Parametryczna optymalizacja liniowa (PPL)

D. Miszczyńska, M.Miszczyński, KBO UŁ - Parametryczna optymalizacja liniowa (PPL)
Dotychczas analizowaliśmy modele programowania matematycznego, a ściślej
programowania liniowego przy założeniu określonych parametrów. Znajomość zmiennych
dualnych oraz analiza wrażliwości pozwoliła nam na zastanawianie się nad tym jak zmiana
określonego parametru funkcji celu lub parametru wyrazu wolnego mogłaby wpłynąć na
rozwiązanie naszego modelu.
Obecnie założymy, że nasze parametry (współczynniki) funkcji celu lub wyrazów wolnych
są liniowymi funkcjami jednego parametru i jak w takim przypadku należy analizować
rozwiązanie modelu. Problem ten jest rozwinięciem zagadnienia analizy stabilności
(wrażliwości) rozwiązania na zmiany w parametrach modelu PL. W literaturze przedmiotu
określany jest jako parametryczne programowanie liniowe. Wszędzie tam gdzie można
zastosować programowanie liniowe możemy zastosować parametryczne programowanie
liniowe.
Parametryczna
optymalizacja liniowa (PPL)
UWAGI WSTĘPNE
Rozważmy klasyczne zadanie optymalizacji liniowej (PL):
z
c1 x1   
a11 x1   

  
am1 x1   
x1  0 ,  ,
cn xn  max(min)
a1n xn 
b1



amn xn 
bm
xn  0
(1)
(2)
(3)
Jeżeli parametry zadania (13) będą funkcjami pewnego innego parametru t (zamiast
liczbami rzeczywistymi), to zadanie takie nazwiemy zadaniem optymalizacji
parametrycznej.
Zadaniami optymalizacji parametrycznej będą zadania, w których uzależnimy od
parametru t:
 współczynniki funkcji celu (1) c j  f j t  lub
 wyrazy wolne ograniczeń (2) bi  g i t  lub
 współczynniki lewych stron ograniczeń (2) aij  hij t  .
D. Miszczyńska, M.Miszczyński, KBO UŁ- Parametryczna optymalizacja liniowa (PPL)
(I)
[2]
Parametryzacja współczynników funkcji celu
c j t   c 'j  c"j t
Zadanie PPL dla tego przypadku ma następującą postać:
z
c
'
1

 c1"t x1
a11 x1

am1 x1
x1  0




,





t  t min , t max




,
c
'
n

 cn" t xn
a1n xn

amn xn
xn  0
 max(min)

b1



bm
(4)
(5)
( 6)
(7 )
W praktyce rozwiązywania zadań PPL zakres dopuszczalnych wartości parametru t
określony w (7) jest często poszerzany do żądania t  R .
Rozwiązywanie zadania PPL (47) rozpoczynamy od rozwiązania zadania (4-6) dla
dowolnie wybranego t  t0  t min , t max . W praktyce najwygodniej jest przyjąć za t
wartość zerową, tj. t  t 0  0 . Mogą zaistnieć dwa przypadki.
1. Jeżeli dla t  t 0 zadanie (46) jest sprzeczne, to jest również sprzeczne dla każdego
t  R . Kończymy postępowanie. Zadanie PPL (47) nie ma rozwiązania.
2. Jeżeli dla t  t 0 zadanie (46) nie jest sprzeczne, to możemy rozpocząć procedurę
rozwiązywania zadania PPL.
W przypadku drugim zyskujemy pewność, że dla zadania (47) istnieje przynajmniej
jedna baza prymalnie dopuszczalna. Niech bazą taką będzie baza B0.
Rozwiązanie zadania PPL polega na znalezieniu zbioru baz prymalnie dopuszczalnych,
dla których wyznaczymy takie wartości parametru t , aby bazy te stawały się bazami dualnie
dopuszczalnymi.
Może zaistnieć też taki przypadek, że dla danej bazy prymalnie dopuszczalnej
otrzymamy sygnał o braku skończonego rozwiązania optymalnego dla wyznaczonych na jej
podstawie wartości parametru t. Oznaczać to będzie, że taka baza nigdy nie będzie
generowała rozwiązań dualnie dopuszczalnych.
D. Miszczyńska, M.Miszczyński, KBO UŁ- Parametryczna optymalizacja liniowa (PPL)
[3]
Ocena dualnej dopuszczalności dla prymalnie dopuszczalnej bazy B odbywa się tak
samo jak w zwykłych zadaniach PL, tj. za pomocą wskaźników optymalności. Można
wykazać, że wskaźniki optymalności dla bazy B będą, podobnie jak współczynniki funkcji
celu, liniowymi funkcjami parametru t, tj.
 j t   z j t   c j t    j   j t
(8)
Prymalnie dopuszczalna baza B będzie bazą dualnie dopuszczalną jeżeli parametr t
będzie należał do przedziału
B
t , t B . Krańce tego przedziału uzyskujemy rozwiązując
układ nierówności1 (klasyczne kryterium optymalności) stosownie do kierunku poszukiwań
podanych w funkcji celu. Układ nierówności ma postać (9).
 j   j t  0 dla j=1, 2, … , n - funkcja celu max z(x)
(9 a)
albo
 j   j t  0 dla j=1, 2, … , n - funkcja celu min z(x)
Poszukiwane krańce przedziału
(9 b)
B
t , t B dla zadania z funkcją celu max z(x) są
określone wzorami (10a) i (11a).
max    j  j 
t    j 0
gdy nie istnieje  j  0
 
