Zmiennosc Implikowana [10pt] w Wycenie [10pt] Skomplikowanych

Transkrypt

wstep
˛
aproksymacja ścisłe wyniki inne metody
Z MIENNO Ś Ć I MPLIKOWANA
W
W YCENIE
S KOMPLIKOWANYCH I NSTRUMENTÓW
Andrzej Palczewski
Instytut Matematyki Stosowanej i Mechaniki,
Uniwersytet Warszawski
Warszawa
25 kwietnia 2014
Andrzej Palczewski ( UW)
Zmienność implikowana
1 / 35
wstep
˛
Plan wystapienia
˛
1
Wprowadzenie.
Praktycy lubia˛ proste wzory.
Zmienność implikowana (implied volatility ) a zmienność
lokalna.
2
Jak przybliżać zmienność implikowana˛ ?
Model Berestycki-Busca-Florent.
Rozwiniecia
˛
asymptotyczne.
3
Ścisłe wyniki dla rozwinieć
˛ asymptotycznych.
4
Inne metody przybliżania zmienności implikowanej.
2 / 35
wstep
˛
proste wzory zmienność implikowana
Dlaczego proste wzory sa˛ ważne?
Cytat z artykułu Mike Giles & Ronnie Sircar Siam NEWS,
October 2007:
” The major challenges in computational finance arise not
from difficult geometries, as in many physical problems, but
from the need for rapid calculation of an EXPECTATION or
the solution of its associated Kolmogorov partial differential
equation.”
” Efficiency is at the forefront, because models are
re-estimated as new market data arrives and calibration (or
”marking to market”) embeds the expectation/PDE
calculation in an iterative solution to an inverse problem.”
3 / 35
wstep
˛
Najlepszy jest wzór Blacka (Blacka-Scholesa)
W log-normalnym modelu cen instrumentów finansowych cena
opcji (call lub put) dana jest zamknietym
˛
wzorem (wzorem
Blacka):
Vcall = Vcall (F0 , K , T , σB ),
gdzie F0 – cena forward instrumentu, K – cena realizacji
(strike), T – czas do zapadalności (expiry ) a σB – zmienność.
Z wyjatkiem
˛
σB wszystkie parametry wyznaczajace
˛ cene˛ opcji
sa˛ znane !
σB można wyznaczyć z cen opcji kwotowanych na rynku. Taka
σB nazywa sie˛ zmiennościa˛ implikowana.
˛
4 / 35
wstep
˛
Problem ze zmiennościa˛ implikowana˛
Ceny instrumentów maja˛ rzadko rozkład log-normalny. W
efekcie σB nie jest stała dla danego instrumentu, ale zmienia
sie˛ z K oraz T . Otrzymujemy tzw. ”uśmiech zmienności”
5 / 35
wstep
˛
Zmienność implikowana dla portfela instrumentów
Zmiana σB w zależności od K i T oznacza, że praktycznie dla
każdego K i T mamy inny model rynku.
To sprawia ogromne problemy przy zarzadzaniu
˛
ryzykiem
dużych portfeli opcyjnych. Jakie σB użyć przy wyliczaniu pozycji
zabezpieczajacych?
˛
(liczenie Delta lub Vega portfela)
Należy wyjść poza model log-normalny (model
Blacka-Scholesa) rynku.
6 / 35
wstep
˛
Rozszerzenie modelu Blacka-Scholesa
Model log-normalny (model Blacka-Scholesa)
dFt = σB Ft dWt ,
