X - WMiI UMK
Transkrypt
X - WMiI UMK
Odkrywanie twierdzeń geometrycznych przy pomocy komputera KANGUR Online Strona tytułowa Andrzej Sendlewski WMiI UMK JJ J I II Poprzedni slaid Koło Matematyczne 15 maja 2010 Pełny ekran Zamknij plik Koniec pokazu DGS – programy komputerowe • CINDERELLA ver. 1.4 ♥, ver. 2.0 (komercyjna) • Circle & Ruler (R. Grothmann) ♥ • Car Metal (R. Grothmann, E. Hakenholtz) ♥ • CABRI Geometry II KANGUR Online Strona tytułowa JJ J I II • CABRI Geometry 3D Poprzedni slaid • Geometry Expressions Pełny ekran Zamknij plik Koniec pokazu Cechy programów DGS • dynamiczne konstrukcje • wyznaczanie miejsc geometrycznych KANGUR Online • automatyczne animacje Strona tytułowa • eksport do apletów Javy obsługiwanych przez przeglądarki internetowe JJ J I II Poprzedni slaid • interaktywne ćwiczenia Pełny ekran Zamknij plik Koniec pokazu Trójkąt i okrąg Twierdzenie 1. Kąt wewnętrzny przy wierzchołku trójkąta jest prosty wtedy i tylko wtedy, gdy wierzchołek ten leży na okręgu, którego średnicą jest przeciwległy temu wierzchołkowi bok. Wniosek 2. Na każdym prostokącie można opisać okrąg. Jego środek jest punktem przecięcia przekątnych tego prostokąta. KANGUR Online Strona tytułowa JJ J I II Poprzedni slaid Pełny ekran Zamknij plik Koniec pokazu Okrąg 9-ciu punktów trójkąta Twierdzenie 3. (Euler) Środki boków, spodki wysokości i środki odcinków łączących wierzchołki trójkąta ABC z jego ortocentrum leżą na jednym okręgu. Okrąg ten nazywamy okręgiem Eulera, albo okręgiem 9-ciu punktów trójkąta. KANGUR Online Strona tytułowa JJ J I II Poprzedni slaid Pełny ekran Zamknij plik Koniec pokazu Prosta Eulera trójkąta Twierdzenie 4. Dla dowolnego trójkąta cztery następujące punkty: • środek O okręgu opisanego na tym trójkącie, • środek E okręgu Eulera tego trójkąta, KANGUR Online • ortocentrum H tego trójkąta, Strona tytułowa • środek ciężkości M tego trójkąta leżą na jednej prostej. −−→ −−→ −−→ Co więcej, prawdziwe są równości OH = 2· OE = 3· OM . Prostą zawierającą punkty O, M , E i H nazywamy prostą Eulera trójkąta. JJ J I II Poprzedni slaid Pełny ekran Zamknij plik Koniec pokazu Twierdzenie Menelausa Twierdzenie 5. Niech ABC będzie dowolnym trójkątem. a) (Menelaus)Jeżeli punkty A0 , B 0 , C 0 odpowiednio prostych BC, CA, AB są współliniowe (leżą na wspólnej prostej), to AC 0 BA0 CB 0 · · = 1. C 0 B A0 C B 0 A b) Odwrotnie, jeżeli punkty A0 , B 0 , C 0 odpowiednio prostych BC, CA, AB są takie,że: 0 0 KANGUR Online Strona tytułowa JJ J I II 0 AC BA CB · · = 1, C 0 B A0 C B 0 A • oraz dodatkowo proste AA0, BB 0, CC 0 nie są współpękowe, • to punkty te są współliniowe (leżą na wspólnej prostej). Poprzedni slaid Pełny ekran Zamknij plik Koniec pokazu Proste Simsona względem trójkąta Twierdzenie 6. Rzuty prostokątne dowolnego punktu X płaszczyzny, na proste zawierające boki trójkąta leżą na jednej prostej wtedy i tylko wtedy, gdy punkt X leży na okręgu opisanym na tym trójkącie. KANGUR Online Prostą tą nazywamy prostą Simsona punktu X względem tego trójkąta. Strona tytułowa JJ J I II Prostą Simsona punktu X względem trójkata Poprzedni slaid ABC oznaczamy symbolem Pełny ekran sABC (X). Zamknij plik Koniec pokazu Proste Simsona punktów antypodycznych Twierdzenie 7. Proste Simsona dwóch punktów antypodycznych okręgu opisanego na trójkącie są