10. Własność Darboux. - Agnieszka Natorska

§ 10. Własność Darboux.
W analizie matematycznej dużą rolę odgrywa własność Darboux. Jest ona
stosowana w dowodach twierdzeń i przy rozwiązywaniu zadań dlatego teraz ją
przypomnimy i przeprowadzimy dowód (zob. [7], str. 82).
Twierdzenie 2.11 ( Własność Darboux). Funkcja ciągła w przedziale
domkniętym a Λ
xΛ
b przechodzi od jednej wartości do drugiej przez wszystkie
wartości pośrednie. Znaczy to, że jeśli y jest liczbą pośrednią pomiędzy f (a )
i f (b) (tj. bądź f (a) <
y<
f (b), bądź f (b) <
y<
f (a)), to istnieje takie
c w przedziale [a, b], że ƒ(c)=y.
Dowód tego twierdzenia przeprowadzimy w oparciu o regułę (1.12).
Przyjmijmy więc następujące oznaczenia.
Niech α będzie zdaniem:
Y jest liczbą pośrednią pomiędzy f (a ) i f (b ) (tj. bądź f (a ) <
y<
f (b ) , bądź
f ( b) <
y<
f (a) ).
β niech będzie zdaniem:
Istnieje c w przedziale [a, b] , że f (c ) =
y.
Dowód:
Twierdzenie udowodnimy przez sprowadzenie do niedorzeczności.
Przypuśćmy, że zachodzi α i nie zachodzi β. Z założenia mamy, że
f (a ) <
y<
f (b) (dla f (b) <
y<
f (a ) rozumowanie jest podobne). Zaprzeczając
tezę otrzymujemy, że y −
f ( x) 1
0 dla każdego x ∈
[a , b]. Z twierdzenia 2.10
(Weierstrassa) mamy, że funkcji h(x) określona wzorem:
1
h( x ) =
y−
f ( x)
jest ograniczona.
1
Niech M >
h(x), a więc M >
, stąd
y−
f (x )
1
y−
f ( x) =
.
M
(2.10)
1
Weźmy teraz ε
=
. Z twierdzenia 2.8 wynika, że istnieje takie δ>0, że jeżeli x, x '
M
należą do przedziału, którego długość jest mniejsza od δ, to:
1
f (x ) −
f ( x ') <
.
M
b−
a
Oznaczmy przez n liczbę naturalną taką, że
<
δ. Podzielmy przedział [a , b ]
n
na n równych odcinków tak jak w dowodzie twierdzenia 2.10. Niech a0 , a1 ,..., a n
oznaczają kolejne końce tych przedziałów. Wówczas dochodzimy do wniosku, że:
1
f (a k ) −
f (a k −
dla k =
1, 2,..., n.
(2.11)
1) <
M
Ponieważ f (a0 ) <
y<
f (a n ), wiec wśród liczb 1,2,...,n znajdziemy taką mniejszą
liczbę m >
0, że y <
f (a m ). Oprócz tego mamy:
1
f ( a m−
y<
f (am ), skąd 0 <
y−
f ( a m−
f (a m ) −
f ( a m−
1) <
1) <
1) <
M
ze wzoru (2.11), a to jest jednak sprzeczne z (2.10).
Przypuszczając, że twierdzenie jest fałszywe doszliśmy do sprzeczności,
a więc twierdzenie 2.11 jest prawdziwe.
Twierdzenie zostało w ten sposób udowodnione.
-