F (t0 ) = F0 .
W tym modelu σB jest stałe.
Model lokalnej (stochastycznej) zmienności
dFt = σ(t, Ft , yt )Ft dWt ,
F (t0 ) = F0 .
W tym modelu σ(t, Ft , yt ) jest funkcja˛ czasu, ceny instrumentu
bazowego, ale także zmiennej yt , która może być innym
procesem stochastycznym.
7 / 35
wstep
˛
Problemy obliczeniowe
Model lokalnej (stochastycznej) zmienności
dFt = σ(t, Ft , yt )Ft dWt ,
F (t0 ) = F0
(1)
nastrecza
˛
poważne problemy obliczeniowe.
Aby znaleźć cene˛ opcji należy
znaleźć rozwiazanie
˛
równania (1) metoda˛ symulacji Monte
Carlo (to może być poważne wyzwanie, jeśli proces yt jest
wielowymiarowy);
albo rozwiazać
˛
numerycznie równanie różniczkowe
czastkowe
˛
odpowiadajace
˛ modelowi (1) (odpowiednik
równania Blacka-Scholesa); to także może być poważne
zadanie numeryczne, jeśli problem jest wielowymiarowy.
8 / 35
wstep
˛
Problemy obliczeniowe c.d.
Opisane metody obliczeniowe na pewno nie daja˛ możliwości
wykonywania szybkich obliczeń, o których była mowa na
poczatku.
˛
Praktycy najchetniej
˛
używaja˛ wzoru Blacka, do którego
chcieliby wstawić właściwa˛ wartość zmienności implikowanej.
Problem:
Jak z modelu lokalnej (stochastycznej) zmienności wyznaczyć
zmienność implikowana?
˛
Odpowiedź na to pytanie zajmuje teoretyków przez ostatnie 15
lat.
9 / 35
wstep
˛
model BBF rozwiniecia
˛
asymptotyczne
Model Berestycki-Busca-Florent
Zróbmy pewne uproszczenie modelu zakładajac,
˛ że
σ(t, F , y ) = σ(t, F ), tzn. pozbywamy sie˛ dodatkowego procesu
stochastycznego yt .
Niech C loc (t, F ) bedzie
˛
cena˛ opcji call w modelu (1) po tym
uproszczeniu. Funkcja ta spełnia nastepuj
˛ ace
˛ równanie
1
loc
Ctloc + σ 2 (t, F )F 2 CFF
= 0,
2
C loc (T , F ) = (F − K )+ .
(2)
Rozwiazanie
˛
to bedziemy
˛
oznaczać C loc (t0 , F0 ; T , K ) aby
podkreślić zależność od wszystkich istotnych parametrów.
10 / 35
wstep
˛
˛
asymptotyczne
Model Berestycki-Busca-Florent c.d.
Jeśli w równaniu poprzedniego slajdu wstawimy zamiast funkcji
σ(t, F ) stała˛ θ, to otrzymamy rozwiazanie
˛
dane wzorem Blacka.
To rozwiazanie
˛
bedziemy
˛
oznaczać CBS (t0 , F0 ; T , K , θ).
Zmiennośc implikowana˛ możemy teraz zdefiniować jako
funkcje˛ θ = θ(t0 , F0 ; T , K ), taka˛ że
C loc (t0 , F0 ; T , K ) = CBS (t0 , F0 ; T , K , θ)
(3)
Wykorzystujac
˛ równość (3) oraz równanie (2), które spełniaja˛
loc
funkcje C (t0 , F0 ; T , K ) i CBS (t0 , F0 ; T , K , θ), możemy znaleźć
równanie, jakie spełnia funkcja θ(t0 , F0 ; T , K ).
11 / 35
wstep
˛
˛
asymptotyczne
Model Berestycki-Busca-Florent c.d.
Ponieważ równanie jest skomplikowane, napiszemy je w
nowych zmiennych, które nieco upraszczaja˛ zapis.
