Własności dynamiczne układów dyskretnych

Transkrypt

Akademia Morska w Gdyni
Katedra Automatyki Okrętowej
Teoria sterowania
Matlab
Mirosław Tomera
1. WPROWADZENIE
W układach sterowania dyskretnego sygnały występują w formie impulsów lub kodowane są cyfrowo,
natomiast sterowane procesy zawierają często podzespoły analogowe. Dla przykładu silnik prądu
stałego, który jest urządzeniem analogowym może być sterowany zarówno przez regulator wysyłający
sygnały analogowe jak i przez regulator cyfrowy, który wysyła sygnały cyfrowe. W ostatnim
przypadku konieczny jest do połączenia regulatora cyfrowego z urządzeniem analogowym
przetwornik cyfrowo analogowy (C/A). Na rysunku 1 przedstawiony jest schemat blokowy typowego
układu dyskretnego. Na wejściu i wyjściu regulatora cyfrowego występują próbki sygnału oddzielone
od siebie o okres próbkowania T.
r(t)
Regulator
cyfrowy
r*(t)
h(t)
C/A
Proces
y(t)
Rys. 1. Schemat blokowy typowego układu sterowania dyskretnego.
W najprostszym wydaniu przetwornik C/A może być wykonany jako urządzenie typu impulsator–
ekstrapolator, które składa się z urządzenia próbkującego i ekstrapolującego wartość próbki przez
okres próbkowania T. Urządzeniem C/A najczęściej stosowanym w analizie układów dyskretnych jest
połączenie idealnego impulsatora z ekstrapolatorem zerowego rzędu (ZOH – zero-order hold). Po
takich założeniach, część układu z rysunku 1 może być funkcjonalnie zastąpiona przez schemat
blokowy pokazany na rysunku 2.
r*(t)
r(t)
T
ZOH
h(t)
Rys. 2. Impulsator i ekstrapolator zerowego rzędu.
Na rysunku 3 pokazane zostały typowe operacje idealnego próbkowania i ekstrapolowania zerowego
rzędu (ZOH). Sygnały ciągłe są próbkowane z okresem T i następnie ciąg impulsów r * (t )
o amplitudach r(t) jest ekstrapolowany przez okres próbkowania. Ekstrapolator zerowego rzędu
(ZOH) podtrzymuje amplitudę sygnału doprowadzanego do wejścia w danej chwili czasu (kT) przez
cały okres próbkowania T aż do pojawienia się następnej próbki w chwili t = (k+1)T. Wyjście z układu
ekstrapolującego (ZOH) jest schodkową aproksymacją sygnału wejściowego idealnie próbkowanego
r(t) z impulsatora.
Ostatnia aktualizacja: 2016-03-13
M. Tomera
Teoria sterowania
Matlab
r(t)
t
(a)
r*(t)
(b)
t = kT
(c)
t = kT
h(t)
Rys. 3. (a) Sygnał wejściowy do idealnego impulsatora, (b) Sygnał wyjściowy z impulsatora, (c) sygnał
wyjściowy z ekstrapolatora zerowego rzędu (ZOH).
Gdy okres próbkowania T dąży do zera to wyjście z układu ekstrapolującego h(t) dąży do r(t), czyli
(1)
lim h(t ) r (t )
T
0
Opierając się na powyższych definicjach, typowy dyskretny układ otwarty modelowany jest w sposób
pokazany na rysunku 4.
G(s)
r*(t)
r(t)
T
ZOH
h(t)
Proces
sterowany
y(t)
Rys. 4. Schemat blokowy układu dyskretnego
2. TRANSMITANCJA DYSKRETNA UKŁADÓW LINIOWYCH
Transformata operatorowa Laplace’a sygnału wyjściowego y(t) z rysunku 4 jest następująca
Y (s) G(s) R * ( s)
(2)
Chociaż wartość wyjścia y(t) jest wyznaczana po zastosowaniu odwrotnej transformaty Laplace’a na
obu stronach równania (2) to jednak krok ten jest trudny do wykonania gdyż G(s) oraz R*(s)
reprezentują dwa różne rodzaje sygnałów.
S2
y*(t)
S1
r*(t)
r(t)
T
ZOH
h(t)
T
Proces
sterowany
y(t)
Rys. 5. Schemat blokowy układu dyskretnego z fikcyjnym impulsatorem na wyjściu
M. Tomera
2
Teoria sterowania
Matlab
Aby ominąć ten problem zastosowany zostanie fikcyjny impulsator na wyjściu układu, jak pokazane
zostało to na rysunku 5. Fikcyjne próbki S 2 mają taki sam okres próbkowania T i są
zsynchronizowane z próbkami S 1 . Próbkowana postać sygnału y(t) została oznaczona jako y * (t ) .
(3)
Y ( z) G( z) R( z)
gdzie G(z) definiowana jest jako transformata z funkcji operatorowej G(s) i opisana jest również jako
G( z)
g (kT ) z
k
(4)
k 0
Czyli dla układów dyskretnych pokazanych na rysunkach 4 oraz 5, transformata Z wyjścia jest równa
transmitancji z procesu oraz transformacie Z wejścia.
3. TRANSMITANCJA DYSKRETNA UKŁADÓW LINIOWYCH POŁĄCZONYCH
KASKADOWO
Transmitancja opisująca układy dyskretne z elementami połączonymi w kaskadę jest trochę bardziej
złożona aniżeli dla układów ciągłych z powodu występowania lub braku impulsatora pomiędzy tymi
elementami. Na rysunku 6 pokazane zostały dwie różne sytuacje układu dyskretnego który zawiera
dwa elementy połączone w kaskadę. Na rysunku 6(a) te dwa elementy rozdzielone są przez impulsator
S 2 , który jest zsynchronizowany z impulsatorem S 1 i mają taki sam okres próbkowania. Na rysunku
