Mechanika kwantowa I

Rozdział 4
Mechanika kwantowa I
4.1
4.1.1
Teoria Bohra
Widmo atomu wodoru
Na przełomie XIX i XX wieku stwierdzono, że wiele zjawisk z zakresu fizyki atomowej wskazuje, że energia mikroskopowych układów fizycznych,
np. atomów i cząsteczek, jest skwantowana. Oznacza to, że ich energia może
przybierać tylko ściśle określone, nieciągłe wartości. Jednym z takich zjawisk
jest emisja i absorbcja promieniowania elektromagnetycznego przez atomy i
cząsteczki.
Prowadzone w tym okresie przez wielu fizyków, m.in. przez E. Rutherforda, badania doprowadziły do ustalenia budowy atomów i cząsteczek. Każdy
niezjonizowany atom składa się z bardzo małego jądra o rozmiarach rzędu 10−15 m, mającego ładunek +Ze, gdzie e jest ładunkiem elementarnym.
Wokół jądra atomu, w obszarze o rozmiarach rzędu 10 −10 m, porusza się Z
elektronów, każdy o ładunku −e, tworząc obojętny elektrycznie atom (rys.
4.1). Masa jądra atomowego jest znacznie większa, w przypadku atomu wodoru ok. 2000 razy, od masy elektronu i praktycznie cała masa atomu jest
skupiona w jego jądrze. Liczba Z, nazywana liczbą atomową, jest równa
liczbie porządkowej pierwiastka w układzie okresowym Mendelejewa. Najprostszą budowę posiada atom wodoru o liczbie atomowej Z = 1. Składa się
on z jądra zwanego protonem o ładunku +e, dookoła którego porusza się
pojedynczy elektron.
Widma promieniowania pierwiastków w postaci gazów i par, pobudzonych do świecenia np. za pomocą wyładowania elektrycznego, są złożone
z jasnych, ostrych linii, odpowiadających ściśle określonym długościom fal.
Jest to tzw. widmo emisyjne. Jeżeli światło o widmie ciągłym, np. światło
77
78
MECHANIKA KWANTOWA I
-e
-e
-e
+Ze
-15
~10 m
-10
~10 m
Rysunek 4.1:
H
Hd
Hg
Hb
Ha
l
Rysunek 4.2:
żarówki, przechodzi przez gaz lub parę, na tle ciągłego widma widoczne są
ciemne linie zwane widmem absorpcyjnym. Długości fal widma emisyjnego i
widma absorpcyjnego danego pierwiastka są identyczne.
Ze względu na prostą budowę atomu wodoru jego widmo posiada najprostszą strukturę. Linie widmowe wodoru układają się w określone serie,
z których jedna, zwana serią Balmera (rys. 4.2), leży częściowo w zakresie widzialnym. Bezpośrednio widoczne są cztery linie — czerwona (H α ),
niebiesko-zielona (Hβ ), i dwie fioletowe (Hγ i Hδ ).
Długości fal, odpowiadających wszystkim seriom w widmie wodoru, mogą być opisane empirycznym wzorem, podanym po raz pierwszy w szczegól-
79
TEORIA BOHRA
nym przypadku przez J. Balmera w 1885 r.:
1
1
1
=R
−
,
λ
n2 n0 2
n0 > n.
(4.1)
W przytoczonym wzorze n i n0 są liczbami naturalnymi a R tzw. stałą Rydberga o wartości liczbowej
R = 1, 0967758 · 107 m−1 .
(4.2)
Na przykład podstawiając we wzorze (4.1) n = 2 i n 0 = 3 otrzymujemy długość fali linii Hα serii Balmera. Nazwy serii widmowych, odpowiadających
kilku wartościom liczby n, podaje tabelka 4.1.
n
1
2
3
4
...
seria
Lymana
Balmera
Paschena
Bracketta
...
n0
2, 3, 4, . . .
3, 4, 5, . . .
4, 5, 6, . . .
5, 6, 7, . . .
...
zakres
nadfiolet
św. widzialne
podczerwień
podczerwień
...