min    j  j 
B
t    j 0
gdy nie istnieje  j  0
 
B
(10 a)
(11 a)
Z kolei dla zadania z funkcją celu min z(x) są określone wzorami (10b) i (11b).
max    j  j 
B
t    j 0
gdy nie istnieje  j  0
 
min    j  j 
B
t    j 0
gdy nie istnieje  j  0
 
UWAGA !!! W praktyce wyznaczanie krańców przedziału
(10 b)
(11 b)
B
t , t B wygodniej jest
przeprowadzić rozwiązując „ręcznie” układ nierówności (9), a nie na podstawie
wzorów (1011).
1
Zwróć uwagę na sposób liczenia wskaźników optymalności. Tutaj przyjęto zj-cj. Jeżeli będą one liczone „odwrotnie” jako cj-zj, to
należy odwrócić znaki relacji w nierównościach (9) i zamienić miejscami wzory (1011) wersja (a) z wersją (b).
D. Miszczyńska, M.Miszczyński, KBO UŁ- Parametryczna optymalizacja liniowa (PPL)
[4]
Ocenę dualnej dopuszczalności bazy B, która jest bazą prymalnie dopuszczalną można
podsumować następującym twierdzeniem.
Twierdzenie 1
Dla dowolnej prymalnie dopuszczalnej bazy B zadania (46) obliczone za pomocą
B
B
(1011) wielkości t oraz t wyznaczają w tym zadaniu obszar dualnej dopuszczalności
bazy B i jest nim:
B
1. zbiór pusty, gdy t  t (baza B nigdy nie będzie dualnie dopuszczalna),
B
B
2. punkt, gdy t  t albo
B
3. przedział liczbowy
t , t B , gdy t B  t B .
B
Postępowanie PPL
'
"


c
t

c

c
j
j t)
(przypadek I - j
DEFINICJA.
Baza sąsiednia do bazy B jest to baza jaką uzyskujemy bezpośrednio po
B
przekroczeniu krańców przedziału
t , tB
.
1. Wyznacz prymalnie dopuszczalną bazę B0 i określ dla niej za pomocą (1011)
przedział dualnej dopuszczalności
t
B0
t 0 , t B0 , w którym t B0  t B0 . Jeżeli
B
 t B0 , to zmień bazę na inną według zasady znajdowania bazy sąsiedniej
(krok 2).
2. Przejdź do bazy sąsiedniej B1 wykorzystując iterację klasycznej metody simpleks.
Zmienną wchodzącą będzie ta zmienna, której wskaźnik optymalności (8) wyznaczył:
górną granicę t
B0
(jeżeli posuwasz się po osi t na prawo od przedziału
dolną granicę t
B0
(jeżeli posuwasz się po osi t na lewo od przedziału
B
t 0 , t B0 )
B
t 0 , t B0 )
3. Wyznaczaj kolejne bazy sąsiednie Bk , aż w kolejnej z nich osiągniesz:
górną granicę t
Bk
 tmax (jeżeli posuwałeś się po osi t konsekwentnie w prawo)
dolną granicę t
Bk
 tmin (jeżeli posuwałeś się po osi t konsekwentnie w lewo).
4. Wróć do bazy B0.
5. Zmień kierunek przepatrywania na przeciwny do wybranego na początku i zrealizuj
kroki 2 i 3 postępowania.
D. Miszczyńska, M.Miszczyński, KBO UŁ- Parametryczna optymalizacja liniowa (PPL)
[5]
Z opisanym postępowaniem wiążą się dalsze twierdzenia.
Twierdzenie 2
Baza sąsiednia Bk+1 do bazy prymalnie i dualnie dopuszczalnej Bk jest dualnie
dopuszczalna przynajmniej dla jednej wartości t, tj. dla

