- Schemat oceniania

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
PROPOZYCJA SCHEMATU OCENIANIA ARKUSZA
Z POZIOMU PODSTAWOWEGO
Odpowiedzi do zadañ zamkniêtych
Nr zadania
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
OdpowiedŸ
C
B
D
C
B
D
B
B
A
A
C
A
A
D
D
Nr zadania
16
17
18
19
20
OdpowiedŸ
C
B
D
D
A
Propozycja oceniania zadañ otwartych
Zadanie 21. (2 pkt)
Wyka¿ – stosuj¹c wzór skróconego mno¿enia – ¿e liczba 49 + 39 jest podzielna przez 91.
Pokonanie zasadniczej trudnoœci zadania (1 punkt)
Zapisanie liczby w postaci (43 + 33)[(43)2 – 43 × 33 + (33)2] na podstawie wzoru skróconego mno¿enia:
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
l
Rozwi¹zanie bezb³êdne (2 punkty)
Zapisanie liczby w postaci 91 × ((43)2 – 43 × 33 + (33)2) i stwierdzenie, ¿e wyra¿enie w nawiasie
jest liczb¹ ca³kowit¹ (lub naturaln¹).
l
Uwaga: Jeœli uczeñ nie zapisze, ¿e wyra¿enie w nawiasie jest liczb¹ ca³kowit¹ (lub naturaln¹), to
otrzymuje 1 pkt. Jeœli uczeñ nie zastosuje wzoru skróconego mno¿enia lub b³êdnie zastosuje
wzór, to otrzymuje 0 punktów.
Zadanie 22. (2 pkt)
W skoñczonym ci¹gu geometrycznym (an) wyraz pierwszy jest równy 3, a wyraz ostatni 768.
Wiedz¹c, ¿e suma wszystkich wyrazów wynosi 1533, oblicz iloraz tego ci¹gu.
Pokonanie zasadniczej trudnoœci zadania (1 punkt)
Zapisanie zale¿noœci 768 = a1 × qn – 1 i wykorzystanie wzoru na sumê n pocz¹tkowych wyrazów
3 - 768q
ci¹gu geometrycznego Sn do zapisania równania:
= 1533, gdzie q ¹ 1.
1- q
l
Rozwi¹zanie bezb³êdne (2 punkty)
Wyznaczenie ilorazu ci¹gu: q = 2.
l
Uwaga: Jeœli w zadaniu jest b³¹d rachunkowy lub drobne usterki, to uczeñ otrzymuje 1 punkt.
Wydawca: OFICYNA EDUKACYJNA * KRZYSZTOF PAZDRO Sp. z o.o.
–2–
Zadanie 23. (2 pkt)
Jedynym miejscem zerowym funkcji kwadratowej f jest liczba 2. Wykres funkcji f przecina oœ
OY w punkcie o wspó³rzêdnych (0, –2). Wyznacz wzór tej funkcji w postaci ogólnej.
Pokonanie zasadniczej trudnoœci zadania (1 punkt)
Zapisanie wzoru funkcji w postaci f (x) = a × (x – 2)2 oraz wyliczenie wartoœci wspó³czynnika a:
a = –0,5.
l
Uwaga: Jeœli uczeñ poda tylko wartoœæ wspó³czynnika c (we wzorze f (x) = ax2 + bx + c): c = –2,
to otrzymuje 0 punktów. Jeœli uczeñ napisze dodatkowo uk³ad równañ pozwalaj¹cy wyznaczyæ
wspó³czynniki a i b, to otrzymuje 1 punkt.
Rozwi¹zanie bezb³êdne (2 punkty)
Doprowadzenie wzoru funkcji f (x) = –0,5(x – 2)2 do postaci ogólnej: f(x) = –0,5x2 + 2x – 2.
l
Uwaga: Jeœli rozwi¹zanie zawiera b³¹d rachunkowy lub drobne usterki, to uczeñ otrzymuje
1 punkt.
Zadanie 24. (2 pkt)
W trapezie ABCD, w którym AB || DC oraz |AB| > |DC|, przek¹tna DB zawiera siê w dwusiecznej
k¹ta ABC. Wyka¿, ¿e |DC| = |BC|.
