wersja do druku (plik PDF)

a2
016
sty
czn
i
Notatki do wykładu
na
20
Geometria Algebraiczna II
We
rsja
ws
tęp
Instytut Matematyki
Uniwersytetu Jagiellońskiego
semestr zimowy 2015/16
Sławomir Cynk
Instytut Matematyki
Uniwersytetu Jagiellońskiego
e-mail: [email protected]
http://sc.im.uj.edu.pl/alggeom
Rozmaitości algebraiczne
sty
czn
i
1. Snopy
a2
016
ROZDZIAŁ I
k
Definicja I.1. Presnopem grup abelowych (pierścieni, –algebr, . . . ) na przestrzeni topologicznej X nazywamy przyporządkowanie F każdemu zbiorowi otwartemu U w X grupy abelowej (pierścienia, –algebr, . . . ) F(U ), przy czym
spełnione są następujące aksjomaty:
k
V
istnieje
homomorfizm
“zawężenia”
20
(PA1) F(∅) = 0,
(PA2) dla dowolnej pary zbiorów otwartych U
⊃
ρU,V : F(U ) −−−−→ F(V ), przy czym
(i) ρU,U = idF(U ) ,
(ii) jeśli U ⊃ V ⊃ W są otwarte, to ρV,W ◦ ρU,V = ρU,W .
Jeśli ponadto spełnione są warunki
We
rsja
ws
tęp
to presnop F nazywamy snopem.
na
S
(S1) jeśli {Ui }i∈I są niepustymi zbiorami otwartymi w X, U = i∈I Ui oraz s ∈ U jest taki, że ρU,Ui (s) = 0
dla każdego i ∈ I, to s = 0,
S
(S2) jeśli {Ui }i∈I są niepustymi zbiorami otwartymi w X, U = i∈I Ui oraz si ∈ Ui są takie, ze ρUi ,Ui ∩Uj (si ) =
ρUj ,Ui ∩Uj (sj dla każdych i, j ∈ I, to istnieje s ∈ F(U ) o własności si = ρU,Ui (s) dla każdego i ∈ I,
Uwaga. Zauważmy, że warunek (S1) oznacza, że w warunku (S2) istnieje co najwyżej jeden element s.
Definicja I.2. Morfizmem Φ : F −−−−→ G presnopów na X nazywamy przyporządkowanie każdemu zbiorowi otwartemu U w X homomorfizmu (stosownych struktur algebraicznych) Φ(U ) : F(U ) −−−−→ G(U ) w taki sposób, że jeśli
U ⊃ V są otwarte, to ρU,V ◦ Φ(U ) = Φ(V ) ◦ ρU,V .
Przypuśćmy, że F jest presnopem na X oraz U ⊂ X zbiorem otwartym. Wtedy F indukuje w oczywisty sposób
presnop na U , oznaczany zwykle F|U (w przypadku gdy F jest snopem, jest to również snop). Gdy x ∈ X, zbiór
{U ∈ topX|x ∈ U } z częściowym porządkiem danym przez odwrotną inkluzję (to znaczy U < V ⇔ U ⊃ V ) jest
skierowany. Granicę prostą
Fx := lim F(U )
−−→
nazywamy włóknem F nad x ∈ X. Morfizmy występujące w definicji powyższej granicy prostej oznaczamy zwykle
ρx : F(U ) −−−−→ Fx , gdy x ∈ U (i takie ρx nazywamy homomorfizmem zawężenia F(U ) do włókna Fx ).
Najprostszym przykładem presnopa, który nie jest snopem jest presnop funkcji stałych na przestrzeni niespójnej, ten
presnop możemy łatwo poprawić zastępując go snopem funkcji lokalnie stałych. Innym przykładem presnopa, który
nie jest snopem jest presnop S taki, że S(X) = oraz S(U ) = 0 dla U $ X. W obu przypadkach problemy wynikają
z braku lokalności definicji.
Z
Niech F będzie dowolnym presnopem na X, dla zbioru otwartego U ⊂ X definiujemy F+ (U ) jako zbiór funkcji s z
S
U do x∈U Fx spełniających warunki
1
1. Snopy
2
a2
016
1. dla dowolnego x ∈ U zachodzi s(x) ∈ Fx
2. dla dowolnego x ∈ U istnieje otoczenie V ⊂ U punktu x oraz element t ∈ F(V ) t.że dla dowolnego y ∈ V
zachodzi równośc ty = s(y).
Dla podzbiorów V ⊂ U ⊂ X odwzorowanie restrykcji F+ (U ) −−−−→ F+ (V ) jest zadane przez zwykłe zacieśnienei
funkcji.
Propozycja I.1. Presnop F+ jest snopem, istnieje morfizm θ : F −−−−→ F+ taki, że dla dowolnego snopa G na X i
morfizmu φ : F −−−−→ G istnieje jedyny morfizm ψ : F+ −−−−→ G taki, że φ = ψ ◦ θ.
sty
czn
i
Dla dowolnego punktu x ∈ X włókna Fx oraz Fx+ są izomorficzne.
Ponadto para F+ , θ jest jedyna z dokładnością do jedynego izomorfizmu.
Jeśli F jest snopem to θ zadaje izomorfizm F oraz F+ .
Dowód. Pierwsza część (własność uniwersalna F+ , θ) jest prostą konsekwencją lokalności konstrukcji. Pozostałe
stwierdzenia są formalna konsekwencją własności uniwersalnej.
Definicja I.3. Snop F+ nazywamy snopem stowarzyszonym z presnopem F.
20
Definicja I.4. Podsnopem snopa F nazywamy snop G taki, że dla dowolnego podzbioru otwartego U ⊂ X G(U ) jest
podgrupą S(U ) a ponadto operacje zacieśnienia dla G są indukowane przez operacje zacieśnienia dla F.
Jądrem morfizmu snopów φ : F −−−−→ G nazywamy podsnop Ker φ zadany przez (Ker φ(U )) := Ker(φ(U )).
na
Morfizm snopów φ : F −−−−→ G nazywamy iniektywnym jeśli Ker Φ = 0, czyli równoważnie dla dowolnego podzbioru otwartego U ⊂ X morfizm indukowany φ(U ) jest iniektywny.
We
rsja
ws
tęp
Obrazem morfizmu snopów φ : F −−−−→ G nazywamy snop Im φ stowarzyszony z presnopem {U 7→ Im(φ(U )))}.
Na mocy własności uniwersalnej snopa stowarzyszonego istnieje morfizm Im φ −−−−→ G, morfizm ten jest iniektywny
i za jego pomocą możemy traktować Im φ jako podsnop snopa G.
Morfizm snopów φ : F −−−−→ G nazywamy suriektywnym jeżeli Im φ = G.
Ciąg morfizmów snopów
φi−1
φi
. . . −−−−→ Fi−1 −−−−−−→ Fi −−−−−→ Fi+1 −−−−→ . . .
nazywamy dokładnym jeśli dla każdego i zachodzi Ker φi = Im φi−1 .
Niech F będzie podsnopem snopa G, snopem ilorazowym G/F nazywamy snop stowarzyszony z presnopem {U 7→
G(U )/F(U ).
φ
Ćwiczenie 1. Pokazać, że ciąg dokładny 0 −−−−→ F −−−−→ G jest dokładny wtw gdy φ jest iniektywny.
φ
Pokazać, że ciąg dokładny F −−−−→ G −−−−→ 0 jest dokładny wtw gdy φ jest suriektywny.
Pokazać, że dla suriektywngo morfizmu snopów φ : F −−−−→ G odwzorowanie indukowane φ(U ) : F(U ) −−−−→
G(U ) nie musi być suriektywne.
Pokazać, że morfizm snopów φ : F −−−−→ G jest suriektywny wtedy itylko wtedy gdy odwzorowanie kiełków φx :
Fx −−−−→ Gx jest suriektywne dla każdego x ∈ X. Pokazać, że kiełek snopa ilorazowego (F/G)x jest równy ilorazowi
kiełków Fx /Gx .
Wersja wstępna z dnia: 20 stycznia 2016
Rozdział I. Rozmaitości algebraiczne
3
nych
a2
016
Przykład I.1. Niech X będzie rozmaitością quasi rzutową, niech O∗X oraz K∗X oznaczają snopy grup multyplikatywO∗X (U ) := {f ∈ OX : f (x) 6= 0 dla każdego x ∈ X}
,
K∗X (U ) := {f ∈ KX (U ) : f 6= 0.}
sty
czn
i
Wtedy O∗X jest podsnopem K∗X , ale presnop
(U 7→ K∗X (U )/O∗X (U ))
nie jest snopem.
Przykład I.2. Niech X będzie rozmaitością zespoloną, OX , O∗X niech będą snopami funkcji holomorficznych oraz
nigdzie nieznikających funkcji holomorficznych (jeden snop addytywny, a drugi multyplikatywny). Pokazać, że odwzorowanie
20
φ : (U 7→ OX (U ) 3 f 7→ exp(f ) ∈ O∗X (U ))
jest suriektywnym morfizmem snopów, ale nie dla każdego U odwzorowanie
OX (U ) 3 f 7→ exp(f ) ∈ O∗X (U )
na
jest suriektywne.
Definicja I.5. Obrazem prostym snopa F na X przez odwzorowanie ciągłę f : X −−−−→ Y nazywamy snop f∗ F na
We
rsja
ws
tęp
Y dany przez f∗ F(U ) := F(f −1 (U )), dla dowolnego podzbioru otwartego U ⊂ Y .
Przeciwobrazem snopa G na Y przez odwzorowanie ciągłę f : X −−−−→ Y nazywamy snop f −1 G na X stowarzyszony
z presnopem U 7→
lim G(V ).
−−−−→
V ⊃f (U )
Ćwiczenie 2. Dla dowolnego x ∈ X mamy równość włókien (f −1 G)x = Gf (x) .
Definicja I.6. Zacieśnieniem snopa F na X do podzbioru Z nazywamy przeciwobraz
F|Z := i−1 F
snopa F przez odwzorowanie inkluzji.
Uwaga. Ważne są dwie sytuacje, zacieśnienie snopa do podzbioru otwartego (wynik jest oczywisty), oraz zacieśnienie
snopa do podzbioru domkniętego, wynik nie jest tym czego możemy oczekiwać.
Definicja I.7. Sumą prostą presnopów F i G na X nazywamy presnop F ⊕ G na X zdefiniowany przez (F ⊕ G)(U ) :=
F(U ) ⊕ G(U ), dla podzbioru otwartego U ⊂ X i oczywiste odwzorowania zawężenia.
Lemat I.2. Suma prosta presnopów jest presnopem, suma prosta snopów jest snopem.
Wersja wstępna z dnia: 20 stycznia 2016
2. Definicja rozmaitości algebraicznej
4
a2
016
2. Definicja rozmaitości algebraicznej
Definicja I.8. Przestrzenią ze snopem pierścieni (ringed space) nazywamy parę (X, OX ), gdzie X jest przestrzenią
topologiczną (underlying space) zaś OX jest snopem pierścieni na X. (nazywanym często snopem strukturalnym).
k
Przestrzenią ze snopem –algebr nazywamy parę (X, OX ), gdzie X jest przestrzenią topologiczną zaś OX jest snopem
–algebr na X.
k
Morfizmem takich przestrzeni (X, OX ) −−−−→ (Y, OY ) nazywamy zespół
{Φ : X −−−−→ Y, {Φ#
−−−→ OX (Φ−1 (U ))}U ∈topX ,
U : OY (U ) −
sty
czn
i
gdzie Φ : X −−−−→ Y jest odwzorowaniem ciągłym przestrzeni topologicznych, (underlying mapping), zaś dla każdego zbioru otwartego U ⊂ Y , Φ#
−−−→ OX (Φ−1 (U )) jest homomorfizmem pierścieni (odp. –algebr),
U : OY (U ) −
przy czym spełniony jest następujący warunek zgodności z zawężeniem:
dla dowolnych zbiorów otwartych U ⊃ V diagram
Φ#
k
OY (U ) −−−U−→ OX (Φ−1 (U ))



ρ −1
ρU,V y
y Φ (U ),Φ−1 (V )
Φ#
OX (V ) −−−V−→ OX (Φ−1 (V ))
20
jest przemienny.