Nowe zmienne niezależne:
x = log(F /K ),
τ = T − t.
W nowych zmiennych równanie dla funkcji θ(τ, x) ma postać
θ
2 1
x
2τ θθτ − σ 2 x − 1 + τ 2 σ 2 θ2 θx2 − τ σ 2 θθxx + θ2 = 0. (4)
θ
4
W tym wzorze σ = σ(τ, x) jest oczywiście zmiennościa˛ lokalna˛
z modelu (1).
12 / 35
wstep
˛
˛
asymptotyczne
Model Berestycki-Busca-Florent c.d
Równanie (4) jest jeszcze bardziej skomplikowane niż równanie
(2), nie widać wiec
˛ zalet wprowadzania takiego modelu.
Na dodatek rozwiazanie
˛
równania (4) interesuje nas w
przedziale τ ∈ [0, T ] a dla τ = 0 równanie (4) staje sie˛
osobliwe.
Z drugiej strony, gdyby interesować sie˛ jedynie rozwiazaniem
˛
dla małych wartości τ , to równanie (4) możnaby traktować jako
zaburzenie dużo prostszego równania
2
θ
x
−σ 2 x − 1 + θ2 = 0.
θ
Czy takie postepowanie
˛
można sformalizować matematycznie?
13 / 35
wstep
˛
˛
asymptotyczne
Metoda rozwinieć
˛ asymptotycznych
Odpowiedź na postawione pytanie jest pozytywna !
Poczatek
˛
tego typu badaniom dał Euler, który zajmował sie˛
problemem sumowalności szeregów potegowych.
˛
W przypadku rozwiaza
˛ ń równań różniczkowych teoria ta
nazywa sie˛ metoda˛ rozwinieć
˛ asymptotycznych.
Polega ona na poszukiwaniu rozwiazania
˛
równania w postaci
szeregu potegowego
˛
(wzgledem
˛
”małego” parametru). Taki
szereg potegowy
˛
nie musi oczywiście być zbieżny (najcz˛eściej
nie jest !), ale można starać sie˛ pokazać, że skończona suma
cz˛eściowa takiego szeregu przybliża właściwe rozwiazanie.
˛
Dla naszego problemu poszukiwać bedziemy
˛
rozwiazania
˛
równania (4) w postaci szeregu
θ(τ, x) = θ0 (x) + τ θ1 (x) + τ 2 θ2 (x) + . . . .
14 / 35
wstep
˛
˛
asymptotyczne
Przybliżenie zerowego rz˛edu
Robimy dalsze uproszczenie zakładajac,
˛ że lokalna zmienność
σ(τ, x) jest jednorodna w czasie, czyli σ = σ(x).
Wstawiajac
˛ szereg potegowy
˛
z poprzedniego slajdu do
równania (4) oraz grupujac
˛ wyrazy odpowiadajace
˛ różnym
potegom
˛
τ dostajemy jako współczynnik przy zerowej potedze
˛
równość
2
σ 2 (x) xθx0 − θ0 − (θ0 )4 = 0.
(5)
To jest równanie przybliżenia zerowego rz˛edu.
15 / 35
wstep
˛
˛
asymptotyczne
Rozwiazanie
˛
zerowego rz˛edu
Przy odpowiednich założeniach na temat gładkości funkcji σ(x)
rozwiazanie
˛
równania (5) dane jest wyrażeniem
Z x du −1
.
(6)
θ0 (x) = x
0 σ(u)
Przy tym funkcja θ0 (x) jest klasy C 2 (R) i jest ograniczona
razem ze swoimi pochodnymi.
16 / 35
wstep
˛
˛
asymptotyczne
Przybliżenie pierwszego rz˛edu
Jako współczynnik przy pierwszej potedze
˛
τ dostajemy
wyrażenie
1
0
= 0.
σ xθx1 − θ1 + 3θ0 θ1 − σ 2 θ0 θxx
2
(7)
To jest równanie przybliżenia pierwszego rz˛edu.
