Pochodna funkcji odwrotnej

Pochodna funkcji odwrotnej
Niech będzie dana w przedziale
funkcja różniczkowalna i różnowartościowa
Wiadomo, że istnieje wówczas funkcja odwrotna
(którą oznaczymy tu
.
:
), ciągła w
przedziale
(lub
— zależnie od tego, czy jest rosnąca czy malejąca).
Pokażemy, że w tym przedziale funkcja też jest różniczkowalna, a przy okazji wyprowadzimy wzór
na pochodną funkcji odwrotnej. Mianowicie mamy
Twierdzenie
Jeśli
tzn.
, to
przy założeniu że
.
Dowód
Przy zadanym
skąd
weźmy
. Mamy więc
. Możemy więc traktować
, mamy
Mamy więc:
, a ponadto dla
, tzn.
jako funkcję . Ze względu na ciągłość funkcji
mamy
, ponieważ funkcja
Przy drugiej równości powyżej korzystaliśmy z faktu, iż dla funkcji ciągłych
, to
,
jest różnowartościowa.
,
mamy: Jeśli
.
CBDO
Uwaga
Twierdzenie powyższe ma ilustrację/interpretację geometryczną. Rozpatrzmy krzywą daną
równaniem
i znaczmy przez
. Poprowadźmy w jakimś punkcie
kąt utworzony przez styczną z osią
(tu
, a przez
) styczną do tej krzywej
— kąt utworzony przez styczną
z osią
. Oczywiście
. Wówczas
czyli
— zgodnie z wzorem (1). Za
pomocą powyższego twierdzenia policzymy pochodne kolejnych funkcji elementarnych.
Twierdzenie
i, ogólniej,
.
Dowód
Weźmy
; wtedy
. Mamy:
ostatnia równość to właśnie
,a
.
W ogólniejszym przypadku
, bierzemy
, a dla funkcji odwrotnej
. Pamiętamy, że
.
CBDO
Twierdzenie
1.
2.
.
Dowód
1. Weźmy
i wtedy
. Mamy:
, (znak pierwiastka to plus, bo
), a ostatnia równość to
2. Rozważania są analogiczne:
znaku, bo
.
,
; jedyna różnica jest w
i dalej jak w a), z wynikiem końcowym
CBDO
Twierdzenie
.
Dowód
Dla
jest
,
; stąd
.
.
Ekstrema funkcji. Twierdzenie Rolle'a
Maksimum i minimum
Niech funkcja
zawierającym
będzie określona w otoczeniu punktu
). Jeśli istnieje takie
, że
(tzn. w jakimś przedziale otwartym,
to mówimy, że funkcja
mamy nierówność:
ma maksimum w punkcie . Jeśli zaś przy analogicznych założeniach
to mówimy, że funkcja
ma minimum w punkcie .
Innymi słowy, w punkcie
, że
występuje maksimum (minimum), jeśli istnieje takie otoczenie
jest największą (najmniejszą) liczbą w zbiorze wartości, jakie funkcja
Jeśli we wzorach (2) i (3) zastąpić znaki
(minimum) właściwym.
(
) przez
(
punktu
przyjmuje na
.
), to mamy do czynienia z maksimum
Przykłady
1. Funkcja
2. funkcja
.
3. funkcja
posiada minimum w punkcie
posiada maksima w punktach
posiada minimum w
;
,
oraz minima w punktach
,
.
Esktrema
Maksima i minima obejmujemy wspólną nazwą ekstremów funkcji . Z pojęciem ekstremum ściśle
jest związane (ale różne) pojęcie kresów wartości funkcji na zbiorze. Ekstrema są pojęciami
lokalnymi: Aby stwierdzić, czy funkcja posiada ekstremum w danym punkcie , wystarczy znać
wartości funkcji w dowolnie małym otoczeniu punktu . Natomiast wyznaczenie kresów zbioru
wartości funkcji na zbiorze
wymaga znajomości funkcji na całym .
Z definicji maksimum wynika natychmiast
Twierdzenie
Jeśli funkcja określona w przedziale
osiąga kres górny w punkcie należącym do wnętrza
tego przedziału (tzn.
), to funkcja posiada maksimum w . (analogicznie dla kresu dolnego
i minimum).