t  t Bk (jeżeli posuwasz się po osi t w prawo) albo

t t
Bk
(jeżeli posuwasz się po osi t w lewo).
Twierdzenie 3
Dla dwóch prymalnie dopuszczalnych baz sąsiednich Bk oraz Bk+1 o niepustych
przedziałach dualnej dopuszczalności odpowiednie krańce przedziałów parametru
pokrywają się. I tak:
t
 t Bk jeżeli baza Bk+1 „jest na prawo” od bazy Bk albo
B
B
 t k 1  t k jeżeli baza Bk+1 „jest na lewo” od bazy Bk.
Wniosek. Przedziały dualnej dopuszczalności baz są przylegające i „wypełniają szczelnie”
oś wartości parametru t w przedziale t min , t max .

t
Bk 1
Wniosek. W punktach granicznych rozwiązywane zadanie PPL charakteryzuje się
niejednoznacznym rozwiązaniem optymalnym.
Twierdzenie 4
Jeżeli w procesie przechodzenia z bazy prymalnie i dualnie dopuszczalnej Bk do bazy
sąsiedniej Bk+1 ,po ustaleniu wektora wchodzącego Ps , nie można wyznaczyć wektora
wychodzącego z bazy Bk , to:
1. Jeżeli
 s  0 , to rozwiązywane zadanie PPL (47) nie posiada skończonego
rozwiązania optymalnego dla wszystkich wartości t , tj. dla t  R .
2. Jeżeli  s  0 , to rozwiązywane zadanie PPL (47) nie posiada skończonego
rozwiązania optymalnego dla wszystkich wartości t z przedziału:
t    ,   s  s  dla zadań z funkcją celu max z(x) albo
t    s  s ,    dla zadań z funkcją celu min z(x).
3. Jeżeli  s  0 , to to rozwiązywane zadanie PPL (47) nie posiada skończonego
rozwiązania optymalnego dla wszystkich wartości t z przedziału:
t    s  s ,    dla zadań z funkcją celu max z(x) albo
t    ,   s  s  dla zadań z funkcją celu min z(x).
D. Miszczyńska, M.Miszczyński, KBO UŁ- Parametryczna optymalizacja liniowa (PPL)
[6]
Twierdzenie 5
Jeżeli zadanie PPL (47) posiada rozwiązanie, to optymalna wartość funkcji celu jest ciągłą
i kawałkami liniową funkcją parametru t. Funkcja ta jest funkcją:
 wypukłą dla zadania z funkcją celu max z(x) albo
 wklęsłą dla zadania z funkcją celu min z(x).
PRZYKŁAD 1
Rozważmy następujące zadanie PPL:
z
2  3t  x1