#
Uwaga. Odwzorowania Φ#
−−−→ f∗ OX .
U zadają morfizm snopów Φ : OY −
k
na
Łatwo stwierdzić, że przestrzenie –algebr i ich morfizmy tworzą kategorię.
Przykład I.3. Niech X będzie rozmaitością afiniczną. Snop strukturalny OX definiujemy, przyjmując dla zbioru
otwartego ∅ =
6 U ⊂ X jako OX (U ) pierścień funkcji regularnych na U .
k
k
k
We
rsja
ws
tęp
Definicja I.9. Jeśli (X, OX ) jest przestrzenią –algebr, to każdy taki zbiór otwarty ∅ =
6 U ⊂ X, że przestrzeń
–algebr (U, OX |U ) jest izomorficzna z rozmaitością algebraiczną afiniczną nazywamy afinicznym zbiorem otwartym.
Przestrzeń –algebr (X, OX ), której przestrzeń topologiczna X jest nierozkładalna i posiada skończone pokrycie afinicznymi zbiorami otwartymi nazywamy prerozmaitością algebraiczną (prevariety).
Lemat I.3. Jeżeli U ⊃ V 6= ∅ są otwarte, to ρU,V : O(U ) −−−−→ O(V ) jest iniekcją.
Dowód. Niech więc s ∈ ker ρU,V i niech X =
S
Ui , gdzie Ui ⊂ X są afinicznymi zbiorami otwartymi. Wtedy
sk
ρU ∩Ui ,V ∩Ui (ρU,U ∩Ui (s)) = ρU,V ∩Ui (s) = ρV,V ∩Ui (ρU,V (s)) = 0.
Ponieważ U ∩ Ui oraz V ∩ Ui są zawarte w rozmaitości afinicznej Ui (a w tej sytuacji, jak wiemy, homomorfizmy
zawężenia są iniektywne), mamy ρU,U ∩Ui (s) = 0. Zatem z aksjomatu (S1) wynika, że s = 0.
Rozważmy teraz zbiór X := top X \ {∅}. Ponieważ X jest nierozkładalna, każde dwa niepuste podzbiory otwarte w
X mają niepuste przecięcie. Tym samym X jest zbiorem skierowanym przez relacje częściowego porządku: U ¬ V ⇔
U ⊃ V . Możemy więc utworzyć granicę prostą (w kategorii –algebr)
k
F (X) := lim O(U ).
−−→
Ponieważ udowodniliśmy, że każdy ρU,V dla U, V ∈ X, U ⊃ V , jest iniekcją, stąd otrzymujemy homomorfizmy
iniektywne iU : O(U ) −−−−→ F (X). F = F (X) jest ciałem ułamków pierścienia O(U ) oraz każdego z pierścieni
Ox , x ∈ U .
Wersja wstępna z dnia: 20 stycznia 2016
Rozdział I. Rozmaitości algebraiczne
5
a2
016
Definicja I.10. Ciało F = F (X) nazywamy ciałem funkcji prerozmaitości X.
Propozycja I.4. Jeśli (X, O) jest prerozmaitością oraz F jest jej ciałem funkcji, to
T
(1) ∀U ∈ top X O(U ) =
Ox ,
x∈U
S
(2) F =
O(U ), przy czym dla zbiorów otwartych U ⊃ V identyfikujemy O(U ) z jego obrazem ρU,V (O(U )) ⊂
U ∈top X
O(V ).
sty
czn
i
Uwaga. Jeżeli Y ⊂ X jest podzbiorem domkniętym nierozkładalnym, to możemy określić pierścień lokalny prerozmaitości X wzdłuż Y
OX,Y := lim O(U ).
−−−−→
U ∩Y 6=∅
z ideałem maksymalnym
mY,X := {f ∈ OY,X |f (x) = 0 dla każdego takiego x ∈ Y, że f ∈ Ox }.
Propozycja
I.5. Niech (X, OX ) oraz (Y, OY ) będą prerozmaitościami
algebraicznymi oraz
∗
−1
Φ : X −−−−→ Y, ΦU : OY (U ) −−−−→ OX Φ (U ) U ∈top X ich morfizmem. Wtedy, dla każdego zbioru otwartego U ⊂ Y , Φ∗U (f ) = f ◦ Φ dla f ∈ OY (U ).
20
Twierdzenie I.6. Niech X będzie nierozkładalną przestrzenią topologiczną noetherowską i niech {Ui }i∈I będzie
skończonym pokryciem otwartym przestrzeni X.
Załóżmy, że
na
(i) dla każdego i ∈ I istnieje rozmaitość afiniczna Vi oraz homeomorfizm Φi : Vi −−−−→ Ui ;
(ii) dla każdych i, j ∈ I istnieje odwzorowanie biwymierne Φij : Vi −−−−→ Vj , które jest regularne na zbiorze
−1
otwartym Φ−1
i (Ui ∩ Uj ) oraz Φij = Φj ◦ Φi na tym zbiorze.
We
rsja
ws
tęp
Wtedy na X istnieje jedyna struktura prerozmaitości algebraicznej, względem której wszystkie Φi , i ∈ I, są morfizmami
prerozmaitości.
Dowód. Na X definiujemy snop strukturalny OX jako
k
O(U ) := {f : U −−−−→ |f ◦ Φi ∈ O(Vi ), ∀i}
dla U ⊂ X podzbioru otwartego.
Twierdzenie I.7. Niech X, Y będą prerozmaitościami algebraicznymi oraz, odpowiednio {Ui }i∈I , {Vi }i∈I ich skończonymi pokryciami afinicznymi zbiorami otwartymi. Załóżmy, że Φ : X −−−−→ Y jest odwzorowaniem ciągłym, przy
czym dla każdego i ∈ I, Φ(Ui ) ⊂ Vi oraz Φ|Ui : Ui −−−−→ Vi jest morfizmem rozmaitości afinicznych. Wtedy Φ jest
morfizmem prerozmaitości algebraicznych.
k
Dowód. Niech V ∈ top Y . Weźmy funkcję regularną f ∈ OY (V ); wtedy f ◦ Φ : Φ−1 (V ) −→ jest elementem pierścienia lokalnego Ox,X dla każdego x ∈ Φ−1 (V ) (gdyż x leży w pewnym Ui oraz Φ : Ui −−−−→ Vi
jest morfizmem rozmaitości afinicznych). Zatem f ◦ Φ ∈ OX (Φ−1 (V )), a tym samym Φ indukuje homomorfizm
Φ∗V : OY (V ) −−−−→ OX (Φ−1 (V )) i ostatecznie (Φ, {Φ∗V }V ∈top Y ) jest morfizmem prerozmaitości X i Y .
Twierdzenie I.8. Niech X, Y będą prerozmaitościami algebraicznymi. Wtedy na X × Y istnieje jedyna struktura
prerozmaitości algebraicznej taka, że
(i) dla dowolnych afinicznych zbiorów otwartych U ⊂ X oraz V ⊂ Y inkluzja U × V −−−−→ X × Y jest
morfizmem prerozmaitości algebraicznych;
Wersja wstępna z dnia: 20 stycznia 2016
2. Definicja rozmaitości algebraicznej
6
a2
016
(ii) projekcje p : X × Y −−−−→ X oraz q : X × Y −−−−→ Y są morfizmami;
(iii) jeśli Z jest prerozmaitością algebraiczna oraz Φ : Z −−−−→ X, Ψ : Z −−−−→ Y są morfizmami prerozmaitości algebraicznych, to ich zestawienie Θ = (Φ, Ψ) : Z −−−−→ X × Y jest morfizmem prerozmaitości
algebraicznych;
(iv) prerozmaitość X × Y jest produktem w kategorii prerozmaitości algebraicznych.
Dowód (szkic). Niech Ui , Vj będą skończonymi pokryciami afinicznymi prerozmaitości X i Y , wtedy do rodziny
rozmaitości afinicznych Ui × Vj możemy zastosować lemat o sklejeniu.
sty
czn
i
Wniosek I.9.
1) Jeżeli A ⊂ X, B ⊂ Y są podzbiorami domkniętymi prerozmaitości algebraicznych, to A × B
jest podzbiorem domkniętym X × Y .
2) Jeżeli U ⊂ X, V ⊂ Y są podzbiorami otwartymi prerozmaitości algebraicznych, to U × V jest podzbiorem
otwartym X × Y .
Dowód. 1) Niech p1 : X × Y −−−−→ X, p2 : X × Y −−−−→ Y będą morfizmami kanonicznymi (rzutowaniami).
−1
Wtedy A × B = p−1
1 (A) ∩ p2 (B) jest podzbiorem domkniętym.
Dowód 2) jest identyczny.
20
Definicja I.11. Prerozmaitość algebraiczną X nazywamy rozdzielczą, jeśli przekątna {(x, x) ∈ X × X|x ∈ X} jest
domknięta w X × X.
Prerozmaitość algebraiczną rozdzielczą nazywamy rozmaitością algebraiczną ( algebraic variety).
na
Morfizmem rozmaitości algebraicznych nazywamy każdy ich morfizm w kategorii prerozmaitości algebraicznych.
Przykład I.4. 1) Każda rozmaitość afiniczna jest rozmaitością algebraiczną (udowodnić rozdzielczość!).
2) Istnieją prerozmaitości, które nie są rozdzielcze. Typowym przykładem jest “prosta z jednym punktem podwójnym”,
to znaczy X = × {0, 1}/ ∼ gdzie relacja ∼ jest zdefiniowana następująco
We
rsja
ws
tęp
k
(x, u) ∼ (y, v) ⇔ ((x, u) = (y, v)
lub
x=y∈
k \ {0}) .
Propozycja I.10. Niech (X, OX ) będzie prerozmaitością algebraiczną z ciałem funkcji F . Wtedy
1) Dla dowolnego zbioru otwartego U ⊂ X para (U, OX |U ) jest prerozmaitością algebraiczną z ciałem funkcji
F . Jeżeli X jest rozmaitością algebraiczną, to U jest również rozmaitością.
2) Dla dowolnego podzbioru domkniętego nierozkładalnego Y ⊂ X istnieje snop –algebr OY na Y taki,
że para (Y, OY ) jest prerozmaitością algebraiczną z ciałem funkcji OY,X /mY,X . Jeżeli X jest rozmaitością
algebraiczną, to Y jest również rozmaitością.
k
Propozycja I.11. Na ogół snop OY nie jest równy OX |Y
Dowód. 1) Oczywiście jeśli U jest podzbiorem otwartym, to istnieje takie pokrycie skończone afiniczne U przestrzeni X, że U jest sumą podpokrycie U, w szczególności U jest prerozmaitością. Ponieważ przekątna w U × U jest
śladem przekątnej w X × X, więc jest podzbiorem domkniętym U × U , czyli U jest rozmaitością.
2) Jeżeli U jest skończonym afinicznym pokryciem otwartym X, to dla U ∈ U zbiór Y ∩U jest podzbiorem domkniętym
nierozkładalnym rozmaitości afinicznej, a zatem (U ∩ Y, OX |U ∩ Y ) jest izomorficzny z rozmaitością afiniczną. Zatem
Y jest prerozmaitością. Rozdzielczość sprawdzamy jak w punkcie 1).
Propozycja I.12. Jeżeli (X, OX ), (Y, OY ) są rozmaitościami to X × Y jest rozmaitością.