Tabela 4.1:
Strukturę widm podobną do widma atomu wodoru wykazują także tzw.
atomy wodoropodobne. Są to zjonizowane atomy, składające się z jądra o
ładunku +Ze i pojedynczego elektronu, np. He + , Li++ . Uogólniony wzór
Balmera ma wtedy postać
1
1
1
= Z 2R
− 02
2
λ
n
n
4.1.2
,
n0 > n .
(4.3)
Model Bohra atomów wodoropodobnych
Zaproponowany przez Rutherforda model atomu (rys. 4.1) nie dawał poprawnego opisu widm atomowych, w szczególności widma atomu wodoru.
Zgodnie z klasyczną elektrodynamiką, elektron poruszający się wokół jądra
z określonym przyspieszeniem dośrodkowym powinien wypromieniowywać
w sposób ciągły falę elektromagnetyczną o częstości równej jego częstości
obiegu, aż do upadku elektronu na jądro. Atomy powinny być zatem niestabilne a ich widmo promieniowania — widmem ciagłym, w sprzeczności z
doświadczeniem.
80
MECHANIKA KWANTOWA I
- e, m
rn
vn, E n
F
+ Ze, m p
Rysunek 4.3:
Pierwszą próbę usunięcia wad modelu Rutherforda i zbudowania kwantowej teorii atomu wodoru podjął Niels Bohr w 1913 r. Teoria Bohra opierała
się na dwóch postulatach, sprzecznych z klasyczną mechaniką i elektrodynamiką:
1. Elektron w atomie może krążyć tylko po takich orbitach kołowych, na
których jego moment pędu Ln wynosi:
Ln = mvn rn = nh/2π,
n = 1, 2, 3, . . . ,
(4.4)
gdzie m — masa elektronu, rn i vn — promień n-tej dozwolonej orbity i prędkość elektronu na tej orbicie, h — stała Plancka (rys. 4.3).
Elektron znajdujący się na dozwolonej orbicie nie promieniuje energii.
Liczbę n, numerującą kolejne dozwolone orbity elektronu, nazywamy
liczbą kwantową.
2. Przy przejściu elektronu z jednej orbity na inną zostaje wyemitowany
lub zaabsorbowany kwant promieniowania — foton o energii:
E f = E n0 − E n ,
(4.5)
gdzie En0 i En — całkowita energia elektronu na orbitach o liczbach
kwantowych n0 i n. Postulat ten wynika z zasady zachowania energii.
Biorąc pod uwagę, że siła F i energia potencjalna U elektrostatycznego
oddziaływania elektronu z jądrem atomu wodoru lub atomu wodoropodobnego wyrażają się wzorami
F =
Ze2
,
4πε0 r 2
(4.6)
81
TEORIA BOHRA
U =−
Ze2
4πε0 r
(4.7)
(ε0 — przenikalność elektryczna próżni, r — promień orbity), z pierwszego
postulatu Bohra można obliczyć promienie r n dozwolonych orbit oraz prędkości vn i energie En elektronu na tych orbitach. Ponieważ masa elektronu m
jest znacznie mniejsza od masy protonu m p , m mp , jądro atomu można
uważać za nieruchome. Przyrównując siłę (4.6) przyciągania elektrostatycznego elektronu przez jądro do siły dośrodkowej,
F =
otrzymujemy równanie
czyli
mv 2
,
r
(4.8)
Ze2
mv 2
=
,
4πε0 r 2
r
(4.9)
Ze2
= mv 2 .
4πε0 r
(4.10)
Z pierwszego postulatu Bohra wynika zależność
v=
nh
.
2πmr
(4.11)
Podstawiając to wyrażenie do wzoru (4.10) znajdujemy:
Ze2
n2 h2
= m 2 2 2,
4πε0 r
4π m r
(4.12)
skąd wynika wzór, określający promienie dozwolonych orbit,
rn =
ε0 h2 n2
.
πmZe2
(4.13)
Podstawiając ostatnie wyrażenie do wzoru (4.11) dostajemy z kolei wzór,
określający prędkości elektronu na dozwolonych orbitach,
v=
nh πmZe2
·
,
2πm ε0 h2 n2
(4.14)
czyli
vn =
Ze2
.
