Polioptymalizacja powłok przeciwzużyciowych TiAlN i TiN

PAK vol. 57, nr 09/2011

2
Łukasz SZPARAGA, Jerzy RATAJSKI
POLITECHNIKA KOSZALIŃSKA
Polioptymalizacja powłok przeciwzużyciowych TiAlN i TiN nakładanych metodą PVD na narzędzia do obróbki drewna
Mgr Łukasz SZPARAGA
Asystent w Zakładzie Projektowania Materiałów
i Procesów Instytutu Mechatroniki, Nanotechnologii
i Techniki Próżniowej Politechniki Koszalińskiej.
Zainteresowania badawcze i naukowe związane są
z fizyką matematyczną, teorią systemów oraz
z modelowaniem matematycznym i optymalizacją
procesów ciągłych.
e-mail: [email protected]
Prof. dr hab. Jerzy RATAJSKI
Profesor nadzwyczajny w Instytucie Mechatroniki,
Nanotechnologii i Techniki Próżniowej Politechniki
Koszalińskiej. Prowadzi prace badawcze z dziedziny
inżynierii powierzchni: obróbki cieplno-chemicznej,
technik próżniowo-plazmowych a także modelowania
procesów technologicznych i systemów ekspertowych.
Pełni funkcję dyrektora Instytutu Mechatroniki,
Nanotechnologii i Techniki Próżniowej. Dorobek
naukowy obejmuje ok. 80 publikacji. Kierował
wieloma projektami badawczymi.
e-mail: [email protected]
Streszczenie
W pracy opisana została procedura polioptymalizacyjna wspomagająca
proces prototypowania powłok przeciwzużyciowych, opartych na związkach tytanu TiN i TiAlN, nakładanych na narzędzia do obróbki drewna
metodą PVD. Celem pracy jest określenie optymalnych grubości nakładanych powłok ze względu na stan naprężeń termicznych. Model fizyczny
obiektu (warstwy + podłoże) opisujący stan naprężeń i odkształceń termicznych występujących w warstwach po procesie nakładania, został
stworzony z wykorzystaniem MES. Zaproponowana została również
metoda analizy zbioru rozwiązań otrzymanych na podstawie przyjętych
kryteriów, bazująca na wielowymiarowych metrykach euklidesowych.
Słowa kluczowe: naprężenia termiczne, MES, polioptymalizacja, PVD
Polioptimization of antiwear TiAlN and TiN
coatings, deposited by PVD techniques on
tools for wood machining
Abstract
In this paper polioptimization procedure, which assists in the architecture
designing process of antiwear coatings, based on TiN and TiAlN deposited
by PVD techniques, on tools for wood machining, was described. The goal
of this paper is to determine, the optimal layer thickness of deposited
coatings, in respect of thermal strain and stresses. For physical modelling
purposes Cr, TiN and TiAlN layers were treated as a continuous medium,
so the physical phenomena, occurring in the coating, are modelled basing
on a classical theory of stiffness. Occurrence of intermediate layer, between TiAlN and TiN strips, was proposed, which produce continuous
change of physical-chemical properties, through the coating thickness.
Material’s parameters change, in transition layer between TiAlN and TiN,
was modelled using sigmoidal transition function. Computer model of the
object (coating + substrate) describing strains and thermal stresses states in
layers, after deposition process, was created using FEM. Set of dominated
and non-dominated solutions, for considered multi criteria optimization
problem, is shown in fig. 6. Also a method of optimal solutions set analysis basing on multidimensional, Euclidean metric was proposed. Functional dependence of distance values between the points from the criteria space
which are the acceptable solutions and the beginning of coordinate system
as a function of decision variables (layer thickness) is shown in fig. 7. In
tab. 2 four examples of optimal solution sets with values of tested criteria
are presented.
Keywords: thermal stresses, FEM, polioptimization, PVD
1. Wstęp teoretyczny
Proces projektowania i optymalizacji architektury powłok przeciwzużyciowych na narzędzia do obróbki drewna, jest obecnie
tematem zainteresowań wielu ośrodków badawczych i przemysłowych [1-4]. Szczególne zainteresowanie dotyczy procesów
nakładania powłok metodą PVD. Badania są ukierunkowane na
powłoki wielowarstwowe, które mogą być bardzo efektywne
z punktu widzenia dalszego zwiększenia odporności na kruche
pękanie, twardość i adhezję. Istotnym wsparciem w tym zakresie
jest stosowana szeroko metoda elementów skończonych (MES),
głównie do badania mechanicznych uszkodzeń w pojedynczych,
podwójnych i wielowarstwowych powłokach. Istnieje szereg
publikacji dotyczących technologicznych jak i teoretycznych
aspektów nanoszenia powłok przeciwzużyciowych [5-8], niemniej
jednak do tej pory zrealizowano tylko nieliczne prace dotyczące
prognozowania optymalnej architektury powłoki charakteryzującej się wzrostem funkcjonalności. W pracy zaprezentowano procedurę polioptymalizacyjną umożliwiającą wyznaczenie optymalnej grubości warstw TiN i TiAlN, stanowiących składniki wielowarstwowej powłoki, na podstawie stanu naprężeń termicznych
powstających po procesie nanoszenia warstw. Dodatkowo
w procedurze optymalizacyjnej uwzględniono obecność metalicznej warstwy Cr między podłożem a powłoką, powodującej
znaczną redukcję naprężeń. Zaproponowana procedura wykorzystuje model fizyczny warstw bazujący na MES [9, 10].
Model fizyczny
Obiektem modelowania są powłoki przeciwzużyciowe składające się z warstw TiN i TiAlN oraz warstwy Cr nakładane na
podłoże ze stali szybkotnącej (HSS). Schemat modelowanego
obiektu zamieszczono na rys. 1. Celem modelowania jest określenie pól odkształceń i naprężeń termicznych występujących
w warstwach po procesie nanoszenia metodą PVD. Przy budowie
modelu przyjęto następujące założenia dotyczące obiektu:
1. Warstwy Cr, TiN i TiAlN są ośrodkami ciągłymi.
2. Podłoże wraz z powłoką wielowarstwową stanowią ciała idealnie sprężyste.
2. Występuje idealna adhezja pomiędzy podłożem a warstwą
chromu oraz idealna kohezja pomiędzy warstwami powłoki.
3. Występuje ciągła zmiana parametrów materiałowych (moduł
Younga, współczynnik Poissona, współczynnik rozszerzalności
termicznej, gęstość) pomiędzy warstwami powłoki.
4. Studzenie warstw po procesie odbywa się wyłącznie poprzez
promieniowanie.
5. Ze względu na symetrię obiektu rozważany jest płaski stan
odkształceń i przestrzenny stan naprężeń.
Model matematyczny
Stan naprężeń definiowany jest za pomocą symetrycznego tensora drugiego rzędu w ogólności o sześciu różnych składowych
[11, 12]. Można zatem sprowadzić ten tensor do 6-składnikowego
wektora postaci:
   x  y  z  xy  yz  xz T ,
(1)
gdzie: σx, σy, σz – naprężenia normalne odpowiednio wzdłuż osi
x, y, z. σxy, σyz, σxz – naprężenia styczne odpowiednio wzdłuż
płaszczyzn xy, yz,xz.
Do wektora 6-składnikowego można również sprowadzić tensor
opisujący stan odkształceń. Postać tego wektora jest analogiczna
do postaci wektora (1), to jest:
   x  y  z  xy  yz  xz T ,
(2)
PAK vol. 57, nr 09/2011

