Statystyczna Analiza Danych

Statystyczna Analiza Danych - Zadania 4
Aleksander Adamowski (s1869)
Zadanie 1
Firma komputerowa sprzedaje monitory trzech producentów,
powiedzmy producentów A, B, i C, w proporcji 2 : 3 : 5, odpowiednio.
Prawdopodobieństwo awarii w okresie gwarancji monitora
producenta A wynosi 0,05, natomiast monitora producenta B wynosi
0,03, a prawdopodobieństwo awarii w okresie gwarancji monitora
producenta C wynosi 0,01.
•
Oblicz prawdopodobieństwo, że monitor zakupiony przez losowo
wybranego klienta ulegnie awarii w okresie gwarancji
Rozw. Niech:
W = { monitor ulegnie awarii }
A = { zakupiono monitor producenta A }
B = { zakupiono monitor producenta B }
C = { zakupiono monitor producenta C }
P(A) = 0,2; P(B) = 0,3; P(C) = 0,5;
P(W|A) = 0,05; P(W|B) = 0,03; P(W|C) = 0,01;
P(W) = P(A)∙P(W|A) + P(B)∙P(W|B) + P(C)∙P(W|C) = 0,2∙0,05 + 0,3∙0,03 +
0,5∙0,01 = 0,024
•
Zakupiony monitor uległ awarii w okresie gwarancji. Oblicz
prawdopodobieństwo, że jest to monitor producenta A.
Rozw. Z wzoru Bayes-a:
P W∣A⋅P  A
P W∣A⋅P  AP W∣B⋅P BP W∣C⋅P C
0,05 ⋅0,2
P  A∣W =
=0,4166667
0,05 ⋅0,2 0,03 ⋅0,3 0,01 ⋅0,5
P  A∣W =
Z wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe:
P  A∣W =
P W∣A⋅P  A 0,05 ⋅0,2
=
=0,4166667
P W 
0,024
Odp. Prawdopodobieństwo, że monitor zakupiony przez losowo wybranego
klienta ulegnie awarii w okresie gwarancji wynosi 0,024. Prawdopodobieństwo,
że monitor, który uległ awarii, pochodzi od producenta A, wynosi w przybliżeniu
0,4167.
Zadanie 2
W urnie znajduje się 6 kul białych i 4 czerwone. Losujemy dwie kule
bez zwracania. Niech zmienna losowa X oznacza liczbę wylosowanych
kul białych.
•
Wyznacz funkcję prawdopodobieństwa p(x), x = 0, 1, 2, zmiennej
losowej X
Rozw.

 
  
 

 
P  X=0=
P  X=1=
P  X=2=
•
4
2
=
10
2
4⋅6
1 1
10
2
6
2
10
2
=
2
≈0,133
15
=
8
≈0,533
15
1
≈0,333
3
Oblicz wartości dystrybuanty F(1,5), F(0,5), F(2).
Rozw.
F(1,5) = P(x<2) = 2/15 + 8/15 = 1 – 1/3 = 2/3 = 1 –
1
/3
F(0,5) = P(x<1) = 2/15 ≈ 0,133
F(2) = P(x≤2) = 2/15 + 8/15 + 1/3 = 1
Zadanie 3
Liczba projektów informatycznych, które przyjmuje do wykonania w
ciągu tygodnia pewna firma jest zmienną losową o funkcji
prawdopodobieństwa określonej tabelą.
x
1 2
3 4
p(x) 0,1 0,15 C 0,25
•
Oblicz wartość stałej C.
C = 1 – 0,1 – 0,15 – 0,25 = 0,5
•
Oblicz wartości dystrybuanty F(2,2), F(3)
F(2,2) = P(x < 3) = 0,1 + 0,15 = 0,25
F(3) = P(x ≤ 3) = 0,1 + 0,15 + 0,5 = 0,75
•
Wyznacz dystrybuantę F(x),
x ∈−∞ ,∞ , zmiennej losowej X
{
0, dla x1
0,1 dla1  x2
F  x= 0,25 dla2  x3
0,75 dla3  x4
1 dla x4
•
}
Narysuj wykres dystrybuanty F.
F(x)
1
0,75
0,25
0,1
x
Zadanie 4
Zmienna losowa X ma dystrybuantę F określoną wzorem
•
Wyznacz funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej X
Odp.
x
-2 -0,5 0,5 1
p(x) 0,3 0,2 0,3 0,2
• Oblicz prawdopodobieństwa: P(-1 < X < 1), P(-1 ≤ X ≤ 1), P(0 < X).
Rozw.
P(-1 < X < 1) = F(1) – F(-1) – P(X = 1) = 1 – 0,3 – 0,2 = 0,5
P(-1 ≤ X ≤ 1) = F(1) – F(-1) + P(x=-1) = 1 – 0,3 + 0 = 0,7
P(0 < X) = F(0) = 0,5