Wersja wstępna z dnia: 20 stycznia 2016
Rozdział I. Rozmaitości algebraiczne
7
a2
016
Dowód. Diagonale ∆X ⊂ X × X oraz ∆Y ⊂ Y × Y są domknięte, więc ∆X × ∆Y ⊂ X × X × Y × Y jest
zbiorem domkniętym.
Diagonalę ∆X×Y ⊂ X × Y × X × Y otrzymujemy jako obraz ∆X × ∆Y przez homeomorfizm X × X × Y × Y 3
(x1 , x2 , y1 , y2 ) 7→ (x1 , y1 , x2 , y2 ) ∈ X × Y × X × Y .
P
Przykład I.5. 1) Przestrzeń rzutowa n ze snopem OPn funkcji regularnych jest rozmaitością algebraiczną. Jako
skończone pokrycie afiniczne możemy wybrać pokrycie standardowymi podzbiorami afinicznymi.
2) Dowolna rozmaitość rzutowa ze snopem funkcji regularnych jest rozmaitością algebraiczną. Korzystamy z tego, że
rozmaitość rzutowa jest nierozkładalnym podzbiorem domkniętym przestrzeni rzutowej n lub wskazujemy pokrycie
rozmaitościami afinicznymi.
sty
czn
i
P
3) Rozmaitość quasi–rzutowa jest rozmaitością algebraiczną, jako podzbiór otwarty rozmaitości rzutowej.
Uwaga. Istnieją przykłady rozmaitości algebraicznych, które nie są rozmaitościami quasi–rzutowymi. Przykłady tego
typu są jednak dość skomplikowane. Istnieją również przykłady rozmaitości zupełnych, które nie są rzutowe.
20
Uwaga. Cała lokalna teoria (przestrzenie styczne, osobliwości, normalność) oraz własności włókien odwzorowań regularnych przenosi się z przypadku rozmaitości quasi–rzutowych na rozmaitości algebraiczne. Na ogół dowody można
przepisać bez zmian.
3. Snopy koherentne
na
Definicja I.12. Niech (X, OX ) będzie przestrzenią ze snopem pierścieni, snop S na X nazywamy snopem OX –
modułów (lub OX –modułem) jeśli
We
rsja
ws
tęp
• dla każdego podzbioru otwartego U ⊂ X grupa S(U ) jest OX (U )–modułem,
• dla każdej pary zbiorów otwarych V ⊂ U ⊂ X odwzorowanie restrykcji S(U ) −−−−→ S(V ) jest zgodne ze
strukturą modułów poprzez homomorfizm pierścieni OX (U ) −−−−→ OX (V ).
To znaczy następujący diagram
OX (U ) × S(U ) −−−−→ S(U )




y
y
OX (V ) × S(V ) −−−−→ S(V )
jest przemienny, gdzie strzałki pionowe są zadane przez operatory zacieśnienia.
Morfizmem T −−−−→ S snopów OX –modułów nazywamy morfizm snopów taki, że dla dowolnego podzbioru otwartego U ⊂ X odwzorowanie T(U ) −−−−→ S(U ) jest homomorfizmem OX (U )–modułów.
Jądro oraz obraz homomorfizmu OX –modułów jest OX –modułem, jeśli G jest OX –podmodułem OX –modułu F, to
iloraz snopów F/G jest OX –modułem.
Definicja I.13. Jeśli T i S są OX –modułami, to HomOX (S, T) jest grupą morfizmów OX –modułów, natomiast HomOX (S, T)
jest snopem OX –modułów U 7→ HomOX |U (S|U, T|U ).
Definicja I.14. Sumą prostą OX –modułów F i G nazywamy OX –moduł zdefiniowany przez (F ⊕ G)(U ) := F(U ) ⊕
G(U ) i oczywiste odwzorowania zawężenia.
Iloczynem tensorowym OX –modułów F i G nazywamy OX –moduł zdefiniowany przez (F ⊗ G)(U ) := F(U ) ⊗OX (U )
G(U ) i oczywiste odwzorowania zawężenia.
Wersja wstępna z dnia: 20 stycznia 2016
3. Snopy koherentne
8
a2
016
Jeśli f : (X, OX ) −−−−→ (Y, OY ) jest morfizmem przestrzeni ze snopem pierścieni, to obraz prosty f∗ F snopa OX –
modułów jest f∗ OX –modułem, ale odwzorowanie f # : OY −−−−→ f∗ OX jest morfizmem snopów pierścieni, które
nadaje snopowi f∗ F strukturę OY –modułu.
Niech G bęzie snopem OY –modułów, wtedy f −1 G jest snopem f −1 OY –modułów, odwzorowanie f zadaje morfizm
snopów f −1 OY −−−−→ OY , który umożliwia zdefiniowanie przeciwobrazu f ∗ G jako iloczyn tensorowy (zmianę bazy)
f ∗ G := f −1 G ⊗f −1 OY OX .
sty
czn
i
Niech X będzie rozmaitością afiniczną, A := OX (X) pierścieniem funkcji regularnych na X. Jako przestrzeń topologiczną X możemy utożsamiać ze spektrum maksymalnym pierścienie A, w szczególności każdemu punktowi X
odpowiada wzajemnie jednoznacznie ideał maksymalny A. Dla uproszczenia zapisu będziemy je często utożsamiać. W
szczególności dla x ∈ X będziemy oznaczać przez Ax lokalizację A względem odpowiadającego ideału maksymalnego, wtedy Ax := OX,x . Ogólniej jeśli M jest A–modułem, to przez Mx będziemy oznaczać lokalizację M względem
tego samego ideału maksymalnego, równoważnie Mx = M ⊗A Ax .
Naszym celem jest stworzenie snopa OX –modułów M̃ na X, którego włóknem nad x ∈ X jest moduł Mx . Bazą
topologii na X są bazowe zbiory otwarte (afiniczne) postaci Xf , gdzie f ∈ A \ {0}, przyjmujemy
M̃ (Xf ) := Mf = M ⊗A Af
20
Jeśli U jest dowolnym zbiorem otwartym, to
X
M̃ (U ) := {s : U −−−−→
Mx : ∀Xf ⊂ U ∃t ∈ M̃ (Xf ) t. że s(x) = tx dla x ∈ Xf }
X∈U
We
rsja
ws
tęp
na
Dowolny homomorfizm F : M −−−−→ N A–modułów zadaje morfizm OX –modułów F̃ : M̃ −−−−→ Ñ , na bazowych
zbiorach otwartch Xf jest on zadany przez lokalizację Ff : Mf −−−−→ Nf . Odwrotnie każdy morfizm OX –modułów
F : M̃ −−−−→ Ñ jest zadany przez homomorfizm (globalnych przekrojów) A–modułów F : M −−−−→ N (taki, ze
F = F̃ ).
Propozycja I.13. Ciąg A–modułów M −−−−→ N −−−−→ P jest dokładny wtedy i tylko wtedy gdy ciąg OX –modułów
M̃ −−−−→ Ñ −−−−→ P̃ jest dokładny.
Wniosek I.14. Obraz i jądro dowolnego morfizmu M̃ −−−−→ Ñ jest postaci K̃ dla pewnego K.
Twierdzenie I.15. Niech S będzie snopem OX modułów na rozmaitości X. Wtedy następujące warunki są równoważne
(1) dla dowolnego podzbioru otwartego afinicznego U ⊂ X istnieje OX (U )–moduł M taki, ze S|U = M̃ .
(2) istnieje (skończone) otwarte pokrycie afiniczne {Ui |i∈I rozmaitości X takie, że dla każdego i istnieje OX (Ui )–
moduł MI taki, że M̃i ∼
= S|Ui
(3) dla dowolnego x ∈ X istnieje otoczenie otwarte U punktu x oraz ciąg dokładny OX |U –modułów
M
M
OX |U −−−−→
OX |U −−−−→ S|U −−−−→ 0
I
J
(gdzie I, J są pewnymi zbiorami indeksów).
(4) dla dowolnych podzbiorów afinicznych V ⊂ U odwzorowanie naturalne
S(U ) ⊗OX (U ) OX (V ) −−−−→ S(V )
jest izomorfizmem.
Definicja I.15. Snop OX –modułów S na rozmaitości algebraicznej X nazywamy qusi–koherentnym jeśli dla dowolnego afinicznego podzbioru otwartego U ⊂ X istnieje OX (U )–moduł M taki, że S|U ∼
=M
Wersja wstępna z dnia: 20 stycznia 2016
Rozdział I. Rozmaitości algebraiczne
9
a2
016
Definicja I.16. Quasi–koherentny snop OX –modułów S na rozmaitości algebraicznej X jest koherentny jeśli dla
dowolnego afinicznego podzbioru otwartego U ⊂ X S(U ) jest skończenie generowanym OX (U )–modułem (równoważnie w powyższej definiczji możemy zażądać dodatkowo, że M jest skończenie generowanym OX (U )–modułem).
P
Niech X będzie rozmaitością rzutową, X ⊂ n . Oznaczmy przez S pierścień z gradacją rozmaitości X, to znaczy S =
[X0 , . . . , Xn ]/I(X). Dla dowolnego punktu x ∈ X mamy odpowiadający mu maksymalny ideał jednorodny mx ⊂
S. Wtedy OX,x jest pierścieniem elementów stopnia zero w lokalizacji T −1 S, gdzie T jest zbiorem multyplikatywnym
elementów jednorodnych z S \ mx . Podobnie jeśli U = Xf jest podstawowym zbiorem otwartym w X (f ∈ S jest
elementem jednonrodnym), to OX (Xf ) jako elementy stopnia zero S(f ) lokalizacji Sf . Cały snop OX odtwarzamy
następnie analogicznie jak poprzednio.
sty
czn
i
k
Niech teraz M tędzie S–modułem z gradacją. Dla dowolnego x ∈ X definiujemy w podobny sposób OX,x –moduł Mx
jako zbiór elementów stopnia zero w pierścieniu T −1 M , podobnie określamy OX (Xf )–moduł M(f ) . W ten sposób
konstruujemy snop OX –modułów oznaczany przez M̃ .
Propozycja I.16. Niech X będzie rozmaitością rzutową, S jej pierścieniem jednorodnym, M S–modułem z gradacją.
Wtedy
20
(1) dla dowolnego x ∈ X mamy (M̃ )x ∼
= M(x) ,
L
]
(2) dla dowolnego elementu jednorodnego f ∈ S+ = d>0 Sd mamt M̃ |Xf ∼
=M
(f ) .
(3) M̃ jest snopem quasi–koherentnym, jeśli M jest skończenie generowanym S–modułem, to M̃ jest snopem
koherentnym.
na
Jeśli M jest modułem z gradacją, to określamy moduł z gradacją M (l) jako moduł z gradacją przesuniętą o l, to znaczy
M (l)d = Ml+d .
Z
We
rsja
ws
tęp
Definicja I.17. Jeśli X jest rozmaitością rzutową, S jej pierścieniem z gradacją, to dla dowolnego n ∈ określamy
] Moduł OX (1)–nazywamy modułem (skręcającym) Serra, dla dowolnego snopa OX –
OX –moduł OX (n) := S(n).
modułów F określamy skręcenie F(n) = F ⊗ OX (n).
Jeśli X jest rozmaitością rzutową, F ∈ Sd wielomianem jednorodnym stopnia d, to homomorfizm S–modułów S(n) 3
φ 7→ F φ ∈ S(n + d) zadaje morfizm snopów OX (n) 7→ OX (n + d).
Definicja I.18. Snopem dualnym do snopa OX –modułów S nazywamy snop S∨ := HomOX (S, OX ).
Propozycja I.17. Dla dowolnej rozmaitości rzutowej X oraz liczb całkowitych m, n zachodzi OX (n) ⊗ OX (m) ∼
=
OX (n + m) oraz OX (n)∨ ∼
O
(−n).
