieniem
(bo zgodnie z okre±leniem z przykªadu V str. 17: M = K[u]),
bierzemy b = h(u) 2 M n f0g, gdzie h 2 K[X], deg h < n, i u»ywaj¡c wªasno±ci 25 stwierdzamy, »e (f; h) = 1,
zgodnie z wnioskiem 14 znajdujemy p; q 2 K[X] takie, »e 1 = p f + q h,
zauwa»amy, »e w takim razie b¡1 = q(u) 2 M.
Ze wzgl¦du na koniunkcj¦ zawiera« zaobserwowan¡ w pierwszym punkcie wnosimy najpierw, »e K(u) M a nast¦pnie »e K(u) = M .
Na mocy udowodnionej ju» równo±ci (1) widzimy, »e K(u) = linK f1; u; :::;
un¡1g. Liniowa niezale»no±¢ zbioru f1; u; :::; un¡1g wynika z faktu, »e je±li
g(u) = 0, dla pewnego g 2 K[X], deg g < n, to zgodnie z wªasno±ci¡ 29 jest f j g,
co z kolei wobec deg f = n jest mo»liwe jedynie w sytuacji gdy g = 0.
Co do (3), to jest to bezpo±rednia konsekwencja (2): (K(u) : K) = dimK K(u) =
n.
Wniosek 20. Niech K L b¦dzie rozszerzeniem ciaª i a1;:::;an2L b¦d¡ algebraiczne nad K. Wtedy K(a1;:::;an)=fg(a1;:::;an):g2K[X1;:::;Xn]g=K[a1;:::;an].
Dowód. Jest to prosta indukcja uogólniaj¡ca tez¦ (1) powy»szego twierdzenia. Ostatnia równo±¢ wynika bezpo±rednio z okre±lenia symbolu K[a1; :::; an] zob. przykªad
V str. 17.
Uwaga. Mo»na udowodni¢, »e jest te» odwrotnie: je±li a1;:::;an2L speªniaj¡ K[a1;:::;
an]=K(a1;:::;an), to a1;:::;an s¡ algebraiczne nad K (zob. [BJ85, wniosek (5.1.8)] lub
[Lan73, wniosek 1, 2, rozdziaª X]).
p
Przykªad. Zbiór KD := p + q D : p; q 2 Q C, gdzie D 2 Z jest liczb¡ bezkwadra2
tow¡, jest ciaªem. Istotnie, ªatwo
p sprawdzi¢, »e wielomian f := X ¡ D jest wielomianemp minimalnym elementu D nad Q, wi¦c na mocy twierdzenia 34 ciaªo
¡
Q D jest równe KD.
Szymon Brzostowski
Twierdzenie 35. (charakteryzacja elementów algebraicznych) Element a
rozszerzenia L ciaªa K jest algebraiczny wzgl¦dem K gddy (K(a) : K) < 1.
Dowód. ) Zgodnie z twierdzeniem 34, (K(a) : K) = st a < 1.
( Niech n := (K(a) : K) = dimK K(a) < 1. Zatem ukªad (1; a; :::; an) K(a) jest
liniowo zale»ny nad K. Istniej¡ wi¦c b0; :::; bn 2 K nie wszystkie równe zeru i takie, »e
b0 + b1 a + ::: + bn an = 0. To oznacza jednak, »e wielomian f := b0 + b1 X + ::: + bn Xn 2
K[X] jest niezerowy i speªnia f(a) = 0. Zatem a jest algebraiczny nad K.
Denicja 46. Rozszerzenie L ciaªa K nazywamy algebraicznym, je±li dowolny
element a 2 L jest algebraiczny wzgl¦dem ciaªa K.
Wniosek 21. Niech K L b¦dzie rozszerzeniem ciaª. Je±li (L : K) < 1, to L jest
algebraicznym rozszerzeniem ciaªa K.
Dowód. Niech a 2 L. Mamy K K(a) L, wi¦c na mocy wªasno±ci wymiaru przestrzeni liniowych:
(K(a) : K) 6 (L : K) < 1:
Twierdzenie 35 orzeka zatem, i» a jest algebraiczny nad K.