Pokonanie zasadniczej trudnoœci zadania (1 punkt)
Powo³anie siê na twierdzenie o dwóch prostych równoleg³ych przeciêtych trzeci¹ prost¹ w uzasadnieniu równoœci k¹tów naprzemianleg³ych: |ËABD| = |ËBDC|.
l
Uwaga: Jeœli uczeñ stwierdzi, ¿e z twierdzenia o dwóch prostych równoleg³ych przeciêtych
trzeci¹ prost¹ wynika równoœæ |ËCBD| = |ËBDC|, to otrzymuje 0 punktów.
Bezb³êdne rozwi¹zanie zadania (2 punkty)
Stwierdzenie, ¿e z równoœci |ËABD| = |ËBDC| oraz |ËABD| = |ËDBC| wynika równoœæ
|ËCBD| = |ËBDC|, wiêc trójk¹t DBC jest równoramienny, zatem |DC| = |CB|.
l
Uwaga: Jeœli uczeñ nie zapisze, ¿e trójk¹t DBC jest równoramienny, to otrzymuje 1 pkt.
Zadanie 25 (2 pkt)
Roz³ó¿ wielomian W(x) = x3 + 3x2 – 2x – 6 na czynniki liniowe.
Pokonanie zasadniczej trudnoœci zadania (1 punkt)
Zapisanie wielomianu w postaci iloczynu: W(x) = (x + 3)(x2 – 2).
l
Uwaga: Jeœli uczeñ tylko pogrupuje wyrazy: W(x) = x2(x + 3) – 2(x + 3), to otrzymuje 0 punktów.
Rozwi¹zanie bezb³êdne (2 punkty)
Roz³o¿enie wielomianu na czynniki liniowe: W(x) = (x + 3)(x – 2)(x + 2).
l
Wydawca: OFICYNA EDUKACYJNA * KRZYSZTOF PAZDRO Sp. z o.o.
–3–
Zadanie 26 (2pkt)
Tworz¹ca sto¿ka ma d³ugoœæ 3 dm. D³ugoœæ promienia podstawy sto¿ka jest równa 1 dm. Powierzchnia boczna sto¿ka po rozwiniêciu na p³aszczyznê jest wycinkiem ko³a. Oblicz miarê a
k¹ta œrodkowego tego wycinka.
S
S
a
O
Pokonanie zasadniczej trudnoœci zadania (1 punkt)
Obliczenie d³ugoœci okrêgu o promieniu 1 dm: 2p dm oraz d³ugoœci okrêgu o promieniu 3 dm:
6p dm.
l
Uwaga: Jeœli uczeñ obliczy tylko d³ugoœæ okrêgu o promieniu 3 dm, to otrzymuje 0 punktów.
Rozwi¹zanie bezb³êdne (2 punkty)
Wyznaczenie miary a k¹ta œrodkowego wycinka ko³a: a = 120°.
l
Uwaga: Jeœli rozwi¹zanie zawiera drobne usterki lub b³¹d rachunkowy, to uczeñ otrzymuje
1 punkt.
Zadanie 27. (4 pkt)
Oblicz: 2 – 3 + 6 – 7 + 10 – 11 + … + 2010 – 2011.
Dokonanie niewielkiego postêpu (1 punkt)
Stwierdzenie, ¿e liczby 2, 6, 10, …, 2010 w podanej kolejnoœci tworz¹ ci¹g arytmetyczny (an),
w którym a1 = 2, ra = 4, natomiast liczby –3, –7, –9, …, –2011 w podanej kolejnoœci tworz¹ ci¹g
arytmetyczny (bn), w którym b1 = –3, rb = – 4
albo
stwierdzenie, ¿e kolejne pary liczb sumuj¹ siê do (–1).
l
Dokonanie istotnego postêpu (2 punkty)
Wyznaczenie liczby wyrazów ci¹gu (an) i (bn): jest taka sama dla obu ci¹gów i wynosi 503.
l
Pokonanie zasadniczej trudnoœci zadania (3 punkty)
Obliczenie sumy wszystkich wyrazów ci¹gu (an): 506018 i sumy wszystkich wyrazów ci¹gu
(bn): (–506521).
l
Rozwi¹zanie bezb³êdne (4 punkty)
Obliczenie wartoœci wyra¿enia: 2 – 3 + 6 – 7 + 10 – 11 + … + 2010 – 2011 = –503.
l
Uwaga: Jeœli rozwi¹zanie zawiera b³¹d rachunkowy lub drobne usterki, to uczeñ otrzymuje
3 punkty.