2ε0 hn
(4.15)
82
MECHANIKA KWANTOWA I
Promień pierwszej orbity elektronu w atomie wodoru (Z = 1) wynosi r 1 =
5, 3 · 10−11 m a jego prędkość na tej orbicie v1 = 2, 2 · 106 m/s.
Całkowita energia E elektronu w atomie jest równa sumie jego energii
kinetycznej Ek i potencjalnej U ,
E = Ek + U =
mv 2
Ze2
−
.
2
4πε0 r
(4.16)
Uwzględniając wzór (4.10) dostajemy stąd
E=
Ze2
Ze2
Ze2
−
=−
.
2 · 4πε0 r 4πε0 r
8πε0 r
(4.17)
Znak „-” wskazuje, że elektron jest związany w atomie, tj. że jego oddzielenie
od atomu wymaga wykonania określonej pracy. Korzystając ze wzoru (4.13)
otrzymujemy wzór, określający dozwolone wartości energii elektronu:
E=−
Ze2 πmZe2
·
,
8πε0 ε0 h2 n2
En = −
mZ 2 e4
.
8ε20 h2 n2
(4.18)
(4.19)
Liczbowa wartość energii elektronu na pierwszej orbicie w atomie wodoru
wynosi E1 = −13, 6 eV (1 eV= 1, 602·10−19 J). Jest ona, co do wartości bezwzględnej, równa energii jonizacji atomu wodoru w stanie niewzbudzonym
(n = 1), tzn. energii potrzebnej do odłączenia elektronu od atomu.
Na podstawie drugiego postulatu Bohra można teraz, uwzględniając
wzór na energię fotonu,
hc
Ef =
,
(4.20)
λ
otrzymać wzór, określający długości fal emitowanych lub absorbowanych
przy przejściu elektronu między dozwolonymi orbitami. Podstawiając wyrażenie (4.19), analogiczne wyrażenie dla E n0 i wyrażenie (4.20) do wzoru
(4.5) znajdujemy:
1
mZ 2 e4 1
1
= 2 3
−
.
(4.21)
λ
8ε0 h c n2 n0 2
Otrzymany wzór ma postać identyczną ze wzorem Balmera (4.3). Stała Rydberga wyraża się więc wzorem:
R=
me4
.
8ε20 h3 c
(4.22)
83
TEORIA BOHRA
0
n=
E5
5
E4
4
E3
3
E2
2
E1
1
a)
b)
c)
d)
Rysunek 4.4:
Można sprawdzić, że po podstawieniu wartości liczbowych poszczególnych
stałych otrzymuje się istotnie poprawną wartość stałej Rydberga.
Dozwolone poziomy energetyczne elektronu w atomie wodoru i schemat
przejść elektronowych dla czterech serii w widmie emisyjnym pokazuje rysunek 4.4. Litery od a) do d) oznaczają kolejno serię Lymana, Balmera,
Paschena i Bracketta (por. z tabelką 4.1). Dla większej przejrzystości na rysunku nie zostały zachowane rzeczywiste odległości między poziomami energetycznymi. Serie widma absorpcyjnego wodoru odpowiadają analogicznym
przejściom w kierunku większych wartości energii.
4.1.3
Widma rentgenowskie
Teoria Bohra pozwala również wyjaśnić widma charakterystycznego promieniowania rentgenowskiego (podrozdział 3.2.1). Widma rentgenowskie pierwiastków składają się z małej liczby linii, które można pogrupować w serie
oznaczane literami K, L, M , N , . . . . Poszczególne linie serii oznacza się jako Kα , Kβ , Kγ itd. Kolejne serie odpowiadają coraz większym długościom
fal. Ze wzrostem liczby atomowej Z odpowiadające sobie linie widmowe poszczególnych pierwiastków przesuwają się w kierunku mniejszych długości fal
(większych częstotliwości). W 1913 r. H. Moseley wykazał doświadczalnie,
84
MECHANIKA KWANTOWA I
K
n
a
Rc
L
0
20
40
60
80
a
Z
Rysunek 4.5:
√
że zachodzi liniowa zależność między ν, gdzie ν jest częstotliwością określonej linii widmowej danej serii a liczbą atomową Z pierwiastka. Zależność
tę, noszącą nazwę prawa Moseley’a, można zapisać w postaci
r
ν
= A(Z − σ) ,
Rc
(4.23)
gdzie R jest stałą Rydberga, c prędkością światła natomiast A i σ stałymi
o różnych wartościach dla poszczególnych linii widmowych (rys. 4.5).