6(b) oba te elementy zostały połączone bezpośrednio. Ważne jest rozróżnienie tych dwóch
przypadków przy wyprowadzaniu transmitancji impulsowej oraz transmitancji z.
y*(t)
S1
r(t)
R(s)
r*(t)
T
T
S2
R*(s)
G1(s)
d(t)
d*(t)
D(s)
D*(s)
T
Y*(s)
y(t)
G2(s)
Y(s)
(a)
y*(t)
T
S1
r(t)
r*(t)
R(s)
R*(s)
T
G1(s)
d(t)
D(s)
G2(s)
Y*(s)
y(t)
Y(s)
(b)
Rys. 6. (a) Układ dyskretny z elementami połączonymi kaskadowo i rozdzielonymi impulsatorem. (b) Układ
dyskretny z elementami połączonymi kaskadowo, bez rozdzielającego impulsatora
Dla układu z rysunku 6(a), sygnał wyjściowy zapisywany jest jako
Y ( z ) G1 ( z )G2 ( z ) R( z )
(5)
Z tego wynika, że transformata z dwóch układów rozdzielonych przez impulsator jest równa
iloczynowi transformat z tych dwóch układów.
Dla układu z rysunku 6(b), sygnał wyjściowy zapisywany jest jako
Y (z ) = G1G2 ( z ) R( z )
(6)
4. TRANSMITANCJA DYSKRETNEGO UKŁADU ZAMKNIĘTEGO
Transmitancja dyskretnego układu zamkniętego zależy od położenia impulsatora w układzie.
M. Tomera
3
Teoria sterowania
Matlab
y*(t)
T
r(t)
R(s)
a(t)
a*(t)
A(s)
A*(s)
T
Y*(s)
y(t)
G(s)
Y(s)
H(s)
(a)
y*(t)
T
r(t)
a(t)
R(s)
A(s)
G(s)
H(s)
Y*(s)
y(t)
Y(s)
y*(t)
Y*(s)
T
(b)
Rys. 7. Dyskretny układ z pojedynczą pętlą. (a) Impulsator występuje w torze bezpośrednim, (b) Impulsator
występuje w torze sprzężenia.
Na rysunku 7 pokazane zostały dwa układy w których w różnych miejscach pętli umieszczony został
impulsator. W układzie z rysunku 7(a) impulsator występuje w torze bezpośrednim, natomiast na
rysunku 7(b) impulsator występuje w sprzężeniu. Wyjście z impulsatora traktowane jest jako wejście
do układu. Wobec tego na rysunku 7(a) układ ma dwa wejścia R(s) oraz A*(s), natomiast sygnały Y(s)
oraz A(s) traktowane są jako wyjścia układu i w tym przypadku transformata dyskretna sygnału
wyjściowego jest następująca
G( z)
R( z )
Y(z) =
(7)
1 GH ( z )
W układzie z rysunku 7(b) wyjście z impulsatora A*(s) oraz R(s) są wejściami do układu natomiast
Y(s) oraz A(s) są wyjściami układu i w tym przypadku wypadkowa transmitancja dyskretna ma postać
Y(z) =
GR( z )
1 GH ( z )
(8)
5. TRANSMITANCJA EKSTRAPOLATORA ZEROWEGO RZĘDU
Opierając się na podanym wcześniej opisie dla ekstrapolatora zerowego rzędu (ZOH) jego
charakterystyka impulsowa pokazana została na rysunku 8.
gh(t)
1
0
0
T
t
Rys. 8. Odpowiedź impulsowa ekstrapolatora zerowego rzędu.
M. Tomera
4
Teoria sterowania
Matlab
Transmitancja ekstrapolatora zerowego rzędu jest następująca
G h (s ) = £ {g h (t )} =
1 e
s
sT
(9)
Jeśli ekstrapolator zerowego rzędu połączony jest kaskadowo z procesem liniowym o transmitancji
G p (s ) , tak jak pokazano to na rysunku 4, to transformata Z takiego połączenia zapisana jest
następująco
G(z) = Z {Gh ( s)G p ( s)} = Z
1 e
s
sT
(10)
G p ( s)
Korzystając z własności transformaty Z o czasie opóźnienia, równanie (10) można uprościć do postaci
G(z) = (1 z 1 ) Z
G p (s)
(11)
s
Przykład 1
Dla układu z rysunku 4, rozważ następującą transmitancję
G p ( s)
1
s( s
(1.1)
0.5)
Okres próbkowania T = 1 [s]. Transmitancja z opisująca zależność pomiędzy wejściem
i wyjściem określana jest przy użyciu wzoru (7).
G(z) = (1 z 1 ) Z
=
=
1
2
s (s 0.5)
z 1
z
4
4
2
z 1
z
z 1
= (1 z 1 ) Z
2
z
( z 1) 2
4
4
s
z
z e
2
s
2
4
s 0.5
0.5
0.4261 z 0.3608
4( z 1)
= 2
0.5
z e
z
1.607 z 0.6065
(1.2)
Te same wyniki można uzyskać korzystając z funkcji c2d z biblioteki MATLABA.
T = 1;
% Okres próbkowania
numC = 1;
% Licznik transmitancji ciągłej
denC = conv([1 0],[1 0.5]); % Mianownik transmitancji
sysC = tf(numC, denC);
% Transmitancja operatorowa
sysD = c2d( sysC, T,'zoh'); % Wyznaczenie transmitancji dyskretnej
[numD, denD] = tfData( sysD, ’v’)
printsys( numD, denD, 'z') % Wypisanie transmitancji na ekran
6. ODPOWIEDŹ CZASOWA UKŁADU STEROWANIA DYSKRETNEGO
Aby zaprojektować układ sterowania dyskretnego, najpierw należy poznać własności tych układów
w dziedzinie czasu i zmiennej z. Odpowiedzi wyjściowe większości układów sterowania dyskretnego
są funkcjami czasu ciągłego t. Wobec tego wskaźniki jakości takie jak maksymalne przeregulowanie,
czas narastania, współczynnik tłumienia i tak dalej, mogą być również zastosowane dla układów
dyskretnych. Jedyna różnica jest taka, że aby zastosować takie narzędzia analityczne jak transformaty
Z, sygnały ciągłe są próbkowane i wówczas niezależną zmienną czasu jest kT, gdzie T jest okresem
M. Tomera
5
Teoria sterowania
Matlab