Denicja 47. Ciaªo K nazywamy algebraicznie domkni¦tym, je±li dowolny niestaªy wielomian f 2 K[X] ma pierwiastek w ciele K. Ciaªo L K nazywamy
domkni¦ciem algebraicznym ciaªa K, je±li L jest takim rozszerzeniem algebraicznym ciaªa K, które jednocze±nie jest ciaªem algebraicznie domkni¦tym. Piszemy wtedy L = K. (W szczególno±ci zapis K = K oznacza, »e ciaªo K jest algebraicznie domkni¦te.)
Twierdzenie 36. (charakteryzacja algebraicznej domkni¦to±ci ciaªa)
Nast¦puj¡ce warunki s¡ równowa»ne:
1. ciaªo K jest algebraicznie domkni¦te,
2. ka»dy wielomian f 2 K[X] n K rozkªada si¦ na czynniki liniowe w K[X],
3. je±li L jest rozszerzeniem ciaªa K i (L : K) < 1, to L = K,
4. je±li L jest algebraicznym rozszerzeniem ciaªa K, to L = K.
Dowód. Zob. [Fil08, twierdzenie 10, str. 343].
Twierdzenie 37. (istnienie algebraicznego domkni¦cia ciaªa)
1. Dla ka»dego ciaªa K istnieje jego algebraiczne domkni¦cie K.
2. Je±li L i M s¡ algebraicznymi domkni¦ciami ciaªa K, to istnieje izomorzm ': L ! M taki, »e 'jK=idK.
3. Je±li L jest rozszerzeniem algebraicznym ciaªa K, to istnieje algebraiczne domkni¦cie M ciaªa K takie, »e L M (tzn. K L M = K).
4. Je±li L jest rozszerzeniem algebraicznym ciaªa K i M = K, to istnieje
wªo»enie ': L ! M takie, »e 'jK=idK.
41
Dowód. Zob. [Fil08, twierdzenie 13, str. 345 i wniosek 8, str. 347].
Wªasno±¢ 30. Ka»de ciaªo algebraicznie domkni¦te jest niesko«czone.
Dowód. Gdyby K= K i K= fa1; :::; ang, to wielomian f:=(X¡a1):::(X¡an)+12K[X]
nie posiadaªby pierwiastków w K, co przeczyªoby algebraicznej domkni¦to±ci K. Twierdzenie 38. (Abela o elemencie pierwotnym) Niech K L b¦dzie rozszerzeniem ciaª, char K = 0 i niech a; b 2 L b¦d¡ elementami algebraicznymi
wzgl¦dem K. Wtedy w L istnieje element c taki, »e K(a; b) = K(c).
Szkic dowodu.
!
!
!
Pokazujemy, »e K(a; b) jest algebraicznym rozszerzeniem ciaªa K:
mamy (K(a; b) : K) = (K(a; b) : K(a)) (K(a) : K) (twierdzenie 25),
(K(a) : K) < 1 (twierdzenie 35) i podobnie (K(a; b) : K(a)) < 1 (tutaj
nale»y skorzysta¢ z prostego faktu, »e K(a; b) = (K(a))(b)),
ª¡cznie (K(a; b) : K) < 1 i mo»emy u»y¢ wniosku 21.
Na mocy twierdzenia 37 p. 3. ustalamy takie algebraiczne domkni¦cie K ciaªa
K, »e K K(a; b) K .
Rozwa»amy wielomiany minimalne f; g 2 K[X] odpowiednio dla elementu a
i b, a nast¦pnie rozpisujemy je zgodnie z twierdzeniem 36 p. 2.:
f = (X ¡ a1) ::: (X ¡ am);
!
!
g = (X ¡ b1) ::: (X ¡ bn);
gdzie a = a1; :::; am; b = b1; :::; bn 2 K.
Stwierdzamy, »e a1; :::; am; b1; :::; bn s¡ wszystkimi pierwiastkami wielomianów
f i g w K a ponadto na mocy wniosku 19 »e s¡ to pierwiastki jednokrotne
odno±nych wielomianów, tzn. ai =
/ aj i bk =
/ bl, dla i =
/ j, k =
/ l.
