Zamiana zmiennych

Zamiana zmiennych:
Lemat 1. Niech Φ : u → ℜ m , u ⊂ ℜ m , będzie odwzorowaniem klasy C 1 . Wtedy
otw.
(1) ∀c ⊂ U
c = 0 ⇒ Φ (c ) = 0
(2) Φ( D) = 0 , gdzie D := {x ∈ U : Φ' ( x ) = 0}
(3) ∀ zbioru mierzalnego A ⊂ U , Φ( A) jest zbiorem mierzalnym (L ) .
∞
Dowód 1) Przedstawmy zbiór U w postaci U = ∪ U n , gdzie ∀ n U n ⊂ U jest kulą
n =1
domkniętą. Teza (1) będzie udowodnieniem jeśli pokażemy, że ∀ n Φ(U n ∩ C ) = 0 z
twierdzenia o przyrostach wynika, że ∃ liczba M n > 0 taka, że
∀x, y ∈ U n
Φ( x ) − Φ( y ) ≤ M x ⋅ x − y
Niech P ⊂ U n będzie kostką o bokach długości ≤ ε . Mamy: P ≤ ε m oraz
∀x, y ∈ P x − y ≤ mε
i
Φ (x ) − Φ( y ) ≤ M n mε
Stąd już wynika, że dla każdej kostki o bokach długości ≤ ε istnieje kostka Q P o bokach
długości ≤ 2M n mε taka, że Φ(P ) ⊂ QP i
(
Φ(P ) ≤ QP ≤ a P , gdzie a = 2M n m
z powyższego otrzymujemy, że
Φ ( A) ≤ a A
∀A ∈ U m
i w szczególnym przypadku
Φ(U n ∩ C ) ≤ a U n ∩ C = 0
)
m
Ustalmy η > 0
∂Φ j
⎞
⎛
⎜⎜ Φ' ( x ) = 0 ⇔ ∀
(x ) = 0 ⎟⎟
i , j ∂x
i
⎠
⎝
Korzystając z ciągłości można znaleźć ciąg U 1 ,U 2 ,... zbiorów stałych takich, że
2)
Niech D = {x ∈ U : Φ' ( x ) = 0}
∞
D ⊂ ∪Un
n =1
oraz
∀x, y ∈ U n Φ' (x ) < η
gdzieη jest z góry ustalone dowolnie małą liczbą dodatnią.
∞
Niech V ∪ U n . Podobnie jak w poprzedniej części dowodu korzystając z twierdzenia o
η n =1
przyrostach dowodzimy, że dla każdej kostki P ⊂ V o bokach długości ≤ ε istnieje
kostka Q P o bokach długości 2 mη ⋅ ε taka, że
Φ (P ) ⊂ Q P
Z powyższego mamy
oraz
(
Φ(P ) ≤ QP ≤ aη (P ), gdzie aη = 2η m
∀A ⊂ U η
przy η → 0 mamy aη → 0, stąd Φ(D ) = 0.
)
m
Φ(a ) ≤ aη A
3) Wykorzystamy następującą charakteryzację zbiorów mierzalnych (L) w ℜ m :
A jest minimalny (L) w ℜ m ⇔ A = F ∪ C , gdzie F jest typu Fσ oraz C = 0
Ponieważ każdy zbiór domknięty w ℜ m jest sumy przeliczalnej ilości zbiorów zwartych
∞
możemy więc przyjąć, że F = ∪ Fn , gdzie ∀n Fn jest zbiorem zwartym. Mamy
n =1
∞
Φ( A) = Φ (F ) ∪ Φ(C ) = ∪ Φ(Fn ) ∪ Φ(C ).
n =1
Na podstawie (1) Φ(c ) = 0 oraz ∀nΦ (Fn ) jest zbiorem zwartym, to Φ jest ciągłe.
Więc Φ ( A) jest zbiorem typu Fσ plus zbiór miary zero.
Definicja. Odwzorowania Φ : U → ℜ m ,U ⊂ ℜ m , Φ = (Φ 1 ,K, Φ m )
otw.
nazywamy przywiedlnym (osiowym), gdy ∃i, j ≤ m tak, że
∀x = ( x1 , K , x n ) ∈ U Φ i (x1 , K , x m ) = x j
Twierdzenie o rozkładzie na odwzorowanie przywiedlne: Niech Φ : U → ℜ m ,U ⊂ ℜ m
otw.
będzie odwzorowaniem klasy C . Wtedy dla każdego x ∈ U takiego, że Φ ' ( x) ≠ 0. istnieją
zbiory otwarte V , W ⊂ ℜ m , x ∈ V ⊂ U , oraz odwzorowania przywiedlne kl. C 1
1
na
H : V → W (H-dyfeomorfizm) i G : W → ℜ m takie, że
Φ |V = G o H
Dowód: Ustalmy x0 ∈ U tak, że Φ ' ( x) ≠ 0. W celu ułatwienia zapisów załóżmy, że dla
Φ = (Φ 1 , Φ 2 ,K , Φ m ) zachodzi nierówność
∂Φ 1
( x0 ) ≠ 0.