= X
Definicja I.19. Snop OX –modułów S na rozmaitości X nazywamy lokalnie wolnym rangi r jeżeli istnieje pokrycie
otwarte {Ui } rozmaitości X takie, że S|Ui ∼
= O⊕r
Ui .
Propozycja I.18. Jeśli S i T są snopami lokalnie wolnymi na X rangi s i t, to ich suma prosta S⊕T i iloczyn tensorowy
S ⊗ T są snopami lokalnie wolnymi rangi s + t oraz st, snop dualny S∨ jest lokalnie wolny rangi s.
Jeśli f : X −−−−→ Y jest morfizmem rozmaitości algebraicznych S jest snopem lokalnie wolnym na Y , to f ∗ S jest
snopem lokalnie wolnym tej samej rangi na X.
Definicja I.20. Wiązką wektorową rangi n nazywamy układ (π, E, X) taki, że
(1) π : E −−−−→ X jest surjekcją ciągłą rozmaitości algebraicznych,
(2) π −1 (x0 ) jest n–wymiarową przestrzenią wektorową nad ciałem ,
k
Wersja wstępna z dnia: 20 stycznia 2016
3. Snopy koherentne
10
φi
π −1 (Ui )
- Ui ×
@
@
@
p1
@
@
@
@
R
@
kn
sty
czn
i
π|π −1 (Ui )
kn dla
a2
016
(3) istnieje (skończone) pokrycie otwarte {Ui } przestrzeni X takie, że ∀i∃φi : π −1 (Ui ) −−−−→ Ui ×
których następujący digram
Ui
jest przemienny oraz ∀x0 ∈ X
φi |π −1 (x0 ) : π −1 (x0 ) −−−−→ {x0 } ×
jest izomorfizmem liniowym.
Wiązkę wektorową rzędu 1 nazywamy wiązką liniową.
kn
Włókno wiązki E nad punktem x ∈ X oznaczamy Ex := π −1 (x).
k
kn, π(x, w) = x.
na
Przykład I.6. Wiązka trywialna rangi n, E := X ×
20
Definicja I.21. Subwiązką wiązki (π, E, X) nazywamy podrozmaitość F ⊂ E taką, że π|F, F, X jest wiązką wektorową.
k
n
Odwzorowanie φ̃ij := φi ◦(φ−1
−−−−→ Uij × n (gdzie Uij := Ui ∩Uj ) zadaje dla x ∈ Uij izomorfizm
j |Uij ) : Uij ×
n
n
liniowy {x}×
−−−−→ {x}× . Oznaczmy przez gij (x) macierz tego odwzorowania. Otrzymujemy odwzorowanie
regularne gij : Uij −−−−→ GL(n, ). Funkcje te nazywamy funkcjami przejścia, spełniają one następujący
k
k
We
rsja
ws
tęp
k
warunek kocyklu: gij gjk = gik na Uijk oraz gii = idUi .
k
Propozycja I.19. Dla dowolnego układu funkcji gij : Uij −−−−→ GL(n, ) spełniającego warunek kocyklu istnieje
wiązka wektorowa dla której są one funkcjami przejścia.
Jeżeli E jest wiązką liniową to funkcje przejścia śa postaci gij : Uij −−−−→
k∗ .
Definicja I.22. Morfizmem wiązek wektorowych (π, E, X) −−−−→ (π 0 , E 0 , X) nazywamy odwzorowanie regularne
φ : E −−−−→ E 0 takie, że
Φ
E
(1) diagram
- E0
@
@
π
jest przemienny,
π0
@
R
@
X
k
(2) φ|Ex : (E)x −−−−→ (E 0 )x jest odwzorowaniem –liniowym.
Lokalnie (względem wspólnej trywializacji Ui ) mozrfizm wiązek jest zadany przez odwzorowania regularne φi :
0
Ui −−−−→ Mn×m ( ) spełniające warunek gij φj = φi gij
(n = rank E, m = rank E 0 ). Odwrotnie każdy układ
funkcji φi spełniający powyższy warunek zadaje morfizm wiązek.
k
Wersja wstępna z dnia: 20 stycznia 2016
Rozdział I. Rozmaitości algebraiczne
11
a2
016
Definicja I.23. Izomorfizmem wiązek nazywamy morfizm, który jest bijekcją.
Propozycja I.20. Morfizm wiązek liniowych zadany w lokalnej trywializacji przez funkcje φi jest izomorfizmem jeżeli
dla każdego x ∈ Ui mamy φi (x) ∈ GL(n, ) (czyli φi ∈ GL(OX |U )).
k
0
Wiązki liniowe zadane funkcjami przejścia gij , gij
we wspólnej trywializacji {Ui }i są izomorficzne jeżeli istnieją φi ∈
0
GL(OX |U ) takie, że gij φj = φi gij .
sty
czn
i
Propozycja I.21. Jeśli (E, Y, π) jest wiązką liniową nad Y , f : X −−−−→ Y jest odwzorowaniem regularnym rozmaS
itości algebraicznych, to “zmiana bazy” (produkt włóknisty) f ∗ E := x∈X {x} × Ef (x) = {(x, z) ∈ X × X|f (x) =
π(z)} ⊂ X × E jest wiązką wektorową nad X.
Jeśli gij są funkcjami przejścia dla E, to gij ◦f są funkcjami przejścia dla f ∗ E, ponadto mamy naturalne utożsamienie
f ∗ Ex = Ef (x) .
Definicja I.24. Wiązkę f ∗ E nazywamy cofnięciem (pullback) wiązki E. Jeżeli (E, X, π) jest wiązką wektorową,
Y ⊂ X podrozmaitością, to przeciwobraz E|Y := i∗ E przez i : Y −−−−→ X inkluzję nazywamy zacieśnieniem
wiązki E do Y .
Naturalne operacje dla przestrzeni wektorowej mają swoje odpowiedniki dla wiązek wektorowych, łatwiej niż odwoływać się do naturalności jest w większości przypadków użyć funkcji przejścia
20
Propozycja I.22. Jeżeli gij (odp. hij ) są funkcjami przejścia wiazki wektorowej E (odp. F ) na X, to
na
−1
• gij
są funkcjami przejścia wiązki dualnej E ∨ ,
k
• Λ gij są funkcjami przejścia potęgi zewnętrznej Λk E, jeśli rank E = n to wiązkę Λn E nazywamy wyznacznikiem E i oznaczamy det E,
• gij ⊕ hij są funkcjami przejścia sumy prostej wiązek E ⊕ F ,
• gij ⊗ hij są funkcjami przejścia iloczynu tensorowego wiązek E ⊗ F ,
We
rsja
ws
tęp
Lemat I.23. Jeśli L jest wiązką liniową to L ⊗ L∨ jest wiązką liniową trywialną.
Wniosek I.24. Zbiór klas izomorfizmów wiązek liniowych na rozmaitości algebraicznej z iloczynem tensorowym jest
grupą abelową.
Definicja I.25. Grupą Picarda rozmaitości algebraicznej X nazywamy grupę Pic(X) klas izomorfizmów wiązek
liniowych z iloczynem tensorowym.
Dla wiązek liniowych używamy oznaczenia L−1 zamiast L∨ oraz Ln zamiast L⊗n .
Definicja I.26. Sekcją wiązki wektorowej (π, E, X) nad zbiorem otwaryum U ⊂ X nazywamy odwzorowanie regularne s : U −−−−→ E takie, że π ◦ s = idU . Zbiór (przestrzeń wektorową) sekcji wiązki E nad U oznaczamy przez
Γ(U, E) lub H 0 (U, E).
Sekcja wiązki E jest zadana lokalnie względem ustalonej trywializacji przez funkcje regularne si : Ui −−−−→
spełniające warunek gij sj = si na Uij .
kn
Propozycja I.25. Snop sekcji lokalnych wiązki wektorowej rangi n na rozmaitości algebraicznej jest lokalnie wolny
rangi n.
Dowód. Jeżeli f : E −−−−→ E 0 jest morfizmem wiązek na U , to odwzorowania Γ(U, E) 3 s 7→ f ◦s ∈ Γ(U, E 0 )
dla U ⊂ X zadają morfizm snopów. W szczególności izomorfizm wiązek zadaje izomorfizm snopów sekcji. Pozastaje
zauważyć, że snop sekcji lokalnych wiązki X × n jest izomorficzny z OnX .
k
Wersja wstępna z dnia: 20 stycznia 2016
3. Snopy koherentne
12
a2
016
Propozycja I.26. Jeżeli F jest snopem lokalnie wolnym na rozmaitości algebraicznej X, to istnieje wiązka wektorowa
E na X taka, że F jest izomorficzny ze snopem sekcji lokalnych E.
Dowód. Niech (Ui )i będzie pokryciem otwartym X takim, że F|Ui ∼
= O⊕r
Ui . Dla dowolnych i, j otrzymujemy
diagram
Φij
⊕r
OU
i ∩Uj
- O⊕r
Ui ∩Uj
∼
=
?
F|Ui ∩ Uj
sty
czn
i
∼
=
?
- F|Ui ∩ Uj
Morfizm snopów Φij jest zadany przez przedstawienie obrazów sekcji bazowych ei jako kombinacje liniowe, czyli
przy pomocy układu macierzy gij : Uij −−−−→ GL(n, ) spełniających warunek kocyklu. A zatem funkcje przejścia
dla snopa F definiują wiązkę liniową.
k
20
Łatwo sprawdzić, że wiązki wektorowe sa izomorficzne wtedy i tylko wtedy gdy ich snopy sekcji są izomorficzne,
morfizmy wiazek wektorowych odpowiadają morfizmow snopów sekcji – będziemy utożsamiać wiązki wektorowe ze
snopami lokalnie wolnymi rangi skończonej.
Propozycja I.27. Jeżeli E jest wiązką wektorową, F ⊂ E subwiązką, to iloraz E/F jest wiązką rangi rank E −
rank(F ).
na
Jeżeli
0 −−−−→ F1 −−−−→ F2 −−−−→ F3 −−−−→ 0
We
rsja
ws
tęp
jest ciągiem dokładnym snopów grup abelowych na X, to następujący ciąg jest dokładny
0 −−−−→ F1 (X) −−−−→ F2 (X) −−−−→ F3 (X)
ale ciąg
0 −−−−→ F1 (X) −−−−→ F2 (X) −−−−→ F3 (X) −−−−→ 0
na ogół nie jest dokładny.
Przykład I.7. Rozważmy ciąg dokładny
0 −−−−→ I −−−−→ OP1 −−−−→ i∗ OY −−−−→ 0
P1) = k, I(P1) = 0i∗OY (P1) = OY (Y ) = k2 więc ciąg
0 −−−−→ I(P1 ) −−−−→ OP (P1 ) −−−−→ i∗ OY (P1 ) −−−−→ 0
gdzie Y := {0, ∞} (I jest snopem ideałów). Wtedy OP1 (
1
nie jest dokładny.
Propozycja I.28. Funktor sekcji dokładnych przyporządkowujący snopowi jego grupę sekcji globalnych jest dokładny
z lewej.
Ciąg snopów koherentnych
0 −−−−→ F1 −−−−→ F2 −−−−→ F3 −−−−→ 0
na rozmaitości afinicznej X jest dokładny wtedy i tylko wtedy gdy ciąg
0 −−−−→ F1 (X) −−−−→ F2 (X) −−−−→ F3 (X) −−−−→ 0
jest dokładny.
Wersja wstępna z dnia: 20 stycznia 2016
Rozdział I. Rozmaitości algebraiczne
13
i0 <···<ip
a2
016
Definicja I.27. Niech X będzie przestrzenią topologiczną, U := (Ui )i∈I pokryciem otwartym X, F snopem grup na
X. Dla dowolnego p ­ 0 rozważmy grupę abelową
Y
Cp (F, U) :=
F(Ui0 ∩ · · · ∩ Uip ).