,
t    ,   
x1
 x1
x1  0
 5  2t  x2
2 x2
x2
x2  0
 max

4

2
(4)
(5)
(5)
(6)
(7)
Jako bazę początkową B0 wybierzmy bazę składającą się z wektorów współczynników przy
zmiennych
x1
oraz
s2 , tj.macierz
 1 0
B0  
.
 1 1
Tablica simpleksowa dla bazy B0. jest następująca:
0+0t
5+2t
Zmienne 2+3t
cB
bazowe
x1
s1
x2
x1
s2
2+3t
0+0t
z j  cj
0+0t
s2
xB
1
2
1
0
4
0
1
1
1
6
0+0t
18t
2+3t
0+0t
8+12t
Jak widać wybrana baza B0 generuje rozwiązanie prymalnie dopuszczalne.
W celu sprawdzenia czy, a jeżeli tak, to dla jakich wartości parametru t będzie ona bazą
dualnie dopuszczalną tworzymy układ nierówności (9a) związany z kryterium optymalności
w tym zadaniu. Ograniczamy się wyłącznie do wskaźników optymalności dla zmiennych
niebazowych (dla zmiennych bazowych wskaźniki są zawsze równe zero bez względu na
dobór parametru t). Układ nierówności i jego rozwiązanie są następujące:
1  8t  0

2  3t  0

1

t


8

2
t  
3


2 1
t  ,
3 8
D. Miszczyńska, M.Miszczyński, KBO UŁ- Parametryczna optymalizacja liniowa (PPL)
Zatem prymalnie dopuszczalna baza
z przedziału
B0
[7]
jest bazą dualnie dopuszczalną dla parametru
t
t   2 3 , 1 8 . W tym przedziale rozwiązaniem optymalnym będzie
4
0 
x o0   
0  , a optymalna wartość funkcji celu wyniesie z0max  8  12t .
 
6 
W kolejnym kroku procedury rozwiązywania PPL próbujemy przejść do bazy
sąsiedniej
B1
związanej z wartościami
t
powyżej (lub równymi) górnemu kresowi
wyznaczonego przedziału, tj. dla wartości t  1 8 (przepatrywanie na prawo). Kres ten
B0 wskaźnik optymalności dla zmiennej x2 . Próbujemy zatem
wprowadzić do bazy B1 wektor współczynników dla zmiennej x2 . Rzut oka na tablicę
simpleksową dla bazy B0 przekonuje nas, że nie uda się wyznaczyć pozycji wymiany
wektora (wszystkie elementy dla kolumny x2 są ujemne). Wniosek z tego faktu jest
wyznaczył w bazie
następujący: dla t  1 8 rozwiązywane zadanie PPL nie posiada skończonego rozwiązania
optymalnego.
Wracamy zatem do tablicy simpleksowej dla bazy B0 i rozpoczynamy procedurę
przepatrywania na lewo od dolnej wartości parametru t dla tej bazy, tj. dla t   2 3 .). Kres
ten wyznaczył w bazie
B0
wskaźnik optymalności dla zmiennej
s1 .
Próbujemy zatem
B1 wektor współczynników dla zmiennej s1 . Jest to możliwe. Baza
sąsiednia B1 będzie utworzona przez wektory współczynników przy zmiennych s1 oraz s2 ,
 1 0
B

tj. macierz 1 0 1 .


Tablica simpleksowa dla sąsiedniej bazy B1 jest następująca:
wprowadzić do bazy
c
B
Zmienne
bazowe
2+3t
5+2t
0+0t
0+0t
x1
x2
s1
s2
s1
s2
1
2
1
0
4
1
1
0
1
2
23t
52t
0+0t
0+0t
0+0t
0+0t
0+0t
z j  cj
xB
D. Miszczyńska, M.Miszczyński, KBO UŁ- Parametryczna optymalizacja liniowa (PPL)
[8]
Układ nierówności (9a) dla bazy B1 i jego rozwiązanie są następujące:
 2  3t  0

 5  2t  0

Zatem prymalnie dopuszczalna baza
2

t



3

5 
t    ,  2 3
t
2

B1 jest bazą dualnie dopuszczalną dla
parametru
t
t    ,  2 3 . W tym przedziale rozwiązaniem optymalnym będzie
z przedziału
0 
0 
o
x1   
4 , a optymalna wartość funkcji celu wyniesie z1max  0  0t .
 
