bryła sztywna

BRYŁA SZTYWNA
Niektóre powody aby poznać ten dział:
• stanowi dobre uzupełnienie mechaniki punktu materialnego,
• opisuje wiele sytuacji „z życia codziennego”,
• ma wiele powiązań z innymi działami fizyki (termodynamika, astrofizyka),
Umowy
Aby uprościć rozważania w tym dziale będziemy przyjmować następujące umowy:
• ruch obrotowy będzie odbywał się tylko wokół jednej osi,
• rysunki będą płaskie (dwuwymiarowe),
• tam gdzie nie będzie to bezwzględnie koniecznie będziemy pomijali notację
wektorową,
• w większości przypadków analizując ruch bryły sztywnej (szczególnie przy
wyprowadzeniach) będziemy zastępować ją zbiorem skończonej ilości połączonych sztywno se sobą punktów materialnych, (w ogólności punktów tych
jest nieskończenie wiele i pojawia się formalizm rachunku całkowego)
Podstawowe pojęcia
Kątem obrotu – nazywamy stosunek długości odcinka okręgu po którym porusza
się ciało do promienia tego okręgu, jest to tzw. naturalna miara kąta a jej
jednostką jest radian i ma on następującą definicję:
R
∆l
α
R
∆l
α=
R
[α] = rad
Jeden radian to kąt który zostanie zatoczony gdy ciało, poruszając się po okręgu
przebędzie drogę równą swojemu promieniowi; kąt ten „w stopniach” ma miarę
równą około 57o
Obliczając ile wg powyższej definicji wynosi kąt pełny otrzymamy przepis, jak
1
przeliczać stopnie na radiany i odwrotnie:
α=
∆l
2ΠR
=
= 2Π → 360o
R
R
Prędkością kątową nazywamy stosunek kąta zatoczonego przez obracającą się
bryłę sztywną do czasu w którym to nastąpiło:
ω=
∆α
∆t
Gdzie α jest kątem w mierze łukowej.
Jeżeli przedział czasu jest okresem ∆t = T wówczas ∆α = 2Π i pamiętając,
że f = T1 dostaniemy bardzo użyteczny związek:
2Π
= 2Πf
ω=
T
Korzystając natomiast z definicji kąta obrotu dostajemy zależność między prędkością kątową i liniową:
ω=
∆ ∆l
R
∆t
=
1 ∆l
1
= v ⇒ v = ωR
R ∆t
R
Przyspieszeniem kątowym nazywamy stosunek zmiany prędkości kątowej do
czasu w którym owa zmiana nastąpiła:
ǫ=
∆ω
∆t
Korzystając z definicji prędkości kątowej otrzymujemy zależność między przyspieszeniem liniowym i kątowym:
ǫ=
v
∆R
∆t
=
1 ∆v
1
= a ⇒ a = ǫR
R ∆t
R
Wektor prędkości kątowej
Okazuje się, że zależność pomiędzy prędkością liniową a kątową jest iloczynem
wektorowym. Zostało to przedstawione na poniższym rysunku:
2
w
v
w
R
v
R
~
~
v=ω
~ ×R
Punkt materialny – matematyczny punkt reprezentujący bryłę sztywną w przypadku gdy nie uwzględniamy jej ruchu obrotowego,
Bryła sztywna – ciało w którym odległość między dwoma dowolnymi punktami
pozostaje stała nie zależnie od stanu ruchu tego ciała,
y
r
r
r
1
r
12
12
= const
12
2
x
Bryła sztywna jest ciałem o nieskończonym współczynniku spreżystości; niemożliwa jest zmiana
jego kształtu niezależnie od działających na nie sił.