Element α ∈ C (F, U) jest układem α := (αi0 ,...,ip ) sekcji na wszystkich przecięciach p + 1 elementów pokrycia U.
Dla dowolnego p ­ 0 definiujemy również operator kobrzegu
p
dp : Cp (F, U) −−−−→ Cp+1 (F, U)
(dp α)i0 ,...,ip+1 =
p+1
X
sty
czn
i
przy pomocy
(−1)k αi0 ,...,ik−1 ,ik+1 ,...,ip+1 |Ui0 ∩ · · · ∩ Uip+1 .
k=0
Lemat I.29.
dp+1 ◦ dp = 0.
W ten sposób otrzymujemy kompleks grup abelowych i ich homomorfizmów
d0
d1
d2
. . . −−−−→ 0 −−−−→ C0 (F, U) −−−→ C1 (F, U) −−−→ C2 (F, U) −−−→ . . .
20
(ciąg przedłużony w lewo do nieskończoności przez zera), złożenie każdych dwóch kolejnych homomorfizmów jest
zerem.
na
Definicja I.28. p–tą grupą kohomologii snopa grup abelowych F na przestrzeni topologicznej X względem pokrycia
U nazywamy
H p (F, U) := Ker dp / Im dp−1 .
We
rsja
ws
tęp
Tak zdefiniowane kohomologie snopów zależą od wyboru pokrycia. Sposobem uniknięcia tej niejednoznaczności jest
wprowadzenie pojęcia rozdrobnienia pokrycia, następnie zdefiniowania kohomologii Čecha jako granicy odpowiedniego systemu Ȟ p (F, U).
Lemat I.30. Jeżeli U1 , . . . , Un są podzbiorami otwartymmi afinicznymi rozmaitości algebraicznej, to U1 ∩ · · · ∩ Un
jest zbiorem afinicznym.
A
A
Dowód. Wystarczy udowodnić dla n = 2. Niech V1 ⊂ n , V2 ⊂ m bedą podrozmaitościami afinicznymi,
takimi, że istnieją izomorfizmy Φi : Ui −−−−→ Vi . Wtedy zbiór Z := {(x1 , x2 ) ∈ V1 × V2 |Φ−1 (x1 ) = Φ−1 (x2 )} ⊂
V1 × V2 , a odwzorowanie V1 ∩ V2 3 x 7→ (Φ1 (x), Φ2 (x)) ∈ Z jest izomorfizmem.
Propozycja I.31. Niech f : X −−−−→ Y będzie morfizmem rozmaitości algebraicznych i niech F będzie snopem
quasi–koherentnym na X. Wtedy f∗ F jest snopem quasi–koherentnym na Y .
Dowód. Załóżmy najpierw, że X i Y są afiniczne, R := OX (X) oraz S := OY (Y ). Wtedy F = M̃ dla pewnego
R–modułu M . Morfizm f odpowiada homomorfizmowi f : S −−−−→ R, dzięki, któremu M jest S–modułem, dla
g
podkreślenia, że M traktujemy jako moduł nad S użyjemy oznaczenia MS , wtedy f∗ F = M
S . Czyli twierdzenie jest
prawdziwe, gdy X i Y są afiniczne.
Ponieważ problem jest lokalny względem Y , możemy założyć, że Y jest afiniczny. Niech {Ui }i∈I będzie pokryciem
otwartym X. Ponieważ F jest snopem więc dla dowolnego podzbioru otwartego V ⊂ Y mamy ciąg dokładny
M
M
0 −−−−→ F(f −1 (V )) −−−−→
F(f −1 (V ) ∩ Ui ) −−−−→
F(f −1 (V ) ∩ Ui,j ),
i
i,j
Wersja wstępna z dnia: 20 stycznia 2016
3. Snopy koherentne
14
i
i,j
L
L
a2
016
gdzie ostatnie odwzorowanie jest dane przez (. . . , si , . . . ) 7→ (. . . , si |Ui,j − sj |Ui,j , . . . ). Oznacza to, że następujący
ciąg jest dokładny
M
M
0 −−−−→ f∗ F −−−−→
f∗ (F|Ui ) −−−−→
f∗ (F|Ui,j )
Ale z dowodu przypadku afinicznego wynika, że snopy i f∗ (F|Ui ) oraz i,j f∗ (F|Ui,j ) są quasi–koherentne. Czyli
f∗ F jest jądrem morfimu snopów quasi–koherentnych, a zatem jest snopem quasi–koherentnym.
sty
czn
i
Uwaga. Jeśli chcemy udowodnić, że obraz snopa koherentnego jest koherentny musimy założyć, że ze skończoności
modułu M z pierwszej części dowodu wynika jego skończoność jako S–modułu. Powyższy warunek zachodzi m.in.
gdy f jest morfizmem skończonym oraz gdy Y ⊂ X jest podrozmaitością (nierozkłądalnym podzbiorem domkniętym)
natomiast f : Y −−−−→ X inkluzją. Prawdziwy jest znacznie ogólniejszy, ale trudniejszy dla dowodu fakt.
Propozycja I.32. Dla dowolnego pokrycia otwartego U przestrzeni X oraz dowolnego snopa grup abelowych F na
X mamy naturalny izomorfizm H 0 (F, U) ∼ F(X).
Propozycja I.33. Niech X będzie rozmaitością afiniczną, U pokryciem otwartym. Dla dowolnego snopa quasi–koherentnego
F na X mamy H i (U, F) = 0 dla dowolnego i > 0.
20
Dowód. Rozważmy “wersje snopową” kohomologii Čecha, przyjmijmy
Y
Cp (U, F) :=
i∗ F|Ui0 ∩ · · · ∩ Uip
i0 <···<ip
na
gdzie i : Ui0 ∩ · · · ∩ Uip −−−−→ X jest stosownym odwzorowaniem inkluzji. Snopy Cp (U, F) są quasikoherentne. Ich
grupami sekcji globalnych są C p (U, F). Podobnie jak poprzednio możemy określić operator kobrzegu
dp : Cp (U, F) −−−−→ Cp+1 (U, F)
otrzymując kompleks
We
rsja
ws
tęp
C0 (U, F) −−−−→ C1 (U, F) −−−−→ C1 (U, F) −−−−→ . . .
Pokażemy, że następujący ciąg jest dokładny
0 −−−−→ F −−−−→ C0 (U, F) −−−−→ C1 (U, F) −−−−→ C1 (U, F) −−−−→ . . . .
Dokładność w F oraz C0 (U, F) jest oczywista. W pozostałych punktach dokładność będziemy sprawdzać “po włóknach”. Niech x ∈ X będzie dowolnym punktem. Definiujemy morfizm włókien snopów w x
k : Cp (U, F)x 3 α 7→ kα ∈ Cp−1 (U, F)x
w następujący sposób. Dowolna sekcja αx ∈ Cp (U, F)x jest reprezentowana przez sekcję α ∈ Cp (U, F) to V otoczniem
otwartym x, ustalmy j takie, że V ⊂ Uj (zmniejszając V możemy wybrać to samo j dla wszystkich α w punkcie x).
Dla dowolnego i0 < · · · < ip−1 przyjmujemy (kα)i0 ,...,ip := α(j,i0 ,...,ip ) , porządkujemy indeksy (antysymetrycznie)
i bierzemy kiełek w x.
Operator k spełnia dla p ­ 1 równość (dk + kd)(α) = α, pokazującą, że k jest operatorem homotopii między identycznością i zerem. Stąd badany ciąg jest dokładny. Ponieważ przejście do sekcji globalnych na rozmaitości afinicznej
zachowuje dokładność ciągu otrzymujemy H i (U, F) = 0 dla i > 0.
Lemat I.34. Niech F będzie snopem quasi–koherentnym na rozmaitości X, U := {Ui1 , . . . , Uik } skończonym pokryciem otwartym X. Dla ustalonego zbioru otwartego Uo ⊂ X określamy Ũ = {Uio , Ui1 , . . . , Uik }. Wtedy
H i (U, F) ∼
= H i (Ũ).
Wersja wstępna z dnia: 20 stycznia 2016
Rozdział I. Rozmaitości algebraiczne
15
a2
016
Dowód. Mamy naturalne morfizmy C p (Ũ, F) −−−−→ C p (U, F) oraz H p (Ũ, F) −−−−→ H p (U, F) dane przez
projekcję
(αi0 ,...,ip )0¬i0 <i1 <···<ip ¬k 7→ (αi0 ,...,ip )1¬i0 <i1 <···<ip ¬k
(“zapomnienie danych zawierających U0 ”).
Element α̃ ∈ C p (Ũ, F) można zapisać jako α̃ = (α, α0 ), where α ∈ C p (U, F) and α0 ∈ C p−1 (U0 ∩ U, F|U0 ).
Zauważmy, że dα̃ = 0 wtedy i tylko wtedy gdy dα = 0 oraz α|U0 = dα0 .
Chcemy pokazać, że homomorfizm H p (Ũ, F) −−−−→ H p (U, F) jest iniektywny i suriektywny.
sty
czn
i
Niech α ∈ H p (U, F) będzie klasą kohomologii (tzn, dα = 0). Ponieważ d(α|U0 ) = (dα)|U0 = 0 oraz H p (U0 ∩
U, F) = 0, więc istnieje αo takie, że α|U0 = dα0 i α jest obrazem α̃ = (α, α0 ). W ten sposób dowiedliśmy suriektywności.
Niech α̃ ∈ H p (Ũ, F) będzie klasą kohomologii (tzn. dα̃ = 0) taką, że α = 0 w H p (U, F), to znaczy α jest kobrzegiem
α = dβ dla pewnego β ∈ C p−1 (U, F). Ponieważ d(β|U0 − α0 ) = α|U0 − α|U0 = 0, więc istnieje β0 taki, że
β|U0 − α0 = dβ 0 , Teraz α̃ = dβ̃, gdzie β̃ = (β, β 0 ).
Wniosek I.35. Kohomologie snopa koherentnego na rozmaitości algebraicznj nie zależą od wyboru pokrycia afinicznego.
20
Definicja I.29. Kohomologie snopa koherentnego na rozmaitości algebraicznej definiujemy jako kohomologie Čecha
względem pewnego pokrycia afinicznego.
Wniosek I.36. Jeżeli F jest snopem quasi–koherentnym na rozmaitości afinicznej X, to H i (F) = 0 dla i > 0.
na
Propozycja I.37. Jeżeli istnieje pokrycie otwarte afiniczne U rozmaitości quasi–rzutowej takie, że #U = m, to dla
dowolnego snopa quasi–koherentnego F na X mamy H i (F) = 0 dla i ­ m.
We
rsja
ws
tęp
Wniosek I.38. Jeżeli F jest snopem quasi–koherentnym na rozmaitości rzutowej X, to H i (F) = 0 dla i > dim X.
P
Dowód. Niech m := dim X, istnieją hiperpłaszczyzny H1 , . . . , Hm+1 ⊂ n takie, że X ∩H1 ∩· · ·∩Hm+1 = ∅,
niech Ui := X \ Hi . Wtedy U jest afinicznym pokryciem otwartym X składających się z m + 1 elementów.
Twierdzenie I.39 (Grothendieck). Jeżeli X jest rozmaitością algebraiczną, F snopem quasi–koherentnym, to H i (F) =
0 dla i > dim X.
Twierdzenie I.40 (Kryterium Serra). Rozmaitość X jest afiniczna wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnego snopa quasi–
koherentnego F na X zachodzi H i (F) = 0 dla i > 0.
Lemat I.41. Dowolny morfizm kompleksów f : C • −−−−→ D• , czyli diagram przemienny
...
- C p−1
f p−1
...