gdzie: εx, εy, εz – odkształcenia liniowe odpowiednio wzdłuż osi
x,y,z. εxy, εyz, εxz – odkształcenia postaciowe.
Odkształcenia termiczne określa wektor postaci:
 th  T  x  y  z 0 0 0T ,
3
11
x 10
4.4
beta=5
4.3
(3)
  D th ,
(4)
gdzie: D – macierz sztywności w której, w skład której wchodzą
moduły Younga i Kirchhoffa oraz współczynniki Poissona. Jej
jawną postać można znaleźć w literaturze [11, 12].
Model komputerowy
Model komputerowy analizowanego obiektu został zaimplementowany w środowisku Comsol Multiphysics. Schemat obiektu
wraz z wymiarami, utwierdzeniami i z naniesioną siatką dyskretyzacji przedstawia rys. 1.
4.2
Moduł Younga [Pa]
gdzie: αx, αy, αz – współczynniki rozszerzalności termicznej,
odpowiednio wzdłuż osi x,y,z. ΔT=T-Tref – przyrost temperatury,
Tref – temperatura odniesienia. Uogólnione prawo Hooke’a jest
postaci:
4.1
4
3.9
TiAlN
TiN
TiAlN+TiN
3.8
-2
-1.5
-1
-0.5
0
X [m]
0.5
1
1.5
2
-7
x 10
Przebieg funkcji przejścia zmian wartości modułów Younga pomiędzy
modelowanymi warstwami powłoki
Function course of Young’s modulus values transition, between modelled
layers inside of the coating
Rys. 2.
Fig. 2.
2. Procedura optymalizacyjna
Celem procedury polioptymalizacyjnej jest określenie grubości
warstw TiAlN i TiN spełniających trzy kryteria decyzyjne przy
założeniu, że zbiór dopuszczalnych zmiennych decyzyjnych jest
postaci:
(6)
D  d1  d 2  [0,2; 3]m  [0,2; 3]m
Rys. 1.
Fig. 1.
Schemat modelowanego obiektu z nałożoną siatką dyskretyzacji
The scheme of a modelled object with a plot of discretization net
Stałe wymiary obiektu wynoszą odpowiednio d3=0,5um,
d4=15um i d5=15um Zmiennymi decyzyjnymi w modelu są wartości grubości warstw d1 i d2, a ich zakresy wynoszą odpowiednio:
d1 [0,2; 3]m, d 2 [0,2; 3]m
Pozostałe wartości wielkości fizycznych użytych do symulacji
numerycznych przedstawia tab. 1.
Pierwsze kryterium decyzyjne K1 jest wartością średniej bezwzględnej odchyłki naprężeń Hubera-von Misesa wzdłuż prostej
porównawczej Y1 od ustalonej wartości referencyjnej naprężeń
wewnątrz podłoża. Kryterium decyzyjne K1 dane jest wzorem:
1 n
(7)
K1    vm   ref
n i 1
gdzie: n jest ilością punktów węzłowych znajdujących się na
prostej Y1, σvm jest wartością naprężeń Hubera von Misesa wzdłuż
prostej porównawczej Y1, a σref wartością referencyjną naprężeń
wewnątrz podłoża. Dla ustalonego zbioru rozwiązań decyzyjnych
D (6) przebieg zmiany wartości kryterium K1 w funkcji zmiennych decyzyjnych d1 i d2 przedstawia rys. 3.
8
x 10
8
6
x 10
8
5
Stałe materiałowe użyte do symulacji
Material constants used for simulation
6
Materiał
Moduł Younga
[Pa]
Wsp. rozszerzalności
termicznej [1/K]
Wsp.
Poissona
Gęstość
[kg/m3]
1
3,8 1011
6,5 10-6
0,23
4700
2
4,4 1011
9,4 10-6
0,26
5200
3
2,5 10
11
-6
0,21
7150
4
2,1 1011
1,2 10-6
0,30
7860
6,2 10
K1 [Pa]
Tab. 1.
Tab. 1.
4
4
2
3
0
0
3
1
2
-6
1
0
x 10
Zmiana parametrów materiałowych warstwy przejściowej pomiędzy TiAlN a TiN została zamodelowana przy użyciu sigmoidalnej funkcji przejścia. Jawna postać tej funkcji dla zmiany
wartości modułów Younga dana jest wzorem:
1
,
(5)
E x   E1  E2  E1  
1  exp  107 x 
Graficzną postać funkcji (5) ilustruje rys. 2. Funkcja E(x) zapewnia ciągłą i symetryczną zmianę parametrów materiałowych
wzdłuż osi x, natomiast wzdłuż osi y wartości parametrów materiałowych dla ustalonej współrzędnej x nie ulegają zmianie.
W analogiczny sposób założono zmianę pozostałych wartości
para-metrów materiałowych takich jak współczynnik Poissona,
współ-czynnik rozszerzalności termicznej i gęstość warstw.
3
2
d2 [m]
d1 [m]
Rys. 3.
Fig. 3.
-6
x 10
2
Zależność funkcyjna kryterium K1 w funkcji zmiennych d1 i d2.
Criterion K1 dependence as a function of variables d1 and d2
Drugim kryterium decyzyjnym K2 jest wartość minimalnych
naprężeń σy wzdłuż prostej porównawczej X1. Minimalna wartość
naprężeń σy jest wielkością ujemną stąd minimalna wartość naprężeń oznacza maksymalną wartość bezwzględną naprężeń ściskających. To kryterium decyzyjne K2 dane jest wzorem:
(8)
K 2  min  y x  d
2
Dla ustalonego zbioru rozwiązań decyzyjnych D (6) przebieg
zmiany wartości kryterium K2 w funkcji zmiennych decyzyjnych
d1 i d2 przedstawia rys. 4.

