Rozpraszanie, przyblizenie Borna

28
28.1
Rozpraszanie, przybliżenie Borna
Równanie Schrödingera
W trzech wymiarach spróbujemy skonstruować schemat kolejnych przybliżeń, który pozwoli znaleźć nam szukaną funkcję falową. Odpowiednio daleko od obszaru działania
potencjału zarówno cząstka padająca (i) jak i rozproszona (f ) będą opisane falami płaskimi:
~
~
ui (~r) = eiki~r ,
uf (~r) = eikf ~r .
(28.1)
Warto zauważyć, że o ile kierunek pędu cząstki padającej możemy wybrać np. jako
kierunek osi z, to kierunek cząstki rozproszonej, czyli ~kf , może być dowolny. Gęstość
strumienia cząstek padających jest w przypadku trójwymiarowym wektorem i wynosi
h̄
ih̄ ∗ ~
∗
~
~
ui (x)∇ui (x) − ui (x)∇ui (x) = ~ki .
(28.2)
Si = −
2m
m
Zauważmy, że za funkcję ui przyjęliśmy nieznormalizowaną falę płaską (28.1). Składowe
~i mają podobnie jak w przypadku jednowymiarowym wymiar prędkości, czyli
wektora S
liczby padających cząstek na jednostkę czasu.
Równanie Schrödingera
2m
∇2 + k 2 ψ(~r) = 2 V (~r)ψ(~r)
h̄
(28.3)
zamienimy w równanie całkowe i będziemy go rozwiązywać iteracyjnie. Warto tu zauważyć, że (28.3) można potraktować jako niejednorodne równanie różniczkowe drugiego
rzędu, gdzie członem źródłowym jest
j(~r) =
2m
V (~r)ψ(~r).
h̄2
(28.4)
Takie potraktowanie równania (28.3) jest w pewnym sensie niestandardowe, gdyż na ogół
źródłem jest znana, zadana funkcja, a nie funkcja zawierająca funkcję poszukiwaną (w
tym wypadku ψ).
28.2
Funkcja Greena
Rozwiązanie niejednorodnego równania typu
∇2r + k 2 ψ(~r) = j(~r)
(28.5)
znajdujemy konstruując funkcję Greena zdefiniowaną jako
∇2r + k 2 G(~r, ~r0 ) = δ (3) (~r − ~r0 ) .
(28.6)
Wówczas
Z
ψ(~r) = ui (~r) +
d3 r0 G(~r, ~r0 )j(~r0 ),
168
(28.7)
gdzie człon jednorodny został tak dobrany, by w granicy j = 0 (brak potencjału), ψ i
redukowało się do funkcji falowej cząstki padającej.
Aby znaleźć funkcję Greena zapiszmy funkcję δ oraz G(~r −~r0 ) (f. Greena zawsze zależy
od różnicy argumentów) w postaci transformaty Fouriera:
Z
d3 q i~q(~r−~r0 )
(3)
0
δ (~r − ~r ) =
e
,
(2π)3
Z
d3 q i~q(~r−~r0 )
0
e
G̃(~q),
(28.8)
G(~r − ~r ) =
(2π)3
Podstawiając (28.8) równania do obu stron równania (28.6) otrzymujemy
G̃(~q) =
k2
1
.
− q2
(28.9)
Widzimy zatem, że po pierwsze funkcja Greena G̃ nie zależy od kierunku, a po drugie, że
możemy mieć kłopoty z drugą transformatą Fouriera (28.8), żeby wyliczyć G. Rzeczywiście
Z
d3 q i~q~x 1
e
(28.10)
G(~x) =
(2π)3
k2 − q2
nie jest dobrze określona dla k = q. Zanim zajmiemy się tą trudnością, wykonajmy całkę
po kątach:
Z∞
G(~x) =
1
q 2 dq
3
2
(2π) k − q 2
1 1
(2π)2 ix
Z∞
Z1
dϕ
0
0
=
Zπ
d cos θ eiqx cos θ
−1
qdq
iqx
−iqx
e
−
e
.
k2 − q2
(28.11)
0
Jeśli w drugiej całce zamienić q → −q to otrzymamy
i
G(x) =
(2π)2 x
Z∞
qdq
eiqx ,
(q − k)(q + k)
(28.12)
−∞
gdzie opuściliśmy znak wektora nad x, gdyż jak widać, funkcja G(x) zależy tylko od
modułu x = |~x|.