Zauważmy, że jest to liniowe równanie różniczkowe pierwszego
rz˛edu, łatwo wiec
˛ powinno być znaleźć jego rozwiazanie.
˛
Uwaga
Równania na przybliżenia wszystkich wyższych rz˛edów sa˛ też
liniowymi równaniami pierwszego rz˛edu.
17 / 35
wstep
˛
˛
asymptotyczne
Rozwiazanie
˛
pierwszego rz˛edu
Przy odpowiednich założeniach na temat gładkości funkcji σ(x)
rozwiazanie
˛
równania (7) dane jest wyrażeniem
p
0 (x))3
σ(0)σ(x)
(θ
ln
.
(8)
θ1 (x) =
2
x
θ0 (x)
Przy tym funkcja θ1 (x) jest klasy C 2 (R) i jest ograniczona
razem ze swoimi pochodnymi.
18 / 35
wstep
˛
rzad
˛ zerowy rzad
˛ pierwszy zależność od czasu
Wyniki BBF dla przybliżenia zerowego rz˛edu
Twierdzenie (Berestycki, Busca, Florent 2002)
W granicy τ → 0 mamy zbieżność
lim θ(τ, x) = θ0 (x),
τ →0
przy czym zbieżność jest jednostajna dla x ∈ R.
Analogiczny wynik został udowodniony także bez
upraszczajacego
˛
założenia, że σ jest jednorodna w czasie, tj.
dla przypadku, gdy σ = σ(τ, x) (Berestycki, Busca, Florent
2004).
19 / 35
wstep
˛
rzad
˛ zerowy rzad
Nowe wyniki dla przybliżenia zerowego rz˛edu
Twierdzenie
Załóżmy, że funkcja σ(x) jest klasy C 2 (R) i ma ograniczone
pochodne. Dodatkowo niech bed
˛ a˛ spełnione oszacowania
0 < σL ≤ σ(x) ≤ σU < ∞,
gdzie σL , σU sa˛ stałe.
Wtedy istnieja˛ stałe κ > 0 i τ0 > 0, takie że dla rozwiazania
˛
równania (4) dla zmienności implikowanej zachodzi
oszacowanie
|θ(τ, x) − θ0 (x)| ≤ κτ |θ0 (x)|.
Oszacowanie to zachodzi dla wszystkich τ < τ0 .
20 / 35
wstep
˛
rzad
˛ zerowy rzad
Wyniki dla przybliżenia pierwszego rz˛edu
Twierdzenie
Niech spełnione bed
˛ a˛ założenia poprzedniego twierdzenia
wzmocnione założeniem, że funkcja σ(x) jest klasy C 4 (R) i ma
ograniczone pochodne.
˛
oszacowanie
|θ(τ, x) − θ0 (x) − τ θ1 (x)| ≤ κτ 2 |θ0 (x)|.
Oszacowanie to zachodzi dla wszystkich τ < τ0 .
21 / 35
wstep
˛
rzad
˛ zerowy rzad
Rozwiazanie
˛
dla zmienności zależnej od czasu
Jak postepować
˛
w przypadku, gdy σ = σ(τ, x)?
Wtedy należy także funkcje˛ σ rozwinać
˛ w szereg potegowy
˛
wzgledem
˛
τ
σ(τ, x) = σ 0 (x) + τ σ 1 (x) + . . . .
(9)
Wstawiajac
˛ to rozwiniecie
˛
oraz rozwiniecie
˛
θ do równania dla
zmienności implikowanej oraz grupujac
˛ wyrazy z odpowiednimi
potegami
˛
τ dostaniemy w przybliżeniu zerowego rz˛edu
analogiczne równanie jak w przypadku jednorodnym (jedynie
funkcje˛ σ(x) zastapi
˛ funkcja σ 0 (x)).
Rozwiazanie
˛
zerowego rz˛edu bedzie
˛
miało wtedy postać
Z x du −1
0
.
(10)
θ (x) = x
0
0 σ (u)
22 / 35
wstep
˛
rzad
˛ zerowy rzad
Przybliżenie pierwszego rz˛edu
W przybliżeniu pierwszego rz˛edu dostajemy równanie istotnie
różne niż w przypadku jednorodnym w czasie