W celu interpretacji widm rentgenowskich pierwiastków trzeba przyjąć,
że elektrony w atomach wieloelektronowych układają się w grupy o określonych promieniach orbit i określonych energiach. Grupy te są nazywane powłokami lub warstwami elektronowymi, przy czym w każdej powłoce
może znajdować się ograniczona ilość elektronów. Kolejne, coraz bardziej
odległe od jądra atomu powłoki elektronowe oznacza się liczbą kwantową
n = 1, 2, 3, . . . albo kolejnymi literami K, L, M , N , . . . . W atomach ciężkich
pierwiastków wewnętrzne powłoki są całkowicie zapełnione przez elektrony.
Jeżeli na atom pada kwant promieniowania rentgenowskiego o dostatecznej energii, może on wybić elektron np. z położonej najbliżej jądra powłoki K. Na jego miejsce przechodzi wtedy elektron z powłoki L, M, N lub
dalszej. Przejścia takie związane są z emisją kwantów promieniowania rent-
85
WŁASNOŚCI FALOWE CZĄSTEK
genowskiego o określonych energiach i pojawieniem się odpowiednio linii
widmowych Kα , Kβ , Kγ itd. Podobnie, linie widmowe serii L, M , N powstają przy przejściach elektronów na powłokę oznaczoną tą literą z powłok
bardziej odległych od jądra.
Dla wyjaśnienia prawa Moseley’a zakłada się, że siłę i energię potencjalną oddziaływania elektronu z jądrem w atomach wieloelektronowych można
w przybliżeniu opisać wzorami analogicznymi do wzorów (4.6) i (4.7), w których rzeczywisty ładunek jądra +Ze jest zastąpiony mniejszym ładunkiem
+ (Z − σ) e. Stałą σ wprowadza się w celu uwzględnienia częściowego przesłaniania ładunku jądra przez ładunek poruszających się w pobliżu niego
elektronów. Wzór Balmera (4.3) przyjmuje wtedy postać
1
1
1
= (Z − σ)2 R
− 02 ,
2
λ
n
n
n0 > n.
(4.24)
Korzystając ze związku λ = c/ν, gdzie c jest prędkością światła, wzór ten
można przepisać jako
ν
1
1
= (Z − σ)2
− 02
2
Rc
n
n
.
(4.25)
Otrzymuje się stąd prawo Moseley’a (4.23), przy czym stała
A=
r
1
1
− 0 2.
2
n
n
(4.26)
Przykładowo, dla linii Kα widma rentgenowskiego, odpowiadającej
przej√
ściu elektronu z powłoki n0 = 2 na powłokę n = 1, stała A = 3/2. Natomiast, jak wynika z doświadczenia, dla tej linii stała przesłaniania σ = 1,
co oznacza, że ładunek jądra jest przesłaniany przez ładunek pojedynczego
elektronu z powłoki K.
4.2
4.2.1
Własności falowe cząstek
Fale de Broglie’a
Teoria Bohra, mimo swoich sukcesów, miała również pewne wady. Opierała
się ona na dowolnych założeniach i miała ograniczony zakres stosowalności.
W szczególności nie dawała poprawnego opisu optycznych widm atomów,
zawierających więcej niż jeden elektron. Konsekwentny opis wszystkich zjawisk z zakresu fizyki atomowej i fizyki ciała stałego a także większości zjawisk fizyki jądrowej daje mechanika kwantowa. Podstawy mechaniki kwantowej opracowali w latach 1925-26 niezależnie od siebie W. Heisenberg, E.
86
MECHANIKA KWANTOWA I
E, p
r.
r.
a)
l
b)
Rysunek 4.6:
Schrödinger i P.A.M. Dirac. Istotnym krokiem na drodze do odkrycia mechaniki kwantowej okazała się hipoteza de Broglie’a.
