Analiza matematyczna

KARTA PRZEDMIOTU
1.
NAZWA PRZEDMIOTU: Analiza matematyczna I (ANA011)
2.
KIERUNEK: MATEMATYKA
3.
POZIOM STUDIÓW: I stopnia
4.
ROK/ SEMESTR STUDIÓW: I/1
5.
LICZBA PUNKTÓW ECTS: 11
6.
LICZBA GODZIN: 60 / 60
7.
TYP PRZEDMIOTU1: obowiązkowy
8.
JĘZYK WYKŁADOWY: polski
9.
FORMA REALIZACJI PRZEDMIOTU2: wykład/ćwiczenia
10.
WYMAGANIA WSTĘPNE: Wiadomości i umiejętności z zakresu matematyki ze szkoły
średniej.
11.
ZAŁOŻENIA I CELE PRZEDMIOTU: Zapoznanie studentów z podstawowymi pojęciami,
metodami i twierdzeniami występującymi w teorii ciągów i szeregów liczbowych.
Przedstawienie podstawowych własności funkcji elementarnych i funkcji ciągłych.
12.
PRZEDMIOTOWE EFEKTY KSZTAŁCENIA
Odniesienie do
kierunkowych efektów
kształcenia
(symbol)
WIEDZA
P_W01 rozumie cywilizacyjne znaczenie matematyki i jej
zastosowań
P_W02 dobrze rozumie rolę i znaczenie dowodu w matematyce, a
także pojęcie istotności założeń
K_W01
P_W03 rozumie budowę teorii matematycznych, potrafi użyć
formalizmu matematycznego do budowy i analizy prostych
modeli matematycznych w innych dziedzinach nauk
P_W04 zna podstawowe twierdzenia z poznanych działów
matematyki
P_W05 zna podstawowe przykłady zarówno ilustrujące konkretne
pojęcia matematyczne, jak i pozwalające obalić błędne
hipotezy lub nieuprawnione rozumowania
UMIEJĘTNOŚCI
K_W03
P_U01 potrafi w sposób zrozumiały, w mowie i na piśmie,
przedstawiać poprawne rozumowania matematyczne,
formułować twierdzenia i definicje
K_U01
1
2
Obowiązkowy, fakultatywny.
Wykłady, ćwiczenia, laboratoria, konwersatoria.
K_W02
K_W04
K_W05
P_U02 posługuje się rachunkiem zdań i kwantyfikatorów i potrafi
poprawnie używać go także w języku potocznym
P_U03 umie prowadzić łatwe i średnio trudne dowody metodą
indukcji zupełnej; potrafi definiować funkcje i relacje
rekurencyjne
P_U04 umie stosować system logiki klasycznej do formalizacji
teorii matematycznych
P_U05 umie operować pojęciem liczby rzeczywistej; zna
przykłady liczb niewymiernych i przestępnych
P_U06 potrafi definiować funkcje, także z wykorzystaniem przejść
granicznych, i opisywać ich własności
P_U07 posługuje się w różnych kontekstach pojęciem zbieżności i
granicy; potrafi - na prostym i średnim poziomie trudności
- obliczać granice ciągów i funkcji, badać zbieżność
bezwzględną i warunkową szeregów
P_U08 potrafi interpretować i wyjaśniać zależności funkcyjne,
ujęte w postaci wzorów, tabel, wykresów, schematów i
stosować je w zagadnieniach praktycznych
P_U09 potrafi mówić o zagadnieniach matematycznych
zrozumiałym, potocznym językiem
KOMPETENCJE SPOŁECZNE
K_U02
P_K01 ma świadomość ograniczenia poziomu swojej wiedzy i
umiejętności, rozumie potrzebę ciągłego dokształcania się
zawodowego i rozwoju osobistego, dokonuje samooceny
własnych kompetencji i doskonali umiejętności, wyznacza
kierunki własnego rozwoju i kształcenia
P_K02 potrafi precyzyjnie formułować pytania, służące
pogłębieniu własnego zrozumienia danego tematu lub
odnalezieniu brakujących elementów rozumowania
P_K03 potrafi formułować opinie na temat podstawowych
zagadnień matematycznych
K_K01
13.
P_W01, P_W02,
P_W03, P_W04,
P_W05, P_U01,
P_U02, P_U03,
P_U04, P_U05,
P_U06, P_U07,
P_U08, P_U09,
P_K01, P_K02,
P_K03
4
K_U04
K_U08
K_U09
K_U10
K_U11
K_U35
K_K02
K_K07
METODY OCENY EFEKTÓW KSZTAŁCENIA
Symbol
przedmiotowego
efektu kształcenia
3
K_U03
Metody (sposoby) oceny3
Typ oceny4
Forma
dokumentacji
Ocenianie ciągłe (bieżące
przygotowanie do zajęć),
śródsemestralne zaliczenie
pisemne, końcowe zaliczenia
pisemne.
Formująca
Prace domowe,
sprawdziany i
kolokwia w formie
pisemnej.