próbkowania wyrażonym w sekundach. Również własności przejściowe układu dyskretnego
charakteryzowane są przez bieguny i zera transmitancji na płaszczyźnie z.
Podstawowy schemat blokowy układu sterowania dyskretnego z pojedynczą pętlą pokazany
został na rysunku 9. Transmitancja tego układu jest następująca:
Y ( z)
R( z )
T(z) =
G( z)
1 GH ( z )
(12)
gdzie GH(z) oznacza transformatę Z transmitancji G(s)H(s).
y*(t)
T
r(t)
R(s)
a*(t)
a(t)
A(s)
A*(s)
T
Y*(s)
y(t)
ZOH
Gp(s)
Y(s)
G(s)
H(s)
Rys. 9. Schemat blokowy układu sterowania dyskretnego z pojedynczą pętlą
Najczęstszym testem służącym do badania własności dynamicznych układów sterowania jest
odpowiedź skokowa. Jeśli odpowiedź układu dyskretnego opisana jest transformatą
Y ( z ) T ( z ) R( z )
(13)
wówczas postać dyskretną wyznacza się na podstawie wzoru (13) po podstawieniu U ( z ) z ( z 1)
i następnie wyznaczeniu odwrotnej transformaty Z. Sposób wyznaczania dyskretnej odpowiedzi
skokowej dla układu o zadanej transmitancji pokazny jest w przykładzie 2.
W MATLABIE do symulacji numerycznych odpowiedź impulsowa układu dyskretnego
o transmitancji dyskretnej sysD jest wyznaczana przy użyciu
yD = dimpulse( numD, denD)
yD = dimpulse( numD, denD, N)
natomiast dyskretna odpowiedź skokowa
yD = dstep(numD, denD)
yD = dstep(numD, denD, N)
gdzie N oznacza maksymalną liczbę próbek. Należy pamiętać, że y(kT), k = 0, 1, 2, .... zawiera tylko
informacje o próbkach sygnału y(t) w chwilach próbkowania. Jeśli okres próbkowania jest względnie
duży w stosunku do najbardziej znaczącej stałej czasowej układu, wówczas y(kT) może nie być
dokładną reprezentacją sygnału y(t).
Transmitancję dyskretną T(z) można przekształcić do postaci równan dynamicznych
zapisywanych następująco
x(k 1) Fx (k ) Gr (k )
y(k ) Hx (k )
Jr (k )
(14)
(15)
w których równanie (14) nosi nazwę dyskretnych równania stanu, a równanie (15) dyskretnego
równania wyjścia. Przekształcenia tego można dokonać w sposób analityczny stosując metody
dekompozycji transmitancji dyskretnej, ale dla transmitancji o znznych wartościach wpółczynników
najłatwiej dokonać tego przy użyciu następującej komendy Matlaba
[F, G, H, J] = dtf2ss( numD, denD)
M. Tomera
6
Teoria sterowania
Matlab
Przykład 2
Dla układu opisanego poniższą transmitancją dyskretną, wyznacz odpowiedź skokową.
G(z) =
0.4 z 0.3
Y ( z)
= 2
U ( z) z
0.9 z 0.6
(2.1)
Okres próbkowania w tym układzie wynosi T = 1 [s].
Rozwiązanie. W sposób analityczny odpowiedź skokową wyznacza się podobnie jak dla
układów ciągłych. W pierwszej kolejności, zamiast wejściowego sygnału dyskretnego U(z)
podstawia się jego transformatę dyskretną
0.4 z
Y (z ) = G( z)U ( z) =
z
2
0.3
z
(2.2)
0.6 z 1
0.9 z
i następnie uzyskaną transformatę dyskretną (2.2) rozkłada się na sumę transformat
elementarnych zapisanych
Y (z ) =
( 0.5 j 0.119) z
z 0.45 j 0.6305
z
z 1
( 0.5 j 0.119) z
z 0.45 j 0.6305
(2.3)
Poza zapisaniu wartości residuów i położeń biegunów w postaciach wykładniczych
Y (z ) =
0.514 e j 2.908 z
z
z 1
z
0.7746 e
j 0.9509
0.514 e
z
j 2.908
0.7746 e
z
(2.4)
j 0.9509
dla każdego składnika sumy znajduje się postać dyskretną odpowiedzi skokowej
y(k ) = 1(k ) 1.0279 (0.7746 ) k cos( 0.9509 k
2.908)
(2.5)
Na rysunku 2.1 znajduje się uzyskany wykres dyskretnej odpowiedzi skokowej. Te same wyniki
można uzyskać przy użyciu funkcji step znajdującej się w bibliotece MATLABA.
Dyskretna odpowiedź skokowa (T = 1 [s])
1.5
y(kT)
1
0.5
0
0
5
10
15
20
25
t = kT [s]
Rys. 2.1. Dyskretna odpowiedź skokowa
M. Tomera
7
Teoria sterowania
Matlab
Wyniki uzyskane zostały przy użyciu następującego kodu programu.
clear
close all
tmax = 25;
T = 1;
numD = [0.4 0.3];
% Licznik transmitancji
denD = [1 -0.9 0.6];
% Mianownik transmitancji
[rD, pD, kD] = residue( numD, conv(denD,[1 -1]))
M_rD = abs( rD(2))
phi_rD = angle( rD(2))
M_pD = abs( pD(2))
phi_pD = angle( pD(2))
ArD = 2*M_rD
N = tmax/T
% Liczba próbek
for i = 0:N,
k = i;
tD(i+1) = k*T;
uD(i+1) = 1;
yD(i+1) = rD(1) + ArD*(M_pD^k)*cos( phi_pD*k + phi_rD);
end;
[tk, yk] = stairs(tD, yD)
figure(1)
plot(tk, yk, 'k-', tD, uD, 'k:')
xlabel( 't = kT [s]')
ylabel( 'y(kT)')
title(' Dyskretna odpowiedź skokowa (T = 1 [s])')
axis([0 tmax 0 1.5])
Przykład 3
Dla układu pokazanego na rysunku 3.1. wyznacz odpowiedź skokową. Uzyskaną transmitancję
wypadkową zapisz w postaci dyskretnych równań stanu. Parametry dla tego układu są
następujące: K 1 = 2, K 2 = 2, = 2, T = 0.1 [s].
K2
r(t)
R(s)
T
ZOH
1
s
1
s
K1
y(t)
Y(s)

