Rozwiązywanie przykładowych zadań z geometrii, które sprawiają

Przykładowe zadania na dowodzenie
Udowodnid twierdzenie o siecznych i stycznych. Jeżeli przez punkt A leżący w odległości od
środka większej niż promieo okręgu poprowadzimy prostą sieczną przecinającą okrąg w
dwóch punktach B i C to iloczyn długości odcinków AB i AC siecznej jest równy kwadratowi
długości odcinka AD stycznej do okręgu w punkcie D i przechodzącej przez punkt D.
Zad 1. Z punktu P odległego o 11 od środka okręgu o promieniu 7 poprowadzono sieczną tak, że
długośd odcinków, których koocami są punkty przecięcia się tej siecznej z okręgami i punkt P
są równe. Oblicz długośd odcinka siecznej zawartego wewnątrz okręgu.
Zad 2. Z punktu P oddalonego od środka okręgu o 5 poprowadzono styczną do okręgu oraz sieczną
przecinającą okrąg w punktach A i B tak, że |BP|:|AP| = 3:2. Wiedząc, że długośd promienia
okręgu wynosi 3, oblicz długośd odcinka AB.
Zad 3. Niech α, β, γ są kątami wewnętrznymi trójkąta. Wykaż, że jeżeli sin2 γ = sin2α + sin2β, to
trójkąt jest prostokątny.
Zad 4. Wykaż, że długośd boku rombu o kącie ostrym 30° jest średnią geometryczną długości jego
przekątnych.
Zad5. W romb o kącie ostrym 30° wpisano okrąg a następnie w ten okrąg wpisano kwadrat. Wykaż,
że pole rombu jest 4 razy większe od pola kwadratu.
Zad6. Wykaż, że pole czworokąta wypukłego nie przekracza ¼ sumy kwadratów długości jego
przekątnych.
Zad7. Wykaż, że środkowe trójkąta dzielą go na 6 trójkątów o równych polach.
Zad8. Pole trapezu jest równe S, a stosunek długości jego podstaw wynosi k. Przekątne dzielą
trapez na cztery trójkąty. Oblicz pole każdego z tych trójkątów.
Zad9. W trójkącie równoramiennym o podstawie długości 2a i ramieniu długości x wpisano okrąg i
połączono odcinkami punkty styczności tego okręgu z ramionami trójkąta. Odcinek ten
podzielił dany trójkąt na trapez o polu P1 i trójkąt o polu P2. Wyznacz (P1/P2) jako funkcję x.
Zad10. Wykaż, że w trójkącie równobocznym suma odległości dowolnego punktu wewnątrz tego
trójkąta od prostych zawierających boki trójkąta jest równa wysokości tego trójkąta.
Zad11. Wewnątrz czworościanu, którego wszystkie krawędzie mają taką samą długośd, wybrano
dowolnie punkt P. Wykaż, że suma odległości punktu P od wszystkich ścian bryły jest równa
wysokości tego czworościanu.
Zad12. Wykaż, że w trójkącie prostokątnym równoramiennym tangens kąta ostrego między
środkowymi poprowadzonymi z wierzchołków kątów ostrych jest równy ¾.
Zad13. Wyznacz stosunek długości boków równoległoboku wiedząc, że stosunek kwadratów długości
jego przekątnych jest równy 19/7, zaś kąt ostry tego równoległoboku jest równy 60°
Zad14. Na bokach BC i CD kwadratu ABCD obrano punkty E i F takie, że |EC|=2|EB| i |FC|=|FD|.
Wykaż, że miara kąta AEB jest równa mierze kąta AEF.
Zad15. Wykaż, że suma kwadratów długości wszystkich boków równoległoboku jest równa sumie
kwadratów długości jego przekątnej.
Zad16. Punkty A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8 dzielą okrąg na 8 równych łuków. Cięciwa A1A4 przecina
cięciwę A3A6 w punkcie P. Wykaż, że ∆A1PA6 jest prostokątny.
Zad17. Na bokach AC i BC trójkąta ostrokątnego zbudowano na zewnątrz trójkąta dwa trójkąty
równoboczne ACD i BCE. Okręgi opisane na tych trójkątach równobocznych przecinają się w
punktach C i F. Udowodnij, że punkty A, F, E są współliniowe.
Zad18. Dwa okręgi przecinają się w punktach A i B. Prosta przechodząca przez punkt A przecina
kolejno te okręgi w punktach C i E różnych od A, prosta przechodząca przez punkt B przecina
kolejno te okręgi w punktach D i F różnych od B. Udowodnij, że proste CD i EF są równoległe.
Zad19. Dany jest równoległobok ABCD z kątem ostrym przy wierzchołku A. Na półprostej AB
wyznaczono punkt M (M≠B) taki, że |CB|=|CM|, a na półprostej CB punkt N (N≠B) taki, że
|AB|=|AN|. Udowodnij, że |DM|=|DN|.
Zad20. Wierzchołki czworokąta ABCD o bokach długości a, b, c, d leżą na okręgu o promieniu r. Jeden
kąt czworokąta jest prosty. Wykaż, że jeszcze co najmniej jeden kąt jest prosty oraz
a2+b2+c2+d2=8r2