Skoro char K = 1, to rz K = 1. Znajdujemy wi¦c taki element d 2 K, »e
ai ¡ a
d=
/ b¡
, dla i = 1; :::; m, j = 2; :::; n. Ale wtedy c := a + b d 2 K(a; b) speªnia
b
j
c=
/ ai + bj d, dla i = 1; :::; m, j = 2; :::; n.
!
Rozwa»amy wielomian h := f(c ¡ d X) 2 K(c)[X]. Nast¦pnie ªatwo sprawdzamy,
»e »aden z elementów b2; :::; bn nie jest jego pierwiastkiem (z denicji c).
!
Z drugiej strony jest oczywi±cie h(b) = f(a) = 0. W konsekwencji wielomiany
g i h maj¡ dokªadnie jeden wspólny pierwiastek b 2 K.
!
!
!
Skoro b jest pierwiastkiem jednokrotnym wielomianu g 2 K[X], to (X ¡ b) j g
oraz (X ¡ b)2 - g (z denicji krotno±ci pierwiastka). St¡d ªatwo wnioskujemy,
»e (g; h) = X ¡ b (bo (g; h) rozkªada si¦ na czynniki liniowe w K[X] a inne
czynniki ni» X ¡ b nie wchodz¡ w gr¦).
Ale przecie» g; h 2 K(c)[X], czyli tak»e X ¡ b = (g; h) 2 K(c)[X]. St¡d b 2 K(c)
oraz a = c ¡ b d 2 K(c).
Zatem K(a; b) K(c) a jednocze±nie z okre±lenia c 2 K(a; b), co daje zawieranie odwrotne.
Szymon Brzostowski
Wniosek 22. Je±li char K = 0 i elementy a1; :::; an s¡ algebraiczne nad K, to
istnieje taki element c (zwany elementem pierwotnym b¡d¹ prymitywnym), »e
K(a1; :::; an) = K(c):
Dowód. Wynika z twierdzenia 38 i równo±ci K(a1; :::; an) = (K(a1; :::; an¡1))(an). Obserwacja. Zauwa»my, »e dowód twierdzenia 38 jest konstruktywny. Aby przerobi¢ go w praktyce, mo»na rozwi¡za¢ np. nast¦puj¡ce zadanie:
¡p p wiczenie 66. Znale¹¢ taki element c 2 C, »e Q(c) = Q 2 ; 3 .
Denicja 48. Element a rozszerzenia L ciaªa K nazywamy przest¦pnym nad
(ewent. wzgl¦dem) K je±li nie jest on algebraiczny nad K.
Liczb¦ zespolon¡ z nazywamy liczb¡ algebraiczn¡ (odp. liczb¡ przest¦pn¡)
je±li z jest elementem algebraicznym (odp. przest¦pnym) nad Q.
Przykªad. Liczby
p p
2 , 7 + 1, i,
p
i+ 2
p
8 +2i
s¡ algebraiczne (¢wiczenie). Liczby p, e s¡
przest¦pne (dowód: zob. [Lan73, dodatek]).
Komentarz. Okazuje si¦, »e nie wszystkiepliczby algebraiczne daj¡ si¦ wyrazi¢ za
pomoc¡ kombinacji warto±ci funkcji +; ; /; na liczbach wymiernych. W zwi¡zku
z tym nie wszystkie pierwiastki wielomianów o wspóªczynnikach wymiernych mo»na
przedstawi¢ w powy»szy sposób (tzn. za pomoc¡ tzw. pierwiastników). Ju» dla wielomianów stopni >5 jest to ogólnie rzecz bior¡c niemo»liwe, tzn. nie istniej¡ ogólne
wzory na pierwiastki takich wielomianów wyra»one w terminach pierwiastników
wzgl¦dem ciaªa Q (ale dla wielomianów stopni 64 takie wzory istniej¡). Szczegóªowej
odpowiedzi na pytanie czy dla danego wielomianu jego pierwiastki wyra»aj¡ si¦ przez
pierwiastniki udziela tzw. teoria Galois. Pomysª polega tutaj na tym, by wªasno±ci
dotycz¡ce rozszerze« algebraicznych ciaª przetªumaczy¢ na odpowiednie wªasno±ci
pewnych grup automorzmów zwi¡zanych z danym wielomianem (zob. [Fil08, Lan73,
MS67]).