?
- Dp−1
- Cp
fp
?
- Dp
- C p+1
- ...
f p+1
?
- Dp+1
- ...
indukuje morfizm kohomologii
H p (f ) : H p (C • ) −−−−→ H p (D• ).
Powyższe przyporządkowanie jest funktorialne, jeżeli f : C • −−−−→ D• i g : D• −−−−→ E • , to
H p (g ◦ f ) = H p (g) ◦ H p (f ).
Wersja wstępna z dnia: 20 stycznia 2016
3. Snopy koherentne
16
a2
016
Dowód. Z przemienności diagramów wynika, że homomorfizmy f przeprowadzają jądra/obrazy operatorów kobrzegu C ◦ w jądra/obrazy operatorów kobrzegu D◦ . Zatem istnienie, jednoznacznośc i funktorialność operatorów
H • (f ) wynika z twierdzeń o izomorfizmie.
W sposób bezpośredni morfizmy H • (f ) możemy skonstruować następująco. Niech [α] ∈ H p (C), gdzie α ∈ C p
spełnia dα ∈ C p+1 . Przyjmijmy H p (f )([α]) = [f (α)], musimy pokazać, że f (α) nie zależy od wyboru reprezentanta
α, jeśli α = dβ, to f (α) = df (β) = 0 w H p (C). Powinniśmy jeszcze sprawdzić, że wskazane odwzorowanie jest
morfizmem (oczywiste).
...
?
- C p−1
f
?
- Dp−1
0
?
- Cp
f
0
?
- C p+1
f
?
- Dp
...
?
- E p−1
- 0
?
- Ep
- 0
g
g
20
0
sty
czn
i
Lemat I.42. Dowolny ciąg dokładny kompleksów
...
na
?
- Dp+1
?
...
We
rsja
ws
tęp
?
...
?
- E p+1
g
- 0
?
...
indukuje długi ciąg dokładny kohomologii
dp−1
H p (f )
H p (g)
δp
. . . −−−−→ H p−1 (E) −−−−−−−→ H p (C) −−−−−→ H p (D) −−−−−→ H p (E) −−−−−→ H p+1 (C) . . .
Dowód. Najważniejszym fragmentem dowodu jest konstrukcja morfizmu δ p : H p (E) −−−−→ H p+1 (C). Niech
[α] ∈ H p (E), gdzie α ∈ E p , dα = 0. Ponieważ g : Dp −−−−→ E p jest suriektywny, więc istnieje β ∈ Dp taki, ze
g(β) = α. Zauważmy, że g(dβ) = d(g(β)) = dα = 0, więc z dokładności istnieje γ ∈ C p+1 taki, że dβ = f (γ). Z
iniektywności f oraz f (dγ) = d(f (γ)) = d2 β = 0 wynika, że dγ = 0, możemy więc przyjąć δ p ([α]) = [γ].
Musimy sprawdzić, że podana konstrukcja nie zależy od poczynionych wyborów. Jeżeli α0 jest innym reprezentantem
[α], to znaczy α0 = α + dη, β 0 ∈ Dp jest, takie że g(β 0 ) = α0 , η = g(τ ), to g(β 0 − β − dτ ) = 0, więc istnieje ω ∈ C p
taki, że β 0 − β − dτ = f (ω). W konsekwencji f (γ 0 ) − f (γ) = dβ 0 − dβ = df (ω) = f (dω) i ostatecznie γ 0 − γ = dω.
Mamy więc kanoniczny ciąg homomorfizmów, musimy pokazać, że ciąg ten jest dokładny. Oczywiście ciąg ten jest
kompleksem: H p (g) ◦ H p (f ) = H p (g ◦ f ) = H p (0) = 0, H p+1 (f ) ◦ δ p ([α]) = [f (γ)] = [dβ] = 0 oraz δ p ◦
H p (g)([β]) = δ p (g([β])) = [γ], gdzie f (γ) = dβ = 0, czyli γ = 0.
Pozostało nam sprawdzić przeciwne inkluzje. Jeśli δ p ([α]) = 0, to γ = dω, zatem f (dω) = f (γ) = dβ. Mamy więc
d(β − f (ω)) = 0 i ostatecznie H p (g)[β − f (ω)] = [g(β)] = [α].
Jeśli H p (g)([β]) = 0, to g(β) = ω, z suriektywności g istnieje η taki, że ω = g(η). Zatem g(β − dη) = 0, skąd
β − dη = f (τ ), oraz [β] = [f (τ )] = H p (f )(τ ).
Podobnie, jeśli H p (f )([γ]) = 0, to f (γ) = dβ, dg(β) = g(dβ − f (γ)) = 0 i ostatecznie [γ] = δ([g(β)]).
Wersja wstępna z dnia: 20 stycznia 2016
Rozdział I. Rozmaitości algebraiczne
17
Dowolny morfizm f : F −−−−→ G snopów quasikoherentnych jest kolekcją morfizmów f (U ) : F(U ) −−−−→ G(U ),
a2
016
dla dowolnego pokrycia otwartego U otrzymujemy morfizm
Y
f (Ui0 ,...,ip ) : C p (U, F) −−−−→ C p (U, G).
i0 <···<ip
Jeśli ciąg
f
g
0 −−−−→ F0 −−−−−→ F −−−−−→ F00 −−−−→ 0
jest dokładny, dla dowolnego zbioru otwartego afiniczngo ciąg
sty
czn
i
f (U )
g(U )
0 −−−−→ F0 (U ) −−−−−→ F(U ) −−−−−→ F00 (U ) −−−−→ 0
jest dokładny. Jeśli U jest pokryciem afinicznym, to otrzymany ciąg kompleksów
0 −−−−→ C • (F0 ) −−−−→ C • (F) −−−−→ C • (F00 ) −−−−→ 0
jest dokładny. W ten sposób otrzymujemy następujące dwie propozycje.
Propozycja I.43. Dla dowolngo morfizmu snopów f : F −−−−→ G quasikoherentnych na rozmaitości algebraicznych
istnieją morfizmy grup kohomologii H p (f ) : H p (F) −−−−→ H p (G), ponadto jeśli g : G −−−−→ H jest również
20
morfizmem snopóœ quasikoherentnych, to H p (g◦f ) = H p (g)◦H p (f ) (przyporządkowanie snopom quasikoherentnym
na X p–tej grupy kohomologii jest funktorem).
Propozycja I.44. Dla dowolnego krótkiego ciągu dokładnego snopów quasikoherentnych
na
f
g
0 −−−−→ F0 −−−−−→ F −−−−−→ F00 −−−−→ 0
na rozmaitości algebraicznej X istnieją homomorfizmy (zw. homomorfizmami łączącymi) δ p : H p (F00 ) −−−−→ H p+1 (F0 )
We
rsja
ws
tęp
takie, że następujacy ciąg jest dokładny
p−1
p
H p (f )
H p (g)
δ−
. . . −−−−→ H p−1 (F00 ) −−δ−−−→ H p (F0 ) −−−−−→ H p (F) −−−−−→ H p (F00 ) −−−
−→ H p+1 (F0 ) −−−−→ . . .
Propozycja I.45. Niech X ⊂
Pn będzie rozmaitością rzutową, F ∈ k[X0, . . . , Xn] wielomianm jednorodnym stopnia
d takim, że ideał (F ) ⊂ S pierścienia jednorodnego S rozmaitości X jest pierwszy. Odwzorowanie S–modułów z
gradacją
0 −−−−→ S−d −−−F−−→ S −−−−→ S/(F ) −−−−→ 0
jest ciągiem dokładnym indukującym ciąg dokładnych snopów koherentnych
0 −−−−→ OX (−d) −−−−→ OX −−−−→ OH −−−−→ 0,
gdzie H = V (F ) jest hiperpowierzchnią zadaną róœnaniem F , natomiast morfizm OX −−−−→ OH jest zadany przez
zacieśnienie, w szczególności snop ideałów IH jest izomorficzny z OX (d).
Propozycja I.46. Niech X =
Pn będzie przestrzenią rzutową nad ciałem k. Wtedy
Z
(a) Naturalne odwzorowanie H 0 (OPn (d)) ∼
= Sd jest izomorfizmem dla dowolnego d ∈ .
Z
(b) H (OPn (d)) = 0 dla 0 < p < n oraz dowolnego d ∈ .
(c) H n (OPn (−n − 1)) ∼
= .
p
k
(d) Istnieje naturalny izomorfizm H 0 (OPn (d)) −−−−→ H n (OPn (O(−n − 1 − d))).
Wersja wstępna z dnia: 20 stycznia 2016
3. Snopy koherentne
18
Dowód. Niech S = k[X0 , . . . , Xn ] będzie pierścieniem (z gradacją) wielomianóœ n + 1–zmiennych, jest to
L
n
pierścień jednorodny rozmaitości n . Niech F będzie snopem quasikoherentnym F =
d∈Z OP (d). Ponieważ
L
H p (F) = H p ( d∈Z OPn (d)), więc dla dowodu propozycji będziemy liczyć kohomologie snopa F z uwzględnieniem gradacji.
a2
016
P
Wybieramy pokrycie U złożone z podstawowych otwartych zbiorów afinicznych Ui := {xi 6= 0}. Zauważmy, że
F(Ui0 ,...,ip ) ∼
= SXi0 ...Xir jest lokalizacją S. Stąd kompleks Čecha ma postać
Y
Y
C • (U, F) :
SXi0 −−−−→
SXi0 Xi1 −−−−→ . . . −−−−→ SX0 ...Xn
i0
i0 <i1
sty
czn
i
a ponadto zachowuje gradacje.
Ponieważ H 0 (F) jest jądrem pierwszego morfizmu więc, więc jest izomorficzny z S. Natomiast H n (F) jest kojądrem
ostatniego morfizmu. S n jest przestrzenią wektorową, której bazą są wszystkie jednomiany, natomiast obraz ostatniego
morfimu ma bazę złożoną z tych jednomianów X0k0 . . . Xnkn z co najmniej jednym wykładnikiem ki ­ 0, a zatem
H n jest przestrzenią wektorową z bazą złożoną z jednomianów X0k0 . . . Xnkn z wszystkimi wykładnikami ujemnymi,
1
a zatem H n (F) ∼
[X0−1 , . . . , Xn−1 ], z dokładnością do przesunięcia i odwrócenia gradacji dostajemy
=
X0 . . . Xn
przestzreń wektorową wielomianów n + 1 zmiennych. Zatem H n (F) ∼
= S 0 , gdzie S 0 jako przestrzeń wektorowa jest
0 ∼
izomorficzny z S z gradacją daną przez Sd = S−n−1−d . W szczególności otrzymaliśmy (a), (b) i (d).
k
Dowód (c) przeprowadzimy przez indukcję względem n, dla n = 1 nie ma nic do dowodzenia. Niech H = {Xn =
0} ∼
= n−1 będzie hiperpłaszczyzną, mamy więc ciąg dokładny
20
P
0 −−−−→ OPn (d − 1) −−−−→ OPn (d) −−−−→ OH (d) −−−−→ 0.
Sumując otrzymujemy ciąg dokładny
na
0 −−−−→ F(−1) −−−−→ F −−−−→ FH −−−−→ 0.