∂x1
Połóżmy
H ( x) := (Φ 1 ( x), x 2 , K, x m )
dla x = ( x1 , K, x m ) ∈ U
1
Odwzorowaniami H jest kl. C a jego jakobian wynosi
⎡ ∂H j
⎤
(x0 )⎥ = ∂Φ1 (x0 ) ≠ 0.
det ⎢
⎣ ∂xi
⎦ ∂x1
Oznacza to, że H ' ( x0 ) jest izomorfizmem i z twierdzenia o lokalnym dyfeomorfiźmie
ma
wynika, że istnieje otoczenie otwarte V punktu x, takie, że H : V →W , w = H (v), jest
dyfeomorfizmem. Połóżmy
G ( x) := (Φ ⋅ H −1 )( x) dla x ∈ W
z definicji odw. G wynika od razu, że G jest klasą C 1 , Φ | V = G o H . Pozostało tylko
sprawdzić że G jest odwzorowaniemprzywiedlnym. Weźmy dowolny punkt
x' = (t1 , x 2 ,K , x m ) ∈ W . Ponieważ H(V)=W zatem ∃x ∈ V tak, że H(x)=x’ przy tym
x = ( x1 , x 2 ,K, x m ) i t = Φ1 ( x). Mamy
G (t , x 2 , K , x m ) = G[H ( x )] = Φ( x ) = (t , Φ 2 , K, Φ m ( x)).
Oznaczenie:
Φ ' ( x ) :=
⎤
⎡ ∂Φ j
∂ (Φ 1 , K , Φ m )
(x )⎥
= det ⎢
∂ ( x1 , K , x m )
⎦
⎣ ∂xi
ozn.
moduł pochodnej Φ ' ( x); inne oznaczenie Φ' ( x) = det Φ' ( x) .
Twierdzenie o nierówności przy zamianie zmiennych (TNZZ). Załóżmy, że
Φ : U → ℜ m ,U ⊂ ℜ m , jest odwzorowaniem klasy C 1 . Wtedy dla każdego zbioru A ⊂ U
otw.
minimalnej (L) i dla dowolnej funkcji nieujemnej f : Φ( A) → [0, ∞] minimalnej (L) takiej, że
f o Φ jest f. minimalną (L) zachodzi nierówność
∫ f dt ≤ ∫ ( f o Φ ) Φ ' dx
Φ ( A)
A
Pokażmy najpierw, że z TNZZ wynika twierdzenie SARDA oraz twierdzenie o zamianie
zmiennych (TZZ).
Wniosek (tw. SARDA) Dla każdego odwzorowania Φ : U → ℜ m ,U ⊂ ℜ m , klasy C 1 , obraz
otw.
zbioru C = {x ∈ U : Φ' ( x) = 0} ma miarę zero, Φ(C ) = 0.
TNZZ
Dowód: Połóżmy w TNZZ, f ≡ 1, wtedy : Φ (c) =
∫ 1dx ≤
Φ (c)
∫ | Φ'| dx = ∫ 0 ⋅ dx = 0
c
c
Zauważmy, że tw. SARDA jest uogólnieniem tezy (2) lematu 1.
Wniosek (tw. o zamianie zmiennych). Załóżmy, że Φ : U → ℜ m ,U → ℜ m , jest
otw.
dyfeomorfizmem. Wtedy ∀ zbioru A ⊂ U i mierzalnego (L) i dla dowolnej funkcji
~
f : Φ ( A) → ℜ całkowalnej (lub mierzalnej nieujemnej) (L) zachodzi wzór
∫ f dx = ∫ ( f ⋅ Φ) | Φ'| dx
Φ ( A)
A
Dowód. Połóżmy V := Φ (U ) i niech Υ : V → U będzie odwzorowaniem odwrotnym do Φ;
Υ o Φ = IdU . Niech f : Φ ( A) → [0, ∞ ] będzie funkcją mierzalną.
Mamy:
∫
TNZZ
f dx ≤
Φ ( A)
∫ ( f o Φ) | Φ'| dx =
A
TNZZ
∫ ( f o Φ) | Φ'| dx ≤
Υ ( Φ ( A ))
∫
Φ ( A)
[( f o Φ ) o Υ ][Φ ' (Υ )] | Υ ' | dx =
∫ f dx.
Φ ( A)
∫ f dx = ∫ ( f o Φ) | Φ'| dx.
Stąd
Φ ( A)
A
(*) korzystaliśmy: Φ o Υ = id U id U = (Υ o Φ )' = Φ ' (Υ ) o Υ '
Własność wyznacznika | Φ ' ( Υ ) || Υ ' |= 1.
~
Niech teraz f : Φ ( A) → ℜ będzie dowolną funkcją całkowalną (L) . Z udowodnionej
równości dla funkcji mierzalnej nieujemnej
∫
f dx :=
Φ ( A)
∫
Φ ( A)
f+−
∫
TZZ
−
f dx = ∫ ( f + o Φ ) | Φ ' | dx − ∫ ( f − o Φ ) | Φ ' | dx = ∫ ( f o Φ ) | Φ ' | dx.