W r. 1924 Louis de Broglie wysunął przypuszczenie, że dwoistą, korpuskularno – falową naturę, ma nie tylko promieniowanie elektromagnetyczne,
ale również poruszające się cząstki materialne (rys. 4.6). Długość i częstotliwość fal materii są wg. de Broglie’a, przez analogię do wzorów (3.1) i (3.23)
określających pęd i energię fotonów, dane zależnościami:
λ=
h
,
p
(4.27)
ν=
E
,
h
(4.28)
w których h — stała Plancka, p i E — pęd i energia cząstki.
Hipoteza de Broglie’a została potwierdzona w 1927 roku przez C.J. Davissona i L.H. Germera, którzy zarejestrowali dyfrakcję fal de Broglie’a elektronów na krysztale niklu. Schemat ich doświadczenia pokazuje rysunek 4.7a.
Wiązka elektronów, przyspieszonych napięciem U w dziale elektronowym D,
padała na powierzchnię kryształu Ni. Elektrony rozproszone pod określonym
kątem α wpadały do puszki Faraday’a P (wydrążonego cylinderka), połączonej z elektrometrem El. Rejestrowane przez elektrometr natężenie prądu
było więc proporcjonalne do liczby zbieranych elektronów. Zmieniając położenie puszki Faraday’a można było mierzyć liczbę rozproszonych elektronów
w funkcji kąta α.
Dla określonych wartości napięcia U przyspieszającego elektrony Davisson i Germer zaobserwowali w pewnych kierunkach wyraźne maksima w
87
WŁASNOŚCI FALOWE CZĄSTEK
+
U
kierunek wi¹zki padaj¹cej
D
El
-e, m
pe
P
q a
q
50
o
Ni
a)
b)
Rysunek 4.7:
ilości rozproszonych elektronów. Jak pokazuje rysunek 4.7b, dla wartości
U = 54 V maksimum takie występuje dla kąta α = 50 ◦ . Zamieszczony
wykres jest tzw. wykresem biegunowym, gdzie długość odcinka łączącego
początek układu współrzędnych i dany punkt krzywej jest proporcjonalna
do liczby rozproszonych w tym kierunku elektronów.
Interpretując to zjawisko jako dyfrakcję fal elektronów na sieci krystalicznej i korzystając ze wzoru Bragga (3.19),
nλ = 2d sin θ,
(4.29)
można znaleźć ich długość. Odległość d = 9, 1 · 10 −11 m płaszczyzn atomowych kryształu niklu, na których zachodzi w tym przypadku dyfrakcja,
była znana wcześniej z badań rentgenograficznych. Związek między kątem
rozproszenia α i kątem selektywnego odbicia θ we wzorze Bragga łatwo jest
znaleźć z rysunku 4.7a. Widać, że 2θ + α = 180 ◦ , skąd θ = 90◦ − α/2, czyli,
dla wartości α = 50◦ , θ = 65◦ . Ponieważ pojawia się tylko jedno maksimum
dyfrakcyjne, należy w podanym wzorze przyjąć n = 1. Zmierzona długość
fali de Broglie’a wynosi zatem
λ = 2 · 9, 1 · 10−11 m · sin 65◦ ,
88
MECHANIKA KWANTOWA I
λ = 1, 65 · 10−10 m.
(4.30)
Z drugiej strony, znając wartość napięcia przyspieszającego elektrony,
można obliczyć długość związanych z nimi fal de Broglie’a. Ponieważ energia
kinetyczna elektronu wyraża się wzorami:
Ee =
p2
,
2m
Ee = eU
(4.31)
(4.32)
(m i e — masa i ładunek elektronu), pęd elektronu określa równanie
p2
= eU,
2m
z którego
p=
√
2meU .
(4.33)
(4.34)
Korzystając ze wzoru de Broglie’a (4.27) dostajemy następujący wzór na
długość fali elektronu
h
λ= √
.
(4.35)
2meU
Dla wartości U = 54 V otrzymujemy (ładunek elektronu e = 1, 602 · 10 −19
C, masa elektronu m = 9, 11 · 10−31 kg):
λ= p
6, 62 · 10−34 J · s
,
2 · 9, 11 · 10−31 kg · 1, 602 · 10−19 C · 54 V
λ = 1, 66 · 10−10 m.