wzajemnie prostopadłe. Twierdzenie 8. Miejscem geometrycznym wszystkich punktów przecięcia prostych Simsona punktów antypodycznych okręgu opisanego na trójkącie jest okrąg Eulera tego trójkąta. KANGUR Online Strona tytułowa JJ J I II Poprzedni slaid Pełny ekran Zamknij plik Koniec pokazu Proste Simsona dowolnych dwóch punktów Twierdzenie 9. Proste Simsona dwóch punktów X i Y okręgu o środku O opisanego na trójkącie przecinają się pod kątem równym połowie kąta środkowego ]XOY . Twierdzenie 10. Miejscem geometrycznym wszystkich punktów przecięcia prostych Simsona punktów X i Y okręgu opisanego na trójkącie tworzących stały kąt środkowy jest krzywa zwana hipocykloidą. KANGUR Online Strona tytułowa JJ J I II Poprzedni slaid Pełny ekran Zamknij plik Koniec pokazu Czy prostopadłość jest istotna? Twierdzenie 11. Rzuty dowolnego punktu X płaszczyzny pod ustalonym kątem α na proste zawierające boki trójkąta leżą na jednej prostej wtedy i tylko wtedy, gdy punkt X leży na okręgu opisanym na tym trójkącie. KANGUR Online Prostą tą nazywamy uogólnioną prostą Simsona punktu X względem tego trójkąta. Strona tytułowa JJ J I II Uogólnioną prostą Simsona punktu X względem trójkata ABC dla rzutów pod kątem α oznaczamy symbolem Poprzedni slaid Pełny ekran sα ABC (X). Zamknij plik Koniec pokazu Obwiednia rodziny wszystkich prostych Simsona Twierdzenie 12. Obwiednią rodziny prostych Simsona wszystkich punktów X okręgu opisanego na trójkącie (rzutowanych prostopadle na proste zawierające boki) jest hipocykloida zwana deltoidem Steinera. Inaczej, obwiednią rodziny prostych {sABC (X); X ∈ o(O, R)} jest deltoid Steinera. KANGUR Online Strona tytułowa JJ J I II Poprzedni slaid Pełny ekran Zamknij plik Koniec pokazu Obwiednia rodziny wszystkich uogólnionych prostych Simsona Twierdzenie 13. Obwiednią rodziny uogólnionych prostych Simsona wszystkich punktów X okręgu opisanego na trójkącie, rzutowanych pod ustalonym katem α na proste zawierające boki, jest hipocykloida będąca deltoidem. KANGUR Online Strona tytułowa JJ J I II Inaczej, obwiednią rodziny prostych Poprzedni slaid {sαABC (X); X ∈ o(O, R)} Pełny ekran jest deltoid. Zamknij plik Koniec pokazu Obwiednia rodziny uogólnionych prostych Simsona ustalonego punktu Twierdzenie 14. Obwiednią rodziny uogólnionych prostych Simsona ustalonego punktu X okręgu opisanego na trójkącie rzutowanego na proste zawierające boki pod kątami α, 0 < α < 2π, jest parabola. Inaczej, obwiednią rodziny prostych {sαABC (X); α ∈ [0, 2π)} jest parabola. KANGUR Online Strona tytułowa JJ J I II Poprzedni slaid Pełny ekran Zamknij plik Koniec pokazu Proste Simsona względem czworokąta Twierdzenie 15. Rzuty prostokątne dowolnego punktu X okręgu opisanego na czworokącie ABCD, na proste Simsona punktu X względem czterech trójkątów: ABC, BCD, CDA, DAC leżą na jednej prostej. KANGUR Online Strona tytułowa Prostą tą nazywamy prostą Simsona punktu X JJ J I II względem czworokąta ABCD, oznaczenie Poprzedni slaid sABCD (X). Pełny ekran Zamknij plik Koniec pokazu Proste Simsona względem czworokąta punktów antypodycznych KANGUR Online Strona tytułowa Twierdzenie 16. Proste Simsona względem czworokąta dwóch punktów antypodycznych okręgu opisanego na tym czworokącie są do siebie równoległe. JJ J I II Poprzedni slaid Pełny ekran Zamknij plik Koniec pokazu