Rys. 3.1. Schemat blokowy układu impulsowego.
Rozwiązanie: Układ z rysunku 3.1 należy sprowadzić do postaci z rysunku 9. Korzystając
z zasad przekształcania schematów blokowych otrzymuje się schemat pokazany na rysunku 3.2.
r(t)
R(s)
T
ZOH
K1
s(s +K1)
y(t)
Y(s)
T
y*(t)
Y*(s)
G(s)
K 1  K2 s
K1
Rys. 3.2. Schemat blokowy układu impulsowego z rysunku 2.1 po przekształceniach.
M. Tomera
8
Teoria sterowania
Matlab
Po podstawieniu danych liczbowych uzyskuje się następujące transmitancje:
transmitancja dynamiki w torze bezpośrednim
G p ( s)
K1
2
s(s
K1 )
s( s
(3.1)
4)
transmitancja dynamiki w sprzężeniu
K1
H (s)
K2s
K1
2 2s
2
(3.2)
s 1
Transmitancja dyskretna transmitancji G(s) znajdującej się w torze bezpośrednim układu z
rysunku 3.2 obejmującego ekstrapolator zerowego rzędu oraz transmitancję procesu Gp(s),
wyznaczana jest ze wzoru (10) w podobny sposób jak w przykładzie 1. Transmitancja dyskretna
w torze bezpośrednim
G ( z ) G zohG p ( z ) = Z {G zoh G p ( s)} =
0.00879 z
z
2
0.007694
1.6703 z
(3.3)
0.67032
Transmitancja dyskretna pętli wyznaczana na podstawie kaskadowego połączenia
ekstrapolatora zerowego rzędu, transmitancji Gp(s) i transmitancji znajdującej się w przężeniu,
również w podobny sposób jak w przykładzie 1.
GH ( z ) G zohG p ( z ) H ( z ) = Z {G zoh G p H ( s )} =
0.15605 z
z
2
1.6703 z
0.17253
(3.4)
0.67032
Dyskretna transmitancja wypadkowa układu z rysunku 3.2
0.00879 z
T(z) =
Y ( z)
R( z )
G( z)
=
1 GH ( z )
z
1
2
z2
0.007694
1.6703 z 0.67032
0.15605 z 0.17253
1.6703 z
=
0.00879 z
z
2
0.007694
1.8264 z
(3.5)
0.8429
0.67032
Odpowiedź skokową na podstawie transmitancji (3.5) wyznaczona została przy użyciu kodu
programu zawartego w przykładzie 2 i w tym przypadku ma następującą postać
1.4
T = 0.1 [s]
1.2
y(t), y(kT)
1
układ
ciągły
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
t [s]
4
5
6
7
Rys. 3.1. Porównanie odpowiedzi jednostkowej układu dyskretnego i ciągłego.
M. Tomera
9
Teoria sterowania
y(k ) = 1(k ) 1.2963 (0.9181) k cos( 0.1032 k
Matlab
2.4519 )
(3.6)
Współczynniki macierzy dyskretnych równań dynamicznych opisanych wzorami (14) i (15)
wyznaczone zostały na podstawie transmitancji (3.5) przy użyciu funkcji dtf2ss które w tym
przypadku przyjmują następujące wartości
F
1.8264
1
0.8429
0
G
1
0
H [0.0088 0.0077 ] J [0]
(3.7)
Uzyskane dyskretne równania stanu są następujące:
x1 (k 1) 1.8264 x1 (k ) 0.8429 x2 (k ) r (k )
x 2 (k 1)
(3.8)
x1 (k )
y(k ) 0.0088 x1 (k ) 0.0077 x 2 (k )
Porównanie wyników uzyskanych dla układu ciągłego bez impulsatora jak i dyskretnego
z impulsatorem przedstawione zostało na rysunku 3.1.
Wyniki w tym przykładzie wygenerowane zostały przy użyciu następującego kodu programu:
clear
close all
T = 0.1;
tmax = 7;
% Odcinek czasu
% Układ ciągły
numGpC = 2;
denGpC = conv([1 0], [1 4])
sysGpC = tf( numGpC, denGpC);
% transmitancja dynamiki
% w torze bezpośrednim
numHC = [-1 1];
denHC = 1;
sysHC = tf( numHC, denHC);
% transmitancja dynamiki
% w sprzężeniu
sysC = feedback( sysGpC, sysHC);
% transmitancja wypadkowa
% całego układu ciągłego
[numC, denC] = tfdata( sysC, 'v');
% współczynniki wielomianów