Ze skojarzonego długiego ciągu dokładnego kohomologii oraz założenia indukcyjnego otrzymujmey
We
rsja
ws
tęp
0 → H 0 (X, F(−1)) → H 0 (X, F) → H 0 (H, FH ) → H 1 (X, F(−1)) → H 1 (X, F) → 0
0 → H p (X, F(−1)) → H p (X, F) → 0,
0→H
n−1
(X, F(−1)) → H
n−1
(X, F) → H
n−1
dla 1 < p < n − 1
(H, FH ) → H n (X, F(−1)) → H n (X, F) → 0
A zatem H p (X, F(−1)) ∼
= H p (X, F) dla 1 < p < n − 1. Pokażemy, że ten izomorfizm zachodzi w rzeczywistości
dla 1 ¬ p ¬ n − 1. Zauważmy, że pierwszy z powyższych ciągów jest izomorficzny z
k
k
k
·X
0 −−−−→ [X0 , . . . Xn ] −−−−n−→ [X0 , . . . Xn ] −−−−→ [X0 , . . . Xn−1 ] −−−−→ H 1 (X, F(−1)) → H 1 (X, F) → 0
i z dokładności ciągu
k
k
k
·X
0 −−−−→ [X0 , . . . Xn ] −−−−0−→ [X0 , . . . Xn ] −−−−→ [X0 , . . . Xn−1 ] −−−−→ 0
otrzymujemy izomorfizm dla p = 1.
Podobnie ostatni z powyższych ciągów jest izomorficzny z
k
1
−1
[X0−1 , . . . , Xn−1
] −−−−→
X0 . . . Xn−1
1
1
−−−−→
[X0−1 , . . . , Xn−1 ] −−−−→
[X0−1 , . . . , Xn−1 ] −−−−→ 0
X0 . . . Xn
X0 . . . Xn
Homomorfizm z ostatniego rzędu, to mnożenie przez Xn a następnie pominięcie wszystkich jednomianóœ zawierających Xn w potędze nieujemnej. Oznacza to, że trzy ostatnie grupy tworzą ciąg dokładny i w konsekwencji otrzymujemy
izomorfizm
∼
H p (X, F(−1)) −−−=
−−→ H p (X, F)
dla 1 ¬ p ¬ n − 1
0 −−−−→ H n−1 (X, F(−1)) −−−−→ H n−1 (X, F) −−−−→
k
Wersja wstępna z dnia: 20 stycznia 2016
k
Rozdział I. Rozmaitości algebraiczne
19
a2
016
zadany przez mnożenie przez Xn .
Zauważmy, że dowolna klasa α ∈ H p (X, F), (1 ¬ p ¬ n − 1) po zacieśnieniu do zbioru Un staje się zerem (kobrzegiem), jedynym problemem uniemożliwiającym podniesienie kobrzegu jest występowanie Xn w mianowniku, w
języku algebraicznym otrzymujemy
H p (X, F)Xn = H p (U, F|Un ) = 0
N
czyli istnieje k ∈ takie, że Xnk α = 0. Ale mnożenie przez Xn jest izomorfizmem na H p (X, F) co kończy dowód
punktu (c) i całej propozycji.
Pn będzie rozmaitością rzutową, i : X ,→ Pn inkluzją, F snopem quasikoherentnym
sty
czn
i
Propozycja I.47. Niech X ⊂
na X. Wtedy
H p (X, F) ∼
= H p(
gdzie ı∗ Fjest rozszerzeniem F na
Pn przez zero.
Pn, i∗F),
Twierdzenie I.48. Niech X będzie rozmaitością rzutową, F snopem koherentnym na X. Wtedy
(a) H p (F) jest skończenie wymiarową przestrzenią wektorową dla każdego p ­ 0.
(b) H p (F(d)) = 0 dla każdego p > 0, d >> 0.
Pn, i∗F), a i∗F jest snopem koherentnym, więc bez straty ogólności może-
P
20
Dowód. Ponieważ H p (X, F) ∼
= H p(
my założyć, że X = n .
Dowód przez inukcję wsteczną na p, obie tezy zachodzą dla p > n. Ponieważ F jest snopem koherentnym na
istnieje ciąg dokładny
0 −−−−→ R −−−−→ E −−−−→ F −−−−→ 0
Pn, więc
P
P
We
rsja
ws
tęp
P
na
gdzie E jest skończoną sumą snopów OPn (qi ), wtedy R jest snopem koherentnym na n . Otrzymujemy ciąg dokładny
kohomologii
. . . −−−−→ H p ( n , E) −−−−→ H p ( n , F) −−−−→ H p+1 ( n , R) −−−−→ . . . .
P
P
Przestrzeń wektorowa H ( , E) ma wymiar skończony na pomocy twierdzenia o kohomologiach snopów OPn (d),
natomiast przestrzeń wektorowa H p+1 ( n , R) ma wymiar skończony na mocy założenia indukcyjnego, zatem również
przestrzeń H p ( n , F) ma wymiar skończony, a to kończy dowód punktu (a).
p
n
P
P
Rozważmy teraz skręcenie poprzedniego krótkiego ciągu dokładnego
0 −−−−→ R(d) −−−−→ E(d) −−−−→ F(d) −−−−→ 0
oraz odpowiadający mu długi ciąg dokładny
Pn, E(d)) −−−−→ H p(Pn, F(d)) −−−−→ H p+1(Pn, R(d)) −−−−→ . . . .
Na mocy założenia indukcyjnego H p+1 (Pn , R(d)) = 0 dla dostatecznie dużych d, podobnie H p (Pn , E(d)) = 0 gdyż
. . . −−−−→ H p (
E(d) = ⊕OPn (qi + d) więc wystarczy dobrać d większe lub równe od −qi dla każdego i.
Na mocy dowiedzionego twierdzenia ma sens następująca definicja
Definicja I.30. Charakterystyką Eulera snopa koherentnego F na rozmaitości rzutowej X nazywamy liczbę
∞
X
χ(F) :=
dimk H i (X, F).
i=0
Wersja wstępna z dnia: 20 stycznia 2016
a2
016
ROZDZIAŁ II
Odwzorowania w przestrzeń rzutową, a systemy liniowe
sty
czn
i
1. Dywizory na rozmaitości
Definicja II.1. Grupą dywizorów Weila Div V na rozmaitości quasi–rzutowej V nazywamy grupę abelową wolną
( –moduł wolny) o bazie złożonej z nierozkładalnych podzbiorów domkniętych kowymiaru 1.
Z
Elementy grupy dywizorów Weila nazywamy dywizorami Weila.
20
Dywizor Weila jest skończoną formalną kombinacją liniową D = n1 C1 + · · · + nk Ck o współczynnikach całkowitych
nierozkładalnych podzbiorów domkniętych kowymiaru 1.
P
Definicja II.2. Dywizor Weila D =
ni Ci nazywamy efektywnym jeżeli D 6= 0 oraz wszystkie współczynniki ni
są nieujemne.
Dywizor postaci 1·C, gdzie C jest nierozkładalnym podzbiorem domkniętym kowymiaru jeden nazywamy dywizorem
pierwszym.
We
rsja
ws
tęp
na
Jeżeli D = n1 C1 + · · · + nk Ck jest dywizorem, Ci 6= Cj dla i 6= j, ni 6= 0, to nośnikiem D nazywamy podzbiór
domknięty Supp(D) = C1 ∪ · · · ∪ Ck .
Niech V będzie rozmaitością quasi–rzutową normalną. Wtedy dla dowolnego podzbioru nierozkładalnego kowymiaru jeden V pierścień lokalny OV,C jest pierścieniem regularnym wymiaru jeden, a zatem jest pierścieniem waluacji
dyskretnej. Oznaczamy przez vC : (V ) \ {0} −−−−→ odpowiadającą mu waluację całkowitą.
k
k
Z
Lemat II.1. Jeżeli f ∈ (V ) jest funkcją wymierną na rozmaitości quasi–rzutowej V , f 6= 0, to vC (f ) 6= 0 dla
skończonej liczby dywizorów pierwszych.
k
Dowód. Istnieją wielomiany jednorodne G, H ∈ [X1 , . . . , Xn ] tego samego stopnia takie, że G, H 6= 0 na V
G(x)
dla x ∈ V . Jeżeli C jest dywizorem pierwszym nie będącym składową zbioru V (GH) to na zbiorze
oraz f (x) = H(x)
otwartym i niepustym C0 := C\V (GH) ⊂ C funkcja f jest regularna i różna od zera, a zatem f ∈ O(C0 ), f1 ∈ O(C0 ).
Stąd f jest jednością w pierścieniu OV,C , czyli vC (f ) = 0.
A zatem vC (f ) 6= 0 wyłącznie dla C będących składowymi nierozkładalnymi zbioru V (HG), czyli dla skończonej
liczby dywizorów pierwszych.
P
Definicja II.3. Dywizorem funkcji wymiernej f ∈ (V ), f 6= 0, nazywamy dywizor div(f ) := C vC (f )C.
k
k
Dywizor Weila postaci div(f ) dla pewnej funkcji f ∈ (V )∗ nazywamy dywizorem głównym.
Uwaga. Na mocy poprzedniego lematu suma w definicji zawiera skończoną liczbę wyrazów niezerowych, a więc
powyższa definicja jest poprawnie. Dywizor funkcji opisuje zbiór zer oraz biegunów, jeżeli vC (f ) > 0 to funkcja ma
wzdłuż C zero krotności vC , jeśli vC < 0 to funkcja ma wzdłuż C biegun krotności −vC .
20
Rozdział II. Odwzorowania w przestrzeń rzutową, a systemy liniowe
21
k
a2
016
Lemat II.2. Odwzorowanie div : (V )∗ 3 f 7→ div(f ) ∈ Div(V ) jest homomorfizmem grup.
Dywizory główne tworzą podgrupę P (V ) grupy dywizorów Weila Div(V ) na V . Grupę ilorazową Cl(V ) := Div(V )/P (V )
nazywamy grupą klas dywizorów na V .
An) = 0,
Przykład II.1. Cl(
Pn) ∼= Z,
Cl(Pn × · · · × Pn ) ∼
= Zk .
Cl(
1
k
P
sty
czn
i
Jeśli C jest dywizorem pierwszym, to C jest zadany jednym równaniem H(X01 , . . . , Xn11 ; . . . ; X0k , . . . , Xnkk ) , które
jest jednorodne ze względu na każdy zespół zmiennych oddzielnie. Mamy więc odwzorowanie, które dywizorowi
prostemu przypisuje układ stopni ze względu na każdy zespół zmiennych. Odwzorowanie to rozszerza się na całą
grupę dywizorów Weila. Zauważmy, że jądro tego odwzorowania jest równe grupie dywizorów głównych. Wynika to
stąd, że funkcję wymierną na n1 ×· · ·× nk można przedstawić jako iloraz wielomianów, które ze względu na każdy
zespół zmiennych są jednorodne tego samego stopnia.
P
Definicja II.4. Dywizorem Cartier na rozmaitości V nazywamy układ funkcji wymiernych fi odpowiadających poS
kryciu otwartemu X = Ui spełniający warunki
20
• fi 6= 0
• fi /fj oraz fj /fi są funkcjami regularnymi na Ui ∩ Uj
Układy (fi , Ui ) oraz gj , Vj definiują te same dywizory wtedy i tylko wtedy gdy fi /gj , gj /fi ∈ OUi ,Vj dla wszystkich
i, j.
Sumę dywizorów Cartier (fi , Ui ) oraz (gj , Vj ) określamy jako dywizor Cartier (fi gj , Ui ∩ Vj ).
k
k
We
rsja
ws
tęp
k
na
Uwaga. Niech O∗V (U ) = O∗ (U ) oznacza grupę multiplikatywną funkcji regularnych nigdzie nieznikających na U
(grupa jedności pierścienia O(U )). Wtedy O(U )∗ jest podgrupą grupy (V )∗ = (U )∗ funkcji wymiernych nie równych tożsamościowo zero. Grupy ( (V )∗ /O(U )∗ definiują presnop, który nie jest snopem. Dywizory Cartier są to
sekcje globalne snopa stowarzyszonego (zwanego snopem ilorazowym).
Lemat II.3. Dywizory Cartier na V tworzą grupę. Istnieje naturalny monomorfizm grupy dywizorów Cartier w grupę
dywizorów Weila.