(4.36)
Z porównania wyników (4.30) i (4.36) widać, że zachodzi dobra zgodność
rezultatów doświadczalnych z przewidywaniami de Broglie’a.
W roku 1928 G.P. Thomson przeprowadził doświadczenia nad dyfrakcją wiązki elektronów przechodzących przez cienką, polikrystaliczną folię
ze złota. Zarejestrowany na kliszy fotograficznej obraz miał postać koncentrycznych okręgów, podobnie jak w przypadku dyfrakcji promieni X na polikrystalicznych próbkach (por. rys. 3.9c). I. Estermann i O. Stern w 1930
r. stwierdzili doświadczalnie dyfrakcję cząsteczek wodoru i atomów helu na
kryształach LiF i NaCl. W r. 1956 J. Faget i C. Fert zaobserwowali dyfrakcję fal de Broglie’a elektronów przechodzących przez bardzo małe otworki
i szczeliny. We wszystkich doświadczeniach zmierzona długość fal zgadzała
się z teorią de Broglie’a. Współcześnie do badania struktury ciał stałych
89
WŁASNOŚCI FALOWE CZĄSTEK
szeroko stosuje się, oprócz dyfrakcji promieni X, również dyfrakcję fal de
Broglie’a neutronów i elektronów.
Omówione doświadczenia wskazują, że wszystkie poruszające się cząstki
materialne wykazują własności falowe. Powstaje pytanie, dlaczego nie obserwuje się własności falowych ciał makroskopowych, np. lecącego pocisku.
Odpowiedź wynika ze wzoru de Broglie’a. Długość tych fal jest tak mała, że
nie mogą być one wykryte w żadnym doświadczeniu dyfrakcyjnym. Np. dla
pocisku o masie m = 10−2 kg i prędkości v = 102 m/s otrzymujemy:
λ=
λ=
h
,
mv
(4.37)
6, 62 · 10−34 J · s
= 6, 62 · 10−34 m.
10−2 kg · 102 m/s
Obliczona długość fali de Broglie’a jest niezmiernie mała w porównaniu z
odległościami spotykanymi w codziennym życiu.
Należy jeszcze rozpatrzyć fizyczną naturę fal de Broglie’a. Fale te nie
są falami elektromagnetycznymi ani żadnymi innymi falami, znanymi w fizyce klasycznej. Ich fizyczny sens polega na tym, że prawdopodobieństwo
znalezienia się cząstki w danym, niewielkim obszarze przestrzeni jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy fali de Broglie’a w tym obszarze. Np.
w omówionych doświadczeniach nad dyfrakcją cząstek kierunki, w których
jest rozproszonych najwięcej cząstek są kierunkami, w których kwadrat amplitudy fali de Broglie’a ma największą wartość. Zachodzi tu analogia do
omówionej w podrozdziale 3.1.2 zależności między liczbą fotonów, znajdujących się w niewielkim obszarze przestrzeni a natężeniem promieniowania,
proporcjonalnym do kwadratu amplitudy fali elektromagnetycznej. Ponieważ fale de Broglie’a określają prawdopodobieństwo znalezienia się cząstki
w danym obszarze przestrzeni, nazywa się je niekiedy „falami prawdopodobieństwa”.
4.2.2
Zasada nieoznaczoności Heisenberga
W mechanice klasycznej zarówno położenie jak i prędkość lub pęd cząstki
mogą być określone, przynajmniej teoretycznie, z dowolnie dużą dokładnością. W istocie, pod pojęciem cząstki rozumiemy obiekt, zlokalizowany w
określonym, niewielkim obszarze przestrzeni i posiadający określoną prędkość lub pęd.
W r. 1926 W. Heisenberg opierając się na formaliźmie mechaniki kwantowej wykazał, że istnieje ograniczenie dokładności, z jaką można określić
jednocześnie położenie i pęd cząstki materialnej, wynikające z jej falowej
90
MECHANIKA KWANTOWA I
v
0
x
a)
v
0
x
b)
Dx
v
0
x
c)
Dx
Rysunek 4.8:
natury. Matematyczne sformułowanie tego ograniczenia dają wyprowadzone
przez Heisenberga nierówności, zwane zasadą nieoznaczoności. Przytoczymy
teraz uproszczone rozważania, prowadzące do tej zasady.