Dodatek Twierdzenie Hilberta o zerach
Jedn¡ z dziedzin matematyki, w których korzysta si¦ intensywnie z metod algebry
abstrakcyjnej, a przede wszystkim z teorii pier±cieni noetherowskich, jest Geometria Algebraiczna. Zajmuje si¦ ona badaniem ró»norakich wªa±ciwo±ci podzbiorów Kn b¦d¡cych rozwi¡zaniami pewnego ukªadu równa« wielomianowych n zmiennych o wspóªczynnikach w ciele K (tzw. podzbiorów algebraicznych). Okazuje si¦, »e
mgliste intuicje geometryczne dotycz¡ce takich zbiorów mog¡ by¢ precyzyjnie uj¦te
wªa±nie na gruncie teorii pier±cieni przemiennych. Dodatkowo wyst¦puje zjawisko
synergii, wynikaj¡ce z powi¡zania dwóch, zdawaªoby si¦, odr¦bnych ±wiatów: Geometrii i Algebry. Podstawowym spoiwem ª¡cz¡cym te dwie dziedziny jest tak zwane twierdzenie Hilberta o zerach (Hilbert Nullstellensatz).
Twierdzenie Hilberta o zerach
43
Denicja 49. Niech K b¦dzie ciaªem i A K[X1; :::; Xn], n 2 N. Okre±lamy zbiór
V(A) := fa 2 Kn: f(a) = 0 dla wszystkich f 2 Ag. Zbiór ten b¦dzie nazywany zbiorem algebraicznym ( wyznaczonym przez A) a jego elementy zerami A.
Okazuje si¦, »e zbiór A z powy»szej denicji zawsze mo»na wybra¢ jako sko«czony.
Innymi sªowy, aby rozwi¡za¢ ukªad niesko«czenie wielu równa« wielomianowych wystarczy rozwi¡za¢ jedynie sko«czenie wiele równa« tego ukªadu:
Wªasno±¢ 31. Niech A K[X1; :::; Xn]. Wtedy istniej¡ f1; :::; fk 2 A (k 2 N0) takie,
»e
V(A) = V(ff1; :::; fkg) = V(I);
gdzie I := (A) = (f1; :::; fk) jest ideaªem w K[X1; :::; Xn].
Dowód. atwo zauwa»y¢, »e zawsze zera dowolnego zbioru A K[X1; :::; Xn] zale»¡
tylko od ideaªu I := (A) K[X1; :::; Xn] generowanego przez A. To daje nam natychmiastowo tez¦ wªasno±ci, je±li zbiór A jest sko«czony. Je±li rz A = 1, to konstruujemy
ci¡g ideaªów (f1) (f1; f2) ::: (f1; :::; fi) ::: I wybieraj¡c kolejne elementy fj z
A n (f1; :::; fj¡1). Na mocy twierdzenia Hilberta o bazie (twierdzenie 23), ka»dy rosn¡cy
ci¡g ideaªów pier±cienia K[X1; :::; Xn] w ko«cu si¦ stabilizuje, co w powy»szej konstrukcji mo»liwe jest jedynie wtedy gdy A n (f1; :::; fk) = ? dla pewnego k 2 N, tzn. gdy
I = (f1; :::; fk) dla pewnych f1; :::; fk 2 A. Wobec naszej pocz¡tkowej obserwacji, otrzymujemy teraz postulowane równo±ci.
Notacja. W dalszym ci¡gu b¦dziemy pisa¢ V(f1; :::; fk) w miejsce V((f1; :::; fk))
b¡d¹ co na jedno wychodzi w miejsce V(ff1; :::; fkg).
Wªasno±¢ 32. Operator V: K[X1; :::; Xn] B I 7! V(I) Kn ze zbioru ideaªów pier±cienia wielomianów K[X1; :::; Xn] do zbioru zbiorów algebraicznych w Kn posiada
nast¦puj¡ce wªasno±ci:
1. V(0) = Kn, V(K[X1; :::; Xn]) = ?,
2. I J ) V(I) V(J ),
3. V(I \ J ) = V(I J ) = V(I) [ V(J ),
4. dla dowolnej niepustej
rodziny
ideaªów fIg pier±cienia K[X1; :::; Xn]
P
T
zachodzi wzór V( I) = V(I).