2
Kończymy postępowanie PPL ponieważ osiągnęliśmy oba, założone w (7), krańce zbioru
wartości parametru t, tj. obecnie t min   oraz wcześniej t max   .
Dobrym zwyczajem jest syntetyczne zestawienie uzyskanych wyników na osi wartości
parametru t (syntetyczne zestawienie rozwiązania zadania PPL).
0 
0 
o
x1   
4
 
2
4
0 
o
x0   
0 
 
6 
brak skończonego
rozwiązania
optymalnego
(dla t > 1/8)
t
2/3
max
1
z
 0  0t
1/8
max
0
z
 8  12t
D. Miszczyńska, M.Miszczyński, KBO UŁ- Parametryczna optymalizacja liniowa (PPL)
(II)
[9]
Parametryzacja wyrazów wolnych ograniczeń
bi t   bi'  bi" t
Zadanie PPL dla tego przypadku ma następującą postać:
z
c1 x1 
a11 x1 


am1 x1 
x1  0 ,





t  t min , t max




,
cn xn  max(min)
a1n xn 
b1'  b1"t



amn xn  bm'  bm" t
xn  0
(12)
(13)
(14)
(15)
Podobnie jak dla przypadku I, tak i tutaj w praktyce rozwiązywania zadań PPL zakres
dopuszczalnych wartości parametru t określony w (15) jest często poszerzany do żądania
t R.
Rozwiązywanie zadania PPL (1215) rozpoczynamy od rozwiązania zadania (1214)
dla dowolnie wybranego t  t0  t min , t max . W praktyce najwygodniej jest przyjąć za t
wartość zerową, tj. t  t 0  0 . Mogą zaistnieć dwa przypadki.
1. Jeżeli dla t  t 0 zadanie (1214) nie posiada skończonego rozwiązania optymalnego,
to również nie posiada skończonego rozwiązania optymalnego dla każdego t  R .
Kończymy postępowanie. Zadanie PPL (1215) nie posiada skończonego rozwiązania
optymalnego bez względu na dobór wartości parametru t. Inaczej: zadanie dualne do
niego (por. model (47)) jest sprzeczne, a jego sprzeczność nie zależy od parametru t.
2. Jeżeli dla t  t 0 zadanie (1214) posiada skończone rozwiązanie optymalne, to
możemy rozpocząć procedurę rozwiązywania zadania PPL.
W przypadku drugim zyskujemy pewność, że dla zadania (1215) istnieje przynajmniej
jedna baza dualnie dopuszczalna. Niech bazą taką będzie baza B0.
Rozwiązanie zadania PPL polega tutaj na znalezieniu zbioru baz dualnie
dopuszczalnych, dla których wyznaczymy takie wartości parametru t , aby bazy te
stawały się bazami prymalnie dopuszczalnymi.
Może zaistnieć też taki przypadek, że dla danej bazy dualnie dopuszczalnej otrzymamy
sygnał o braku rozwiązań prymalnie dopuszczalnych dla wyznaczonych na jej podstawie
wartości parametru t. Oznaczać to będzie, że taka baza nigdy nie będzie generowała
rozwiązań prymalnie dopuszczalnych.
D. Miszczyńska, M.Miszczyński, KBO UŁ- Parametryczna optymalizacja liniowa (PPL)
[10]
Ocena prymalnej dopuszczalności dla dualnie dopuszczalnej bazy B odbywa się tak
samo jak w zwykłych zadaniach PL, tj. za pomocą sprawdzenia dopuszczalności
(nieujemności) składowych rozwiązania bazowego. Można wykazać, że składowe wektora
wartości zmiennych bazowych (xB) dla bazy B są, podobnie jak wyrazy wolne ograniczeń
t
(RHS), liniowymi funkcjami parametru , tj.
xiB t   i  i t
(16)
Wielkości  i oraz  i są składowymi wektorów  oraz , które otrzymujemy2 jako
iloczyny macierzy odwrotnej do macierzy bazy B przez oba wektory wyrazów wolnych
-1
-1
ograniczeń, tj. jako α  B b ' oraz β  B b'' .
Dualnie dopuszczalna baza B będzie bazą prymalnie dopuszczalną jeżeli parametr t
będzie należał do przedziału
B
t , t B . Krańce tego przedziału uzyskujemy rozwiązując
układ nierówności (17).
 i  i t  0 dla i=1, 2, … , m
(17)
Układ nierówności (17) wynika wprost z warunków brzegowych (14). Nie zależy od
kierunku poszukiwań rozwiązania optymalnego. Jest on taki sam zarówno dla zadań z
funkcją celu max z(x) jak i z funkcja celu min z(x).
Poszukiwane krańce przedziału
.
B
t , t B są określone wzorami (18) i (19)
max    i  i 
B
t    i 0
gdy nie istnieje  i  0
 