Przypomnimy najpierw niektóre wielkości opisujące fale. Do scharakteryzowania płaskiej fali monochromatycznej (rys. 4.8a) wystarcza określić jej
liczbę falową k, częstotliwość kołową ω oraz amplitudę i kierunek ruchu.
Wielkości te są związane z długością λ i częstotliwością ν fali wzorami:
2π
,
λ
(4.38)
ω = 2πν.
(4.39)
k=
W przypadku, gdy czas emisji fali przez źródło ma skończoną wartość ∆t,
w przestrzeni rozchodzi się ciąg falowy o długości ∆x (rys. 4.8b, c). Jak
stwierdzono w podrozdziale 2.1.2, ciąg falowy składa się z monochromatycznych fal o wektorach falowych i częstotliwościach kołowych zawartych w
91
WŁASNOŚCI FALOWE CZĄSTEK
określonych przedziałach, ∆k i ∆ω. Zachodzą przy tym nierówności
∆x · ∆k ­ 1,
(4.40)
∆ω · ∆t ­ 1.
(4.41)
Wynika z nich, że stopień monochromatyczności ciągu falowego jest tym
większy, im większe są wartości ∆x i ∆t.
Powyższe zależności są słuszne dla wszystkich rodzajów fal. Zastosujemy
je teraz do fali de Broglie’a cząstki o pędzie p x = p i energii E, poruszającej
się wzdłuż osi x. Ze wzorów de Broglie’a (4.27) - (4.28) i wzorów (4.38) (4.39) wynika, że liczbę falową i częstotliwość kołową monochromatycznej
fali de Broglie’a można wyrazić wzorami
k=
2πp
,
h
(4.42)
ω=
2πE
.
h
(4.43)
Wzory te zapisuje się zwykle w postaci
k=
ω=
p
,
E
,
(4.44)
(4.45)
gdzie stała = h/2π ma wartość = 1, 0545 · 10 −34 J·s.
Będziemy dalej nazywać niedokładność określenia współrzędnej i pędu cząstki nieoznaczonością jej położenia i pędu. Przyjmijmy najpierw, że
cząstkę opisuje monochromatyczna fala de Broglie’a (rys. 4.8a). Ze wzoru
(4.44) widać, że pęd cząstki jest wtedy ściśle określony i jego nieoznaczoność
∆p = 0. Ponieważ amplituda fali de Broglie’a jest w każdym punkcie osi x
jednakowa, prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w dowolnym punkcie
osi x jest, zgodnie z fizycznym znaczeniem fali de Broglie’a, takie samo.
Zatem dla monochromatycznej fali de Broglie’a nieoznaczoność położenia
cząstki ∆x = ∞.
Załóżmy teraz, że poruszającą się cząstkę reprezentuje ciąg falowy, nazywany w mechanice kwantowej pakietem lub paczkę falową (rys. 4.8b, c).
W tym przypadku nieoznaczoność położenia cząstki ma skończoną wartość
równą długości pakietu ∆x. Jednak pakiet falowy składa się z fal monochromatycznych o różnych wektorach falowych, leżących w przedziale ∆k. Ze
92
MECHANIKA KWANTOWA I
wzoru (4.44) wynika, że nieoznaczoność pędu cząstki ma obecnie skończoną
wartość, związaną z ∆k wzorem
∆k =
∆p
(4.46)
.
Podstawiając to wyrażenie do wzoru (4.40) otrzymujemy związek między
nieoznaczonością położenia ∆x i pędu ∆p cząstki:
∆x · ∆p ­ .
(4.47)
Widać, że gdy nieoznaczoność ∆x współrzędnej cząstki maleje, nieoznaczoność ∆p jej pędu rośnie i na odwrót. Nie można więc jednocześnie określić
położenia i pędu cząstki z dowolną dokładnością.
W podobny sposób można wykazać, że dla ruchu cząstki w dowolnym
kierunku nieoznaczoności wszystkich jej współrzędnych i składowych pędu
spełniają zależności:
∆x · ∆px ­ ,
(4.48)
∆y · ∆py ­
,
(4.49)
∆z · ∆pz ­
.