Φ ( A)
A
A
A
Lemat 2: Niech Φ : U → ℜ , U ⊂ ℜ , będzie odwzorowaniem klasy C takim, że ∀x ∈ U
n
n
1
otw.
Φ ' ( x) ≠ 0. Wtedy następujące warunki są równoważne
(a) ∀x ∈ U ∃ otoczenie otwarte Ux ⊂ U punktu x takiego, że ∀ kostki P ⊂ U x zachodzi
nierówność
| Φ( P) |≤ ∫ | Φ' | dx
P
(b) ∀ zbioru A ⊂ U mierzalnego (L) zachodzi nierówność
| Φ( A) |≤ ∫ | Φ' | dx
A
(c) prawdziwe jest TNZZ, tzn. ∀ zbioru A ⊂ U mierzalnego (L) i dla ∀ funkcji
f : Φ ( A) → [0, ∞ ] mierzalnej nieujemnej (L) takiej, że ( f o Φ ) jest funkcją mierzalną (L)
zachodzi nierówność
∫ f dx ≤ ∫ ( f o Φ) | Φ'| dx.
Φ ( A)
A
Dowód tego lematu zostanie podany poniżej, a teraz udowodnimy następujący lemat.
Lemat 3 Jeśli odwzorowanie klasy C 1 Φ1 ,Φ 2 spełniają TNZZ, to ich złożenie Φ = Φ1 o Φ 2
też spełnia TNZZ.
Dowód Lematu 3.
∫
f dx =
Φ ( A)
∫
TNZZ
f dx ≤
Φ1 [ Φ 2 ( A )]
TNZZ
∫ ( f o Φ1 ) | Φ1 '| dx ≤
Φ 2 ( A)
*
∫ [( f o Φ1 ) o Φ 2 ][Φ1 ' (Φ 2 )] | Φ 2 '| dx = ∫ ( f o Φ) | Φ'|
A
A
(*) korzystaliśmy z tw. o pochodnej funkcji złożonej i własność wyznacznika:
Φ ' = (Φ 1 o Φ 2 )' = Φ 1' (Φ 2 ) o Φ '2 = Φ 1 (Φ 2 ) | Φ '2
Tw. o pochodnych tw o wyzn. iloczynu macierzy
Dowód TNZZ. Niech A ⊂ U będzie dowolnym zbiorem mierzalnych (L) . Przedstawmy
zbiór A w postaci A = B ∪ C gdzie B = {x ∈ A : Φ ' ( x ) ≠ 0} , C = {x ∈ A : Φ ' ( x) = 0}. Na
podstawie punktu (2) lematu 1 | Φ (C ) |= 0. Stąd
∫ f dx = ∫ f dx , bo Φ ( A) = Φ ( B) ∪ Φ (C ) i
Φ ( A)
Φ(B)
| Φ (C ) |= 0.
Zatem nie tracąc na ogólności możemy zakładać, że ∀x ∈ U Φ ' ( x) ≠ 0. Na podstawie lematu
2, TNZZ jest równoważne warunkowi (a) z tego lematu. Wystarczy więc dowodnić warunek
(a) dla „dostatecznie małych” kostek P ⊂ U . W dowodzie zastosujemy indukcję dla m.
1) m = 1 . Niech P będzie przedziałem liniowym np. P = [ a, b] ( = ( a, b], K , itd ) z
twierdzenia o przyjmowaniu wartości pośrednich jest: Φ ( P ) = [α , β ], α ≤ β . Wybierzmy
punkty u , v ∈ [a, b] takie, że Φ (u ) = α , Φ (v ) = β . Ze wzoru Newtona-Leibniza otrzymujemy:
v
b
u
a
| Φ( P) |=| β − α |=| ∫ Φ' ( x)dx |≤ ∫ | Φ ' ( x) | dx = ∫ | Φ' | dx
P
2) Załóżmy teraz, że TNZZ jest prawdziwe dla m − 1, m > 1. Z twierdzenia o rozkładzie na
odwzorowania przywiedlne oraz na podstawie lematu 2 możemy założyć, że Φ jest (lokalnie)
odwzorowaniem przywiedlnym klasy C 1 . W celu uproszczenia zapisu załóżmy, że Φ jest
postaci
∀x = (t , x 2 ,K , x m ) Φ (t , x 2 , K, x m ) = (t , Φ 2 ( x),K, Φ m (?))
i niech
P = [a1 , b1 ] × [a 2 , b2 ] × K × [a m , bm ] = [a1 , b1 ] × Q
144424443
Q
Υ
P
Φ(P)
Q
u1
t
b1
Υ
u1
∀t ∈ ℜ mamy
(i). P(t ) := { y ∈ ℜ m −1 : (t , y ) ∈ P} = Q dla t ∈ [a1 , b1 ]
(ii). U (t ) := { y ∈ ℜ m −1 : (t , y ) ∈ U } jest zbiorem otwartym
t
b1