min    i  i 
t B    i 0
gdy nie istnieje  i  0
 
(18)
(19)
B
B
UWAGA !!! W praktyce wyznaczanie krańców przedziału t , t
wygodniej jest
przeprowadzić rozwiązując „ręcznie” układ nierówności (17), a nie na podstawie
wzorów (1819).
Wielkości i oraz i możemy otrzymać z tablicy simpleksowej jeżeli od początku będziemy operowali dwoma kolumnami
wartości zmiennych bazowych xB , tj. będziemy jednocześnie (równolegle) przekształcali wektory b’ oraz b’’ od początku
iterowania metodą simpleks.
2
D. Miszczyńska, M.Miszczyński, KBO UŁ- Parametryczna optymalizacja liniowa (PPL)
[11]
Ocenę prymalnej dopuszczalności bazy B, która jest bazą dualnie dopuszczalną można
podsumować następującym twierdzeniem.
Twierdzenie 6
Dla dowolnej dualnie dopuszczalnej bazy B zadania (1214) obliczone za pomocą
B
B
(1819) wielkości t oraz t wyznaczają w tym zadaniu obszar prymalnej
dopuszczalności bazy B i jest nim:
B
1. zbiór pusty, gdy t  t (baza B nigdy nie będzie prymalnie dopuszczalna),
B
B
2. punkt, gdy t  t albo
B
B
B
3. przedział liczbowy t , t , gdy t  t .
B
B
Postępowanie PPL
'
"
(przypadek II - bi t   bi  bi t )
1. Wyznacz dualnie dopuszczalną bazę B0 i określ dla niej za pomocą (1819) przedział
prymalnej dopuszczalności
t 0 , t B0 , w którym t B0  t B0 . Jeżeli t B0  t B0 , to
B
zmień bazę na inną według zasady znajdowania bazy sąsiedniej (krok 2).
2. Przejdź do bazy sąsiedniej B1 wykorzystując iterację dualnej metody simpleks.
Zmienną wychodzącą będzie ta zmienna bazowa, której wartość (16) wyznaczyła:
górną granicę t
B0
(jeżeli posuwasz się po osi t na prawo od przedziału
dolną granicę t
B0
(jeżeli posuwasz się po osi t na lewo od przedziału
B
t 0 , t B0 )
B
t 0 , t B0 )
3. Wyznaczaj kolejne bazy sąsiednie Bk , aż w kolejnej z nich osiągniesz:
górną granicę t
Bk
 tmax (jeżeli posuwałeś się po osi t konsekwentnie w prawo)
dolną granicę t
Bk
 tmin (jeżeli posuwałeś się po osi t konsekwentnie w lewo).
4. Wróc do bazy B0.
5. Zmień kierunek przepatrywania na przeciwny do wybranego na początku i zrealizuj
kroki 2 i 3 postępowania.
D. Miszczyńska, M.Miszczyński, KBO UŁ- Parametryczna optymalizacja liniowa (PPL)
[12]
Z opisanym postępowaniem wiążą się dalsze twierdzenia.
Twierdzenie 7
Baza sąsiednia Bk+1 do bazy prymalnie i dualnie dopuszczalnej Bk jest prymalnie
dopuszczalna przynajmniej dla jednej wartości t, tj. dla

t  t B k (jeżeli posuwasz się po osi t w prawo) albo

t t
Bk
(jeżeli posuwasz się po osi t w lewo).
Twierdzenie 8
Dla dwóch dualnie dopuszczalnych baz sąsiednich Bk oraz Bk+1 o niepustych przedziałach
prymalnej dopuszczalności odpowiednie krańce przedziałów parametru t pokrywają się. I
tak:
 t Bk jeżeli baza Bk+1 „jest na prawo” od bazy Bk albo
B
B
 t k 1  t k jeżeli baza Bk+1 „jest na lewo” od bazy Bk.
Wniosek. Przedziały prymalnej dopuszczalności baz są przylegające i „wypełniają
szczelnie” oś wartości parametru t w przedziale t min , t max .

