Dzienne zużycie wody w fabryce ma rozkład normalny o

(Treść)
Dzienne zużycie wody w fabryce ma rozkład normalny o znanym odchyleniu standardowym
DX = 40. Na podstawie obserwacji n=400 dni stwierdzono, że średnie, dzienne zużycie wody
wynosi EX = 1004 m3 .
(a) Przyjmując współczynnik ufności β = 0,97 wyznacz przedział ufności dla przeciętnej m.
(b) Przyjmując współczynnik ufności β = 0,97 oblicz minimalną liczbę pomiarów n, które trzeba
wykonać aby maksymalny błąd ∆ (promień przedziału ufności) dla średniej m nie przekraczał 2.
(c) Na poziomie istotności α = 0,04 zweryfikuj hipotezy:
H0 (m = 1000), H0 (m < 1000), H0 (m > 1000).
Cześć,
Dobrze, gdybyś narysowała sobie “standardową” krzywą Gaussa (“dzwon”), znajdziesz ją w książkach lub w sieci; ale przerysuj na kartce, bo będziemy po niej mazać. Ta krzywa odpowiada za
częstotliwość pomiarów (czyli stosunek ilości konkretnych wyników do wszystkich). W rzeczywistym świecie dokładny pomiar się nie zdarza, więc z krzywej Gaussa czytamy co innego:
“Jaka część pomiarów mieści się w zakresie od-do w okolicy zera” (przypominam: średnia dla
standardowej krzywej Gaussa to zero).
OK, to teraz na poziomej osi zaznacz 2,17 [uprzedzam wyniki z punktu (a)] oraz minus 2,17.
Zakreskuj część pola “pod dzwonem” między (na poziomej osi) –2,17 i 2,17. Powinnaś dostać
zakreskowaną większość pola i dwa puste “ogonki” po lewej i prawej stronie.
Na te “ogonki” powołuję się dalej.
(a)
Zakładam, że chodzi o dwustronny przedział ufności, tzn taki, w którym pole pod krzywą
Gaussa N(0,1) w przedziale (u1 ; u2 ) spełnia warunek:
P (u1 < 0 < u2 ) = β = 0,97
Całe pole pod krzywą Gausa wynosi 1, więc na “ogonki przypada 1 – 0,97 = 0,03. Każdy z
ogonków ma więc 0,03 / 2 = 0,015.
Pole pod krzywą Gaussa liczone od wartości −∞ do pewnego “u” na poziomej osi nazywa się
dystrybuantą rozkładu normalnego i przyjmuje wartości od 0 do 1. Pole ogonka z lewej strony
wynosi 0,015, a pole lewego ogonka i zakreskowanej części to 0,015 + 0,97 = 0,985. Tej wartości
szukamy w tablicach dystrybuanty. Znajdujemy wartość zmiennej “u” dla której dystrybuanta
wynosi 0,985 - zaznaczam: w tablicy, w jej “środku” szukasz dystrybuanty, a na brzegu tablicy
odczytujesz “u”, zwane też czasami “z”, nie przejmuj się oznaczeniami.
Otrzymujemy u = 2,17.
Oznacza to, że nasze u1 i u2 wynoszą odpowiednio –2,17 i 2,17. Przerabiamy to na przedział
ufności (X1 ; X2 ) wielkości m = EX . Przypominam, jak się “standaryzuje” rozkład normalny,
używając oznaczeń z zadania:
X − EX
DX
√
u=
zatem X1,2 = EX ± u √
(1)
DX / n
n
Uwaga! Założyłem, że podane w zadaniu
√ DX jest błędem pojedynczego pomiaru, a nie
średniej, dlatego powyżej dzielę przez n. Wstawiamy dane:
40
40
X1 = 1004 − 2,17 · √
≈ 1001,8
oraz
X2 = 1004 + 2,17 · √
≈ 1006,2
400
400
Szukany przedział to zakres
x ∈ (1001,8 ; 1006,2)
Ciąg dalszy na następnej stronie
(b)
Poprzednio we wzorze (1) dodawaliśmy lub odejmowaliśmy od średniej wyrażenie, które dawało
promień przedziału ufności przy założonym “n”. Teraz robimy odwrotnie: Zakładamy promień
“r” równy 2, z części (a) wiemy, że u = 2,17 i obliczamy “n”
DX
r=u√
n
zatem
n=
u DX
r
2
=
2,17 · 40
2
2
≈ 1884
Do spełnienia warunków zadania potrzeba co najmniej 1884 pomiary.
(c)
Ta część jest podobna do części (a) bo test polega na sprawdzeniu, czy wartość m = 1000 leży w
granicach przedziału ufności dookoła wartości średniej EX . Tak przynajmniej jest w przypadku
testu H0 (m = 1000).
Dla wartości α = 0,04 znajdujemy w tablicach dystrybuanty liczbę “u” odpowiadającą wartości
dystrybuanty równą 0,91 (czyli 1 - połowa α). Otrzymujemy u = 2,05. Następnie obliczamy
wartość testu, podobnie jak w równaniu (1)
T =
|m − EX | √
|1000 − 1004| √
n=
400 = 2
DX
40
(2)
Otrzymana wartość jest mniejsza niż wymagana 2,08, wobec tego nie ma podstaw odrzucenia
hipotezy H0 . Innymi słowy wartość m = 1000 należy do przedziału ufności w tym doświadczeniu.
Dwie pozostałe hipotezy traktujemy identycznie, ale z jednym wyjątkiem: NIE dzielimy α przez 2
gdyż np dla H0 (m < 1000) na wykresie krzywej Gaussa jest tylko jeden “ogonek” (tzw. test
jednostronny), dlatego, że m może być dowolnie małe w porównaniu z 1000, ale nie większe.
Dla wartości dystrybuanty 1 – 0,04 = 0,96 znajdujemy u = ±1,75. Tymczasem wartość wyrażenia testowego (z pominięciem wartości bezwzględnej) wynosi T = –2, co jest mniejsze (bardziej ujemne) niż –1,75, dlatego hipotezę H0 odrzucamy i przyjmujemy alternatywną hipotezę
H1 (m 6 1000).
Ostatnia z postawionych hipotez H0 (m > 1000) wymaga identycznych obliczeń, z tym, że
bierzemy w tym wypadku wartość u = +1,75, co powoduje, że wartość T (ujemna) jest zdecydowanie mniejsza od u, hipotezę tą należy przyjąć.
Podkreślam, że dla danej wartości α mamy zawsze dwie wartości “u” z przeciwnymi znakami.
Znak minus wybieramy, gdy sprawdzamy, czy coś jest mniejsze od założonej wartości, znak
plus - gdy jest odwrotnie, a gdy sprawdzamy równość to dzielimy α przez 2, znajdujemy “u”
z plusem i bierzemy wartość bezwzględną z różnicy, jak we wzorze (2). Tak jest po prostu
wygodniej.
Pozdrowienia - Antek