Rozstrzygalnoą˘ i nierozstrzygalnoą˘ teorii

Rozstrzygalno±¢ i nierozstrzygalno±¢ teorii
Zbadamy zagadnienie rozstrzygalno±ci teorii matematycznych
(rozumianych jako zbiory zda«).
Przykªadem teorii nierozstrzygalnej jest arytmetyka Peano i Th(N)
G¦ste porz¡dki liniowe
Twierdzenie
Teoria g¦stych porz¡dków liniowych które nie maj¡ elementów
maksymalnych ani minimalnych jest rozstrzygalna.
Dowód:
Niech
A to klas¡ wszystkich g¦stych porz¡dków liniowych które nie
maj¡ elementów maksymalnych ani minimalnych
Wiemy, »e Th(A) jest zupeªna, czyli dla ka»dego zdania α
zachodzi jedna z mo»liwo±ci:
α ∈ Th(A)
¬α ∈ Th(A)
Ponadto Th(A) = {α | ∆ |= α}, gdzie ∆ to
∀x ∀y (x ≤ y ∧ y ≤ x ) → x = y
∀x ∀y ∀z (x ≤ y ∧ y ≤ z ) → x ≤ z
∀x ∀y x ≤ y ∨ y ≤ x
∀x ∃y x < y
∀x ∃y y < x
G¦ste porz¡dki liniowe cd
Z Twierdzenia o peªno±ci
{α | ∆ |= α} = {α | ∆ `H α}.
Pokazujemy algorytm rozstrzygaj¡cy {α | ∆ `H α}
Dla danej α systematycznie generujemy wszystkie dowody w
systemie Hilberta a» znajdziemy jeden z
∆ `H α
∆ `H ¬α
G¦ste porz¡dki liniowe cd
Prosty dowód, ale brak oszacowania zªo»ono±ci.
G¦ste porz¡dki liniowe cd
Prosty dowód, ale brak oszacowania zªo»ono±ci.
Opiszemy algorytm, który u»ywa wielomianowej ilo±ci pami¦ci.
A to klas¡ wszystkich g¦stych porz¡dków liniowych które nie
maj¡ elementów maksymalnych ani minimalnych
Wiemy, »e Th(A) jest zupeªna, czyli dla ka»dego zdania α
zachodzi jedna z mo»liwo±ci:
α ∈ Th(A)
¬α ∈ Th(A)
Zatem Th(A) = Th(hQ, ≤i)
G¦ste porz¡dki liniowe cd
Lemat
Dla ka»dych dwóch ci¡gów a1 < a2 < . . . < an ∈ Q i
b1 < b2 < . . . < bn ∈ Q istnieje automorzm h struktury hQ, ≤i
taki, »e h(ai ) = bi dla i = 1, . . . , n.
Dowód:
Przypomnienie
Twierdzenie
Je±li h : A ∼
= B to dla ka»dej formuªy ϕ ze zmiennymi wolnymi
x1 , . . . , xn
(A, x1 : a1 , . . . , xn : an ) |= ϕ
wtw, gdy
(B, x1 : h(a1 ), . . . , xn : h(an )) |= ϕ
G¦ste porz¡dki liniowe cd
Wniosek 1 (normalizacja wartociowa«)
Dla ka»dej formuªy ϕ(xi1 , . . . , xin ) oraz ka»dych
a1 ≤ a2 ≤ . . . ≤ an ∈ Q zachodzi
(hQ, ≤i, xi1 : a1 , xi2 : a2 , . . . , xin : an ) |= ϕ(xi1 , . . . , xin )
wtedy i tylko wtedy, gdy
(hQ, ≤i, xi1 : |{a1 }|, xi2 : |{a1 , a2 }|, . . . , xin : |{a1 , a2 , . . . , an }|) |= ϕ
G¦ste porz¡dki liniowe cd
Wniosek 2 (eliminacja kwantykatorów)
Dla ka»dej formuªy ∃y ϕ(xi1 , . . . , xin , y ) oraz wartosciowania
% : {xi1 , . . . , xin } → {1, . . . , n} zachodzi
(hQ, ≤i, %) |= ∃y ϕ(xi1 , . . . , xin , y )
wtedy i tylko wtedy, gdy
(hQ, ≤i, %, y : a) |= ϕ(xi1 , . . . , xin , y )
zachodzi dla co najmniej jednego
a ∈ {0, 1, 32 , 2, 52 , . . . , 2n2−1 , n, n + 1}.