% licznika i mianownika
% Wygenerowanie odpowiedzi skokowej bez impulsatora
t = [0:0.01:tmax];
yC = step( numC, denC, t);
% Układ dyskretny
sysGD = c2d( sysGpC, T, 'zoh');
[numGD, denGD] = tfdata( sysGD, 'v'); % współczynniki wielomianów
% licznika i mianownika transmitancji toru bezpośredniego
sysGHC = series( sysGpC, sysHC);
sysGHD = c2d( sysGHC, T, 'zoh');
[numGHD, denGHD] = tfdata( sysGHD, 'v'); % współczynniki
licznika i mianownika transformaty dyskretnej pętli
numD = numGD;
% Licznik
denD = numGHD + denGHD;
% i mianownik dyskretnej transmitancji
% wypadkowej
[F, G, H, J] = dtf2ss( numD, denD) % Macierze równań dynamicznych
N = tmax/T
% Liczba próbek
yD1 = dstep( numD, denD, N);
% odpowiedź skokowa
% wyznaczona na podstawie transmitancji
yD2 = dstep( F, G, H, J, 1, N); % odpowiedź skokowa
% wyznaczona na podstawie równań dynamicznych
yD = yD2;
% wybór skokowej odpowiedzi dyskretnej do wykreślenia
tDmax = (N-1)*T;
tD=[0:T:tDmax]';
M. Tomera
10
Teoria sterowania
Matlab
[tDp, yDp]= stairs( tD, yD); % Wygenerowanie odpowiedzi schodkowej
% Wykreślenie uzyskanych wyników
figure(1)
plot( t, yC, 'k-', tDp, yDp, 'k-')
xlabel('t [s]')
ylabel('y(t), y(kT)')
grid on
7. WSKAŹNIKI JAKOŚCI OPISUJĄCE UKŁAD
Dynamiczna jakość sterowania w dziedzinie czasu definiowana jest w zależności od parametrów
odpowiedzi skokowej układu (dla sygnału zadanego o postaci funkcji skokowej). Najczęściej
używanymi parametrami tej odpowiedzi są: czas narastania t n , maksymalne przeregulowanie M p ,
czas regulacji t R i uchyb w stanie ustalonym e u . Parametry te są równie dobre dla układu
dyskretnego jak i dla układu ciągłego. Na płaszczyźnie s wymagania te mają następującą postać:
n
1.8
tn
ln M p
2
2
(16)
(17)
ln M p
4 .6
tR
(18)
Wymagania dotyczące uchybu w stanie ustalonym w zależności od rodzaju sygnału zadanego
określone są przez stałe uchybowe. Wymagania dotyczące uchybu zostaną tutaj pominięte.
Okres próbkowania T dobiera się tak, aby było przynajmniej 6 próbek w odcinku czasu
definiowanym jako czas narastania, lepsze i gładsze wyniki sterowania uzyska się jeśli będzie
przynajmniej 10 próbek w czasie narastania.
8. PRZEKSZTAŁCENIE WSKAŹNIKÓW JAKOŚCI UKŁADU NA PŁASZCZYZNĘ Z
Odpowiedź układu dyskretnego zależy od położeń biegunów transmitancji dyskretnej na płaszczyźnie
z. Bazując na tym można dokonać przekształcenia wskaźników jakości układu na akceptowalne
położenia biegunów. Dla przykładu, czas narastania t n ciągłego układu II rzędu jest odwrotnie
proporcjonalny do częstotliwości drgań własnych n (16). Przy użyciu przekształcenia z e sT
dokonuje się przekształcenia położeń biegunów z płaszczyzny s na płaszczyznę z i częstotliwość drgań
własnych n przekształcana jest na kąt bieguna we współrzędnych biegunowych na płaszczyźnie z
jako
dT
, gdzie
d
n
1
2
. Maksymalne przeregulowanie odpowiedzi skokowej M p jest
odwrotnie proporcjonalne do współczynnika tłumienia (17) i linie stałego tłumienia z płaszczyzny s
przekształcane są na logarytmiczne spirale na płaszczyźnie z. Czas regulacji t R jest odwrotnie
proporcjonalny do części rzeczywistej bieguna
na płaszczyźnie s (18) które odpowiadają