σ1
1
0
+ 0 (θ0 )2 .
σ 0 xθx1 − θ1 + 3θ0 θ1 = (σ 0 )2 θ0 θxx
2
σ
(11)
Rozwiazanie
˛
tego równania dane jest wzorem
p 0
Z x
σ (0)σ 0 (x)
uσ 1 (u)
(θ0 (x))3
1
ln
+
du .
θ (x) =
0
2 0
x2
θ0 (x)
0 (σ (u)) θ (u)
(12)
23 / 35
wstep
˛
rzad
˛ zerowy rzad
Wyniki dla przybliżenia pierwszego rz˛edu
Twierdzenie
Niech dla funkcji σ 0 (x) spełnione bed
˛ a˛ założenia analogiczne
jak w przypadku jednorodnym w czasie spełniała funkcja σ(x).
Dodakowo załóżmy, że funkcja σ 0 (x) jest klasy C 4 (R) a funkcja
σ 1 (x) jest klasy C 2 (R) i obie maja˛ ograniczone pochodne.
˛
oszacowanie
|θ(τ, x) − θ0 (x) − τ θ1 (x)| ≤ κτ 2 |θ0 (x)|,
gdzie θ0 dana jest wzorem (10) a θ1 wzorem (12) przy czym
oszacowanie to zachodzi dla wszystkich τ < τ0 .
24 / 35
wstep
˛
metody geometrii różniczkowej
Cena opcji ze wzoru Tanaki
Wracamy do poczatkowego
˛
modelu rynku z lokalna˛
zmiennościa˛ (deterministyczna˛ a nie stochastyczna˛ dla
uproszczenia prezentacji).
dFt = σ(t, F )Ft dWt ,
F (0) = F0 .
(13)
Zastosowanie formuły Tanaki prowadzi do nastepuj
˛ acego
˛
wzoru na cene˛ opcji
C loc (0, F0 ; T , K ) =
Z
1 T
+
σ(t, K )2 K 2 p(t, K |F0 )dt .
P(0, T ) (F0 − K ) +
2 0
(14)
p(t, K |F0 ) jest tu rozkładem prawdopodobieństwa dla procesu
(13) warunkowanego na F0 .
25 / 35
wstep
˛
Równanie wsteczne Kołmogorowa
Funkcja p(t, F |F0 ) spełnia wsteczne równanie Kołmogorowa
1 2
∂F σ(t, F )2 F 2 p(t, F |F0 )
2
1
= σ(t, F )2 F 2 ∂F2 p(t, F |F0 )
2
+ 2σ(t, F )F ∂F σ(t, F )F ∂F p(t, F |F0 )
+ σ(t, F )F ∂F2 σ(t, F )F p(t, F |F0 )
2
+ ∂F2 σ(t, F )F
p(t, F |F0 ).
∂t p(t, F |F0 ) =
(15)
26 / 35
wstep
˛
Uogólnienie
Rozważmy wielowymiarowy proces stochastyczny Xt
spełniajacy
˛ układ równań
X
σji (Xt )dWtj ,
dXti =
j
dhWti , Wtj i = ρi,j dt.
Prawdopodobieństwo przejścia dla tego procesu GT ,X (t, x)
spełnia wsteczne równanie Kołmogorowa
X
∂t GT ,X (t, x) +
g i,j (x)∂x2i ,x j GT ,X (t, x) = 0,
i,j
GT ,X (T , x) = δ(x − X ),
gdzie macierz g i,j jest dodatnio określona i dana wzorem
1 X k ,l i
ρ σk (x)σlj (x).
g i,j (x) =
2
k ,l
27 / 35
wstep
˛
Uogólnienie c.d.
Dokonujac
˛ zamiany zmiennych τ = T − t sprowadzamy
równanie Kołmogorowa do równania przewodnictwa cieplnego
X
∂τ GX (τ, x) =
g i,j (x)∂x2i ,x j GX (τ, x),
i,j
GX (0, x) = δ(x − X ).
28 / 35
wstep
˛
Uogólnienie c.d.
Niech M oznacza przestrzeń stanów procesu Xt . M jest
rozmaitościa˛ Riemanna, jeśli metryk˛e Riemanna zdefiniujemy
przez podanie wzoru na element długości
X
ds2 =
gi,j (x)dx i dx j ,
i,j
gdzie
gi,j (x) = 2
ρk ,l
k
σi (x)σjl (x)
k ,l
X
a ρk ,l jest odwrotnościa˛ ρk ,l .
29 / 35
wstep
˛
Uogólnienie c.d.
Twierdzenie (Varadhan 1967)