Wydawca: OFICYNA EDUKACYJNA * KRZYSZTOF PAZDRO Sp. z o.o.
–4–
Zadanie 28. (4 pkt)
W jednej szufladzie znajduje siê 6 czapek: 3 zielone, 2 czerwone i 1 niebieska, a w drugiej
szufladzie jest 7 szalików: 2 zielone, 1 czerwony i 4 niebieskie. Wyjêto losowo jedn¹ czapkê
i jeden szalik. Oblicz prawdopodobieñstwo zdarzenia A – wylosowana czapka i wylosowany
szalik s¹ tego samego koloru.
l
Dokonanie niewielkiego postêpu (1 punkt)
Okreœlenie przestrzeni zdarzeñ elementarnych W i obliczenie W: W = 42.
Dokonanie istotnego postêpu (2 punkty)
Stwierdzenie, ¿e A = A1 È A2 È A3, gdzie A1, A2, A3 oznaczaj¹ zdarzenia:
A1 – wylosowana czapka i wylosowany szalik s¹ koloru zielonego,
A2 – wylosowana czapka i wylosowany szalik s¹ koloru czerwonego,
A3 – wylosowana czapka i wylosowany szalik s¹ koloru niebieskiego,
które s¹ parami roz³¹czne,
l
albo narysowanie drzewka:
z
3
z
2
l
cz
1
wybór czapki
n
cz
2
z
n
4
2
cz
1
z
n
1
4
2
cz
wybór szalika
n
1
4
Pokonanie zasadniczej trudnoœci zadania (3 punkty)
Wyznaczenie prawdopodobieñstw zdarzeñ A1, A2, A3: P(A1) =
6
2
, P(A2) =
,
42
42
4
albo obliczenie A: A = 3 × 2 + 2 × 1 + 1 × 4 = 12.
42
Uwaga: Jeœli uczeñ wykona³ tylko fragment drzewka wystarczaj¹cy do obliczenia A, to otrzyP(A3) =
muje 3 punkty. Jeœli wyznaczenie A zawiera b³¹d rachunkowy, to uczeñ otrzymuje 2 punkty.
Bezb³êdne rozwi¹zanie zadania (4 punkty)
2
Obliczenie P(A): P(A) = .
7
l
Uwaga: Jeœli rozwi¹zanie zadania zawiera drobne usterki lub b³¹d rachunkowy, to uczeñ
otrzymuje 3 punkty.
Zadanie 29. (4 pkt)
Podstaw¹ ostros³upa jest romb. Wysokoœæ ostros³upa ma d³ugoœæ 12 3 cm, a spodek O tej
wysokoœci jest punktem przeciêcia przek¹tnych. Ka¿da ze œcian bocznych ostros³upa tworzy
z p³aszczyzn¹ podstawy k¹t o mierze 60°.
a) Zaznacz na rysunku k¹t nachylenia œciany bocznej do p³aszczyzny podstawy ostros³upa oraz
poprowadŸ odcinek OA, którego d³ugoœæ jest równa odleg³oœci punktu O od œciany bocznej.
b) Oblicz odleg³oœæ punktu O od œciany bocznej.
Wydawca: OFICYNA EDUKACYJNA * KRZYSZTOF PAZDRO Sp. z o.o.