T
promieniom bieguna na płaszczyźnie z jako r e
.
Podsumowując, aby otrzymać akceptowalne położenia biegunów na płaszczyźnie z należy:
Wyznaczyć żądane wartości
,
z zadanych wymagań projektowych dotyczących
n,
odpowiedzi skokowej na czas narastania t n , maksymalne przeregulowanie M p i czas regulacji t R
Obliczyć promień r
e
T
.
M. Tomera
11
Teoria sterowania
Matlab
Wykreśl linie stałego tłumienia
i stałych n . Zostanie to wykonane przy użyciu funkcji
z biblioteki MATLABA o nazwie zgrid, która wykreśla linie stałego od 0.1 do 0.9 z krokiem
0.1 oraz n N 10T dla stałych wartości od 1 do 10.
Zaznacz obszary położeń biegunów spełniających zadane wymagania projektowe układu
sterowania dyskretnego.
Przykład 4
Znajdź obszary położeń biegunów transmitancji układu dyskretnego na płaszczyźnie z, jeśli
wymagania nałożone na odpowiedź skokową są następujące:
0.3 t n
5 Mp
0.6 [s],
30 [%]
1.5 t R 3.5 [s],
T = 0.2 [s]
= 1 [%].
Rozwiązanie: Korzystając z zależności opisanych wzorami (16), (17), (18), wyznaczone zakresy
dopuszczalnych wartości parametrów n , , są następujące
3
6 [rad/s]
(4.1)
0.358
0.690
(4.2)
1.314
3.067
(4.3)
n
Funkcja zgrid z biblioteki MATLABA wykreśla linie stałego tłumienia oraz częstotliwości
drgań własnych n . O ile może być podawana do funkcji w sposób bezpośredni to n musi
zostać przeliczona względem okresu próbkowania T według zależności
s
N
10
(4.4)
gdzie
10
N
nT
(4.5)
Po podstawieniu wzoru (4.5) do zależności (4.4) uzyskuje się
nT
s
(4.6)
Funkcja zgrid nie wykreśla linii stałego , które muszą być naniesione na wykres niezależnie
i są one okręgami o stałych promieniach wyznaczanych z zależności
r
e
T
(4.7)
Ostatecznie zakresy parametrów wykreślanych na płaszczyźnie z, które są następujące
0.6
s
0.358
0.541
r
1.2 [rad/s]
(4.8)
0.690
(4.9)
0.769
(4.10)
Zakresy parametrów opisanych zależnościami (4.7), (4.8) oraz (4.9) pokazane są na rysunku
4.1. Wyniki te uzyskane zostały przy użyciu następujących linii kodu programu
clear
close all
T = 0.2;
% wn1, wn2 - granice dopuszczalnych wartości wn
wn1 = 3;
M. Tomera
12
Teoria sterowania
Matlab
wn2 = 6;
% zeta1, zeta2 - granice dopuszczalnych wartości zeta
zeta1 = 0.358;
zeta2 = 0.690;
% sigma1, sigma2 - granice dopuszczanych wartości sigma
sigma1 = 1.314;
sigma2 = 3.067;
% ws1, ws1 - próbkowane częstotliwości wn
ws1 = wn1*T;
ws2 = wn2*T;
% R1, R2 - promienie granicznych wartości sigma1, sigma2
R1 = exp(-sigma1*T);
R2 = exp(-sigma2*T);
% Wyznaczenie okręgów o stałych promieniach R1, R2
for i=0:360,
xCircle1(i+1) = R1*cos(i*pi/180);
yCircle1(i+1) = R1*sin(i*pi/180);
xCircle2(i+1) = R2*cos(i*pi/180);
yCircle2(i+1) = R2*sin(i*pi/180);
end;
% wykreślenie okręgów o stałych promieniach
plot( xCircle1, yCircle1, 'k:', xCircle2, yCircle2, 'k:')
axis([-1 1 -1 1])
xlabel('Re z')
ylabel('Im z')
zgrid([zeta1 zeta2], [ws1 ws2])
axis equal
1
1.2
0.8
0.6
0.358
0.6
0.736
0.4
0.667
Im z
0.2
0
-0.2
0.541
-0.4
0.6
-0.6
-0.8
1.2
-1
-1
-0.5
0
Re z
0.5
1
Rys. 4.1. Wykres obszaru dozwolonych położeń biegunów na płaszczyźnie z spełniających zadane
M. Tomera
13
Teoria sterowania
Matlab