CBDO
Kresy
Jeśli okaże się, że kres górny funkcji jest osiągany w jednym z końców przedziału
(np. w ), to
nie mówimy, iż w tym punkcie funkcja posiada maksimum, ponieważ funkcja nie jest określona w
otoczeniu . Np. funkcja
jednak maksimum.
na zbiorze
posiada kres górny równy 1; nie nazywamy go
Twierdzenie
Jeśli funkcja
jest różniczkowalna w punkcie
i posiada w tym punkcie ekstremum, to
.
Dowód
Załóżmy, że
posiada w punkcie
Weźmy więc takie
maksimum (jeśli minimum, to rozumowanie jest analogiczne).
, aby dla dowolnego
takiego, że
, zachodziła nierówność
. Dzieląc przez , otrzymujemy
dla
dla
Ponieważ z założenia istnieje pochodna
, to
Z poprzednich nierówności wynika jednak, że
. Musi więc być
CBDO
Uwaga
Twierdzenie odwrotne nie zachodzi: Równość
może być spełniona, mimo iż funkcja
posiada ekstremum w . Jest tak np. dla funkcji
w punkcie
nie
.
Punkt krytyczny
Jeśli funkcja jest różniczkowalna w
krytycznym funkcji .
i
, to punkt
nazywamy punktem
Uwaga
Istnienie ekstremum funkcji różniczkowalnej w punkcie
punkcie
jest równoległa do osi
oznacza, że styczna do krzywej
(z możliwością, że się z tą osią pokrywa).
w
Twierdzenie (Rolle'a)
Niech funkcja
będzie ciągła w przedziale domkniętym
przedziału. Jeśli
i różniczkowalna wewnątrz tego
, to istnieje takie , że
oraz
.
Jeżeli funkcja jest ciągła na przedziale
domkniętym [a,b] i f(a)=f(b) to istnieje taki
punkt c, że
dla
Dowód
Jeśli funkcja jest stała, to
będzie spełniona.
Załóżmy więc, że funkcja
przez
. Można wtedy wziąć dowolny
nie jest stała; np. niech przyjmuje wartości większe od
kres górny zbioru wartości funkcji na przedziale
Weierstrassa, istnieje takie
; zatem
i teza tw. Rolle'a
, że
, mamy:
. Przy tym
. To znaczy, że funkcja
. Oznaczając
. Zatem, z tw.
, ponieważ z założenia
osiąga kres górny w punkcjie
położonym
wewnątrz przedziału
. Zgodnie z twierdzeniem niedawno udowodnionym funkcja posiada w
punkcie maksimum, co z kolei implikuje (pamiętając o różniczkowalności wewnątrz przedziału),
że
.
CBDO
Uwaga
Twierdzenie Rolle'a można sformułować w następujący sposób:
Jeśli
, to istnieje takie
przy tych samych założeniach, tzn. funkcja
(lub
.
, jeśli
, że
ma być różniczkowalna wewnątrz przedziału
; nie zakładamy tu, że
lecz jedynie że
) i ciągła w
oraz
Twierdzenie Lagrange'a i Cauchy'ego
Twierdzenie (Lagrange'a)
Załóżmy (podobnie jak w tw. Rolle'a), że funkcja jest ciągła w przedziale
wewnątrz tego przedziału. Zachodzi wówczas wzór
i różniczkowalna
Twierdzenie Lagrange'a
gdzie
oraz
.
Uwaga
Wzór ten nazywany jest też wzorem Lagrange'a na wartość średnią, lub twierdzeniem o przyrostach
skończonych. Widać, że szczególnym przypadkiem (gdy
dowód tw. Lagrange'a można sprowadzić do tw. Rolle'a.
) jest tw. Rolle'a. Okazuje się, że
Dowód
Weźmy mianowicie funkcję
i różniczkowalna w
i ponadto
jest ciągła na
; jej pochodna jest
Ponadto
, zatem
znika w pewnym punkcie między
że
spełnia założenia tw. Rolle'a. Skoro tak, to pochodna
i . Możemy to wypowiedzieć tak, że istnieje takie
czyli zachodzi wzór z tezy tw. Lagrange'a.
,
CBDO
Uwaga
W sposób podobny, jak wzór (4) przy tw. Rolle'a, można tezę tw. Lagrange'a sformułować w
następujący sposób:
Dla funkcji
różniczkowalnej wewnątrz przedziału
jest to przedział
i ciągłej na
) istnieje takie
(to dla
; dla
, że
Wnioski wypływające z twierdzenia Lagrange'a
Z tw. Lagrange'a wypływają dwa wnioski, bardzo ważne dla rachunku całkowego:
Twierdzenie
Jeśli
zachodzi
, to funkcja w tym przedziale jest stała.