(4.50)
Wzory te przedstawiają zasadę nieoznaczoności Heisenberga: iloczyn nieoznaczoności współrzędnej cząstki i nieoznaczoności odpowiedniej składowej
pędu cząstki nie może być mniejszy niż wartość stałej Plancka, podzielonej
przez 2π.
Zasady nieoznaczoności nie należy interpretować w ten sposób, że mikroskopowe cząstki mają w rzeczywistości ściśle określone wartości położenia i
pędu, których jednak z pewnych przyczyn nie można dokładnie wyznaczyć.
Zasada nieoznaczoności wskazuje, że cząstki takie mają specyficzne cechy
wynikające z ich falowej natury, nieznane w mechanice klasycznej i pozwala
określić granicę jej stosowalności. Jeżeli spełnione są jednocześnie nierówności ∆x x i ∆p p (lub ∆v v), do opisu ruchu cząstki można stosować
prawa mechaniki klasycznej. W innych przypadkach należy stosować prawa
mechaniki kwantowej.
Rozpatrzymy dwa proste przykłady. Niech pocisk o masie m = 10 −2 kg
ma prędkość v = 102 m/s. Przyjmiemy, że położenie pocisku można wyznaczyć z dokładnością ∆x = 10−6 m. Ponieważ pęd pocisku p = mv, to nieoznaczoność pędu ∆p = m∆v, skąd nieoznaczoność prędkości ∆v = ∆p/m.
Z zasady nieoznaczoności (4.47) wynika, że minimalna nieoznaczoność prędkości
∆v =
(4.51)
m∆x
93
WŁASNOŚCI FALOWE CZĄSTEK
i po podstawieniu danych liczbowych
∆v =
1, 05 · 10−34 J · s
= 1, 05 · 10−26 m/s.
10−2 kg · 10−6 m
Ponieważ ∆v v, do opisu ruchu pocisku można stosować prawa mechaniki klasycznej. Ogólnie, w przypadku ruchu ciał makroskopowych zasada
nieoznaczoności nie wnosi żadnych istotnych ograniczeń.
Rozważymy teraz ruch elektronu w atomie wodoru, opisywany modelem Bohra. Zgodnie z nim średnica pierwszej orbity elektronu wynosi x =
1, 06 · 10−10 m a prędkość elektronu na tej orbicie jest równa v = 2, 2 · 10 6
m/s. Przyjmiemy, że nieoznaczoność położenia elektronu jest równa średnicy
orbity, ∆x = 1, 06 · 10−10 m. Ze wzoru (4.51) otrzymujemy (masa elektronu
m = 9, 11 · 10−31 kg):
∆v =
1, 05 · 10−34 J · s
= 1, 09 · 106 m/s.
9, 11 · 10−31 kg · 1, 06 · 10−10 m
Ponieważ ∆v ≈ v, nie można twierdzić, że elektron w atomie porusza się po
określonej orbicie, na której ma określoną prędkość. Model Bohra jest więc
sprzeczny z mechaniką kwantową.
Podobna relacja nieoznaczoności dotyczy energii E cząstki i czasu t jej
przebywania w danym stanie energetycznym. Zgodnie ze wzorem (4.45),
między zakresem ∆ω częstotliwości fal zawartych w pakiecie falowym i nieoznaczonością ∆E energii cząstki zachodzi związek
∆ω =
∆E
(4.52)
.
Podstawiając to wyrażenie do wzoru (4.41) otrzymujemy nierówność
∆E · ∆t ­
,
(4.53)
gdzie ∆t jest nieoznaczonością czasu. Wielkości E i t mogą więc być jednocześnie wyznaczone tylko z ograniczoną dokładnością.
Zasada nieoznaczoności (4.53) odgrywa istotną rolę w fizyce atomowej i
fizyce jądrowej. Wynika z niej m.in., że jeżeli średni czas przebywania cząstki
(np. elektronu w atomie) na danym poziomie energii ma skończoną wartość
∆t, to poziom ten ma określoną szerokość, nie mniejszą niż ∆E = /∆t.
94
MECHANIKA KWANTOWA I