Środek masy – pojęcie określone zarówno dla bryły sztywnej jak i dla układu
punktów materialnych i określone następująco:
y
r
r
1
r
2
sm
r
3
x
Zgodnie z naszą umową dzielimy
bryłę sztywną na n części (kwadraciki na rysunku) do każdej
z części prowadzimy promień ze
środka układu odniesienia
n
X
mi r~i
m1 r~1 + m2 r~2 + ... + mnr~n
=
r~
=
sm
m1 + m2 + ... + mn
mi
i=1
Oczywiście możemy także obliczyć środek masy dla układu ciał które nie są ze
sobą „sztywno” powiązane (np. Ziemia - Księżyc) i niejednokrotnie okazuje się to
3
użyteczne (okazuje się np. że nie jest to do końca prawda, że Ziemia krąży wokół
Słońca; w rzeczywistości oba ciała krążą wokół wspólnego środka masy, który
jednak ze względu na ogromną różnicę między masą Słońca i Ziemi znajduje się
prawie dokładnie w środku Słońca)
Obliczmy dla przykładu środek masy sztywno połączonych ze sobą trzech kulek,
co zostało przedstawione na rysunku:
r
r
M = 2kg, m = 1kg, r = 1m
M
m
m
Najważniejszą sprawą w tego typu zadaniach jest wybór typu i początku
układu odniesienia. W naszym wypadku będzie to oś liczbowa, a w jej początku
niech znajdzie się masa M , wówczas zgodnie z definicją i po uwzględnieniu, że
zagadnienie jest jednowymiarowe, mamy:
xsm
m1 x1 + m2 x2 + m3 x3
=
m1 + m2 + m3
Uwzględniając, że m1 = M , r1 = 0 (bo leży ona w początku układu
współrzędnych), m2 = m3 = m, r2 = r , r3 = 2r mamy:
xsm
mr + m2r
3mr
3·1·1
3
=
=
= m
=
M +m+m
M + 2m
3+2·1
5
Zatem środek masy tego układu znajduje się w odległości 35 m od masy M
Środek ciężkości – na daną bryłę sztywną w polu grawitacyjnym działa oczywiście
siła grawitacji i to na każdy jej punkt. Możemy zatem wyznaczyć wypadkową
siłę grawitacji i MIESCE w którym jest przyłożona to środek ciężkości. W
jednorodnym polu grawitacyjnym dla brył sztywnych o stałej gęstości środek
ciężkości pokrywa się ze środkiem masy.
Srodek ciężkości NIE jest określony dla układu punktów materialnych
Rodzaje ruchu bryły sztywnej:
1. postępowy,
2. obrotowy,
4
3. złożony,
Ad.1
W ruchu tym każdy punkt bryły sztywnej porusza się po torze o takim samym
kształcie (w danym momencie każdy punkt ma jednakową prędkość liniową) i
dlatego przypadek ten jest równoważny ruchowi punktu materialnego (dowolny
punkt bryły sztywnej poruszza się przecież tak samo)
Ad.2
Ruchem obrotowym bryły sztywnej nazywamy taki ruch w którym każdy jaj
punkt porusza się dookoła pewnej osi zwanej osią obrotu (w danym momencie
ma taką samą prędkość kątową). Jeżeli oś obrotu przechodzi przez bryłę sztywną
to punkty na niej leżące pozostają w spoczynku.
ruch postepowy
ruch obrotowy
Ad.3
Ruch mieszany jest złożeniem (superpozycją) ruchu postępowego i obrotowego.
Przykładem takiego ruchu jest tocząca się bez poślizgu kulka. Okazuje się
ponadto że dowolny ruch złożony bryły sztywnej da się jednoznacznie rozłożyć
na ruch postępowy i ruch obrotowy wokół ustalonej osi i dzięki temu wystarczy
analizować jedynie ruch obrotowy.
Wyróżniamy następujące rodzaje ruchu obrotowego:
• jednostajny – w którym prędkość kątowa jest stała
• niejednostajny – w którym prędkość kątowa nie jest stała
– jednostajnie zmienny, w którym przyspieszenie kątowe jest stałe,
5
∗ przyspieszony,
∗ opóźniony,
– niejednostajnie zmienny, w którym przyspieszenie kątowe nie jest stałe
Pierwsza zasada dynamiki dla bryły sztywnej
Określa ona kiedy bryła sztywna jest w spoczynku lub obraca się ruchem
jednostajnym; są to tzw. warunki równowagi dla bryły sztywnej. Można je
sformułować następująco:
Bryła sztywna pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym, gdy
wypadkowa sił i momentów sił jest równa zero.
• warunek jednostajności ruchu postępowego:
F~w =
n
X
~i = 0
F
i=1
• warunek jednostajności ruchu obrotowego:
~w =
M
n
X
~i = 0
M
i=1
Druga zasada dynamiki dla bryły sztywnej +
moment bezwładności
Określa ona jak zachowuje się bryła sztywna gdy działa na nią niezrównoważony
moment siły. Dla jej wyprowadzenia podzielmy rozważaną bryłę sztywną na n
części i zastosujmy II zasadę dynamiki dla punktu materialnego w odniesieniu do
każdej z części (metoda ta okaże się uniwersalna przy wyprowadzaniu większości
wzorów dla bryły sztywnej)
Na element masy mi działa
siła Fi w wyniku czego
R
mi
i
ai
Fi
uzyskuje
on
przyspieszenie
chwilowe ai . Dla obliczenia
tego przyspieszenie stosujemy
drugą zasadę dynamiki
6
Fi = mi ai
Mnożąc obie strony równania przez Ri oraz korzystając z definicji przyspieszenia
kątowego (a = εR) i momentu siły mamy:
FiRi = mi ai Ri ⇒ Mi = mi εRi2
Wartość przyspieszenia kątowego nie zależy od wyboru rozważanego punktu
(każdy punkt ma to samo przyspieszenie bo bryła jest „sztywna”).