ĆWICZENIA W MATLABIE
M1. Dla poniższych układów dyskretnych znajdź transmitancję dyskretną Y ( z) R( z) Okres
próbkowania T = 0.5 [s].
a)
r(t)
r*(t)
1
s(s + 2)
r*(t)
1
s+1
r*(t)
1
s+1
T
y(t)
b)
r(t)
T
y(t)
10
s+2
c)
r(t)
T
10
s+2
T
y(t)
d)
r*(t)
r(t)
h(t)
ZOH
T
5
s(s + 2)
y(t)
h(t)
1
s+2
e)
r(t)
e*(t)
e(t)
ZOH
T
y(t)
f)
r(t)
e*(t)
e(t)
u*(t)
1
s+1
T
T
ZOH
1
s+2
y(t)
g)
r(t)
e*(t)
e(t)
T
ZOH
h(t)
y(t)
1
s+2
1
s+1
h)
r(t)
e*(t)
e(t)
T
1
s+1
u*(t)
T
ZOH
1
s+2
y(t)
1
s+3
M. Tomera
14
Teoria sterowania
Matlab
M2. Dla poniższych układów sterowania, wyznacz transmitancję dyskretną całego układu Y ( z ) R( z )
i następnie wyznacz odpowiadające im dyskretne równania stanu.
a) Okres próbkowania T = 0.25 [s].
R(s)
T
Y*(s)
Y(s)
1
s(s+0.1)
ZOH
T
0.5s
Rys. M2(a) Schemat blokowy układu dyskretnego.
b) Okres próbkowania T = 0.2 [s].
R(s)
ZOH
T
1
s
2
s
Y*(s)
Y(s)
T
Rys. M2(b) Schemat blokowy układu dyskretnego.
c) Okres próbkowania T = 0.1 [s].
R(s)
1
s
ZOH
T
7
s
Y*(s)
Y(s)
T
2
Rys. M2(c) Schemat blokowy układu dyskretnego.
d) Okres próbkowania T = 0.15 [s].
R(s)
T
ZOH
1
s+1
6
1
s
Y*(s)
Y(s)
T
Rys. M2(d) Schemat blokowy układu dyskretnego.
M. Tomera
15
Teoria sterowania
Matlab
e) Okres próbkowania T = 0.1 [s].
R(s)
1
s(s+4)
ZOH
T
14
Y*(s)
Y(s)
T
0.5s
Rys. M2(e) Schemat blokowy układu dyskretnego.
f) Okres próbkowania T = 0.05 [s].
R(s)
ZOH
T
1
s(s+0.1 )
4
Y*(s)
Y(s)
T
s
Rys. M2(f) Schemat blokowy układu dyskretnego.
g) Okres próbkowania T = 0.15 [s].
R(s)
1
s+1
ZOH
T
5
s
Y*(s)
Y(s)
T
Rys. M2(g). Schemat blokowy układu dyskretnego.
h) Okres próbkowania T = 0.1 [s].
R(s)
ZOH
T
1
s+1
5
1
s
Y*(s)
Y(s)
T
2
Rys. M2(h). Schemat blokowy układu dyskretnego.
i) Okres próbkowania T = 0.05 [s].
R(s)
T
1
s+1
ZOH
4
s
Y*(s)
Y(s)
T
2
Rys. M2(i). Schemat blokowy układu dyskretnego.
M. Tomera
16
Teoria sterowania
Matlab
j) Okres próbkowania T = 0.1 [s].
R(s)
1
s
ZOH
T
5
s
Y*(s)
Y(s)
T
4
Rys. M2(j). Schemat blokowy układu dyskretnego.
k) Okres próbkowania T = 0.15 [s].
R(s)
ZOH
T
1
s+1
15
Y*(s)
Y(s)
1
s
T
4
Rys. M2(k). Schemat blokowy układu dyskretnego.
l) Okres próbkowania T = 0.1 [s].
R(s)
ZOH
T
16
s
1
s
Y*(s)
Y(s)
T
Rys. M2(l). Schemat blokowy układu dyskretnego.
M3. Naszkicuj obszary na płaszczyźnie z w którym powinny znaleźć się bieguny układu II rzędu,
które spełniają poniższe wymagania.
a)
czas narastania tn 0.5 [s]
procentowe przeregulowanie powinno być w zakresie Mp
czas regulacji tR 2 [s], ( = 1 [%])
okres próbkowania: T = 0.05 [s].
20 [%]
b)
czas narastania 0.3 tn 0.6 [s],
maksymalne przeregulowanie 15
10
czas regulacji
7
tR
Mp
30 [%],
10
[s], ( = 2 [%])
3
okres próbkowania T = 0.1 [s].
c)
czas narastania tn 2 [s]
procentowe przeregulowanie powinno być w zakresie 10
czas regulacji tR 6 [s], ( = 2%)
okres próbkowania: T = 0.2 [s]
M. Tomera
Mp
25 [%]
17
Teoria sterowania
Matlab
d)
czas narastania tn 0.6 [s],
maksymalne przeregulowanie Mp 20 [%],
czas regulacji 1 tR 2 [s], ( = 2%)
e)
czas regulacji tR 3.6 [s], ( = 2%)
f)
czas narastania 0.6 tn 1.8 [s],
czas regulacji tR 1.8 [s], ( = 2%)
g)
maksymalne przeregulowanie 15 Mp
czas regulacji tR 8 [s], = 1 [%]
50 [%],
h)