Dowód. wiczenie; zob. ewentualnie [BJ85, twierdzenie (1.2.2)].
Komentarz. Punkty (1), (3) i (4) oznaczaj¡, »e rodzina zbiorów algebraicznych w
Kn wyznacza pewn¡ topologi¦ na Kn, a mianowicie tak¡ topologi¦, wzgl¦dem której
zbiorami domkni¦tymi s¡ dokªadnie podzbiory algebraiczne Kn. Jest to tzw. topologia Zariskiego. Jest ona wielce u»yteczna w geometrii algebraicznej ze wzgl¦du na
fakt, »e Kn wraz z t¡ topologi¡ staje si¦ przestrzeni¡ nieprzywiedln¡ , tzn. jej dowolne dwa niepuste podzbiory otwarte maj¡ równie» niepuste przeci¦cie (oczywi±cie
z wyj¡tkiem przypadku gdy rz K < 1).
Szymon Brzostowski
Mo»na okre±li¢ operator dualny do operatora V:
Denicja 50. Niech Z Kn. Okre±lamy I(Z) := ff 2 K[X1; :::; Xn]: f(a) = 0 dla
wszystkich a 2 Zg. Nazywamy I(Z) ideaªem zbioru Z.
Wªasno±¢ 33. Dla dowolnych zbiorów Z; Z1; Z2 Kn jest:
1. I(Z) C K[X1; :::; Xn],
2. Z1 Z2 ) I(Z1) I(Z2),
3. I(Z1 [ Z2) = I(Z1) \ I(Z2),
4.
je±li Z jest zbiorem algebraicznym w Kn, to V(I(Z)) = Z; zatem operator I jest ró»nowarto±ciowy na zbiorze zbiorów algebraicznych.
Dowód. Punkty (1)(3) s¡ oczywiste. Co do (4), zauwa»my, »e inkluzja V(I(Z)) Z
jest prawdziwa dla dowolnego Z Kn, gdy» je±li a 2 Z, to z denicji dowolny wielomian z I(Z) musi znika¢ w tym punkcie, a wi¦c punkt ten jest wspólnym zerem wszystkich wielomianów ze zbioru I(Z), czyli zgodnie z okre±leniem a 2 V(I(Z)).
Zatem pozostaje wykaza¢ zawieranie V(I(Z)) Z przy zaªo»eniu, »e Z jest algebraiczny. Niech wi¦c Z = V(A), dla pewnego A K[X1; :::; Xn], i niech a 2 V(I(Z)). Oznacza to, »e a jest wspólnym zerem wszystkich wielomianów z I(Z)=I(V(A))A, gdzie
ponownie ostatnia inkluzja jest bezpo±redni¡ konsekwencj¡ denicji. Ale to oznacza,
»e a jest wspólnym zerem wielomianów z A czyli a 2 V(A) = Z. Uzyskali±my inkluzj¦
przeciwn¡, wi¦c (4) jest dowiedzione.
Punkt (4) ostatniej wªasno±ci pokazuje, »e V jest lewostronn¡ odwrotno±ci¡
(retrakcj¡) operatora I rozwa»anego na zbiorze zbiorów algebraicznych. Pojawia
si¦ naturalne pytanie, czy/kiedy V jest te» prawostronn¡ odwrotno±ci¡ (sekcj¡) I.
Jak wiadomo z podstaw matematyki, V jest operatorem odwrotnym do I na jego
obrazie, wi¦c tak naprawd¦ pytanie to redukuje si¦ do wyznaczenia tego» obrazu.
Które wi¦c ideaªy mo»na uzyska¢ operatorem I ze zbiorów algebraicznych?
p
Wªasno±¢ 34. Niech ZKn. Wtedy I(Z)= I(Z) , tzn. I(Z) jest ideaªem radykalnym.
p
Dowód. We¹my f 2 I(Z) . Istnieje zatem (por. denicja 28) pewne k 2 N takie, »e
fk 2 I(Z), tzn. fk(a) = 0 dla dowolnego
p a 2 Z. Ale st¡d oczywi±cie tak»e f(a) = 0 dla
a 2 Z, czyli f 2 I(Z). Zatem I(Z) I(Z) a inkluzja odwrotna jest tre±ci¡ wªasno±ci
17 p. (ix).