–5–
Dokonanie niewielkiego postêpu (1 punkt)
Narysowanie k¹ta nachylenia œciany bocznej do p³aszczyzny podstawy, wraz z wysokoœci¹
rombu i wysokoœci¹ œciany bocznej, które ten k¹t wyznaczaj¹.
l
Uwaga: Jeœli uczeñ nie poprowadzi³ tych wysokoœci lub nie zaznaczy³ odpowiednich k¹tów prostych, to otrzymuje 0 pkt.
l
Dokonanie istotnego postêpu (2 punkty)
A
O
60°
Obliczenie d³ugoœci wysokoœci rombu i d³ugoœci wysokoœci œciany bocznej oraz stwierdzenie,
¿e trójk¹t wyznaczony przez wysokoœæ rombu i wysokoœci przeciwleg³ych œcian bocznych jest
równoboczny, a d³ugoœæ jego boku jest równa 24 cm.
Bezb³êdne rozwi¹zanie zadania (4 punkty)
Narysowanie odcinka OA oraz obliczenie jego d³ugoœci poprzez wykorzystanie pola trójk¹ta
prostok¹tnego albo poprzez wykorzystanie podobieñstwa odpowiednich trójk¹tów prostok¹tnych: |OA| = 6 3 cm.
l
Uwaga: Jeœli uczeñ dobrze zaznaczy³ k¹t nachylenia œciany bocznej do p³aszczyzny podstawy
i Ÿle poprowadzi³ odcinek OA, to otrzymuje 2 punkty. Jeœli uczeñ narysowa³ poprawnie odcinek
OA, ale nie obliczy³ jego d³ugoœci lub wykona³ b³¹d rachunkowy w obliczeniach, to otrzymuje
3 punkty. Jeœli rozwi¹zanie zadania zawiera drobne usterki, to uczeñ otrzymuje 3 punkty.
Zadanie 30. (6 pkt)
W trójk¹cie prostok¹tnym ABC, gdzie |ËACB| = 90°, wierzcho³ek B ma wspó³rzêdne (6, 0).
Prosta k: 11x + 2y – 6 = 0, zawieraj¹ca œrodkow¹ trójk¹ta poprowadzon¹ z wierzcho³ka C, przeæ
1ö
cina bok AB trójk¹ta w punkcie S ç1, -2 ÷. Wyznacz wspó³rzêdne punktów A i C.
2ø
è
Dokonanie niewielkiego postêpu (1 punkt)
Obliczenie wspó³rzêdnych punktu A: A(–4, –5).
l
Dokonanie istotnego postêpu (2 punkty)
Stwierdzenie, ¿e punkt C nale¿y do prostej k i do okrêgu o1 opisanego na trójk¹cie ABC oraz ¿e
œrodkiem okrêgu o1 jest punkt S.
l
Wydawca: OFICYNA EDUKACYJNA * KRZYSZTOF PAZDRO Sp. z o.o.
–6–
Pokonanie zasadniczej trudnoœci zadania (4 punkty)
Zapisanie uk³adu równañ, w którym jednym z równañ jest równanie prostej k, a drugim – rówì11x + 2 y - 6 = 0
ï
nanie okrêgu opisanego na trójk¹cie ABC: í
oraz doprowadzenie do
2
2 125
(
x
1
)
+
(
y
+
2
,
5
)
=
ï
4
î
2
równania kwadratowego z jedn¹ niewiadom¹ (np. x): (x – 1) = 1 albo x2 – 2x = 0.
l
Uwaga: Jeœli uczeñ zapisa³ poprawnie równanie okrêgu, ale nie doprowadzi³ rozwi¹zywania
uk³adu równañ do równania kwadratowego z jedn¹ niewiadom¹ lub otrzyma³ takie równanie
z b³êdami, to otrzymuje 3 punkty.
Bezb³êdne rozwi¹zania zadania (6 punktów)
Wyznaczenie wspó³rzêdnych punktu C: C1(0, 3), C2(2, –8).
l
Uwaga: Jeœli rozwi¹zanie zadania zawiera drobne usterki lub b³¹d rachunkowy, to uczeñ
otrzymuje 5 punktów. Jeœli uczeñ podczas rozwi¹zania równania kwadratowego zgubi jedno
rozwi¹zanie i poda tylko jedno (poprawne) rozwi¹zanie (punkt C), to otrzymuje 4 punkty.
Wydawca: OFICYNA EDUKACYJNA * KRZYSZTOF PAZDRO Sp. z o.o.