4
Zadanie polioptymalizacyjne polega na określeniu zbioru rozwiązań w zbiorze D dla jednoczesnej minimalizacji wartości
wszystkich kryteriów decyzyjnych tj.
8
x 10
-4
8
-4.5
x 10
(10)
K1( n )  min K 2( n)  min K 3( n)  min
Dla ułatwienia rozwiązania tego zadania kryteria decyzyjne zostały przeskalowane do zmiennych bezwymiarowych i unormowane w następujący sposób:
Ki  Kimin
Ki( n )  max
; i  1,2,3; Ki( n )  0 1
(11)
Ki  Kimin
Kimin i Kimax oznaczają odpowiednio najmniejszą i największą
wartość kryteriów dla analizowanego zbioru zmiennych decyzyjnych D. W dalszej części pracy używać będziemy wyłącznie
unormowanych kryteriów decyzyjnych opuszczając górny indeks
(n) przy K. W następnym kroku wprowadzono relację dominacji
pomiędzy dwoma, dowolnymi wektorami zmiennych decyzyjnych
[13, 14] d=[d1, d2] i d'=[d1' d2'] należącymi do zbioru D postaci:
-5
-2
K2 [Pa]
-5.5
-4
3
-6
-6
2
2.5
2
-6
x 10
Rys. 4.
Fig. 4.
1.5
1
0.5
d2 [m]
-7
d1 [m]
0
0
 