Dowód. Dywizor przeciwny do dywizora (fi , Ui ) określamy jako (fi−1 , Ui ). Element neutralny (dywizor zerowy)
określamy jako określony przez funkcję stałą równą 1 na całej rozmaitości V . Zatem zbiór dywizorów Cartier tworzy
z określonym działaniem grupę.
Jeśli (Ui , fi ) jest dywizorem Cartier, C jest dywizorem pierwszym oraz C ∩ Ui 6= ∅, C ∩ Uj 6= ∅ to oczywiście
C ∩ U∩ Uj 6= ∅ (bo C jest nierozkładalny). A zatem OV,C ∼
= OV ∩Ui ,C∩Ui ∼
= OV ∩Ui ∩Ui ,C∩Ui ∩Ui ∼
= OV ∩Uj ,C∩Uj .
Ponieważ fi /fj ∈ O∗ (Ui ∩ Uj ), więc fi i fj są elementami stowarzyszonymi pierścienia O(Ui ∩ Uj ), stąd również
elementami stowarzyszonymi pierścienia OV,C . A zatem vC (fi ) = vC (fj ). Mamy więc dobrze określoną krotność
dywizora Cartier wzdłuż dywizora pierwszego. Podobnie jak dla dywizora głównego sprawdzamy, że krotność ta jest
różna od zera jedynie dla skończonej liczby dywizorów pierwszych. Mamy więc dobrze określony dywizor Weila
odpowiadający dywizorowi Cartier.
Ponieważ vC (f g) = vC (f )+vC (g), więc odwzorowanie to jest homomorfizmem. Jeżeli (fi , Ui ) przechodzi w dywizor
zerowy, to znaczy, że dla dowolnego dywizora pierwszego C takiego, że C ∩Ui 6= ∅ mamy vC (fi ) = 0, a zetem funkcja
fi jest regularna i różna od zera na niepustym podzbiorze otwartym dywizora C. Stąd istnieje podzbiór domknięty
Wi ⊂ Ui kowymiaru 2 taki, że fi ∈ O∗ (Ui \ Wi ), a ponieważ Ui jest rozmaitością normalną, więc fi ∈ O∗ (Ui )
(Ćwiczenie!!). A zatem dywizor zadany przez (fi , Ui ) jest równy (1, V ) czyli dywizorowi zerowemu.
Wersja wstępna z dnia: 20 stycznia 2016
2. Dywizory Cartier a wiązki liniowe
22
a2
016
Uwaga. Dywizor Cartier zadaje dla każdego Ui dywizor główny div(fi ). Ponadto dla dowolnych i, j dywizory div(fi )
oraz div(fj ) na Ui ∩Uj są równe. A zatem dywizory Cartier odpowiadają podgrupie dywizorów Weila, które są lokalnie
główne (stąd też dywizory Cartier bywają nazywane dywizorami lokalnie głównymi).
Definicja II.5. Iloraz grupy dywizorów Cartier przez podgrupę dywizorów głównych nazywamy grupą Picarda rozmaitości V .
k
sty
czn
i
Jeżeli funkcja wymierna f ∈ ∗ (V ) zadaje dywizor główny na V , Φ : W −−−−→ V jest odwzorowaniem regularnym,
to funkcja Φ∗ (f ) := f ◦ Φ jest dobrze określona gdy Φ(W ) nie zawiera się w zbiorze punktów gdzie f nie jest
określona, a nie jest tożsamościowo równa zero, jeżeli Φ(W ) nie zawiera się w zbiorze zer f . A zatem div(Φ∗ (f )) jest
dobrze określonym dywizorem głównym, jeżeli Φ(W ) 6⊂ Supp(div(f ))
Definicja II.6. Jeżeli układ (fi , Ui ) zadaje dywizor Cartier D, Φ : W −−−−→ V jest odwzorowaniem regularnym
takim, że Φ(W ) 6⊂ Supp(D) to układ (fi ◦ Φ, Φ−1 (Ui )) zadaje dywizor Φ∗ (D) na W zwany cofnięciem (pullback)
dywizora D.
Lemat II.4. Φ∗ (D1 + D2 ) = Φ∗ (D1 ) + Φ∗ (D2 ) (o ile prawa strona ma sens).
Definicja II.7. Jeżeli D jest dywizorem Cartier na rozmaitości V , W ⊂ V jest podrozmaitością taka, że W 6⊂ V , to
zacieśnieniem dywizora D do W nazywamy jego pullback przez włożenie i : W −−−−→ V .
20
Lemat II.5. Jeżeli V jest rozmaitością gładką, to każdy dywizor Weila jest dywizorem Cartier.
Dowód. Wynika z lokalnej faktorialności rozmaitości gładkiej.
A
na
Przykład II.2. Niech V = {xy + z 2 = 0} ⊂ 3 będzie afinicznym stożkiem kwadratowym. Wtedy prosta l := {x =
z = 0} jest dywizorem Weila, który nie jest Cartier. Dywizor Weila 2l jest dywizorem Cartier głównym l = div(x).
Rozważmy bowiem inną prostą m := {y = z = 0}. Wtedy zacieśnienie dywizora 2l do m jest punktem. Gdyby l był
również dywizorem Cartier to jego zacieśnienie do m byłoby połową punktu.
A
We
rsja
ws
tęp
Przykład II.3. Niech V = {xy + zt = 0} ⊂ 4 będzie afinicznym stożkiem kwadratowym. Wtedy płaszczyzna
P := {x = z = 0} jest dywizorem Weila takim, że dla dowolnego k > 0, kP nie jest dywizorem Cartier.
Twierdzenie II.6. Da dowolnego dywizora D na rozmaitości nieosobliwej X oraz dowolnej skończonej liczby punktów
x1 , . . . , xm istnieje dywizor D0 taki, że D ∼ D0 oraz xi 6∈ Supp(D0 ) dla i = 1, . . . , m.
2. Dywizory Cartier a wiązki liniowe
Propozycja II.7. Niech D = {(fi , Ui )} będzie dywizorem Cartiera na rozmaitości algebraicznej X, wtedy funkcje
fij = (fi /fj )|Uij ∈ O∗ (Uij ) spełniają warunek kocyklu, czyli zadają wiązkę liniową (niezależną od wyboru pokrycia
i układu lokalnych równań).
Dywizory D1 = {(fi , Ui )} i D2 = {(gj , Vi )} są liniowo równoważne wtw gdy zadane przez nie wiązki liniowe są
izomorficzne.
Dowód. Część pierwsza jest oczywista.
Dla dowodu części drugiej możemy założyć, że D1 i D2 są zadane we wspólnym pokryciu, Wiązki zadane przez D1 i
D2 są izomorficzne wtw gdy istnieją funkcje Fi ∈ O∗ (Ui ) takie, że (fi /fj )Fi = Fj (gi /gj ) na Ui ∩ Uj . Wtedy funkcja
h = (fi /gi )Fi jest funkcją wymierną na X oraz Div(h) = D1 − D2 .
Na odwrót Jeśli D1 − D2 = Div(h) dla pewnej funkcji wymiernej na X, to (fi /gi ) i h|Ui zadają ten sam dywizor,
czyli istnieje Fi ∈ O∗ (Ui ) t.że h = (fi /gi )Fi , a wtedy wiązki zadane przez dywizory D1 i D2 są izomorficzne.
Wersja wstępna z dnia: 20 stycznia 2016
Rozdział II. Odwzorowania w przestrzeń rzutową, a systemy liniowe
23
Lemat II.8.
OX (D1 + D2 ) ∼
= OX (D1 ) ⊗ OX (D2 ).
a2
016
Wiązkę zadaną przez dywizor D oznaczamy przez OX (D).
Propozycja II.9. Dla dowolnej rozmaitości algebraicznej X istnieje izomorfizm
Pic(X) ∼
= CaCl(X).
W dalszym ciągu będziemy obydwie grupy utożsamiać.
sty
czn
i
Jeżeli (fi , Ui )i jest dywizorem Cartiera na rozmaitości algebraicznej X, U ⊂ X jest podzbiorem otwartym, to (fi |U ∩
Ui , U ∩ Ui ) jest dywizorem Cartiera na U zwanym zacieśnieniem D do podzbioru otwartego.
Propozycja II.10. Niech X będzie rozmaitością algebraiczną D ∈ Ca(X) dywizorem Cartier na X. Dla dowolnego
podzbioru otwartego U mamy
k
Γ(U, OX (D)) = {f ∈ (U ) : (div(f ) + D)|U ­ 0}.
Dowód. Sekcja wiązki OX (D) nad zbiorem U jest zadana przez układ funkcji si ∈ OX (Ui ), gdzie Ui jest pokryciem otwartym U , spełniających warunek (fi/fj )sj = si na Ui ∩ Uj , równoważnie si /fi = sj /fj . A zatem funkcje
si /fi sklejają się do funkcji wymmiernej f ∈ (X), przy czym (div(f )+D)|Ui = div(si ) więc (div(f )+D)|Ui ­ 0.
k
k
Wniosek II.11.
20
Na odwrót, jeśli f ∈ (X) jest funkcją wymierną taką, ze (div(f ) + D)|U ­ 0, to dla dowolnego i mamy div(f fi ) =
div(f )|Ui + div(fi ) = (div(f ) + D)|Ui ­ 0, czyli si := f fi ∈ OX (Ui ) i funkcje si zadają prekrój OX (D) nad
U.
k
H 0 (OX (D)) = {f ∈ (V ) : div(f ) + D ­ 0}.
Definicja II.8. Przestrzeń wektorową
k
na
L(D) := {f ∈ (V ) : div(f ) + D ­ 0}
We
rsja
ws
tęp
nazywamy przestrzenia Riemanna–Rocha dywizora D, a jej wymiar l(D) — wymiarem dywizora D.
k
Załóżmy, że X jest rozmaitością algebraiczną rzutową, wtedy funkcja wymierna f ∈ (X) ma dywizor div(f ) = 0
wtedy i tylko wtedy gdy f ∈ .
k
P
Lemat II.12. Istnieje naturalna wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość między punktami przestrzeni rzutowej (L(D))
a zbiorem |D| dywizorów efektywnych na X, liniowo równoważnych z D.
Powyższa bijekcja zadaje (naturalną) strukturę przestrzeni rzutowej na zbiorze |D|.
Definicja II.9. Przestrzeń rzutową |D| := {D1 ∈ Ca(X) : D1 ­ 0, D ∼ D1 } nazywamy pełnym systemem liniowym. Systemem liniowym nazywamy dowolną podprzestrzeń rzutową pełnego systemu liniowego (czyli z dokładnością
do powyższej bijekcji projektywizację dowolnej podprzestrzeni wektorowej przestrzeni H 0 (X, OX (D))).
Uwaga. dim |D| = l(D) − 1.
Uwaga. W szczególności, jeśli D jest dywizorem prostym, to OX (−D) = ID jest snopem ideałów dywizora D.
Niech L będzie wiązka liniowa na rozmaitości algebraicznej X, może sie zdarzyć, że L nie posiada niezerowej sekcji
globalnej, ale zawsze posiada zawsze wymierną sekcję globalną s (wystarczy wybrać niezerową sekcje nad zbiorem
otwartym trywializującym). Jeżeli t jest inna niezerową sekcją wymierną, to s/t ∈ (X) i każda sekcja wymierna
powstaje w ten sposób. Sekcja wymierna s wiązki L jest zadana przez układ funkcji wymiernych si takich, że gij sj =
si . W szczególności funkcje wymierne si zadają dywizor Cartier D, który oznaczamy przez div(s).
k
Propozycja II.13. Jeżeli L jest wiązką liniową na rozmaitości algebraicznj X, s jest sekcją wymierną L, D := div(s)
to
OX (D) ∼
= L.
Wersja wstępna z dnia: 20 stycznia 2016