t
Bk 1
Wniosek. W punktach granicznych rozwiązywane zadanie PPL charakteryzuje się
niejednoznacznym rozwiązaniem optymalnym.
Twierdzenie 9
Jeżeli w procesie przechodzenia z bazy prymalnie i dualnie dopuszczalnej Bk do bazy
sąsiedniej Bk+1 , po ustaleniu ustaleniu pozycji wymiany wektora w bazie (dualna metoda
simpleks – pozycja (l) wektora wychodzącego; wiersz (l) tablicy simpleksowej), nie można
wyznaczyć wektora wchodzącego3 do bazy Bk+1 , to:
1. Jeżeli  l  0 , to rozwiązywane zadanie PPL (1215) jest sprzeczne dla wszystkich
wartości t , tj. dla t  R .
2. Jeżeli  l  0 , to rozwiązywane zadanie PPL (1215) jest sprzeczne dla wszystkich
wartości t z przedziału t    ,   l  l  .
3. Jeżeli  l  0 , to rozwiązywane zadanie PPL (1215) jest sprzeczne dla wszystkich
wartości t z przedziału: t    l  l ,    .
3
Brak ujemnych elementów w wierszu (l), a w konsekwencji brak ilorazów wejścia w dualnej metodzie simpleks.
D. Miszczyńska, M.Miszczyński, KBO UŁ- Parametryczna optymalizacja liniowa (PPL)
[13]
Twierdzenie 10
Jeżeli zadanie PPL (1215) posiada rozwiązanie, to optymalna wartość funkcji celu jest
ciągłą i kawałkami liniową funkcją parametru t. Funkcja ta jest funkcją:
 wypukłą dla zadania z funkcją celu min z(x) albo
 wklęsłą dla zadania z funkcją celu max z(x).
PRZYKŁAD 2
Rozważmy następujące zadanie PPL:
z
4 x1
x1
 2 x1
x1  0

2 x2

min

x2

2  3t

x2
  5  2t
,
x2  0
t    ,   
(12)
(13)
(13)
(14)
(15)
Jako bazę początkową B0 wybierzmy bazę składającą się z wektorów współczynników przy
zmiennych
x1
oraz
s2 , tj.macierz
 1 0
B0  
.
 2  1
Tablica simpleksowa dla bazy B0. jest następująca:
4
2
0
Zmienne
B
c
bazowe
x
s
x
2
1
s2


1
1
1
0
2
3
0
1
2
1
1
8
0
6
4
0
8
12
x
6
4
x
x
x
1
x1
s2
4
0
z
z j  cj
j
 c j / y1 j
xB
0
Jak widać wybrana baza B0 generuje rozwiązanie dualnie dopuszczalne (spełnione jest
kryterium optymalności).
W celu sprawdzenia czy, a jeżeli tak, to dla jakich wartości parametru t będzie ona bazą
prymalnie dopuszczalną tworzymy układ nierówności (17). Układ ten i jego rozwiązanie są
następujące:
2  3t  0

1  8t  0

2

t



3

1
t
8


2 1
t  ,
3 8
D. Miszczyńska, M.Miszczyński, KBO UŁ- Parametryczna optymalizacja liniowa (PPL)
Zatem dualnie dopuszczalna baza
z przedziału
B0
[14]
jest bazą prymalnie dopuszczalną dla parametru
t
t   2 3 , 1 8 . W tym przedziale rozwiązaniem optymalnym będzie
2  3t 
 0 
o

x0  
 0  , a optymalna wartość funkcji celu wyniesie z0min  8  12t .


