Teoria gier semestr letni 2007/2008 VI lista zadań
Transkrypt
Teoria gier semestr letni 2007/2008 VI lista zadań
Teoria gier semestr letni 2007/2008 VI lista zadań 1. Dla ceny krawędzi α > 2 znajdź równowagę w Local Connection Game, w wyniku której nie powstaje gwiazda. Następnie oszacuj, ile co najmniej razy koszt grania tej równowagi jest większy od kosztu rozwiązania optymalnego. Wskazówka: Skorzystaj z tego, że żeby w sieci z α > 2 nie opłacało się dodać krawędzi, łączącej v z u, odległość między nimi musi być nie większa od 3. 2. Rozważ modyfikację Local Connection Game, w której dla każdej możliwej krawędzi w grafie podana z góry jest waga (długość), jaką będzie ona miała, jeśli zostanie stworzona (oczywiście te długości będą wykorzystywane przy liczeniu odległości między graczami). Zakładamy, że te długości są zawsze takie, że dodanie krawędzi bezpośrednio pomiędzy dwoma wierzchołkami zminiejsza odległość między nimi. (a) Pokaż, że w takiej modyfikacji będzie istnieć α1 , takie że dla α < α1 równowagą będzie dowolny układ strategii, tworzący graf pełny. (b) Pokaż (znajdź przykład), że dla dowolnego α będzie istnieć taka gra powyższego rodzaju, że żaden układ strategii tworzący gwiazdę nie będzie równowagą w tej grze. 3. Rozważ następujący przykład Global Connection Game (gracz i chce przesyłać pakiety z si do t): t 1 1 1 k 1 3 2 ... 1+ε s1 s2 s3 sk 0 0 0 0 Pokaż, że w tym przykładzie Price of Stability jest prawie równe (dla ε dążącego do zera dąży do) Hk (czyli że ograniczenie Price of Stability podane na wykładzie nie może być poprawione). 4. Rozważ modyfikację Global Connection Game, w której koszt korzystania przez pojedynczego gracza z krawędzi e nie jest równy kcee , tylko le (ke ) dla pewnej nieujemnej niemalejącej funkcji (tu gracze chcą minimalizować opóźnienia powstałe w tworzonej przez nich sieci). Znajdź funkcję potencjału dla takiej gry. Ogranicz (jak na wykładzie) Price of Stability dla tej gry, korzystając z tej funkcji potencjału.