lim 2τ ln GX (τ, x) = −d 2 (x, X ).
τ →0
d(x, y ) jest odległościa˛ geodezyjna˛ punktów x i y na
rozmaitości Riemanna M wyznaczona˛ przez ds
Z
d(x, y ) =
inf
z(t):z(0)=x,z(1)=y
0
1X
i,j
gi,j (z(t))
dz i dz j
dt.
dt dt
Uwaga
Asymptotyczna zbieżność z pracy Berestycki, Busca, Florent
(2002) pokrywa sie˛ z twierdzeniem Varadhana (należy tylko
zdefiniować właściwa˛ strukture˛ riemannowska).
˛
30 / 35
wstep
˛
Uogólnienie c.d.
Równanie Kołmogorowa dla rozkładu prawdopodobieństwa
p(t, F |F0 ) jest bardziej skomplikowane niż równanie
przewodnictwa cieplnego
X
X
∂t pF0 (t, F ) =
g i,j (F )∂F2 i ,F j pF0 (t, F ) +
bi (F )∂F i pF0 (t, F )
i,j
i
+ q(F )pF0 (t, F ),
pF0 (0, F ) =δ(F − F0 ).
(16)
Aby badać takie równania na rozmaitości Riemanna należy
zdefiniować wiazk˛
˛ e liniowa˛ nad rozmaitościa˛ M, a nastepnie
˛
koneksje˛ w tej wiazce
˛
A oraz przekroje wiazki
˛ Q.
31 / 35
wstep
˛
Uogólnienie c.d.
Wtedy równanie takiego typu jak równanie (16) można zapisać
w postaci inwariantnej
∂t p(t, x|y ) = Dp(t, x|y ),
gdzie D jest operatorem eliptycznym na rozmaitości Riemanna
X
D = g −1/2
g 1/2 g i,j (∂i + Ai )(∂j + Aj ) + Q
i,j
a g = det(g i,j ).
32 / 35
wstep
˛
Uogólnienie c.d.
W przypadku deterministycznej lokalnej zmienności równanie
(16) jest jednowymiarowe. Można wiec
˛ łatwo znaleźć koneksje˛
A (jednowymiarowa)
˛ oraz przekrój Q oraz wykorzystać
pochodzace
˛ od Yosidy (1953) rozwiniecie
˛
asymptotyczne
rozwiazania
˛
równania (16). W przybliżeniu pierwszego rz˛edu
daje to nastepujacy
˛ wzór na cene˛ opcji call
p
σ(0, K )σ(0, F0 )T
−1 loc
+
√
×
P(0, T ) C (0, F0 ; T , K ) = (F0 − K ) +
2 2π
3
H1 (ω) + Q(Fav ) + G(Fav ) TH2 (ω) ,
4
gdzie H1 , H2 , Q i G sa˛ znanymi funkcjami a
Z K
dx
√
Fav = (F0 + K )/2, ω =
.
2T xσ(0, x)
F0
33 / 35
wstep
˛
Uogólnienie c.d.
Wykonujac
˛ analogiczne obliczenia dla modelu Blacka (stała
zmienność) oraz porównujac
˛ otrzymane wzory możemy
wyprowadzić przybliżenie pierwszego rz˛edu dla zmienności
implikowanej θ(K , T )
p
σ(0, K )σ(0, F0 ) H1 (ω)
√
θ(K , T ) =
×
H1 (ω̄)
F0 K
H (ω)
3
2
H1 (ω) + Q(Fav ) + G(Fav ) T
4
H1 (ω)
θ(K , T )2 H2 (ω̄)
+
,
8
H1 (ω̄)
gdzie
ln(K /F0 )
ω̄ = √
.
2T θ(K , T )
34 / 35
wstep
˛
DZIEKUJ
˛
E˛
35 / 35

Zmiennosc Implikowana [10pt] w Wycenie [10pt] Skomplikowanych

Transkrypt

Podobne dokumenty

Plan konferencji

Zwycięstwa tenisistów stołowych na zawodach powiatowych

WARSZTATY DECOUPAGE

Oferta reklamowa portalu PrzypadkiMedyczne.pl – banner

Technik górnictwa podziemnego 2014

Krzysztof Piekarski “Wprowadzenie do metod numerycznych

Monitoring rozwoju obszarów wiejskich. Etap I Przestrzenne

zadania 1