Całkę po osi rzeczywistej możemy wykonać domykając kontur całkowania w górnej
półpłaszczyźnie zespolonego q, gdyż x > 0. W tym celu, trzeba dokonać wyboru, jak
obejść bieguny w punktach q = ±k. Po pierwsze, jeżeli oba bieguny obejdziemy górą to
dostaniemy w wyniku zero. A zatem zostają trzy możliwości
• albo q = −k −iε (a) i q = k +iε (d), wówczas tylko ten drugi biegun daje przyczynek
G+ (x) = −
169
1 ikx
e ,
4πx
(28.13)
q
a
c
b
d
Rysunek 1: Osobliwości w płaszczyźnie zespolonego q.
• względnie q = −k + iε (b) i q = k − iε (c) i wtedy
G− (x) = −
1 −ikx
e
,
4πx
(28.14)
• oraz kiedy oba bieguny obejdziemy dołem (b, d), wówczas
1
1
G(x) = G+ (x) + G− (x).
2
2
(28.15)
Wybraliśmy tu czynnik 1/2 aby spełnione było równanie (28.6).
O tym którą możliwość wybrać, zadecyduje asymptotyka otrzymanych rozwiązań. Zauważmy, że dla dużych r mamy
√
x = |~r − ~r0 | = r2 + r02 − 2rr0 cos θ
r
r0
' r 1 − 2 cos θ ' r − r0 cos θ
(28.16)
r
i dalej
kx ' kr − ~kf ~r0 ,
(28.17)
gdzie
~kf = k ~r
(28.18)
r
jest wektorem skierowanym wzdłuż promienia ~r o module równym k (zachowanie energii!).
Zatem, jeśli we wzorze (28.7) użyć G+ to część niejednorodna funkcji ψ zachowuje się jak
eikr , a więc jak wychodząca od centrum fala kulista. Z kolei G− opisuje wchodzącą do
centrum falę kulistą. W celu opisania rozproszenia za G musimy przyjąć G+ .
170
→
r'
→
r
Rysunek 2: Przybliżenie dużych odległości.
28.3
Amplituda rozpraszania
Podstawiając do (28.7) G+ i j dane równaniem (28.4) otrzymujemy:
m
ψ(~r) = ui (~r) −
2πh̄2
Z
3 0e
dr
ik|~
r−~
r0 |
|~r − ~r0 |
V (~r0 )ψ(~r0 ).
(28.19)
Równanie to będziemy rozwiązywać perturbacyjenie zakładając, że V jest „małe”. Najlepiej jest to zrobić wprowadzając parametr λ
V → λV
(28.20)
ψ = ψ (0) + λψ (1) + λ2 ψ (2) + . . .
(28.21)
i rozwijając
Otrzymujemy wówczas rekurencję
ψ (0) (~r) = ui (~r),
Z
ik|~
r−~
r0 |
m
(n)
3 0e
ψ (~r) = −
V (~r0 )ψ (n−1) (~r0 )
dr
2
0
|~r − ~r |
2πh̄
(28.22)
co daje
Z
ik|~
r−~
r0 |
m
3 0e
V (~r0 )ui (~r0 )
ψ (~r) = − 2 d r
0|
|~
r
−
~
r
πh̄
2 Z
Z
ik|~
r−~
r 0|
ik|~
r 0 −~
r 00 |
m
(2)
3 0e
0
3 00 e
ψ (~r) =
V (~r ) d r 0
V (~r 00 )ui (~r 00 )
dr
|~r − ~r 0 |
|~r − ~r 00 |
πh̄2
(1)
(28.23)
i tak dalej. Zauważmy, że dla r r0 i dla zlokalizowanych potencjałów możemy użyć
przybliżenia (28.16) i (28.17) pod pierwszą całką po dr0 :
Z
m
eikr
0
~
(1)
ψ (~r) = − 2 d3 r0 e−ikf ~r V (~r0 )ui (~r0 ) ×
(28.24)
r
πh̄
2 Z
Z
ik|~
r 0 −~
r 00 |
m
eikr
(2)
3 0 −i~kf ~
r0
0
3 00 e
00
00
ψ (~r) =
d
r
e
V
(~
r
)
d
r
V
(~
r
)u
(~
r
)
×
.
i
|~r 0 − ~r 00 |
r
πh̄2
171
Wzór (28.24) ma bardzo prostą interpretację fizyczną: kolejne przybliżenia odpowiadają
kolejnym rozproszeniom na potencjale V przeplatanym propagacją swobodną opisaną
funkcją Greena (28.13).