-6.5
-6
x 10
1
-8
3
-7.5
Zależność funkcyjna kryterium K2 w funkcji zmiennych d1 i d2
Criterion K2 dependence as a function of variables d1 and d2
Trzecim kryterium decyzyjnym K3 jest wartość minimalnych
naprężeń σy wzdłuż prostej porównawczej X2. Kryterium decyzyjne K3 dane jest wzorem:
(9)
K3  min  y x0

 
8
x 10
8
x 10
2
5
K3 [Pa]
1
0
0
-1
-5
-2
-3
-10
3
3
2
1
x 10
1
0
d2 [m]
0
-6
d1 [m]
Zależność funkcyjna kryterium K3 w funkcji zmiennych d1 i d2
Criterion K3 dependence as a function of variables d1 and d2


 
 
1
0.8
0.8
0.6
0.6
zbiór rozwiązań zdominowanych
zbiór rozwiązań Pareto-optymalnych
K3
1
K3
 
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0
1
0
0.2
0.4
K2
0.6
0.8
1
K1
1
0.9
0.7
1
0.6
0.8
0.5
0.6
K3
K1
0.8
0.4
0.3
0.4
0.2
0.2
0
1
0
0
0.1
0.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.5
K2
1
K1
Rys. 6.
Fig. 6.

2
2
2
(14)
d K0 K  K1( n)  K 2( n )  K3( n )
gdzie K0=(0, 0, 0) jest początkiem układu współrzędnych. Otrzymana zależność funkcyjna wartości odległości pomiędzy punktami
z przestrzeni kryteriów K=(K1, K2, K3) będącymi rozwiązaniami
dopuszczalnymi, a początkiem układu współrzędnych K0=(0, 0, 0)
przedstawiona jest na rys. 7. W tab. 2 zamieszczono cztery przy-
-5
-6
x 10