Otrzymany wzór jest słuszny dla dowolnego punktu obracającej się bryły sztywnej;
wypadkowy moment siły to oczywiście suma poszczególnych momentów sił:
M =
n
X
Mi =
2
mi εRi
i=1
i=1
Oznaczając przez I =
dynamiki:
n
X
Pn
i=1
=ε
n
X
2
mi Ri
i=1
mi Ri2 otrzymujemy ostateczną postać II zasady
M = εI
Występująca w powyższym wzorze wielkość I nazywa się momentem bezwładności bryły sztywnej. Jest to wielkość fizyczna będąca odpowiednikiem masy dla
punku materialnego i określająca rozkład masy (a co za tym idzie i kształt)
bryły sztywnej. Zależy ona także oczywiście od wyboru osi obrotów i z tych
powodów w ogólności jest to wielkość tensorowa a jej reprezentacją jest macierz
(kwadratowa tablica liczb). Z uwagi na trudności z momentem bezwładności,
niemożliwe do pokonania na poziomie szkoły średniej celowo zrezygnowano z
notacji wektorowej przy wyprowadzaniu wzorów.
Dla ciał o regularnym kształcie możliwe jest obliczenie wartości momentów
bezwładności przy wykorzystaniu rachunku całkowego i dla przykładu mamy:
• punkt materialny odległy o r od osi obrotu: I = mr 2 (ri odl. od osi obr.)
7
• układ n punków materialnych: I =
Pn
i=1
mi ri2
• cienka obręcz względem osi symetrii prostopadłej do podstawy: I = mr 2
• walec względem osi symetrii prostopadłej do podstawy: I = 12 mr 2
• cienka sfera względem osi przechodzącej przez jej środek: I = 23 mr 2
• kula względem osi przechodzącej przez jej środek: I = 52 mr 2
• cienki pręt względem osi symetrii prostopadłej do niego: I =
2
1
12 mr
Na poziomie szkoły średniej możemy obliczyć jedynie moment bezwładności dla
punktu materialnego, układu punktów i cienkiej obręczy,
W przypadku punktu materialnego lub układu punktów materialnych sprawa jest
P
trywialna; po prostu w definicji momentu bezwładności I =
mi ri2 występuje
suma która w przypaku policzalnej ilości punkótw materialnych zawiera określoną
ilość składników; w szczególności dla jednego punktu materialnego jest to po
prostu jeden składnik, czyli: mr 2
W przypadku obręczy sprawa jest niewiele trudeniejsza; dzielimy obręcz na n
części i okazuje się wówczas że każda z części jest w tej samej odległości od osi
obrotu, co bardzo mocno upraszcza obliczenia...
mi
n
n
n
X
X
X
2
2
mi
mi ri =
mi r = r
I =
ri
i=1
i=1
i=1
I = mr
2
... ponieważ można wyciągnąc promień przed nawias a następnie widzimy, że
suma wszystkich elemantów mi to po prostu masa obręczy.
Użytecznym, dla obliczania momentów bezwładności jest twierdzenie Steinera.
Pozwala ono na oblczenie momentu bezwładności względem osi równoległej do
osi przechodzącej przez środek masy danego ciała:
8
L1
L2
d
I sm
I
I = Ism + md
2
Pożytecznym w pokazaniu jak stosuje się twierdzenie Steinera jest obliczenie
momentu bezwładności kuli ale względem osi stycznej do jej powierzchni.