G¦ste porz¡dki liniowe algorytm
Tworzymy rekurencyjn² procedur¦ Test:
Argumenty to formuªa ϕ i wartociowanie % : FV (ϕ → Q
Zwraca boolowsk² warto¢ testu, czy (hQ, ≤i, %) |= ϕ
Normalizuje wartociowanie jak we
Jeli
QR (ϕ) =
Test(¬ϕ, %)
Wniosku 1
0, to oblicza odpowied wprost
zwraca
¬Test(ϕ, %)
Test(ϕ ∨ ψ, %)
zwraca
Test(ϕ, %) ∨ Test(ψ, %)
Test(∃y ϕ, %)
zwraca
_
a∈{{0,1, 32 ,2, 52 ,..., 2n2−1 ,n,n+1}
Test(ϕ, %ay )
G¦ste porz¡dki liniowe koszt algorytmu
Koszt pami¦ciowy to maksimum z kosztów wywoªa«
rekurencyjnych + rozmiar rekordu aktywacji
Rekord aktywacji ma rozmiar liniowy
Gª¦boko¢ rekurencji liniowa
Koszt pami¦ciowy licia liniowy
Caªy algorytm ma koszt pami¦ciowy kwadratowy
Twierdzenie Stockmeyera
Nast¦puj¡cy problem jest Pspace-trudny: czy dane zdanie logiki
pierwszego rz¦du nad sygnatur¡ zawieraj¡c¡ wyª¡cznie symbol
równo±ci jest tautologi¡?
Dowód twierdzenia Stockmeyera
Problem QBF (kwantykowanych formuª Boolowskich)
Dana: Zdanie ϕ postaci Q1 p1 . . . Qn pn α, gdzie Qi ∈ {∃, ∀}, a α
jest formuª¡ zdaniow¡
Pytanie Czy ϕ jest prawdziwe?
Problem QBF jest znanym problemem Pspace-zupeªnym.
Dowód twierdzenia Stockmeyera
Deniujemy redukcj¦ z QBF do teorii Th(A).
Niech α to zdanie z QBF
Ka»de wyst¡pienie pi zast¦pujemy przez xi = yi
Ka»dy kwantykator ∀pi zamieniamy na ∀xi ∀yi .
Ka»dy kwantykator ∃pi zamieniamy na ∃xi ∃yi .
Niech formuª¡ otrzymana po tych operacjach b¦dzie α0
Wynikiem redukcji jest formuªa α00
∀x ∀y (x = y ∨ α0 ).
Dowód twierdzenia Stockmeyera
α00 daje si¦ obliczy¢ z α w logarytmicznej pami¦ci.
Formuªy atomowe xi = yi peªni¡ rol¦ zmiennych zdaniowych pi
Kwantykatory ∀xi ∀yi i ∃xi ∃yi odpowiadaj¡ kwantykatorom
∀pi oraz ∃pi
Klauzula ∀x ∀y (x = y ) czyni α00 prawdziwym w strukturach
jednoelementowych
Z tego wynika, »e α jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy α00 jest
tautologi¡.
Twierdzenie Tarskiego
Teoria uporz¡dkowanego ciaªa liczb rzeczywistych, tj. teoria
struktury hR, +, ∗, 0, 1, ≤i jest rozstrzygalna.
Ta teoria to geometria analityczna.
Badania w geometrii obliczeniowej to cz¦sto ulepszenia algorytmu
rozstrzygaj¡cego teori¦ hR, +, ∗, 0, 1, ≤i dla ró»nych szczególnych
klas formuª.