Dowód
Na mocy udowodnionego dopiero co wzoru (6), mamy bowiem dla każdego
co oznacza, że
i :
,
const.
CBDO
Twierdzenie
Jeśli
zachodzi
, to
const.
Dowód
Mamy:
, czyli funkcja
mocy dopiero co udowodnionego twierdzenia znaczy to, że
const.
ma pochodną równą zeru. Na
jest stała, tzn.
CBDO
Twierdzenie (Cauchy'ego; (czasem z przydomkiem: O wartości średniej))
Jeśli funkcje
i
są ciągłe na przedziale
, to istnieje takie
, że
i różniczkowalne wewnątrz oraz jeśli
jest
gdzie
.
Przed dowodem
Uwaga
Twierdzenie Lagrange'a otrzymuje się z tw. Cauchy'ego, jeśli podstawić
. Okazuje się, że
także tw. Cauchy'ego wynika z tw. Lagrange'a, ale tu trzeba zaargumentować następująco:
Dowód
Weżmy funkcję
(mianownik
jest różny od zera ze względu na założenie, że wszędzie w przedziale
mamy
i tw. Rolle'a).
Funkcja
spełnia założenia tw. Rolle'a: Jest różniczkowalna i ciągła jak trzeba, oraz
. Pochodna funkcji
zatem (z tw. Rolle'a) istnieje takie
(8), otrzymujemy (7).
jest
, że
. Podstawiając
we wzorze
Analogicznie do sposobu, w jaki tw. Rolle'a i Lagrange'a były wyrażane wzorami (4) i (6), można tw.
Cauchy'ego sformułować tak: Istnieje
takie, że
Uwaga
W powyższym wzorze
jest TO SAMO w liczniku i mianowniku.
Różniczkowanie funkcji złożonych
Niech
niech
,
i
, przy tym funkcja
będą różniczkowalne, a pochodna
pochodną funkcji złożonej
jest określona na zbiorze wartości funkcji
; ponadto
niech będzie ciągła. Następujący wzór wyraża
przez pochodne
i
.
Twierdzenie
tzn.
Dowód
Przy danych i
weźmy
, tzn.
Lagrange'a na wartość średnią w wersji (6) do funkcji ; otrzymamy
. Zastosujmy teraz wzór
dla pewnego
(pamiętajmy, że jest pewną funkcją ). Co stanie się z powyższym
wyrażeniem, gdy weźmiemy jego granicę przy
? Otóż ze względu na ciągłość funkcji , mamy
, a ponieważ
, to również
połączeniu z ciągłością funkcji
. Skoro tak, to
, co — w
— daje
Mamy więc:
Przykłady
1.
na dwa sposoby:
1.
2. (różniczkowanie funkcji złożonej)
2.
3. Udowodnimy teraz anonsowany wcześniej wzór
Dow. Napiszmy
w postaci:
i ze wzoru na pochodną funkcji złożonej
CBDO
Niejednokrotnie trzeba kilkakrotnie zastosować twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej. Mamy np.
pochodną funkcji trzykrotnie złożonej:
Sztuczka mnemoteczniczna
Wzór powyższy można zapamiętać np. w następujący sposób:
Oznaczmy:
,
,
, oraz
. Można wtedy napisać
pamiętając,w jakich punktach są liczone wszystkie pochodne.
W powyższym wzorze pochodne zachowują się jak ułamki. Ale UWAGA! Jest to zbieżność
przypadkowa; inne pochodne (zwł. cząstkowe) już siętak nie zachowują!
Uwaga — wzór na pochodną funkcji odwrotnej
ze wzoru na pochodną funkcji złożonej:
biorąc pochodną:
i
lub
Związek między znakiem pochodnej a monotonicznością
funkcji
Z tw. Lagrange'a wynika następujący związek pomiędzy znakiem pochodnej a tym, czy funkcja
rośnie, czy maleje.
Twierdzenie *
Jeśli
mamy
zachodzi nierówność
, to funkcja
, to funkcja
jest w tym przedziale ściśle rosnąca. Jeśli
jest ściśle malejąca.
Dowód
Ze wzoru (6) mamy, dla
:
jeśli w przedziale
pochodna jest stale
dodatnia, bądź
, jeśli pochodna jest stale ujemna. Czyli funkcja jest ściśle rosnąca w
pierwszym przypadku, a ściśle malejąca w drugim.