1

8
t


W kolejnym kroku procedury rozwiązywania PPL próbujemy przejść do bazy
sąsiedniej
B1
związanej z wartościami
t
powyżej (lub równymi) górnemu kresowi
wyznaczonego przedziału, tj. dla wartości t  1 8 (przepatrywanie na prawo). Kres ten
wyznaczyła w bazie
B0
składowa xB na pozycji (2), tj. wartość zmiennej
s2 .
Próbujemy
zatem usunąć tą zmienną z bazy B0 (iteracja dualnej metody simpleks). Rzut oka na tablicę
simpleksową dla bazy B0 przekonuje nas, że nie uda się wyznaczyć pozycji wymiany
wektora (wszystkie elementy wiersza (2) są nieujemne). Wniosek z tego faktu jest
następujący: dla t  1 8 rozwiązywane zadanie PPL jest sprzeczne. Inaczej: z ujemnej
wartości zmiennej na pozycji (2) w bazie nie będziemy w stanie uczynić wartości
nieujemnej (dopuszczalnej).
Wracamy zatem do tablicy simpleksowej dla bazy B0 i rozpoczynamy procedurę
przepatrywania na lewo od dolnej wartości parametru t dla tej bazy, tj. dla t   2 3 .). Kres
ten wyznaczyła w bazie B0 składowa xB na pozycji (1), tj. wartość zmiennej
zatem usunąć tą zmienną z bazy
B0
x1 . Próbujemy
i wprowadzić na jej miejsce inną zmienną, która w
B1 spełni warunek nieujemności. Jest to możliwe ponieważ wiersz (1) tablicy
simpleksowej dla bazy B0 zawiera elementy ujemne. Baza sąsiednia B1 będzie utworzona
(iteracja dualnej metody simpleks) przez wektory współczynników dla zmiennych s1 oraz
 1 0
B

s2 , tj. macierz 1 
.
 0  1
Tablica simpleksowa dla sąsiedniej bazy B1 jest następująca:
4
2
0
0
xB
Zmienne
B
c
bazowe
x1
s1
s2
x2


0
1
1
0
s1
1
2
3
0
2
0
1
5
s2
1
2
nowej bazie
z j  cj
4
2
0
0
0
0
D. Miszczyńska, M.Miszczyński, KBO UŁ- Parametryczna optymalizacja liniowa (PPL)
[15]
Układ nierówności (17) dla bazy B1 i jego rozwiązanie są następujące:
 2  3t  0

 5  2t  0
2

t



3

5
t
2


Zatem dualnie dopuszczalna baza
B1

t    ,  2 3
jest bazą prymalnie dopuszczalną dla parametru
t
t    ,  2 3 . W tym przedziale rozwiązaniem optymalnym będzie
z przedziału
 0 
 0 
o

x1  
 2  3t  , a optymalna wartość funkcji celu wyniesie z1min  0  0t .


 5  2t 
Kończymy postępowanie PPL ponieważ osiągnęliśmy oba, założone w (15), krańce zbioru
wartości parametru t, tj. obecnie t min   oraz wcześniej t max   .
Syntetyczne zestawienie uzyskanych wyników na osi wartości parametru t (syntetyczne
zestawienie rozwiązania zadania PPL) jest tutaj następujące.
2  3t 
 0 
o

x0  
 0 


1  8t 
 0 
 0 
o

x1  
 2  3t 


 5  2t 
zadanie PPL
jest
sprzeczne
(dla t > 1/8)
t
2/3
min
1
z
 0  0t
1/8
z
min
0
 8  12t
D. Miszczyńska, M.Miszczyński, KBO UŁ- Parametryczna optymalizacja liniowa (PPL)
[16]
Zależności łączące przypadki I oraz II
Zadania PPL (47) i (1215) tworzą parę zadań dualnych względem siebie. Wzajemne
zależności pomiędzy nimi są naturalną konsekwencją twierdzeń o dualizmie w PL.
Twierdzenie 11
Przedziałom dualnej dopuszczalności zadania PPL (47) odpowiadają przedziały prymalnej
dopuszczalności zadania PPL (1215).
Twierdzenie 12
W przedziałach określonych w twierdzeniu 11 optymalne wartości funkcji celu zadań PPL
(47) i (1215) są sobie równe.
Twierdzenie 13
Przedziałom wartości parametru
t,
dla których zadanie PPL (47) nie posiadało
skończonego rozwiązania optymalnego odpowiadają przedziały wartości parametru t, dla
których zadanie PPL (1215) jest sprzeczne.