Powy»sza wªasno±¢ oparta jest na zupeªnie podstawowym fakcie, »e je±li pewien
wielomian znika na jakim± podzbiorze Kn, to na tym samym zbiorze znika te» jego
ka»da pot¦ga naturalna. Skoro innej, równie podstawowej, wªasno±ci wielomianów
z I() nie wida¢, czyli nie wida¢ jak wyró»ni¢ jak¡± jeszcze mniejsz¡ klas¦ ideaªów zawieraj¡c¡ obraz operatora I, to pojawia si¦ pokusa, by postawi¢ nast¦puj¡c¡
hipotez¦:
Twierdzenie Hilberta o zerach
45
By¢ mo»e dziaªaj¡c operatorem I na rodzin¦ zbiorów algebraicznych w Kn
uzyskuje si¦ wszystkie ideaªy radykalne w K[X1; :::; Xn]?
Powy»sza hipoteza to dokªadnie pytanie, czy zachodzi to»samo±¢ I(V(I)) = I dla
ka»dego ideaªu radykalnego pier±cienia K[X1; :::; Xn]. Zauwa»my jednak, »e je±li tak
jest, to, z wªasno±ci 3233, dla dowolnego ideaªu J C K[X1; :::; Xn] jest te»
p
p
I(V(J )) I(V( J )) = J
p
p
a z drugiej strony oczywista relacja J I(V(J )) implikuje J I(V(J )) i na
p
p
mocy wªasno±ci 34: I(V(J )) = I(V(J )). Zatem J I(V(J )) , co ª¡cznie daje
p
nam hipotetyczn¡ równo±¢ ¾¾ I(V(J )) = J , dla dowolnego J C K[X1; :::; Xn] ?? .
Aby j¡ cho¢ cz¦±ciowo zwerykowa¢, rozpatrzmy przykªad:
Przykªad.
1. Niech K = R i rozwa»my ideaª I := (f) C R[X], gdzie f := X2 + 1. Oczywi±cie
p
f(a) =
/ 0 dla a 2 R, tzn. V(I) = ? w R. Ale st¡d I(V(I)) = R[X] =
/ I =I
(ostatnia równo±¢ wynika z faktu, »e f jest nierozkªadalny w R[X], wi¦c generuje ideaª pierwszy, a wi¦c tym bardziej radykalny, I). Zatem w tym przypadku nasza hipoteza nie jest prawdziwa.
2. Rozwa»my ciaªo K i wielomian F := (X ¡ a1)l1 ::: (X ¡ an)ln 2 K[X], gdzie a1; :::;
an 2 K, l1; :::; ln 2 N. Bepo±rednio widzimy, »e V(F) = fa1; :::; ang K. Je±li
teraz g 2 K[X] jest innym wielomianem takim, »e g(a1) = ::: = g(an) = 0, to na
mocy twierdzenia Bézout jest (X ¡ aj) j g dla j = 1; :::; n, sk¡d z kolei wynika,
»e (X ¡ a1) ::: (X ¡ an) j g (z twierdzenia 29). Zatem I(V(F)) (h), gdzie
h := (X ¡ a1) ::: (X ¡ an), a dokªadniej zawieranie to jest równo±ci¡.
p
p
Z drugiej strony ªatwo wida¢, »e (h) (F) i wobec
ogólnej
relacji
(F) p
I(V(F)) (patrz wyró»nienie powy»ej) uzyskujemy (F) = I(V(F)).
Je±li zaªo»ymy dodatkowo, »e K= K, to na mocy twierdzenia 36 p. 2. ka»dy
wielomian f 2 K[X] n K rozkªada si¦ na czynniki liniowe, wi¦c na mocy powy»p
szego: I(V(J )) = J dla J = (f) (tak»e w przypadku wielomianów f staªych).