CBDO
Uwaga
Jeśli założyć, że zachodzi nierówność nieostra
jest rosnąca (malejąca).
Zachodzi również twierdzenie odwrotne do powyższego:
(
), to w tezie mamy, że funkcja
Twierdzenie
Jeśli funkcja
jest różniczkowalna w punkcie
zawierającym ten punkt, to
i rośnie (maleje) w jakimś przedziale
(odpowiednio
).
Dowód
Jeśli
rośnie, to dla
mamy
i przechodząc do granicy
Jeśli funkcja
otrzymujemy
.
maleje, to rozumowanie jest analogiczne.
CBDO
Z tw. *(https://brain.fuw.edu.pl/edu/Matematyka:Pochodne1#Twierdzenie_.2A) wynika
Twierdzenie (wynikające z tw. *)
Jeśli
i pochodna
otoczeniu punktu .
jest ciągła w punkcie , to funkcja
Analogicznie: Jeśli
i pochodna
w pewnym otoczeniu punktu .
jest ściśle rosnąca w pewnym
jest ciągła w punkcie ,to funkcja
jest ściśle malejąca
Dowód
Ponieważ funkcja
jest ciągła w , to nierówność
mówi, że w pewnym otoczeniu
punktu funkcja
jest dodatnia:
. Znaczy to, że pochodna jest
dodatnia
. Na mocy
https://brain.fuw.edu.pl/edu/Matematyka:Pochodne1#Twierdzenie_.2A, funkcja jest rosnąca w tym
przedziale.
CBDO
Uwaga
Powyższe twierdzenie można przeformułować w następujący sposób:
1. Jeśli
, to (przy założeniu ciągłości pochodnej) funkcja
pewnym otoczeniu punktu , tzn. dla
tym przedziale funkcję odwrotną
dokładnie jedno rozwiązanie..
(
jest różnowartościowa w
). Skoro tak, to funkcja
, czyli równanie:
posiada w
posiada w tym przedziale
2. Jak wiemy, pochodna tejże funkcji odwrotnej
3. Powyższe fakty: Przy założeniu
jest odwrotnością pochodnej funkcji
istnieje w otoczeniu punktu
.
funkcja odwrotna,
lub że równanie:
ma dokładnie jedno rozwiązanie w otoczeniu punktu — przenoszą
się na wyższe wymiary, tzn. zachodzą dla odwzorowań
. Oczywiście konieczne jest
stosowne uogólnienie pojęć. Będzie o tym mowa w semestrze II.
Wyrażenia nieoznaczone i reguła de l'Hospitala
Często zdarza się konieczność obliczania granic postaci następującej:
Wyrażenia tego rodzaju noszą nazwę wyrażeń
nieoznaczonych typu .
Twierdzenie
Jeśli funkcje
i
są ciągłe w przedziale domkniętym
przedziału i jeśli
i są różniczkowalne wewnątrz tego
, to
przy założeniu, że ta ostatnia granica istnieje.
Dowód
Kluczem do dowodu jest twierdzenie Cauchy'ego o wartości średniej.
Oznaczmy:
. Należy dowieść, że
Ale: Równości:
i wzór Cauchy'ego (7) dają:
dla pewnego
.
Oznaczmy
. Z założenia
Ponieważ zaś
, to też
równe
; mamy więc
istnieje.
i, co za tym idzie,
też istnieje i jest
skąd otrzymujemy wzór (de l'Hospitala).
CBDO
Analogiczne twierdzenie mamy w przypadku granicy lewostronnej.
Wzór de l'Hospitala
W przypadku, gdy pochodne i są ciągłe w punkcie , a ponadto
, ze wzoru (10) (plus
jego odpowiednika dla granicy lewostronnej) natychmiast wynika wzór de l'Hospitala:
Uwaga
Po prawej stronie powyższego wzoru nie ma granicy!
Analogiczne wzory mamy w przypadku granic jednostronnych i pochodnych jednostronnych.
Przykład
Uwaga
Jeśli zdarzy się, że po prawej stronie wyrażenia (12) mamy
, to tegoż wzoru nie
daje się stosować. Ale można postępować rekurencyjnie! tzn. badać wyższe pochodne.
Uwaga
Powyższe twierdzenia dotyczyły wyrażeń typu . Przez sztuczki z zamianą zmiennych i inne, można
też liczyć inne wyrażenia nieoznaczone:
;
;
;
;
.