Widać zatem, że ogólna postać funkcji falowej daje się zapisać jako
ψ(~r) = ui (~r) + Af i ×
eikr
,
r
(28.25)
gdzie
Z
m
m
Af i = −
huf |V | ψi
(28.26)
d3 r0 u∗f (~r0 )V (~r0 )ψ(~r0 ) = −
2
2πh̄
2πh̄2
jest amplitudą rozpraszania od stanu i (zauważmy, że funkcja ψ w przypadku braku oddziaływania redukuje się do funkcji ui ) do stanu f . Amplituda ma wymiar długości i
nie zależy od r a tylko od kątów (poprzez ~kf ). Podstawiając za ψ i kolejne przybliżenia (28.24) otrzymujemy kolejne przybliżenia dla amplitudy rozpraszania. W pierwszym
rzędzie dostajemy tzw. przybliżenie Borna:
Z
m
Af i = −
d3 r0 u∗f (~r 0 )V (~r 0 )ui (~r0 )
2
2πh̄ Z
m
0
~ ~
= −
d3 r0 e−i(kf −ki ) ~r V (~r 0 ).
(28.27)
2
2πh̄
czyli transformatę Fouriera potencjału. Warto zauważyć, że tak zdefiniowana amplituda
Af i ma wymiar długości.
28.4
Przekrój czynny
Rozpraszanie przyjęło się charakteryzować za pomocą różniczkowego przekroju czynnego.
Aby zdefiniować przekrój czynny przypomnijmy sobie najpierw tzw. równanie ciągłości
∂
~ ·S
~ = 0,
P (~r, t) + ∇
∂t
~
gdzie P = |ψ|2 jest gęstością prawdopodobieństwa a wektor S
~ − ψ ∇ψ
~ ∗
~ = − ih̄ ψ ∗ ∇ψ
S
2m
(28.28)
~ ma wymiar cm/ (s × cm3 ) =
nosi nazwę gęstości prądu prawdopodobieństwa. Wektor S
~ S
~ na jednostkę
1/ (s × cm2 ). Opisuje on zatem liczbę cząstek padających w kierunku S/
powierzchni, na jednostkę czasu. Wygodnie jest jednak przyjąć normalizację, w której
funkcja falowa jest bezwymiarowa. Taką normalizację przyjęliśmy we wzorze
ψ(~r) = ui (~r) + Af i ×
172
eikr
r
(28.29)
~ opisuje liczbę cząstek
(brak czynnika normalizacyjnego przy ui ). Wówczas wektor S
padających w jednostce czasu.
Przez element powierzchni r2 dΩ przechodzi w ciągu sekundy Nf cząstek rozproszonych
Nf = Sfr r2 dΩ
(28.30)
gdzie Sfr jest składową radialną gęstości prądu prawdopodobieństwa dla funkcji falowej
ψ f opisującej cząstki rozproszone
Sfr
ih̄
=−
2m
∂ψ ∗f
h̄k
∗ ∂ψ f
ψf
− ψf
=
|Af i |2 .
2
∂r
∂r
mr
(28.31)
gdyż funkcja falowa cząstek rozproszonych to
ψ f = Af i
eikr
.
r
Zwróćmy uwagę, że w przyjętej przez nas normalizacji Af i ma wymiar [cm].
Całkowita liczba cząstek padających na jednostkę czasu dana jest wzorem:
h̄k
~ i
Ni = S
.
i =
m
(28.32)
(28.33)
Różniczkowy przekrój czynny definiujemy jako
Sr r2 dΩ
Nf
k
= = |Af i |2 dΩ
dσ(θ, ϕ) =
Ni
ki
~i S
(28.34)
przy czym dla rozpraszania elastycznego (z zachowaną energią) mamy
dσ(θ, ϕ)
= |Af i (θ, ϕ)|2 .
dΩ
(28.35)
Różniczkowy przekrój czynny jest wyrażoną w jednostkach powierzchni miarą prawdopodobieństwa rozproszenia pod kątem θ i ϕ. Zauważmy na koniec, że gdybyśmy przyjęli
inną normalizację funkcji falowej, to i tak uprościła by się ona we wzorze (28.34)
173