maksymalne przeregulowanie 5
czas regulacji 1
tR
Mp
25 [%],
10
[s], ( = 1 [%])
7
i)
procentowe przeregulowanie powinno być w zakresie Mp
czas regulacji tR 4 [s], ( = 1 [%])
14 [%]
j)
procentowe przeregulowanie powinno być w zakresie 12
Mp
18 [%]
k)
l)
maksymalne przeregulowanie 12 Mp
czas regulacji tR 7.2 [s], ( = 1 [%])
24 [%],
M. Tomera
18
Teoria sterowania
Matlab
ODPOWIEDZI DO WYBRANYCH ĆWICZEŃ
M1.
0.3161z
a) G( z )
2
1.3679z 0.3679
2.3865z
z2
0.9744z 0.2231
z
b) G( z )
10z
c) G( z )
z
d) G( z )
2
e) G( z )
f) G( z )
2
0.3161
z 0.0518
3.1606
z2
g) G( z )
0.9744z 0.2231
0.4598z 0.3303
0.6583z 0.2231
0.3161z 0.1917
z2
0.8970z 0.2701
z 2 1.3679z 0.3679
M2.
a) x1 (k 1) 1.8310 x1 (k ) 0.8890 x 2 (k ) r (k )
x 2 (k 1)
y (k )
x 2 (k 1)
x1 (k )
y (k )
0.0297 x1 (k ) 0.0283 x 2 (k )
x 2 (k 1)
y (k )
0.0352 x1 (k ) 0.0308 x2 (k )
c) x1 (k 1) 1.7650 x1 (k ) 0.8350 x 2 (k ) r (k )
y (k )
f)
y (k )
0.9375 x1 (k ) 0.0625 x 2 (k ) r (k )
x 2 (k 1)
x1 (k )
0.1125 x1 (k ) 0.0125 x 2 (k )
x 2 (k 1)
y (k )
0.0606 x1 (k ) 0.0522 x 2 (k )
x 2 (k 1)
0.0048 x1 (k ) 0.0045 x 2 (k )
k) x1 (k 1) 1.3389 x1 (k ) 0.5764 x 2 (k ) r (k )
x1 (k )
x1 (k 1) 1.9416 x1 (k ) 0.9513 x 2 (k ) r (k )
x1 (k )
x1 (k 1)
y (k )
0.0612 x1 (k ) 0.0554 x 2 (k )
e) x1 (k 1) 1.5770 x1 (k ) 0.6898 x 2 (k ) r (k )
y (k )
j)
x1 (k )
x 2 (k 1)
x1 (k 1) 1.8559 x1 (k ) 0.8652 x 2 (k ) r (k )
y (k )
0.0350 x1 (k ) 0.0350 x 2 (k )
x1 (k )
0.0227 x1 (k ) 0.0205 x 2 (k )
x 2 (k 1)
d) x1 (k 1) 1.6796 x1 (k ) 0.7962 x 2 (k ) r (k )
y (k )
i)
x1 (k )
x 2 (k 1)
0.0510 x1 (k ) 0.0462 x 2 (k )
x 2 (k 1)
x1 (k )
x 2 (k 1)
x1 (k )
h) x1 (k 1) 1.7181 x1 (k ) 0.7613 x 2 (k ) r (k )
b) x1 (k 1) 1.8 x1 (k ) 0.8659 x 2 (k ) r (k )
y (k )
g) x1 (k 1) 1.6898 x1 (k ) 0.7870 x 2 (k ) r (k )
l)
x1 (k )
0.1334 x1 (k ) 0.1040 x 2 (k )
x1 (k 1)
0.3048 x1 (k ) 0.5429 x 2 (k ) r (k )
x 2 (k 1)
x1 (k )
y (k )
0.0049 x1 (k ) 0.0048 x2 (k )
x1 (k )
0.0774 x1 (k ) 0.0749 x 2 (k )
M3.
a) 0.18
c) 0.18
0.4037
0.8752
s
0.4559
0 r 0.8914
b) 0.3
0.3579
0.7558
s
0.6
0.5169
r 0.8869
d) 0.15
0.4559
0.8187
M. Tomera
s
r
0.5912
1
s
r
0.9048
19
Teoria sterowania
e) 0
f) 0.1
i) 0
0.225
s
0.4037
0.8948
r
r
0.4
0.5305
0 r 0.8914
1
j) 0.0563
s
0.4791
0.5594
0 r 0.9753
0.3
s
0.5912
0.8007
s
1
g) 0.18
s
0.2155
0.5169
0 r 0.9174
k) 0
h) 1.2
0.4037
0.3985
l) 0.3
s
0.4136
0.5594
0 r 0.88
s
0.5912
0.8187
s
r
Matlab
0.6901
0.5252
0.9
r
1
LITERATURA
1. Franklin G.F, Powell J.D., Emami-Naeini A.: Digital Control of Dynamic Systems, 3rd ed.
Addison-Wesley Publishing Company, 1998.
2. Kuo B.C.: Automatic Control of Dynamic Systems, 7th ed, Addison-Wesley & Sons Inc., 1995.
M. Tomera
20

Własności dynamiczne układów dyskretnych

Transkrypt

Podobne dokumenty

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych Nr 9

Czytaj test Audiophile 192

BatSound i BatSound Pro

Data wydruku: 18.01.2017 06:54 Strona 1 z 2 Nazwa przedmiotu

sondy membranowe

granice opracowania PFU obrzeże betonowe chodnikowe obrzeże

Zadanie Obejrzyj rysunek i odpowiedz na pytania: (1) Jaki to jest

załącznik 10

Zobacz ogłoszenie! - Spaw-Mar

Matryca logiczna do ewaluacji procesu