Ocenianie ciągłe (bieżące przygotowanie do zajęć), śródsemestralne zaliczenie pisemne, śródsemestralne zaliczenie
ustne, końcowe zaliczenia pisemne, końcowe zaliczenia ustne, egzamin pisemny, egzamin ustny, praca semestralna,
ocena umiejętności ruchowych, praca dyplomowa, projekt, kontrola obecności
Formująca, podsumowująca.
P_W01, P_W02,
P_W03, P_W04,
P_W05, P_U01,
P_U02, P_U03,
P_U04, P_U05,
P_U06, P_U07,
P_U08, P_U09,
P_K01, P_K03
P_K01
Egzamin pisemny, egzamin
ustny.
Podsumowująca Egzamin klasyczny w
formie pisemnej i
ustnej.
Kontrola obecności
14. KRYTERIA OCENY OSIĄGNIĘTYCH EFEKTÓW KSZTAŁCENIA
(opisowe, procentowe, punktowe, inne ……………………………. formy oceny do wyboru przez
wykładowcę)
EFEKTY
KSZTAŁCENIA
NA OCENĘ
3,0
P_W01, P_W02,
P_W03, P_W04,
P_W05, P_U01,
P_U02, P_U03,
P_U04, P_U05,
P_U06, P_U07,
P_U08, P_U09,
P_K01, P_K03
50% - 60%
NA OCENĘ
3,5
61% - 70%
NA OCENĘ
4.0
71% - 80%
NA OCENĘ
4,5
81% - 90%
NA OCENĘ
5,0
91% - 100%
15. WARUNKI UZYSKANIA ZALICZENIA PRZEDMIOTU:
Osiągnięcie założonych efektów kształcenia i pozytywny wynik
 zaliczenia
 egzaminu pisemnego
 egzaminu ustnego
16.
TREŚCI PROGRAMOWE
Treść zajęć
1.
2.
5
Wykłady
Liczby rzeczywiste: aksjomatyka ciała liczb rzeczywistych, liczby naturalne, wymierne i niewymierne,
zasada Archimedesa, gęstość liczb wymiernych i
niewymiernych w zbiorze liczb rzeczywistych, przedziały, twierdzenie Ascoliego, nieprzeliczalność przedziału.
Ciągi liczbowe: zbieżność ciągów liczbowych,
podstawowe własności ciągów zbieżnych, twierdzenie
Bolzano-Weierstrassa, granica dolna i górna ciągu
liczbowego, liczba e, funkcje wykładnicza i loga-
Forma zajęć5
(liczba godz.)
Wykład
(10 godz.)
Wykład
(15 godz.)
Wykłady, ćwiczenia, laboratoria, samodzielne prowadzenie zajęć przez studenta.
Symbol
przedmiotowych
efektów kształcenia
P_W01, P_W02,
P_W03, P_W04,
P_W05, P_U01,
P_U02, P_U03,
P_U04, P_U05,
P_U09, P_K01,
P_K02, P_K03
P_W01, P_W02,
P_W03, P_W04,
P_W05, P_U01,
P_U02, P_U03,
rytmiczna.
3.
Zwartość, spójność, zupełność podzbiorów prostej
rzeczywistej.
Wykład
(5 godz.)
4.
Szeregi liczbowe: szeregi zbieżne, suma szeregu,
kryteria zbieżności, zbieżność bezwzględna, zbieżność warunkowa, twierdzenie Riemanna, twierdzenie
Dirichleta, twierdzenie Abela, iloczyn Cauchy’ego
szeregów, twierdzenie Cauchy’ego, twierdzenie
Mertensa.
Wykład
(15 godz.)
5.
Granica funkcji rzeczywistej w punkcie, ciągłość
funkcji w punkcie, funkcje ciągłe i ich własności,
własność Darboux, aproksymacja funkcji ciągłych
przez wielomiany – twierdzenie Weierstrassa.
Wykład
(15 godz.)
P_U04, P_U05,
P_U06, P_U07,
P_U08, P_U09,
P_K01, P_K02,
P_K03
P_W01, P_W02,
P_W03, P_W04,
P_W05, P_U01,
P_U02, P_U03,
P_U04, P_U05,
P_U07, P_U09,
P_K01, P_K02,
P_K03
P_W01, P_W02,
P_W03, P_W04,
P_W05, P_U01,
P_U02, P_U03,
P_U04, P_U05,
P_U07, P_U09,
P_K01, P_K02,
P_K03
P_W01, P_W02,
P_W03, P_W04,
P_W05, P_U01,
P_U02, P_U03,
P_U04, P_U05,
P_U06, P_U07,
P_U08, P_U09,
P_K01, P_K02,
P_K03
Ćwiczenia
1.
Liczby rzeczywiste: ciało liczb rzeczywistych, liczby
naturalne, wymierne i niewymierne, zasada indukcji
matematycznej, kresy zbiorów liczbowych, nierówności między średnimi arytmetyczną, geometryczną i
harmoniczną.
Ćwiczenia
(5 godz.)
2.
Ciągi liczbowe: ciągi monotoniczne, zbieżność ciągów liczbowych, podstawowe własności ciągów zbieżnych, twierdzenie Bolzano-Weierstrassa, twierdzenie
Stolza, punkty skupienia, granica dolna i górna ciągu
liczbowego, liczba e, funkcje wykładnicza i logarytmiczna.