-4
2
-6

d  d '  d  d ' C C  a1 ; a2   R 2 : a1 , a2  0 (12)
Jeśli przyjmiemy, że K=[K1, K2, K3] będzie dowolnym wektorem
w przestrzeni kryteriów decyzyjnych, wtedy rozwiązanie d* nazywamy optymalnym w sensie Pareto, jeżeli dla każdego rozwiązania dopuszczalnego d prawdziwa jest implikacja:
(13)
K d *  K d   K d *  K d 
Zbiór wszystkich możliwych rozwiązań optymalnych w sensie
Pareto, nazywamy również zbiorem rozwiązań niezdominowanych (Pareto optymalnych). Zbiór wszystkich rozwiązań dopuszczalnych dla rozważanego zadania polioptymalizacyjnego przedstawia rys. 6. W celu analizy zbioru rozwiązań niezdominowanych
wprowadzamy w przestrzeni unormowanych kryteriów decyzyjnych metrykę euklidesową postaci:
Dla ustalonego zbioru rozwiązań decyzyjnych D (6) przebieg
zmiany wartości kryterium K3 w funkcji zmiennych decyzyjnych
d1 i d2 przedstawia rys. 5.
Rys. 5.
Fig. 5.
PAK vol. 57, nr 09/2011
Zbiory rozwiązań zdominowanych i Pareto-optymalnych
Dominated and Pareto-optimal solution sets
0
K2
PAK vol. 57, nr 09/2011

