Zmiana znaku nierówności

Dlaczego zmieniamy znak nierówności przy obustronnym mnożeniu przez liczbę ujemną?
Weźmy prostą nierówność: x < 4 . Rozwiązaniem tej nierówności jest każda liczba mniejsza
od czterech, np. 3.
Gdybyśmy rozwiązanie nierówności przedstawili na osi liczbowej, to zaznaczylibyśmy
wszystkie punkty na lewo od czwórki.
Zaznaczmy na osi kilka punktów, które reprezentują punkty spełniające nierówność.
Załóżmy, że zaznaczone liczby to -3,5, -2,5 i 3.
Pomnóżmy teraz nierówność x < 4 przez liczbę –1.
Wiadomo, że: x ⋅ ( − 1) = − x ; oraz, że: 4 ⋅ ( − 1) = − 4 .
Czy jednak pomiędzy –x a – 4 możemy nadal wstawić znak „<”?
Jeśli mnożymy x przez –1, a wiemy, że pod literką x kryje się cały zbiór liczb, to tak
jakbyśmy zmienili zbiór wszystkich x-ów (czyli „iksy dodatnie”), na zbiór wszystkich –x-ów
(„iksów ujemnych”).
Operację mnożenia wszystkich x-ów przez –1 można sobie wyobrazić jako zmianę kierunku
osi x czy przerzucanie punktów na osi „na drugą stronę” (dodatnich z prawej na lewą a
ujemnych z lewej na prawą):
- liczba 1 przechodzi na -1,
- liczba 2 na -2, … 5 na -5 itd.
Biorąc po kolei każdą liczbę dodatnią będziemy ją zmieniać na ujemną, przy czym każda z
nich będzie coraz „większa” – większa w tym sensie, że coraz bardziej odległa od 0, czyli
większa co do modułu (wartości bezwzględnej).
Zatem zmieniając x na –x powinniśmy odwrócić rysunek:
Tak wygląda rysunek w lustrzanym odbiciu (w symetrii liniowej względem punktu „0”). Żeby
miał sens, to zmieńmy nazwę osi na „-x” oraz liczbę „4” na „-4”.
Zauważmy, że mimo iż punkty spełniające nierówność przeszły na swoje odpowiedniki z
minusem tzn. na liczby -3, 2,5 i 3,5, to nadal znajdują się „wewnątrz” obszaru ograniczanego
przez zbiór rozwiązań nierówności (są „pod daszkiem”). Jest tak dlatego, że są większe od
„minus czterech” (a nie: mniejsze!).
Inaczej mówiąc, „to, o co nam chodziło” (tzn. rozwiązanie nierówności) znajdowało się
najpierw po lewej stronie od „czwórki”, a teraz (po przemnożeniu przez –1) znajduje się po
1
prawej stronie od „minus czwórki”. Czyli te „minus iksy”, które są rozwiązaniem nierówności
są większe od „minus czwórki”.
Zatem znak nierówności po przemnożeniu obustronnie przez –1 należy zmienić: − x > − 4 .
2