Ćwiczenia
(20 godz.)
3.
Szeregi liczbowe: szeregi zbieżne, suma szeregu, warunek konieczny zbieżności szeregu, kryteria zbieżności szeregów liczbowych, kryterium porównawcze,
d’Alemberta, Cauchy’ego, Cauchy’ego o zagęszczaniu, Leibniza, zbieżność bezwzględna, zbieżność wa-
Ćwiczenia
(20 godz.)
P_W01, P_W02,
P_W03, P_W04,
P_W05, P_U01,
P_U02, P_U03,
P_U04, P_U05,
P_U09, P_K01,
P_K02, P_K03
P_W01, P_W02,
P_W03, P_W04,
P_W05, P_U01,
P_U02, P_U03,
P_U04, P_U05,
P_U06, P_U07,
P_U08, P_U09,
P_K01, P_K02,
P_K03
P_W01, P_W02,
P_W03, P_W04,
P_W05, P_U01,
P_U02, P_U03,
P_U04, P_U05,
runkowa, twierdzenie Dirichleta, twierdzenie Abela,
iloczyn Cauchy’ego szeregów.
4.
Funkcje jednej zmiennej: Własności funkcji, granica
funkcji rzeczywistej w punkcie, granice jednostronne,
ciągłość funkcji w punkcie, funkcje ciągłe i ich własności, własność Darboux.
17.
METODY DYDAKTYCZNE:
1.
2.
3.
Ćwiczenia
(15 godz.)
P_U07, P_U09,
P_K01, P_K02,
P_K03
P_W01, P_W02,
P_W03, P_W04,
P_W05, P_U01,
P_U02, P_U03,
P_U04, P_U05,
P_U06, P_U07,
P_U08, P_U09,
P_K01, P_K02,
P_K03
wykład klasyczny ,
ćwiczenia przy tablicy ,
konsultacje .
18. Wykaz literatury podstawowej :
Podręczniki:
1. A. Birkholc, Analiza matematyczna dla nauczycieli, PWN, Warszawa 1980.
2. G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, tomy I-III, PWN, Warszawa 20022003.
3. K. Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy. Funkcje jednej zmiennej, PWN,
Warszawa 1979.
4. F. Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa 1979.
5. W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa 2002.
6. R. Rudnicki, Wykłady z analizy matematycznej, PWN, Warszawa 2002.
7. E. Złotkiewicz, Wykład analizy matematycznej dla słuchaczy studiów matematycznych,
Wydawnictwo UMCS, Lublin 1997.
Zbiory zadań:
1. J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, WNT, Warszawa 1994.
2. W. Kaczor, M. Nowak, Zadania z analizy matematycznej, cz. I, Liczby rzeczywiste, ciągi i
szeregi liczbowe, Wydawnictwo UMCS, Lublin 1996.
3. W. Kaczor, M. Nowak, Zadania z analizy matematycznej, cz. II, Funkcje jednej zmiennejrachunek różniczkowy, Wydawnictwo UMCS, Lublin 1998.
4. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, tom I, PWN, Warszawa
2002.
Wykaz literatury uzupełniającej:
Podręczniki:
1. K. Knopp, Szeregi nieskończone, PWN, Warszawa 1956.
2. W. Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 1983.
3. K. Maurin, Analiza Matematyczna, tom I, PWN, Warszawa 1991.
Zbiory zadań:
B. P. Demidowicz, Zbiór zadań i ćwiczeń z analizy matematycznej, Nauka, Moskwa 1969 (po
rosyjsku).
19. OBCIĄŻENIE PRACĄ STUDENTA
Forma aktywności
Rodzaj zajęć
Liczba godzin
na zrealizowanie
aktywności w
semestrze
b) Realizacja przedmiotu: ćwiczenia
c) Egzamin
d) Godziny kontaktowe z nauczycielem
60
60
5
30+30
Łączna liczba godzin zajęć realizowanych z udziałem
prowadzącego (pkt. a +b + c + d)
185
e) Przygotowanie się do zajęć
60
Razem godzin(zajęcia z udziałem prowadzącego
+ samokształcenie)
Liczba punktów ECTS
Samokształcenie
f) Przygotowanie się do zaliczeń/
kolokwiów
g) Przygotowanie się do egzaminu/
zaliczenia
c)
a)
Łączna
liczba godzin zajęć realizowanych we własnym
b)
zakresie (pkt. e + f +g)końcowego
20.
Zajęcia wymagające
udziału prowadzącego
a) Realizacja przedmiotu: wykłady
40
35
135
320
11
PROWADZĄCY PRZEDMIOT (IMIĘ, NAZWISKO, ADRES E-MAIL, INSTYTUT, NR
POKOJU KONSULTACJI)
1. Tadeusz Kuczumow, [email protected], Instytut Matematyki i Technologii
Innowacyjnych, pokój wykładowców 205
2. Monika Budzyńska, [email protected], Instytut Matematyki i
Technologii Innowacyjnych, pokój wykładowców 205