kładowe zestawy rozwiązań d1 i d2 wraz z wartościami badanych
kryteriów.
Przykładowe zestawy rozwiązań Pareto- optymalnych
Examples of Pareto-optimal solution sets
Tab. 2.
Tab. 2.
Zestaw
K1
K2
K3
d1 [µm]
d2 [µm]
(a)
0,0000
0,7000
0,9622
0,2000
3,0000
(b)
0,9377
0,0000
0,1934
2,9125
0,4625
(c)
0,9066
0,3342
0,0000
0,2000
0,2000
(d)
0,4369
0,2971
0,3376
0,2000
0,8125
Zestaw rozwiązań (a) zapewnia uzyskanie minimalnej wartości
kryterium K1, natomiast zestawy rozwiązań (b) i (c) spełniają
założenie dotyczące minimalizacji kryteriów K2 i K3. Najbardziej
uniwersalnym jest zestaw rozwiązań (d) gwarantujący minimalizację wartości metryki (14) (punkt ten jest wyróżniony na rys. 7).
Zestaw ten jest kompromisem pomiędzy minimalizacją kryteriów
i minimalizacją różnic pomiędzy wartościami kryteriów.
zbiór rozwiązań Pareto-optymalnych
rozwiązanie (d)
zbiór rozwiązań zdominowanych
1.4
1.3
1.2
Odległość [-]
1.1
1
0.9
0.8
0.7
5
3. Podsumowanie
W pracy opisana została procedura polioptymalizacyjna umożliwiająca wspomaganie procesu prototypowania powłok wielowarstwowych, na podstawie stanu naprężeń w poszczególnych
warstwach powłoki. Zadaniem procedury polioptymalizacyjnej
było wyznaczenie optymalnych grubości warstw TiAlN i TiN ze
względu na przyjęte kryteria decyzyjne. Uzyskany zbiór rozwiązań Pareto-optymalych przedstawiony jest na rys. 6. Analiza
zbioru optymalnych rozwiązań jest zadaniem wysoce skomplikowanym i niejednoznacznym. W celu analizy tego zbioru zaproponowano wykorzystanie metryki euklidesowej w przestrzeni znormalizowanych, bezwymiarowych kryteriów decyzyjnych. Otrzymana zależność funkcyjna wartości odległości pomiędzy punktami
z przestrzeni kryteriów K=(K1, K2, K3) będącymi rozwiązaniami
dopuszczalnymi, a początkiem układu współrzędnych K0=(0, 0, 0)
przedstawiona jest na rys. 7. Punkt z przestrzeni K=(K1, K2, K3),
dla którego odległość dana wzorem (14) jest minimalna odpowiada zestawowi zmiennych decyzyjnych (d) z tab.2. Można zatem
uważać, że rozwiązanie typu (d) (tab.2) jest to najlepsze rozwiązanie wybrane ze wszystkich rozwiązań optymalnych, ze względu
na zaproponowaną procedurę analizy zbioru rozwiązań, polegającą na minimalizacji odległości danej wzorem (14). Oczywiście
istnieje nieskończenie wiele możliwych metod analizy zbioru
rozwiązań optymalnych. Dla różnych procedur wyboru rozwiązania, z otrzymanego zbioru rozwiązań optymalnych z pewnością
otrzymamy inne wyniki i każdy z nich będzie poprawny. Nie
istnieje bowiem jedna uniwersalna procedura wyboru.
Badania współfinansowane ze środków Europejskiego Funduszu Rozwoju Regionalnego w ramach Programu Operacyjnego Innowacyjna Gospodarka 2007-2013, Działanie 1.3.
3
4. Literatura
2
-6
x 10
1
d2 [m]
0
0
0.5
1.5
1
Fig. 7.
3
2.5
-6
d1 [m]
Rys. 7.
2
x 10
Zależność funkcyjna wartości odległości pomiędzy punktami z przestrzeni
kryteriów K=(K1, K2, K3) będących rozwiązaniami dopuszczalnymi, a początkiem układu współrzędnych K0=(0, 0, 0) w funkcji zmiennych decyzyjnych d1 i d2
Functional dependence of distance values between the points from the
criteria space K=(K1, K2, K3) which are the acceptable solutions and the beginning of coordinate system K0=(0, 0, 0) as a function of decision variables d1 i d2.
Dla zestawu rozwiązań z tab. 2, na rys. 8 przedstawiono zależności funkcyjne wartości naprężeń Hubera-von Misesa od zmiennej
przestrzennej x wzdłuż prostej porównawczej Y1
Rys. 8.
Fig. 8.
Zależność funkcyjna wartości naprężeń Hubera-von Misesa w funkcji
zmiennej przestrzennej x wzdłuż prostej porównawczej Y1
Functional dependence of values of Huber-von Mises stresses as a function
of x variable along Y1 comparative straight line
[1] Szparaga Ł., Ratajski J., Olik R.: Modelowanie i symulacja numeryczna stanu naprężeń i odkształceń w warstwie wierzchniej noża
strugarki do obróbki drewna pokrytego powłoką przeciwzużyciową.
Inżynieria Materiałowa 176 (2010) 1249-1254.
[2] L. A. Dobrzański, A. Śliwa, W. Kwaśny: Employment of the finite
element method for determining stresses in coatings obtained on
high-speed steel with the PVD process. Journal of Materials
Processing Technology 164-165 (2005) 1192-1196.
[3] Valle R., Leveque D., Parlier M.: Optimizing substrate and intermediate layers geometry to reduce internal thermal stresses and prevent
surface crack formation in 2-D multilayered ceramic coatings Journal
of the European Ceramic Society 28 (2008) 711-716.
[4] R. K. Lakkaraju, F. Bobaru, S. L. Rohde: Optimization of multilayer
wear-resistant thin films using finite element analysis on stiff and
compliant substrates. Journal of Vacuum Science & Technology A:
Vacuum, Surfaces, and Films 24 (2006) 146-155.
[5] A. Śliwa, J. Mikuła, L.A. Dobrzański, FEM application for modelling
of PVD coatings properties, Journal of Achievements in Materials
and Manufacturing Engineering 41/1-2 (2010) 164-171.
[6] A. Śliwa, L.A. Dobrzański, W. Kwaśny, W. Sitek, Finite Element
Method application for modeling of PVD coatings properties, Journal
of Achievements in Materials and Manufacturing Engineering, 27/2
(2008), 171-174
[7] A. Śliwa L.A. Dobrzański, W. Kwaśny, M. Staszuk, Simulation of
the microhardness and internal stresses measurement of PVD coatings by use of FEM, Journal of Achievements in Materials and Manufacturing Engineering 43/2 (2010) 684-691
[8] Zhong D., Mustoe G.G.W., Moore J.J., Disam J.: Finite element
analysis of a coating architecture for glass-molding dies. Surface and
Coatings Technology 146-147 (2001) 312-317.
[9] Glowinski R., Rodin E.Y., Zienkiewicz O.C.: Energy Methods in
Finite Element Analysis. Wiley, New York (1979).
[10] Kleiber M.: Wprowadzenie do metody elementów skończonych.
PWN, Warszawa 1989.
[11] Bąk R., Burczyński T.: Wytrzymałość materiałów z elementami
ujęcia komputerowego. WNT, Warszawa (2001).
[12] Sawicki A.: Mechanika kontinuum. IBW PAN, Gdańsk (1994).
[13] W. Tarnowski: Symulacja i optymalizacja w Matlab'ie. Wydawnictwo Fundacja WSM Gdynia, 2001r.
[14] J. Kusiak, A. Danielewska-Tułecka, P. Oprocha: Optymalizacja.
PWN, Warszawa 2009.
6

PAK vol. 57, nr 09/2011