Jej odległość od osi przechodzącej przez środek masy kuli (czyli oczywiście przez
jej środek) jest równa jej promieniowi, zatem:
I = Ism + md2 =
7
2
mr 2 + mr 2 = mr 2
5
5
Moment pędu; zasada zachowania momentu pędu
Jak wiadomo pęd jest to iloczyn masy ciała i jego prędkości:
p
~ = m~
v [p] =
kg m
s
a jego kierunek i zwrot pokrywa się z kierunkiem i zwrotem prędkości
Odpowiednikiem pędu w ruchu obrotowym jest moment pędu; dla poruszającego
się po okręgu punktu materialnego kest on określony następująco:
L
~ =~
L
r×p
~
r
r, p
~)
L = rp sin 6 (~
p
W przypadku bryły sztywnej moment pędu wyliczamy następoująco:
9
Rozważmy bryłę sztywną obra-
mi
r
i
cającą się dookoła ustalonej osi
obrotu wówczas dowolny element
p
masy mi posiada pęd pi
i
Korzystając z definicji pędu mamy:
pi = mi vi
Mnożąc obie strony powyższego równania przez ri i korzystając z zależności
między prędkością liniową a kątową (v = ωr ) dostaniemy:
2
ripi = mi ri ωri ⇒ Li = ωmi ri
Całkowity moment pędu to oczywiście suma poszczególnych momentów pędu,
zatem:
n
n
n
X
X
X
2
2
mi ri
ωmi ri = ω
Li =
L=
i=1
i=1
i=1
Korzystając z definicji momentu bezwładności dostajemy szukany wzór na moment pędu bryły sztywnej:
L = Iω
Bardzo pouczającym jest w tym miejscu wyprowadzić zasadę zachowania momentu pędu; w tym celu zobaczmy od czego zależy zmiana momentu pędu:
∆L
∆
∆I
∆ω
=
Iω =
ω+
I
∆t
∆t
∆t
∆t
powyższy wzór jest konsekwencją rachunku różniczkowego i nie będziemy go
uzasadniać natomiast otrzymany rezultat jest bardzo pouczający.
Po pierwsze skoro moment bezwładności zależy od rozkładu masy i wyboru osi
obrotu to dla ustalonej osi obrotu będzie on stały (bryła przecież jest „sztywna”
i przy obrocie nie odkształca się) a więc ∆I
∆t = 0.
Po drugie można skorzystać z definicji przyspieszenia kątowego
10
∆ω
∆t
= ε i z
drugiej zasady dynamiki dla bryły sztywnej.
∆L
∆ω
=
I = εI = M
∆t
∆t
Dostaliśmy, że zmiana momentu pędu jest równa momentowi sił zewnętrznych
działającemu na bryłę sztywną, a w przypadku gdy moment ten jest równy zero
to:
∆L
= 0 ⇒ L = const
∆t
Co stanowi treść zasady zachowania momentu pędu, która jest oczywiście
odpowiednikiem zasady zachowania pędu dla punktu materialnego
Energia kinetyczna ruchu obrotowego
Aby wprawić bryłą sztywną w ruch obrotowy – trzeba wykonać pracę, a zatem
obracająca się bryła sztywna posiada energię; jest to energia kinetyczna ruchu
obrotowego lub po prostu energia obrotowa.
W celu wyznaczenia tej energii rozważmy obracającą się bryłę sztywną:
Każdy element masy na które po-
mi
r
i
Ei
dzieliliśmy bryłę sztywną porusza
się a więc posiada energię kinetyczną
Energia kinetyczna dowolnego punktu obracającej się bryły sztywnej wynosi:
Ei =
1
mi vi2
2
Korzystając z zależności między prędkością liniową a kątową (v = ωr ) mamy:
Ei =
1
mi ω 2ri2
2
Całkowita energia kinetyczna ruchu obrotowego bryły sztywnej jest sumą energii
kinetycznych wszystkich jego punktów, zatem:
Ek =
n
X
i=1
Ei =
n
X
1
i=1
2
n
mi ω 2ri2
11
1 2X
mi ri2
= ω
2
i=1
I korzystając z definicji momentu bezwładności dostajemy szukany wzór:
Ek =
1 2
Iω
2
Pouczającym jest pokazania zależniości pomiędzy wielkościami fizycznymi opisującymi punkt materialny a bryłę sztywną; pokazuje to poniższa tabela:
Punkt materialny
Bryła sztywna
Przemieszczenie (r )
Prędkość (v = rt )
Przyspieszenie (a = vt )
Masa (m)
Siła (F )
Moment pędu (L = rp)
II zas. dyn. (F = ma)
Kąt obrotu (α)
Prędkość kątowa (ω = αt )
Przyspieszenie kątowe (ε = ωt )
P
Moment bezwładności (I = mi ri2)
Moment siły (M = rF )
Moment pędu (L = Iω )
II zas. dyn (M = Iε)
Energia (E =
mv 2
2 )
Energia (E =
Iω 2
2 )
Ponadto w przypadku, gdy mamy do czynienia z obracającym się po okręgu o
promieniu r punktem materialnym i potraktujemy go jako „bryłę sztywną” to
podstawiając jego moment bezwładności (I = mr 2) otrzymamy identyczny
moment pędu, II zasadę dynamiki i wzór na energię kinetyczną jak dla punktu
materialnego
12