Ale K[X] jest pier±cieniem ideaªów gªównych (zob. np. ¢wiczenie 53) czyli jego
ka»dy ideaª jest generowany przez jeden wielomian f. W konsekwencji stwierdzamy, »e:
p
równo±¢ I(V(J ))= J jest prawdziwa dla dowolnego ideaªu J CK[X], o ile
K = K.
Na gruncie powy»szego przykªadu widzimy, »e prawdziwo±¢ naszej hipotezy zale»y od ciaªa K a dokªadniej »e prawdopodobnie konieczne jest zaªo»enie o jego algebraicznej domkni¦to±ci. Okazuje si¦, »e jest to w istocie warunek dostateczny. Mianowicie ma miejsce:
Twierdzenie 39. (Hilberta o zerach) Je±li K jest ciaªem algebraicznie
domkp
ni¦tym, to dla ka»dego ideaªu I C K[X1; :::; Xn] zachodzi I(V(I))= I .
Zanotujmy nast¦puj¡ce bezpo±rednie wnioski z powy»szego twierdzenia:
Szymon Brzostowski
Wniosek 23. Niech K = K. Operatory V oraz I ustanawiaj¡ 1 ¡ 1 odpowiednio±¢
mi¦dzy rodzin¡ ideaªów radykalnych pier±cienia K[X1; :::; Xn] a rodzin¡ podzbiorów algebraicznych przestrzeni Kn. Operatory te s¡ malej¡ce (wzgl¦dem ) i
wzajemnie odwrotne.
Wniosek 24. (sªabe twierdzenie Hilberta o zerach) Niech K = K. Dla dowolnego ideaªu wªa±ciwego I C K[X1; :::; Xn] zachodzi V(I) =
/ ? (tzn. I posiada zera
n
w K ).
p
Dowód. Je±li V(I) = ?, to I = I(V(I)) = I(?) = K[X1; :::; Xn], co implikuje, »e
tak»e I = K[X1; :::; Xn] (zob. wªasno±¢ 17 p. (xv)).
Komentarz. Wniosek 23 dostarcza nam podstawowego tªumaczenia terminu geometrycznego (mianowicie zbioru algebraicznego) na termin algebraiczny (ideaª
radykalny). Kolejny krok to rozbudowanie tego sªownika tak, aby swobodnie móc
wyra»a¢ interesuj¡ce nas wªasno±ci w obu j¦zykach i mie¢ do dyspozycji zarówno
metody algebraiczne jak i inspiracje geometryczne (a w przypadku K = C tak»e
metody ró»niczkowe). Przykªadowo, mo»na w ten sposób uj¡¢: wymiar zbioru algebraicznego, krotno±¢ przeci¦cia takich zbiorów, ich punkty (nie)osobliwe czy te»
stopie« ich osobliwo±ci (zob. [BJ85]).
Bibliograa
[Arr06] Enrique Arrondo. Another Elementary Proof of the Nullstellensatz. American Math. Monthly , 113(2):169171, 2006.
[BJ85] Stanisªaw Balcerzyk i Tadeusz Józeak. Pier±cienie przemienne, volume 58 of Biblioteka
Matematyczna . PWN, Warszawa, I. edition, 1985.
[Fil08] Mirosªaw Filipczak. Wykªady z algebry. Wydawnictwo Uniwersytetu ódzkiego, ód¹, I.
edition, 2008.
[Lan73] Serge Lang. Algebra. PWN, Warszawa, I. edition, 1973.
[MS67] Andrzej Mostowski i Marceli Stark. Algebra wy»sza, cz¦±¢ trzecia , volume 4 of Biblioteka
Matematyczna . PWN, III. edition, 1967.

Algebra abstrakcyjna zarys wykładu

Transkrypt

Podobne dokumenty

PESSARY DR. ARABIN : Pessar pierścieniowy szeroki

Algebry nilpotentne i nil

karta zamówienia - Stroje komunijne

Moja lektura nieobowiązkowa

Black series

Strona g?ówna bezpiecze?stwa Salt Lake City mo?

Nieoperacyjne leczenie ¿ylaków odbytu

Co bł. Pier Giorgio Frassati ma do obrony życia?

“Miejcie miłosierdzie dla potrzeb bliźniego. .. Pier Giorgio”