Rachunek prawdopodobieństwa — lista 6

Rachunek prawdopodobieństwa — lista 6
Dla x ∈ R oraz r ∈ N określamy symbol Pochhammera wzorem:
(x)0 = 1,
!
(x)r = x(x − 1)...(x − r + 1)
!
x
(x)r
x
i kładziemy
=
oraz
= 0 dla r < 0, całkowitych.
r ! r!
r !
−1
−2
Na przykład
= (−1)r ,
= (−1)r (r + 1).
r
r
!
!
!
x
x
x+1
Zad. 50. Sprawdź, że dla x ∈ R oraz r ∈ Z zachodzi równość
+
=
.
r−1
r !
r !
a
a 2
Sprawdź, że dla s ∈ (−1, 1) oraz a ∈ R zachodzi równość (1 + s)a = 1 +
s+
s + ...
1
2
Wsk. Dla jakich a suma po prawej ma skończenie wiele składników niezerowych? Dla a ∈
/ N
wykorzystaj wzór Maclaurina.
!
!
2n
− 21
(−4)n .
Sprawdź, że dla n ∈ N zachodzi równość
=
n
n
Zad. 51. Niech u2n będzie odpowiednim prawdopodobieństwem dla błądzenia losowego, gdzie
kroki ±1 wykonywane są z prawdopodobieństwami p oraz q, p + q = 1.
a) Korzystając z zad.50, zapisz wzorem funkcję tworzącą dla ciągu (u2n ) tego błądzenia tzn.
P
2n
U (x) = ∞
n=0 u2n s .
b) Korzystając ze wzoru U (x) = 1−F1 (s) , oblicz prawdopodobieństwo powrotu do punktu startu
błądzenia niesymetrycznego tzn. dla p 6= q.
Zad. 52*. Dana jest zmienna losowa X o rozkładzie niejednopunktowym. Znajdź zmienną monotoniczną (nierosnącą lub niemalejącą) o takim samym rozkładzie, jak X (podaj przepis na
konstrukcję). Wsk. Zbudowaliśmy kiedyś zmienną o rozkładzie N (0, 1), określoną na [0, 1].
Zad. 53. Niezależne zmienne losowe X i Y mają rozkłady dyskretne. Rozkład zmiennej X
skupiony jest w n punktach, a rozkład zmiennej Y jest skupiony w k punktach.
a) Wykaż, że rozkład zmiennej X + Y też jest dyskretny i skupiony w N punktach, przy czym
liczba N spełnia nierówność n + k − 1 ¬ N ¬ n · k.
b) Wybierz konkretne n, k > 2 po czym wskaż dwa przykłady: taki, w którym N = n + k − 1
i taki, w którym N = n · k.
c) Korzystając z podpunktu a) wykaż, że zmiennej X o rozkładzie dwupunktowym nie można
rozłożyć na sumę dwóch niezależnych zmiennych Y + Z, z których żadna nie ma rozkładu
jednopunktowego.
Zad.54. Zmienna N (ω) ma rozkład Poissona z parametrem λ > 0, a zmienne X1 , X2 , ... są
niezalażne i mają rozkład µ. Znajdź rozkład sumy o losowej liczbie składników:
X1 + X2 + ... + XN (ω)
i zapisz go, używając funkcji ϕµ . Jak wygląda ten rozkład, gdy µ = δ1 ?
Wsk. Dla borelowskiego A oblicz P (X1 +X2 +...+XN (ω) ∈ A). Wynik zapisz za pomoca szeregu
z użyciem symbolu µ∗k = µ ∗ µ ∗ ... ∗ µ (k czynników).
Zad. 55. Jeżeli zmienne X oraz Y są niezależne i mają rozkłady stabilne z tym samym wykładnikiem, to X + Y też ma rozkład stabilny. Znajdź stałe normujące cn i γn dla X + Y . Uwaga:
Analogiczny rachunek dla X − Y był przeprowadzony na wykładzie.
Zad.56. Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o dystrybuantach F i G oraz o
funkcjach charakterystycznych odpowiednio ϕ i γ. Wykaż, że wówczas XY ma funkcję charakterystyczną daną wzorem
φXY (t) =
Z ∞
γ(tx)F (dx) =
−∞
Z ∞
φ(tx)G(dx).
−∞
Zad.57. Niech X ma rozkład N (0, 1), a Y rozkład 12 -stabilny skupiony na (0, ∞), o gęstości
1
e−1/(2x) dla x > 0. Dla niezależnych X i Y znajdź rozkład
f (x) = 0 dla x ¬ 0 oraz f (x) = √2πx
3
√
zmiennej X Y .
Zad.58. Wiemy, że dla symetrycznej zmiennej X o rozkładzie stabilnym spełniony jest warunek:
dla pewnego α, dla wszystkich s, t ∈ R oraz X1 , X2 — niezależnych kopii X
d
sX1 + tX2 = (|s|α + |t|α )1/α X.
Wzorując się na dowodzie, przeprowadzonym dla rozkładu normalnego wykaż, że wówczas
α
ϕX (t) = e−c|t| .
α
Zad.59. Badając różniczkowalność w zerze funkcji e−c|t| sprawdź, dla jakich wartości α rozkład
α-stabilny nie ma wartości oczekiwanej.
Zad.60. Niech X2 , X2 , ... będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie,
stabilnym z wykładnikiem α. Dla jakich ciągów (an ), (bn ) istnieje nietrywialna granica
X1 + X2 + ... + Xn − bn
?
an